2025年上海市數(shù)學高考一輪復習：平面向量（考點練+模擬練）含詳解

專題07平面向量（考點練+模擬練）

01上?？键c練

一、填空題

1.（2024.上海金山二模）己知向量a=（l,-3）,b=（m,r），若則實數(shù)加的值為.

2.（2024.上海奉賢.二模）己知向量力=（2,-1）,則A在°方向上的投影向量為.

3.（23-24高三上?上海楊浦高級中學?開學考試）已知向量e為單位向量，且a.e=3,則向量。在向量e方向上的投

影向量是.

4.（23-24高三上.上海.期中）已知0,b是兩兩垂直的單位向量，則,-2目=.

5.（2024.上海.三模）己知點人（-2,2）,將向量04繞坐標原點。順時針旋轉60。得到,則。4.OA=

6.（2024?上海?一模）己知平面向量。=（1,2）,6=（m,4）,若a與6的夾角為銳角，則實數(shù)加的取值范圍為.

7.（23-24高三上.上海嘉定?期中）若平面向量自=2也卜0,則a與b夾角的正切值是.

8.（2024?上海.三模）設平面向量力=（sin6,1）,6=（cos6,8）,若d,6不能組成平面上的一個基底，貝UtanO=.

9.（22-23高三下?上海閔行?階段練習）已知點尸是一ABC的中線BD上一點（不含端點），且AP=xA8+yAC,則X，

滿足的等式是.

10.（2023?上海楊浦?三模）已知。4=（1,1）,。8在。4上的數(shù)量投影為0,其中點。為原點，則點B所在直線方程

為

11.（21-22高三上.上海奉賢.階段練習）如圖，在11A5c中，。是BC的中點，卜1,卜。卜退，則

AD-BC=.

12.（23-24高三上.上海浦東新?期中）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF上或其內部的一點，則APAB的取

值范圍為

13.（2024.上海?模擬預測）如圖，矩形ABCD中，E為BC中點，AE與BD交于點尸,若將AB=a,AO=6作為

平面向量的一個基，則向量可表示為（用a、B表示）.

D

14.（2024.上海.模擬預測）已知向量a,b,e滿足向=M=1,Id=3,且d+b+c=0，貝!Jcos（〃-c,Z?一°）=__.

15.（23-24高三下?上海松江?階段練習）如圖，在矩形A3CD中，=8C=2,點E在邊C。上運動（包含

端點），則AE.3E的取值范圍為.

16.（23-24高三上.上海虹口?期中）平面上的三個單位向量a,b,c滿足2c=3a+46，則。，b,c兩兩間的夾

角中最小的角的大小為.

17.（2024高三?上海?專題練習）已知平面內A民C三點不共線，且點。滿足°403=08。。=。40（?，則。是

ABC的心.（填“重”或“垂”或“內”或“外”）

18.（2023.上海長寧.二模）已知平面向量1,b，c，d滿足：卜-4=1，=2,（a—6）//僅-c）,（a-d）.（0-d）=0,

則的最大值為.

19.（2024.上海崇明?二模）已知A、B、C是半徑為1的圓上的三個不同的點，且,耳=百，則的最小值

是.

20.（2024.上海虹口.二模）已知平面向量.,6滿足同=3,忖=4,<7-6=4,若平面向量C滿足k=1,貝！||c-a|的

最大值為.

21.（23-24高三上?上海黃浦.開學考試）如圖，正六邊形的邊長為2,圓。的圓心為正六形的中心，半徑為1,若

點"在正六邊形的邊上運動，動點AB在圓。上運動且關于圓心。對稱，則MA.MB的取值范圍是.

11

22.（23-24高三上?上海虹口?期末）設%,生，生，瓦,以，◎是平面上兩兩不相等的向量，若

_引=%_q|=卜3M=2,且對任意的i,jw{1,2,3},均有，「耳e{l,g，則.一同+,同+忖一同=

23.(23-24高一下?上海?期中)若a,6均為單位向量，下列結論中正確的是(填寫你認為所有正確結論的序

號)

(1)若且(4-c)?僅一c)40,且同=1,則卜+。一4的取值范圍為［痣-1,小

(2)若夕6=0且(a-c)?僅一c)W。，且小孝，貝小+》-。|的取值范圍為與，與；

(3)若a-c=:且|a+Xc|Na-：c對任意實數(shù);I恒成立，則|。+,+卜-4的最小值為百；

(4)若a-c=1?且|。+雙向a-；c對任意實數(shù)X恒成立，則;a+b+；b-c的最小值為百.

24.(2024高三?上海?專題練習)已知|OA|=|OB|=1,若存在機4eR,使得加AB+Q4與〃AB+03夾角為60,且

|(mAB+OA)-(nAB+OB)|=|,則,耳的最小值為.

25.(23-24高一下?上海?期末)如圖，已知點尸為.ABC所在平面內一點，|A8-AC|=8,卜4=3卜百，定義點集

D=|p|AP=32AB+^AC,2eR},若存在點4e。，使得對任意PeO,有卜尸性,同恒成立，那么當ABC的

面積取得最大值12時，,間=.

