2022-2023學年高一物理舉一反三系列（人教版必修第二冊）專題8.3 動能和動能定理（原卷版）

專題8.3動能和動能定理【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1恒力作用下動能定理的應用】 【題型2圓周運動中動能定理的應用】 【題型3多過程問題中動能定理的應用】 【題型4涉及彈簧問題中動能定理的應用】 【題型5對比問題】 【題型6聯(lián)系實際】 【題型7與圖像綜合】 【題型8臨界問題】 【題型1恒力作用下動能定理的應用】【例1】某幼兒園要在空地上做一個滑梯，由于空地大小限制，滑梯的水平跨度確定為x＝6m。設計時，考慮兒童褲料與滑板間的動摩擦因數(shù)μ＝0.4，為使兒童在滑梯上恰能滑下，重力加速度g＝10m/s2。(1)求滑梯的高度h；(2)若小明褲料與滑板間的動摩擦因數(shù)μ1＝eq\f(1,3)，求他從滑梯上由靜止滑到底端的瞬時速度大??；(3)若體重比小明重、穿相同褲料的小華，從滑梯上由靜止滑到底端，有人認為小華滑行的時間比小明長。這種說法是否正確？簡要說明理由。【變式1-1】(多選)如圖所示，質量為M的木塊靜止在光滑的水平面上，質量為m的子彈以速度v0沿水平方向射入木塊，并最終留在木塊中與木塊一起以速度v運動。已知當子彈相對木塊靜止時，木塊前進的距離為L，子彈進入木塊的深度為s。若木塊對子彈的阻力F視為恒定，則下列關系式中正確的是()A．FL＝eq\f(1,2)Mv2B．Fs＝eq\f(1,2)mv2C．Fs＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)(M＋m)v2D．F(L＋s)＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)mv2【變式1-2】如圖所示，用長為L的輕繩把一個小鐵球掛在離水平地面高為3L的O點，小鐵球以O為圓心在豎直面內做圓周運動且恰好能到達最高點A處，不計空氣阻力，重力加速度為g，若運動到最高點時輕繩被切斷，則小鐵球落到地面時速度的大小為()A.eq\r(3gL) B.eq\r(6gL)C.4eq\r(gL) D.3eq\r(gL)【變式1-3】(多選)如圖所示，一塊長木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物體A，A、B間接觸面不光滑?，F(xiàn)以恒定的外力拉B，A在B上發(fā)生了滑動，以地面為參考系，A、B都向前移動了一段距離。在此過程中()A.外力F做的功等于A和B動能的增量B.B對A的摩擦力所做的功等于A的動能的增量C.A對B的摩擦力所做的功等于B對A的摩擦力所做的功D.外力F對B做的功等于B的動能的增量與B克服摩擦力所做的功之和【題型2圓周運動中動能定理的應用】【例2】如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為L的輕質細桿，一端可繞豎直光滑軸O轉動，另—端與質量為m的小木塊相連。木塊以水平初速度v0出發(fā)，恰好能完成一個完整的圓周運動。在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為()A.eq\f(mv02,2πL) B.eq\f(mv02,4πL)C.eq\f(mv02,8πL) D.eq\f(mv02,16πL)【變式2-1】(多選)如圖所示，長為L＝0.4m的輕桿一端連著質量為m＝1kg的小球，另一端用鉸鏈固接于水平地面上的O點，初始時小球靜止于地面上。現(xiàn)在桿中點處施加一大小不變、方向始終垂直于桿的力F，輕桿轉動30°時撤去F，則小球恰好能到達最高點。忽略一切摩擦，重力加速度g＝10m/s2，π≈3。下列說法正確的是()A．力F所做的功為4JB．力F的大小約為40NC．小球到達最高點時，輕桿對小球的作用力大小為5ND．撤去F瞬間，小球的速度大小為2m/s【變式2-2】在學校組織的趣味運動會上，某科技小組為大家提供了一個游戲。如圖所示，將一質量為0.1kg的鋼球放在O點，用彈射裝置將其彈出，鋼球沿著光滑的半圓形軌道OA和AB運動。BC段為一段長為L＝2.0m的粗糙平面，DEFG為接球槽。半圓形軌道OA和AB的半徑分別為r＝0.2m、R＝0.4m，小球與BC段的動摩擦因數(shù)為μ＝0.7，C點離接球槽的高度為h＝1.25m，水平距離為x＝0.5m，接球槽足夠大，g取10m/s2。求：(1)要使鋼球恰好不脫離半圓形軌道，鋼球在A點的速度大??；(2)鋼球恰好不脫離軌道時，在B位置對半圓形軌道的壓力大小；(3)要使鋼球最終能落入槽中，彈射速度v0至少多大?！咀兪?-3】(多選)如圖所示，半徑為R的光滑四分之一圓弧軌道AB固定在豎直面內，軌道最低點B與水平面平滑連接，圓心O與A在同一水平面內，質量為m的物塊從A點由靜止釋放，物塊沿圓弧軌道下滑，最終靜止在水平面上的C點，B、C間的距離為2R，重力加速度為g。若物塊滑到BC的中點時，給物塊施加一個水平向左的恒力F，當物塊再次運動到B點時，撤去力F，結果物塊恰好能運動到A點，則()A．物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.25B．物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.5C．水平推力的大小等于eq\f(\r(17)＋1,4)mgD．水平推力的大小等于eq\f(3,4)mg【題型3多過程問題中動能定理的應用】【例3】[多選]如圖所示為一滑草場。某條滑道由上下兩段高均為h，與水平面傾角分別為45°和37°的滑道組成，滑草車與草地之間的動摩擦因數(shù)為μ。質量為m的載人滑草車從坡頂由靜止開始自由下滑，經(jīng)過上、下兩段滑道后，最后恰好靜止于滑道的底端(不計滑草車在兩段滑道交接處的能量損失，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。則()A．動摩擦因數(shù)μ＝eq\f(6,7)B．載人滑草車最大速度為eq\r(\f(2gh,7))C．載人滑草車克服摩擦力做功為mghD．載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為eq\f(3,5)g【變式3-1】如圖所示，豎直固定放置的斜面DE與一光滑的圓弧軌道ABC相切，C為切點，圓弧軌道的半徑為R，斜面的傾角為θ。現(xiàn)有一質量為m的滑塊從D點無初速下滑，滑塊可在斜面和圓弧軌道之間做往復運動，已知圓弧軌道的圓心O與A、D在同一水平面上，滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，求：(1)滑塊第一次滑至左側圓弧上時距A點的最小高度差h；(2)滑塊在斜面上能通過的最大路程s?！咀兪?-2】如圖甲所示，在水平面上固定一傾角θ＝37°、底端帶有擋板的足夠長的斜面，斜面體底端靜止一質量m＝1kg的物塊(可視為質點)，從某時刻起，物塊受到一個沿斜面向上的拉力F作用，拉力F隨物塊從初始位置第一次沿斜面向上的位移x變化的關系如圖乙所示，隨后不再施加外力作用，物塊與固定擋板碰撞前后速率不變，不計空氣阻力，已知物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10m/s2，求：(1)物塊在上滑過程中的最大速度的大小；(計算結果可保留根式)(2)物塊沿斜面上滑的最大位移的大小和物塊在斜面上運動的總路程?！咀兪?-3】如圖所示，兩傾角均為θ的光滑斜面對接后固定水平地面上，O點為斜面的最低點。一個小物塊從右側斜面上高為H處由靜止滑下，在兩個斜面上做往復運動。小物塊每次通過O點時都會有動能損失，損失的動能為小物塊當次到達O點時動能的5%。小物塊從開始下滑到停止的過程中運動的總路程為()A.eq\f(49H,sinθ) B.eq\f(39H,sinθ)C.eq\f(29H,sinθ) D.eq\f(20H,sinθ)【題型4涉及彈簧問題中動能定理的應用】【例4】如圖所示，在輕彈簧的下端懸掛一個質量為m的小球A，若將小球A從彈簧的原長位置由靜止釋放，小球A能夠下降的最大高度為h。若將小球A換為質量為3m的小球B，仍從彈簧原長位置由靜止釋放，則小球B下降h時的速度為(重力加速度為g，不計空氣阻力)()A.eq\r(2gh) B.eq\r(\f(4gh,3))C.eq\r(gh) D.eq\r(\f(gh,2))【變式4-1】如圖所示，輕彈簧一端系在墻上的O點，自由伸長到B點。現(xiàn)將小物體靠著彈簧(不拴接)并將彈簧壓縮到A點，然后由靜止釋放，小物體在粗糙水平面上運動到C點靜止，則()A．小物體從A到B過程速度一直增加B．小物體從A到B過程加速度一直減小C．小物體從B到C過程中動能變化量大小小于克服摩擦力做功D．小物體從A到C過程中彈簧的彈性勢能變化量大小等于小物體克服摩擦力做功【變式4-2】(多選)如圖甲所示，輕彈簧豎直放置，下端固定在水平地面上，一質量為m的小球從離彈簧上端高h處由靜止釋放。某同學研究小球落到彈簧上后繼續(xù)向下運動到最低點的過程，他以小球開始下落的位置為原點，沿豎直向下方向建立坐標軸Ox，作出小球所受彈力F的大小隨小球下落的位置坐標x的變化關系如圖乙所示。不計空氣阻力，重力加速度為g。以下判斷正確的是()A．當x＝h時，小球的速度開始減小，而加速度先減小后增大，直至最低點B．最低點的坐標x＝h＋x1＋eq\r(x12＋2hx1)C．當x＝h＋2x1時，小球的加速度為－g，彈力為2mg且為小球下落的最低點D．小球動能的最大值為mgh＋eq\f(mgx1,2)【變式4-3】如圖所示，質量均為m＝4kg的兩個小物塊A、B(均可視為質點)放置在水平地面上，豎直平面內半徑R＝0.4m的光滑半圓形軌道與水平地面相切于C，彈簧左端固定。移動物塊A壓縮彈簧到某一位置(彈簧在彈性限度內)，由靜止釋放物塊A，物塊A離開彈簧后與物塊B碰撞并粘在一起以共同速度v＝5m/s向右運動，運動過程中經(jīng)過一段長為s，動摩擦因數(shù)μ＝0.2的水平面后，沖上半圓軌道，除s段外的其他水平面摩擦力不計。求：(g取10m/s2)(1)若s＝1m，兩物塊剛過C點時對軌道的壓力大??；(2)若兩物塊能沖上半圓形軌道，且不脫離軌道，s應滿足什么條件。【題型5對比問題】【例5】質量為m的物體從高為h的斜面頂端靜止下滑，最后停在平面上，若該物體以v0的初速度從頂端下滑，最后仍停在平面上，如圖甲所示。圖乙為物體兩次在平面上運動的v-t圖像，則物體在斜面上運動過程中克服摩擦力的功為()A.eq\f(1,2)mv02－3mgh B．3mgh－eq\f(1,2)mv02C.eq\f(1,6)mv02－mgh D．mgh－eq\f(1,6)mv02【變式5-1】(多選)質量相等的A、B兩物體放在同一水平面上，分別受到水平拉力F1、F2的作用從靜止開始做勻加速直線運動。經(jīng)過時間t0和4t0速度分別達到2v0和v0時，分別撤去F1和F2，以后物體繼續(xù)做勻減速直線運動直至停止，兩物體速度隨時間變化的圖線如圖所示。則下列結論正確的是()A．A、B物體所受摩擦力Ff1∶Ff2＝2∶1B．A、B物體所受摩擦力Ff1∶Ff2＝1∶1C．F1和F2對A、B做的功W1∶W2＝6∶5D．F1和F2對A、B做的功W1∶W2＝12∶5【變式5-2】從地面豎直向上拋出一物體，物體在運動過程中除受到重力外，還受到一大小不變、方向始終與運動方向相反的外力作用。距地面高度h在3m以內時，物體上升、下落過程中動能Ek隨h的變化如圖所示。重力加速度取10m/s2。該物體的質量為()A．2kg B．1.5kgC．1kg D．0.5kg【變式5-3】(多選)如圖所示，一彈性輕繩(彈力與其伸長量成正比)左端固定在墻上A點，右端穿過一固定的光滑圓環(huán)B連接一個質量為m的小球p，小球p在B點時，彈性輕繩處在自然伸長狀態(tài)。小球p穿過豎直固定桿在C處時，彈性輕繩的彈力為mg。將小球p從C點由靜止釋放，到達D點時速度恰好為0。已知小球與桿間的動摩擦因數(shù)為0.2，A、B、C在一條水平直線上，CD＝h；重力加速度為g，彈性繩始終處在彈性限度內。下列說法正確的是()A．小球從C點運動到D點的過程中克服摩擦力做功為0.3mghB．小球從C點運動到D點的過程中克服摩擦力做功為0.2mghC．若僅把小球質量變?yōu)?m，則小球到達D點時的速度大小為eq\r(gh)D．若僅把小球質量變?yōu)?m，則小球到達D點時的速度大小為eq\r(2gh)【題型6聯(lián)系實際】【例6】如圖所示，為某運動員(可視為質點)參加跳板跳水比賽時，其豎直方向的速度隨時間變化的v－t圖像以他離開跳板時為計時起點，不計空氣阻力，則下列說法中正確的是()A.t3時刻達到最高點B.t2時刻的位移最大C.t1時刻的加速度為負D.在t1～t2時間內，重力做功WG大于克服阻力做功Wf【變式6-1】螺旋千斤頂由帶手柄的螺桿和底座組成，螺紋與水平面夾角為α，如圖所示。水平轉動手柄，使螺桿沿底座的螺紋槽(相當于螺母)緩慢旋進而頂起質量為m的重物，如果重物和螺桿可在任意位置保持平衡，稱為摩擦自鎖。能實現(xiàn)自鎖的千斤頂，α的最大值為α0?，F(xiàn)用一個傾角為α0的千斤頂將重物緩慢頂起高度h后，向螺紋槽滴入潤滑油使其動摩擦因數(shù)μ減小，重物回落到起點。假定最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，不計螺桿和手柄的質量及螺桿與重物間的摩擦力，轉動手柄不改變螺紋槽和螺桿之間的壓力。下列說法正確的是()A．實現(xiàn)摩擦自鎖的條件為tanα≥μB．下落過程中重物對螺桿的壓力等于mgC．從重物開始升起到最高點摩擦力做功為mghD．從重物開始升起到最高點轉動手柄做功為2mgh【變式6-2】我國將于2022年舉辦冬奧會，跳臺滑雪是其中最具觀賞性的項目之一。如圖所示，質量m＝60kg的運動員從長直助滑道AB的A處由靜止開始以加速度a＝3.6m/s2勻加速滑下，到達助滑道末端B時速度vB＝24m/s，A與B的豎直高度差H＝48m。為了改變運動員的運動方向，在助滑道與起跳臺之間用一段彎曲滑道銜接，其中最低點C處附近是一段以O為圓心的圓弧。助滑道末端B與滑道最低點C的高度差h＝5m，運動員在B、C間運動時阻力做功W＝－1530J，取g＝10m/s2。(1)求運動員在AB段下滑時受到阻力Ff的大小；(2)若運動員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，則C點所在圓弧的半徑R至少應為多大。【變式6-3】(多選)冰滑梯是東北地區(qū)體驗冰雪運動樂趣的設施之一，某冰滑梯的示意圖如圖所示，螺旋滑道的摩擦可忽略，傾斜滑道和水平滑道與同一滑板間的動摩擦因數(shù)μ相同，因滑板不同μ滿足μ0≤μ≤1.2μ0。在設計滑梯時，要確保所有游客在傾斜滑道上均減速下滑，且滑行結束時停在水平滑道上，以下L1、L2的組合符合設計要求的是()A．L1＝eq\f(h,2μ0)，L2＝eq\f(3h,2μ0) B．L1＝eq\f(4h,3μ0)，L2＝eq\f(h,3μ0)C．L1＝eq\f(4h,3μ0)，L2＝eq\f(2h,3μ0) D．L1＝eq\f(3h,2μ0)，L2＝eq\f(h,μ0)【題型7與圖像綜合】【例7】如圖甲所示，視為質點的小球用不可伸長的輕繩連接，繞定點O在豎直面內做圓周運動，小球經(jīng)過最高點的速度大小為v，此時繩子的拉力大小為FT。拉力FT與速度的平方的關系如圖乙所示，重力加速度大小為g，不計空氣阻力。則小球從最高點運動到最低點的過程中動能的變化量為()A.eq\f(2ab,g) B.eq\f(ab,4g)C.eq\f(ab,2g) D.eq\f(4ab,g)【變式7-1】(多選)“彈跳小人”(如圖甲所示)是一種深受兒童喜愛的玩具，其原理如圖乙所示。豎直光滑長桿固定在地面不動，套在桿上的輕質彈簧下端不固定，上端與滑塊拴接，滑塊的質量為0.80kg。現(xiàn)在向下壓滑塊，直到彈簧上端離地面高度h＝0.40m時停止，然后由靜止釋放滑塊?；瑝K的動能Ek隨離地高度h變化的圖像如圖丙所示。其中高度從0.80m到1.40m范圍內的圖線為直線，其余部分為曲線。若以地面為重力勢能的參考平面，空氣阻力為恒力，g取10m/s2。則結合圖像可知()A．彈簧原長為0.72mB．空氣阻力大小為1.00NC．彈簧的最大彈性勢能為9.00JD．在彈簧落回地面的瞬間滑塊的動能為5.40J【變式7-2】如圖(a)所示，一物塊以一定初速度沿傾角為30°的固定斜面上滑，運動過程中摩擦力大小f恒定，物塊動能Ek與運動路程s的關系如圖(b)所示。重力加速度大小取10m/s2，物塊質量m和所受摩擦力大小f分別為()A．m＝0.7kg，f＝0.5NB．m＝0.7kg，f＝1.0NC．m＝0.8kg，f＝0.5ND．m＝0.8kg，f＝1.0N【變式7-3】如圖甲所示，質量為0.1kg的小球從最低點A沖入豎直放置在水平地面上、半徑為0.4m的半圓形軌道，小球速度的平方與其高度的關系圖像如圖乙所示。已知小球恰能到達最高點C，軌道粗糙程度處處相同，空氣阻力不計。g取10m/s2，B為軌道AC中點。下列說法中不正確的是()A．圖乙中x＝4m2·s－2B．小球從B到C損失了0.125J的機械能C．小球從A到C合外力對其做的功為－1.05JD．小球從C拋出后，落地點到A的距離為0.8m【題型8臨界問題】【例8】如圖，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直，一小球以速度v從軌道下端滑入軌道，并保證從軌道上端水平飛出，則關于小球落地點到軌道下端的水平距離x與軌道半徑R的關系，下列說法正確的是()A.R越大，則x越大B.R越小，則x越大C.當R為某一定值時，x才有最大值D.當R為某一定值時，x才有最小值【變式8-1】彈珠游戲在孩子們中間很受歡迎，有很多種玩法，其中一種玩法就是比距離，模型如圖所示，用內壁光滑的薄壁細圓管彎成的由半圓形APB(圓半徑比細管的內徑大得多)和光滑直管BC組成的軌道固定在水平桌面上，已知APB部分的半徑R＝1.0m，BC段長l1＝1.5m。彈射裝置將一個質量m＝100g小球(可視為質點)以v0＝8m/s的水平初速度從A點彈入軌道，小球從C點離開軌道隨即進入長l2＝2m，μ＝0.1的粗糙水平地面(圖上對應為CD)，最后通過光滑軌道DE，從E點水平射出，已知E距離地面的高度為h＝1m，不計空氣阻力。求：(1)小球在半圓軌道上運動時的角速度ω和到達C點時對圓管的壓力大??；(2)若小球能從A點運動到E點，則小球進入A點的速度至少為多大；(3)若E點的高度h可以調節(jié)，小球仍以v0＝8m/s從A點進入，當h多高時，水平射程x最大，并求出這個最大值?！咀兪?-2】某同學參照過山車情境設計了如圖所示的模型。光滑的豎直圓軌道半徑R＝2m，入口的平直軌道AC和出口的平直軌道CD均是粗糙的，質量為m＝2kg的小滑塊與水平軌道之間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.5，滑塊從A點由靜止開始受到水平拉力F＝60N的作用，在B點時撤去拉力，AB段的長度為l＝5m，不計空氣阻力。(g＝10m/s2)(1)若滑塊恰好通過圓軌道的最高點，則滑塊沿著出口的平直軌道CD能滑行多遠的距離？(2)要使滑塊能進入圓軌道運動且不脫離軌道，求平直軌道BC段的長度范圍?！咀兪?-3】如圖所示，將圓心角為53°、半徑為R的光滑圓弧軌道豎直固定于水平桌面上，用水平向右的恒力將質量為m的小球由靜止開始從底端A推到B點，立即撤去此恒力，小球恰好水平撞擊到與圓心等高的豎直墻壁的C點。已知半徑OA沿豎直方向，重力加速度為g，忽略空氣阻力。求：(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)(1)水平恒力的大?。?2)若在OB延長線上安置以點O′為轉軸，BO′長度為半徑的可在豎直平面內自由轉動的輕桿，當小球運動到B點時立刻附著于輕桿頂端，設小球在附著過程中無機械能損失，如果小球恰好不撞到墻壁，則小球在轉動過程中所受輕桿的最大拉力是多少？

參考答案【題型1恒力作用下動能定理的應用】【例1】某幼兒園要在空地上做一個滑梯，由于空地大小限制，滑梯的水平跨度確定為x＝6m。設計時，考慮兒童褲料與滑板間的動摩擦因數(shù)μ＝0.4，為使兒童在滑梯上恰能滑下，重力加速度g＝10m/s2。(1)求滑梯的高度h；(2)若小明褲料與滑板間的動摩擦因數(shù)μ1＝eq\f(1,3)，求他從滑梯上由靜止滑到底端的瞬時速度大??；(3)若體重比小明重、穿相同褲料的小華，從滑梯上由靜止滑到底端，有人認為小華滑行的時間比小明長。這種說法是否正確？簡要說明理由。[解析](1)兒童恰能滑下，重力的下滑分力等于摩擦力，設滑梯與水平面的夾角為θ，則mgsinθ＝μmgcosθ根據(jù)幾何關系：tanθ＝eq\f(h,x)聯(lián)立解得：h＝0.4x＝2.4m。(2)設滑板長為L，由動能定理得：mgh－μ1mgLcosθ＝eq\f(1,2)mv2，x＝Lcosθ聯(lián)立解得：v＝2eq\r(2)m/s。(3)這種說法不正確，小華下滑的時間與小明相等。根據(jù)位移時間關系：L＝eq\f(1,2)at2根據(jù)牛頓第二定律，下滑的加速度a＝g(sinθ－μ1cosθ)聯(lián)立解得：t＝eq\r(\f(2L,gsinθ－μ1cosθ))可見，下滑時間與體重無關。[答案](1)2.4m(2)2eq\r(2)m/s(3)見解析【變式1-1】(多選)如圖所示，質量為M的木塊靜止在光滑的水平面上，質量為m的子彈以速度v0沿水平方向射入木塊，并最終留在木塊中與木塊一起以速度v運動。已知當子彈相對木塊靜止時，木塊前進的距離為L，子彈進入木塊的深度為s。若木塊對子彈的阻力F視為恒定，則下列關系式中正確的是()A．FL＝eq\f(1,2)Mv2B．Fs＝eq\f(1,2)mv2C．Fs＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)(M＋m)v2D．F(L＋s)＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)mv2解析：選ACD根據(jù)動能定理，對子彈，有－F(L＋s)＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02，D正確；對木塊，有FL＝eq\f(1,2)Mv2，A正確；由以上二式可得Fs＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)(M＋m)v2，C正確，B錯誤?！咀兪?-2】如圖所示，用長為L的輕繩把一個小鐵球掛在離水平地面高為3L的O點，小鐵球以O為圓心在豎直面內做圓周運動且恰好能到達最高點A處，不計空氣阻力，重力加速度為g，若運動到最高點時輕繩被切斷，則小鐵球落到地面時速度的大小為()A.eq\r(3gL) B.eq\r(6gL)C.4eq\r(gL) D.3eq\r(gL)答案D解析小球剛好能在豎直平面做圓周運動且恰好到達最高點時，繩的拉力為零，只有重力提供向心力，有mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),L)，在最高點剪斷繩后，小球做平拋運動落地，對這一過程由動能定理mg·4L＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，聯(lián)立可得落地速度v2＝3eq\r(gL)，故A、B、C錯誤，D正確。【變式1-3】(多選)如圖所示，一塊長木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物體A，A、B間接觸面不光滑?，F(xiàn)以恒定的外力拉B，A在B上發(fā)生了滑動，以地面為參考系，A、B都向前移動了一段距離。在此過程中()A.外力F做的功等于A和B動能的增量B.B對A的摩擦力所做的功等于A的動能的增量C.A對B的摩擦力所做的功等于B對A的摩擦力所做的功D.外力F對B做的功等于B的動能的增量與B克服摩擦力所做的功之和答案BD解析A物體所受的合力等于B對A的摩擦力，根據(jù)動能定理，有B對A的摩擦力所做的功等于A的動能的增量，B正確；A對B的摩擦力與B對A的摩擦力是一對作用力與反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑動，A、B相對地的位移不相等，故二者做功不相等，C錯誤；對B應用動能定理，有WF－Wf＝ΔEkB，解得WF＝ΔEkB＋Wf，即外力F對B做的功等于B的動能的增量與B克服摩擦力所做的功之和，D正確；根據(jù)功能關系可知，外力F做的功等于A和B動能的增量與產(chǎn)生的內能之和，故A錯誤?！绢}型2圓周運動中動能定理的應用】【例2】如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為L的輕質細桿，一端可繞豎直光滑軸O轉動，另—端與質量為m的小木塊相連。木塊以水平初速度v0出發(fā)，恰好能完成一個完整的圓周運動。在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為()A.eq\f(mv02,2πL) B.eq\f(mv02,4πL)C.eq\f(mv02,8πL) D.eq\f(mv02,16πL)解析：選B對木塊由動能定理得：－Ff·2πL＝0－eq\f(1,2)mv02，解得摩擦力大小為：Ff＝eq\f(mv02,4πL)，故B正確，A、C、D錯誤?！咀兪?-1】(多選)如圖所示，長為L＝0.4m的輕桿一端連著質量為m＝1kg的小球，另一端用鉸鏈固接于水平地面上的O點，初始時小球靜止于地面上。現(xiàn)在桿中點處施加一大小不變、方向始終垂直于桿的力F，輕桿轉動30°時撤去F，則小球恰好能到達最高點。忽略一切摩擦，重力加速度g＝10m/s2，π≈3。下列說法正確的是()A．力F所做的功為4JB．力F的大小約為40NC．小球到達最高點時，輕桿對小球的作用力大小為5ND．撤去F瞬間，小球的速度大小為2m/s[解析]小球恰好能到達最高點，小球到達最高點的速度為0，在整個運動過程中，根據(jù)動能定理得WF－mgL＝0－0，解得WF＝mgL＝4J，A正確；施加的力始終垂直于桿，則WF＝F·eq\f(L,2)·eq\f(π,6)，解得F＝eq\f(WF,\f(πL,12))＝40N，B正確；小球恰好能到達最高點，小球到達最高點的速度為0，根據(jù)平衡條件得輕桿對小球的作用力為FN＝mg＝10N，C錯誤；在力F作用過程中，根據(jù)動能定理得WF－mgLsin30°＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(\f(2WF－2mgLsin30°,m))＝2m/s，D正確。[答案]ABD【變式2-2】在學校組織的趣味運動會上，某科技小組為大家提供了一個游戲。如圖所示，將一質量為0.1kg的鋼球放在O點，用彈射裝置將其彈出，鋼球沿著光滑的半圓形軌道OA和AB運動。BC段為一段長為L＝2.0m的粗糙平面，DEFG為接球槽。半圓形軌道OA和AB的半徑分別為r＝0.2m、R＝0.4m，小球與BC段的動摩擦因數(shù)為μ＝0.7，C點離接球槽的高度為h＝1.25m，水平距離為x＝0.5m，接球槽足夠大，g取10m/s2。求：(1)要使鋼球恰好不脫離半圓形軌道，鋼球在A點的速度大小；(2)鋼球恰好不脫離軌道時，在B位置對半圓形軌道的壓力大?。?3)要使鋼球最終能落入槽中，彈射速度v0至少多大。解析：(1)要使鋼球恰好不脫離半圓形軌道，鋼球在最高點A時，對鋼球分析有mg＝meq\f(vA2,R)，解得vA＝2m/s。(2)鋼球從A到B的過程由動能定理得mg·2R＝eq\f(1,2)mvB2－eq\f(1,2)mvA2，在B點有FN－mg＝meq\f(vB2,R)，解得FN＝6N，根據(jù)牛頓第三定律，知鋼球在B位置對半圓形軌道的壓力大小為6N。(3)從C到D鋼球做平拋運動，要使鋼球恰好能落入槽中，則x＝vCt，h＝eq\f(1,2)gt2，解得vC＝1m/s，假設鋼球在A點的速度恰為vA＝2m/s時，鋼球可運動到C點，且速度為vC′，從A到C由動能定理得mg·2R－μmgL＝eq\f(1,2)mvC′2－eq\f(1,2)mvA2，解得vC′2<0，故當鋼球在A點的速度恰為vA＝2m/s時，鋼球不可能到達C點，更不可能入槽，要使鋼球最終能落入槽中，需要更大的彈射速度，才能使鋼球既不脫離軌道，又能落入槽中。當鋼球到達C點速度為vC時，v0有最小值，從O到C由動能定理得mgR－μmgL＝eq\f(1,2)mvC2－eq\f(1,2)mv02，解得v0＝eq\r(21)m/s。答案：(1)2m/s(2)6N(3)eq\r(21)m/s【變式2-3】(多選)如圖所示，半徑為R的光滑四分之一圓弧軌道AB固定在豎直面內，軌道最低點B與水平面平滑連接，圓心O與A在同一水平面內，質量為m的物塊從A點由靜止釋放，物塊沿圓弧軌道下滑，最終靜止在水平面上的C點，B、C間的距離為2R，重力加速度為g。若物塊滑到BC的中點時，給物塊施加一個水平向左的恒力F，當物塊再次運動到B點時，撤去力F，結果物塊恰好能運動到A點，則()A．物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.25B．物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為0.5C．水平推力的大小等于eq\f(\r(17)＋1,4)mgD．水平推力的大小等于eq\f(3,4)mg解析：選BC對整個運動過程，根據(jù)動能定理得mgR－μmg·2R＝0，解得μ＝0.5，A錯誤，B正確；設推力作用后，物塊還能向右滑行的距離為x，根據(jù)動能定理得mgR－μmg(R＋x)－Fx＝0，(F－μmg)(R＋x)－mgR＝0，解得F＝eq\f(\r(17)＋1,4)mg，C正確，D錯誤?！绢}型3多過程問題中動能定理的應用】【例3】[多選]如圖所示為一滑草場。某條滑道由上下兩段高均為h，與水平面傾角分別為45°和37°的滑道組成，滑草車與草地之間的動摩擦因數(shù)為μ。質量為m的載人滑草車從坡頂由靜止開始自由下滑，經(jīng)過上、下兩段滑道后，最后恰好靜止于滑道的底端(不計滑草車在兩段滑道交接處的能量損失，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。則()A．動摩擦因數(shù)μ＝eq\f(6,7)B．載人滑草車最大速度為eq\r(\f(2gh,7))C．載人滑草車克服摩擦力做功為mghD．載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為eq\f(3,5)g[解析]由題意知，上、下兩段斜坡的長分別為s1＝eq\f(h,sin45°)、s2＝eq\f(h,sin37°)由動能定理知：2mgh－μmgs1cos45°－μmgs2cos37°＝0解得動摩擦因數(shù)μ＝eq\f(6,7)，選項A正確；載人滑草車在上下兩段的加速度分別為a1＝g(sin45°－μcos45°)＝eq\f(\r(2),14)g，a2＝g(sin37°－μcos37°)＝－eq\f(3,35)g，則在下落h時的速度最大，由動能定理知：mgh－μmgs1cos45°＝eq\f(1,2)mv2解得v＝eq\r(\f(2gh,7))，選項B正確，D錯誤；載人滑草車克服摩擦力做的功與重力做功相等，即W＝2mgh，選項C錯誤。[答案]AB【變式3-1】如圖所示，豎直固定放置的斜面DE與一光滑的圓弧軌道ABC相切，C為切點，圓弧軌道的半徑為R，斜面的傾角為θ?，F(xiàn)有一質量為m的滑塊從D點無初速下滑，滑塊可在斜面和圓弧軌道之間做往復運動，已知圓弧軌道的圓心O與A、D在同一水平面上，滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，求：(1)滑塊第一次滑至左側圓弧上時距A點的最小高度差h；(2)滑塊在斜面上能通過的最大路程s。解析：(1)滑塊從D到達左側最高點F經(jīng)歷DC、CB、BF三個過程，現(xiàn)以DF整個過程為研究過程，運用動能定理得：mgh－μmgcosθ·eq\f(R,tanθ)＝0，解得h＝eq\f(μRcosθ,tanθ)。(2)通過分析可知，滑塊最終至C點的速度為0時對應在斜面上的總路程最大，由動能定理得：mgRcosθ－μmgcosθ·s＝0，解得：s＝eq\f(R,μ)。答案：(1)eq\f(μRcosθ,tanθ)(2)eq\f(R,μ)【變式3-2】如圖甲所示，在水平面上固定一傾角θ＝37°、底端帶有擋板的足夠長的斜面，斜面體底端靜止一質量m＝1kg的物塊(可視為質點)，從某時刻起，物塊受到一個沿斜面向上的拉力F作用，拉力F隨物塊從初始位置第一次沿斜面向上的位移x變化的關系如圖乙所示，隨后不再施加外力作用，物塊與固定擋板碰撞前后速率不變，不計空氣阻力，已知物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10m/s2，求：(1)物塊在上滑過程中的最大速度的大小；(計算結果可保留根式)(2)物塊沿斜面上滑的最大位移的大小和物塊在斜面上運動的總路程。[解析](1)物塊上滑過程中受拉力、摩擦力、重力、支持力的作用，先做加速運動后做減速運動，則有FN＝mgcos37°f＝μFNF－f－mgsin37°＝ma當加速度為零時，速度最大，此時F＝f＋mgsin37°＝10N由圖乙可得出F＝20－10x則F＝10N時，可得出x＝1m由動能定理可得WF＋Wf＋WG＝eq\f(1,2)mvm2－0即eq\f(20＋10,2)×1J－0.5×1×10×1×0.8J－1×10×1×0.6J＝eq\f(1,2)mvm2－0，可得vm＝eq\r(10)m/s。(2)由動能定理可得WF′＋Wf′＋WG′＝0－0則xm＝eq\f(WF′,μmgcos37°＋mgsin37°)＝2m撤去F后，因為mgsin37°＞μmgcos37°，所以物塊最后停在斜面的底端，則有WF′＋μmgscos37°＝0－0解得s＝5m。[答案](1)eq\r(10)m/s(2)2m5m【變式3-3】如圖所示，兩傾角均為θ的光滑斜面對接后固定水平地面上，O點為斜面的最低點。一個小物塊從右側斜面上高為H處由靜止滑下，在兩個斜面上做往復運動。小物塊每次通過O點時都會有動能損失，損失的動能為小物塊當次到達O點時動能的5%。小物塊從開始下滑到停止的過程中運動的總路程為()A.eq\f(49H,sinθ) B.eq\f(39H,sinθ)C.eq\f(29H,sinθ) D.eq\f(20H,sinθ)答案B解析由題意知，小物塊第一次到達O點由動能定理可得mgH＝Ek，此時小物塊所走路程s1＝eq\f(H,sinθ)，第一次通過O點后動能Ek1＝95%Ek＝95%mgH，此時利用動能定理知小物塊上升高度H1＝95%H，第二次到達O點滑下的路程s2＝eq\f(2H1,sinθ)＝95%eq\f(2H,sinθ)，同理第二次離開O點到第三次到達O點所走路程s3＝(95%)2eq\f(2H,sinθ)，…，故小物塊下滑的總路程s總＝s1＋s2＋…sn＝eq\f(H,sinθ)＋95%eq\f(2H,sinθ)＋(95%)2eq\f(2H,sinθ)＋…(95%)n－1eq\f(2H,sinθ)，n無窮大時，可得s總＝eq\f(39H,sinθ)(等比數(shù)列求和)，故B正確?！绢}型4涉及彈簧問題中動能定理的應用】【例4】如圖所示，在輕彈簧的下端懸掛一個質量為m的小球A，若將小球A從彈簧的原長位置由靜止釋放，小球A能夠下降的最大高度為h。若將小球A換為質量為3m的小球B，仍從彈簧原長位置由靜止釋放，則小球B下降h時的速度為(重力加速度為g，不計空氣阻力)()A.eq\r(2gh) B.eq\r(\f(4gh,3))C.eq\r(gh) D.eq\r(\f(gh,2))解析：選B設小球A下降h的過程中克服彈簧彈力做功為W1，根據(jù)動能定理，有mgh－W1＝0；小球B下降過程，由動能定理，有3mgh－W1＝eq\f(1,2)·3mv2－0。聯(lián)立以上兩式解得v＝eq\r(\f(4gh,3))，故B正確。【變式4-1】如圖所示，輕彈簧一端系在墻上的O點，自由伸長到B點。現(xiàn)將小物體靠著彈簧(不拴接)并將彈簧壓縮到A點，然后由靜止釋放，小物體在粗糙水平面上運動到C點靜止，則()A．小物體從A到B過程速度一直增加B．小物體從A到B過程加速度一直減小C．小物體從B到C過程中動能變化量大小小于克服摩擦力做功D．小物體從A到C過程中彈簧的彈性勢能變化量大小等于小物體克服摩擦力做功解析：選D在A、B間某處物體受到的彈力等于摩擦力，合力為0，速度最大，而在B點只受摩擦力，合力不為零，因此小物體從A到B過程加速度先減小再增大，速度先增大后減小，故A、B錯誤；小物體從B到C過程中，由動能定理得－Wf＝ΔEk，故C錯誤；小物體從A到C過程中，由動能定理得W彈－Wf1＝0，故D正確。【變式4-2】(多選)如圖甲所示，輕彈簧豎直放置，下端固定在水平地面上，一質量為m的小球從離彈簧上端高h處由靜止釋放。某同學研究小球落到彈簧上后繼續(xù)向下運動到最低點的過程，他以小球開始下落的位置為原點，沿豎直向下方向建立坐標軸Ox，作出小球所受彈力F的大小隨小球下落的位置坐標x的變化關系如圖乙所示。不計空氣阻力，重力加速度為g。以下判斷正確的是()A．當x＝h時，小球的速度開始減小，而加速度先減小后增大，直至最低點B．最低點的坐標x＝h＋x1＋eq\r(x12＋2hx1)C．當x＝h＋2x1時，小球的加速度為－g，彈力為2mg且為小球下落的最低點D．小球動能的最大值為mgh＋eq\f(mgx1,2)[解析]小球下落到x＝h時，小球剛接觸彈簧，直到x＝h＋x1前，彈力小于重力，小球一直做加速度減小的加速運動，之后彈力大于重力，加速度反向逐漸增大，直至到達最低點，A錯誤；由題圖乙知mg＝kx1，解得x1＝eq\f(mg,k)，由F-x圖線與橫軸所圍圖形的面積表示克服彈力所做的功，從開始下落到最低點過程，W克彈＝eq\f(1,2)k(x－h(huán))2，由動能定理得mgx－eq\f(1,2)k(x－h(huán))2＝0，解得最低點的坐標x＝h＋x1＋eq\r(x12＋2hx1)，B正確；由對稱性可知，當x＝h＋2x1時，小球的加速度為－g，且彈力為2mg，但還未到最低點，C錯誤；小球在x＝h＋x1處時，動能有最大值，根據(jù)動能定理得mg(h＋x1)＋W彈′＝Ekm－0，由題知，W彈′＝－eq\f(1,2)kx12＝－eq\f(1,2)mgx1，解得最大動能Ekm＝mgh＋eq\f(mgx1,2)，D正確。[答案]BD【變式4-3】如圖所示，質量均為m＝4kg的兩個小物塊A、B(均可視為質點)放置在水平地面上，豎直平面內半徑R＝0.4m的光滑半圓形軌道與水平地面相切于C，彈簧左端固定。移動物塊A壓縮彈簧到某一位置(彈簧在彈性限度內)，由靜止釋放物塊A，物塊A離開彈簧后與物塊B碰撞并粘在一起以共同速度v＝5m/s向右運動，運動過程中經(jīng)過一段長為s，動摩擦因數(shù)μ＝0.2的水平面后，沖上半圓軌道，除s段外的其他水平面摩擦力不計。求：(g取10m/s2)(1)若s＝1m，兩物塊剛過C點時對軌道的壓力大??；(2)若兩物塊能沖上半圓形軌道，且不脫離軌道，s應滿足什么條件。[解析](1)設物塊經(jīng)過C點時速度為vC，物塊受到軌道支持力為FNC，由動能定理得：－2μmgs＝eq\f(1,2)×2mvC2－eq\f(1,2)×2mv2，又FNC－2mg＝2meq\f(vC2,R)，代入解得FNC＝500N，由牛頓第三定律知，物塊對軌道壓力大小也為500N。(2)物塊不脫離軌道有兩種情況：①能過軌道最高點，設物塊經(jīng)過半圓形軌道最高點最小速度為v1，則2mg＝2meq\f(v12,R)，得v1＝eq\r(gR)＝2m/s，物塊從碰撞后到經(jīng)過最高點的過程中，由動能定理有－2μmgs－4mgR＝eq\f(1,2)×2mv12－eq\f(1,2)×2mv2，代入解得s滿足條件s≤1.25m。②物塊上滑最大高度不超過eq\f(1,4)圓弧，設物塊剛好到達eq\f(1,4)圓弧處速度為v2＝0，物塊從碰撞后到最高點，由動能定理有－2mgR－2μmgs＝0－eq\f(1,2)×2mv2，同時依題意，物塊能滑出粗糙水平面，由動能定理可知eq\f(1,2)×2mv2＞2μmgs，代入解得s滿足條件4.25m≤s＜6.25m。[答案](1)500N(2)s≤1.25m或4.25m≤s＜6.25m【題型5對比問題】【例5】質量為m的物體從高為h的斜面頂端靜止下滑，最后停在平面上，若該物體以v0的初速度從頂端下滑，最后仍停在平面上，如圖甲所示。圖乙為物體兩次在平面上運動的v-t圖像，則物體在斜面上運動過程中克服摩擦力的功為()A.eq\f(1,2)mv02－3mgh B．3mgh－eq\f(1,2)mv02C.eq\f(1,6)mv02－mgh D．mgh－eq\f(1,6)mv02[解析]若物體靜止開始下滑，由動能定理得mgh－Wf＝eq\f(1,2)mv12，若該物體以v0的初速度從頂端下滑，由動能定理得mgh－Wf＝eq\f(1,2)mv22－eq\f(1,2)mv02，由題圖乙可知，物體兩次滑到平面的速度關系為v2＝2v1，由以上三式解Wf＝mgh－eq\f(1,6)mv02。[答案]D【變式5-1】(多選)質量相等的A、B兩物體放在同一水平面上，分別受到水平拉力F1、F2的作用從靜止開始做勻加速直線運動。經(jīng)過時間t0和4t0速度分別達到2v0和v0時，分別撤去F1和F2，以后物體繼續(xù)做勻減速直線運動直至停止，兩物體速度隨時間變化的圖線如圖所示。則下列結論正確的是()A．A、B物體所受摩擦力Ff1∶Ff2＝2∶1B．A、B物體所受摩擦力Ff1∶Ff2＝1∶1C．F1和F2對A、B做的功W1∶W2＝6∶5D．F1和F2對A、B做的功W1∶W2＝12∶5解析：選BC從圖像可知，兩物體勻減速運動的加速度大小都為a＝eq\f(v0,t0)，根據(jù)牛頓第二定律，勻減速運動中有Ff＝ma，則兩物體所受摩擦力相同，故A錯誤，B正確；圖線與時間軸所圍成的面積表示運動的位移，則A、B的位移之比為6∶5，對全過程運用動能定理得，W1－Ffx1＝0，W2－Ffx2＝0，解得W1＝Ffx1，W2＝Ffx2，所以整個運動過程中F1和F2做功之比為6∶5，故C正確，D錯誤。【變式5-2】從地面豎直向上拋出一物體，物體在運動過程中除受到重力外，還受到一大小不變、方向始終與運動方向相反的外力作用。距地面高度h在3m以內時，物體上升、下落過程中動能Ek隨h的變化如圖所示。重力加速度取10m/s2。該物體的質量為()A．2kg B．1.5kgC．1kg D．0.5kg解析：選C畫出物體運動示意圖，設阻力為f，據(jù)動能定理知，A→B(上升過程)：－(mg＋f)h＝EkB－EkA，C→D(下落過程)：(mg－f)h＝EkD－EkC，整理以上兩式得：mgh＝30J，解得物體的質量m＝1kg。C正確?！咀兪?-3】(多選)如圖所示，一彈性輕繩(彈力與其伸長量成正比)左端固定在墻上A點，右端穿過一固定的光滑圓環(huán)B連接一個質量為m的小球p，小球p在B點時，彈性輕繩處在自然伸長狀態(tài)。小球p穿過豎直固定桿在C處時，彈性輕繩的彈力為mg。將小球p從C點由靜止釋放，到達D點時速度恰好為0。已知小球與桿間的動摩擦因數(shù)為0.2，A、B、C在一條水平直線上，CD＝h；重力加速度為g，彈性繩始終處在彈性限度內。下列說法正確的是()A．小球從C點運動到D點的過程中克服摩擦力做功為0.3mghB．小球從C點運動到D點的過程中克服摩擦力做功為0.2mghC．若僅把小球質量變?yōu)?m，則小球到達D點時的速度大小為eq\r(gh)D．若僅把小球質量變?yōu)?m，則小球到達D點時的速度大小為eq\r(2gh)解析：選BC設BC的長度為L，根據(jù)胡克定律有mg＝kL，設BD與豎直方向的夾角為α，則伸長量為eq\f(L,sinα)，故彈力為F＝keq\f(L,sinα)，對小球受力分析，受重力、彈性繩的彈力、摩擦力、支持力，水平方向平衡，故N＝Fsinα＝kL＝mg，由此可知，下降過程中，水平方向的支持力保持不變，且摩擦力f＝μN＝0.2mg，故小球從C點運動到D點的過程中克服摩擦力做功為Wf＝fh＝0.2mgh，故A錯誤，B正確；對小球從C點運動到D點的過程，根據(jù)動能定理有mgh－fh－W彈＝0，解得W彈＝0.8mgh，若僅把小球的質量變成2m，小球從C點運動到D點的過程，根據(jù)動能定理，有2mgh－fh－W彈＝eq\f(1,2)×2mvD2，解得vD＝eq\r(gh)，故C正確，D錯誤?！绢}型6聯(lián)系實際】【例6】如圖所示，為某運動員(可視為質點)參加跳板跳水比賽時，其豎直方向的速度隨時間變化的v－t圖像以他離開跳板時為計時起點，不計空氣阻力，則下列說法中正確的是()A.t3時刻達到最高點B.t2時刻的位移最大C.t1時刻的加速度為負D.在t1～t2時間內，重力做功WG大于克服阻力做功Wf答案D解析運動員起跳時的速度方向向上，可知，t1時刻達到最高點，故A錯誤；v－t圖像為直線，加速度不變，所以在0～t2時間內人在空中，t2時刻開始進入水面，之后進入水中，此時人的位移不是最大，t1時刻的加速度為正值，故B、C錯誤；在t1～t2時間內，由動能定理可知WG－Wf＝eq\f(1,2)mv2，即重力做功WG大于克服阻力做功Wf，故D正確?！咀兪?-1】螺旋千斤頂由帶手柄的螺桿和底座組成，螺紋與水平面夾角為α，如圖所示。水平轉動手柄，使螺桿沿底座的螺紋槽(相當于螺母)緩慢旋進而頂起質量為m的重物，如果重物和螺桿可在任意位置保持平衡，稱為摩擦自鎖。能實現(xiàn)自鎖的千斤頂，α的最大值為α0?，F(xiàn)用一個傾角為α0的千斤頂將重物緩慢頂起高度h后，向螺紋槽滴入潤滑油使其動摩擦因數(shù)μ減小，重物回落到起點。假定最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，不計螺桿和手柄的質量及螺桿與重物間的摩擦力，轉動手柄不改變螺紋槽和螺桿之間的壓力。下列說法正確的是()A．實現(xiàn)摩擦自鎖的條件為tanα≥μB．下落過程中重物對螺桿的壓力等于mgC．從重物開始升起到最高點摩擦力做功為mghD．從重物開始升起到最高點轉動手柄做功為2mgh解析：選D實現(xiàn)自鎖的條件是重物重力沿斜面下滑的分力小于等于最大靜摩擦力，即mgsinα≤μmgcosα，解得μ≥tanα，A錯誤；重物對螺桿壓力FN＝mgcosα，B錯誤；重物緩慢上升的過程中，對螺桿和重物整體受力分析如圖所示，則摩擦力做功為Wf＝－μmgcosα·L＝－tanα·mgcosα·eq\f(h,sinα)＝－mgh，C錯誤；從重物開始升起到最高點，轉動手柄做的功用于克服摩擦力做功和轉化為重物上升增加的重力勢能mgh，所以根據(jù)動能定理得W＋Wf－mgh＝0，解得W＝2mgh，D正確。【變式6-2】我國將于2022年舉辦冬奧會，跳臺滑雪是其中最具觀賞性的項目之一。如圖所示，質量m＝60kg的運動員從長直助滑道AB的A處由靜止開始以加速度a＝3.6m/s2勻加速滑下，到達助滑道末端B時速度vB＝24m/s，A與B的豎直高度差H＝48m。為了改變運動員的運動方向，在助滑道與起跳臺之間用一段彎曲滑道銜接，其中最低點C處附近是一段以O為圓心的圓弧。助滑道末端B與滑道最低點C的高度差h＝5m，運動員在B、C間運動時阻力做功W＝－1530J，取g＝10m/s2。(1)求運動員在AB段下滑時受到阻力Ff的大??；(2)若運動員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，則C點所在圓弧的半徑R至少應為多大。解析：(1)運動員在AB段做初速度為零的勻加速運動，設AB的長度為x，則有vB2＝2ax ①由牛頓第二定律有mgeq\f(H,x)－Ff＝ma ②聯(lián)立①②式，代入數(shù)據(jù)解得Ff＝144N。 ③(2)設運動員到達C點時的速度為vC，在由B到達C的過程中，由動能定理有mgh＋W＝eq\f(1,2)mvC2－eq\f(1,2)mvB2 ④設運動員在C點所受的支持力為FN，由牛頓第二定律有FN－mg＝meq\f(vC2,R) ⑤由運動員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，聯(lián)立④⑤式，代入數(shù)據(jù)解得R＝12.5m。 ⑥答案：(1)144N(2)12.5m【變式6-3】(多選)冰滑梯是東北地區(qū)體驗冰雪運動樂趣的設施之一，某冰滑梯的示意圖如圖所示，螺旋滑道的摩擦可忽略，傾斜滑道和水平滑道與同一滑板間的動摩擦因數(shù)μ相同，因滑板不同μ滿足μ0≤μ≤1.2μ0。在設計滑梯時，要確保所有游客在傾斜滑道上均減速下滑，且滑行結束時停在水平滑道上，以下L1、L2的組合符合設計要求的是()A．L1＝eq\f(h,2μ0)，L2＝eq\f(3h,2μ0) B．L1＝eq\f(4h,3μ0)，L2＝eq\f(h,3μ0)C．L1＝eq\f(4h,3μ0)，L2＝eq\f(2h,3μ0) D．L1＝eq\f(3h,2μ0)，L2＝eq\f(h,μ0)解析：選CD設傾斜滑道傾角為θ，游客在傾斜滑道上勻減速下滑，則需滿足mgsinθ＜μmgcosθ，可得μ＞tanθ＝eq\f(h,L1)，即有L1＞eq\f(h,μ)，因μ0≤μ≤1.2μ0，所有游客在傾斜滑道上勻減速下滑，可得L1＞eq\f(h,μ0)，滑行結束時停在水平滑道上，對全程由動能定理有mg·2h－μmgcosθ·eq\f(L1,cosθ)－μmgx＝0－0，其中0＜x≤L2，可得L1＜eq\f(2h,μ)，L1＋L2≥eq\f(2h,μ)，代入μ0≤μ≤1.2μ0，可得L1＜eq\f(5h,3μ)，L1＋L2≥eq\f(2h,μ0)，綜合需滿足eq\f(h,μ0)＜L1＜eq\f(5h,3μ0)和L1＋L2≥eq\f(2h,μ0)，故C、D正確?！绢}型7與圖像綜合】【例7】如圖甲所示，視為質點的小球用不可伸長的輕繩連接，繞定點O在豎直面內做圓周運動，小球經(jīng)過最高點的速度大小為v，此時繩子的拉力大小為FT。拉力FT與速度的平方的關系如圖乙所示，重力加速度大小為g，不計空氣阻力。則小球從最高點運動到最低點的過程中動能的變化量為()A.eq\f(2ab,g) B.eq\f(ab,4g)C.eq\f(ab,2g) D.eq\f(4ab,g)解析：選A小球在最高點時有FT＋mg＝meq\f(v2,r)，即FT＝eq\f(m,r)v2－mg，由題圖乙可知eq\f(m,r)＝k＝eq\f(b,a)，mg＝b，解得m＝eq\f(b,g)，r＝eq\f(a,g)，小球從最高點運動到最低點的過程中重力所做的功等于其動能的變化量，即ΔEk＝2mgr＝eq\f(2ab,g)。【變式7-1】(多選)“彈跳小人”(如圖甲所示)是一種深受兒童喜愛的玩具，其原理如圖乙所示。豎直光滑長桿固定在地面不動，套在桿上的輕質彈簧下端不固定，上端與滑塊拴接，滑塊的質量為0.80kg?，F(xiàn)在向下壓滑塊，直到彈簧上端離地面高度h＝0.40m時停止，然后由靜止釋放滑塊。滑塊的動能Ek隨離地高度h變化的圖像如圖丙所示。其中高度從0.80m到1.40m范圍內的圖線為直線，其余部分為曲線。若以地面為重力勢能的參考平面，空氣阻力為恒力，g取10m/s2。則結合圖像可知()A．彈簧原長為0.72mB．空氣阻力大小為1.00NC．彈簧的最大彈性勢能為9.00JD．在彈簧落回地面的瞬間滑塊的動能為5.40J[解析]由題圖丙可知，從h＝0.80m開始，彈簧下端與地面分離，則知彈簧的原長為0.80m，故A錯誤；從0.80m上升到1.40m過程，在Ek-h圖像中，根據(jù)動能定理知：圖線的斜率大小表示滑塊所受的合外力，由于高度從0.80m上升到1.40m范圍內圖像為直線，其余部分為曲線，說明滑塊從0.80m上升到1.40m范圍內所受作用力為恒力，根據(jù)動能定理得－(mg＋f)Δh＝0－Ek，由題圖知Δh＝0.60m，Ek＝5.40J，解得空氣阻力f＝1.00N，故B正確；根據(jù)能的轉化與守恒可知，當滑塊上升至最大高度時，整個過程中，增加的重力勢能和克服空氣阻力做功之和等于彈簧的最大彈性勢能，所以Epm＝(mg＋f)Δh′＝9.00J，故C正確；滑塊由最大高度到彈簧落回地面的瞬間，根據(jù)動能定理得(mg－f)Δh＝Ek′－0，得Ek′＝4.2J，故D錯誤。[答案]BC【變式7-2】如圖(a)所示，一物塊以一定初速度沿傾角為30°的固定斜面上滑，運動過程中摩擦力大小f恒定，物塊動能Ek與運動路程s的關系如圖(b)所示。重力加速度大小取10m/s2，物塊質量m和所受摩擦力大小f分別為()A．m＝0.7kg，f＝0.5NB．m＝0.7kg，f＝1.0NC．m＝0.8kg，f＝0.5ND．m＝0.8kg，f＝1.0N解析：選A0～10m內物塊上滑，由動能定理得－mgsin30°·s－fs＝Ek－Ek0，整理得Ek＝Ek0－(mgsin30°＋f)s，結合0～10m內的圖像得mgsin30°＋f＝4N；10～20m內物塊下滑，由動能定理得(mgsin30°－f)(s－s1)＝Ek，整理得Ek＝(mgsin30°－f)s－(mgsin30°－f)s1，結合10～20m內的圖像得mgsin30°－f＝3N，聯(lián)立解得f＝0.5N，m＝0.7kg。故A正確。【變式7-3】如圖甲所示，質量為0.1kg的小球從最低點A沖入豎直放置在水平地面上、半徑為0.4m的半圓形軌道，小球速度的平方與其高度的關系圖像如圖乙所示。已知小球恰能到達最高點C，軌道粗糙程度處處相同，空氣阻力不計。g取10m/s2，B為軌道AC中點。下列說法中不正確的是()A．圖乙中x＝4m2·s－2B．小球從B到C損失了0.125J的機械能C．小球從A到C合外力對其做的功為－1.05JD．小球從C拋出后，落地點到A的距離為0.8m解析：選B當h＝0.8m時，小球恰在C點，由于小球恰好通過最高點C，由mg＝meq\f(vC2,r)，可得vC2＝gr＝4m2·s－2，A正確；小球從A到C的過程中，動能減少量ΔEk＝eq\f(1,2)mvA2－eq\f(1,2)mvC2＝1.05J，故合外力對其做的功為－1.05J，重力勢能增加量ΔEp＝mg·2r＝0.8J，故機械能減少0.25J，由于小球在A→B段所受摩擦力大于在B→C段的摩擦力，故小球從B到C損失的機械能小于0.125J，B錯誤，C正確；小球離開C點后做平拋運動，由2r＝eq\f(1,2)gt2，x＝vCt，可解得x＝0.8m，故D正確?！绢}型8臨界問題】【例8】如圖，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直，一小球以速度v從軌道下端滑入軌道，并保證從軌道上端水平飛出，則關于小球落地點到軌道下端的水平距離x與軌道半徑R的關系，下列說法正確的是()A.R越大，則x越大B.R越小，則x越大C.當R為某一定值時，x才有最大值D.當R為某一定值時，x才有最小值答案C解析設半圓的半徑為R，根據(jù)