二、單選題

26.(2020高三?上海?專題練習)設A,B,C是平面內任意三點，則A3AC=

A.AB2+AC2-BC2B.-^AB+AC-BC^

1/一2——-2\--21/-2——-2\——-2

C.-^AB+ACj-BCD.-JAB+ACj-BC

27.(23-24高三下?上海?開學考試)已知a,b是兩個不共線的單位向量，c=4a+〃b(%〃eR),貝-4<0且〃<0"

是“c-(a+6)<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

28.(2022.上海浦東新?模擬預測)如圖，已知點尸(2,0),正方形ABCD內接于00:/+y?=2,M,N分別為

邊AB、BC的中點，當正方形ABCD繞圓心。旋轉時，PM-0N的取值范圍是()

B.A/2J

C.[-2,2]D./當

29.（2022?上海閔行?二模）已知A、B、C是平面內不共線的三點，點。滿足。4+2。2+2^^=0"為實常數(shù)，現(xiàn)

有下述兩個命題：（1）當Xw-3時，滿足條件的點。存在且是唯一的；（2）當2=-3時，滿足條件的點。不存在.

則說法正確的一項是（）

A.命題（1）和（2）均為真命題

B.命題（1）為真命題，命題（2）為假命題

C.命題（1）和（2）均為假命題

D.命題（1）為假命題，命題（2）為真命題

三、解答題

30.（23-24高一下.上海寶山.階段練習）已知忖="||=3,且d與6的夾角為45。，

⑴求2a+B與-3a+2b的夾角；

⑵若向量°+防與總+b的夾角是銳角，求實數(shù)左的取值范圍.

31.（23-24高三上?上海嘉定?期中）設q與02均為單位向量.

（1）若e『e2=0,求向量q-J5e?與62的夾角；

（2）若e；與e；的夾角為:，設4=的+少2（其中x,ywR）,若卜卜3,求q的最大值；

32.（20-21高三上?上海寶山?期中）設。4=（2$］眸（；052尤）,03=（008^,-1）,xe0段.

（1）當。4_LO8時，求x的值.

（2）若/（x）=O4O8,求“尤）的最大值與最小值，并求出相應x的取值.

33.（23-24高二下?上海寶山?期末）從空間一點。出發(fā)作三條兩兩互相垂直的坐標軸，可以建立空間直角坐標系

。-孫z.如果坐標系中的坐標軸不垂直；那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.設Ox、0y、Oz是空間中相互成60角的三

條坐標軸，其中次分別是x軸、,軸、z軸正方向的單位向量.

⑴計算i-j+j-k+i-k的值,

⑵若向量”=xi+yj+zk,則把有序數(shù)對[x,y,z]叫做向量”在該斜坐標系中的坐標.已知。4=[0,2,1],。8=[2,1,0]

①求。08的值；

②求A08的面積：

34.（22-23高一下?上海浦東新?期中）設。為坐標原點，定義非零向量OM=（a/）的“相伴函數(shù)”為

/（x）=asint+bcosx（xeR）,3/=（a,Z?）稱為函數(shù)〃x）=osinx+）cosx的"相伴向量

⑴記端=（0,2）的“相伴函數(shù)”為y=/（x）,若方程〃*）=左+1-26忖時在區(qū)間[0,2兀]上有且僅有四個不同的實數(shù)

解，求實數(shù)Z的取值范圍；

⑵已知點M（a,b）滿足/一4（76+362=-1,向量的“相伴函數(shù)"y=〃x）在無=Xo處取得最大值，當點"運動時,

求tan2x0的取值范圍；

⑶已知點向量的“相伴函數(shù)"y=〃x）在尤=%處的取值為寸在銳角二ABC中，設角A&C的對邊分

別為人"c,且a=4,cosA=/（x0）,求AB+AC-ARAC的取值范圍.

02上海模擬練

一、填空題

1.（2023?上海長寧?一模）設向量a=（l,-2）力=（一1,根），若?！ㄘ?，則機=.

2.（2024.上海奉賢三模）中，BC=6,若54在BC上的投影為生.則C4C3=.

3

3.（2023?上海徐匯三模）函數(shù)y=ln（r）沿著向量a平移后得到函數(shù)y=ln。-x）+2,則向量0的坐標是.

4.（2022.上海靜安.一模）己知弓、e；是夾角為60。的兩個單位向量，若q+左4和儂+%垂直，則實數(shù)后=.

5.（2022.上海.模擬預測）設。為」1BC的外心，^AO=AB+2AC，貝UsinZBAC的值為.

6.（2024?上海松江?二模）已知正三角形ABC的邊長為2,點。滿足C￡>=〃?C4+〃C3，Mm>0,n>0,力〃+〃=1,

則|CO|的取值范圍是.

7.（2023?上海閔行?二模）已知單位向量a泊，若對任意實數(shù)了，,-恒成立，則向量a涉的夾角的最小值

為.

8.（2022?上海寶山?二模）已知，E分別是，A5C邊的中點，”是線段DE上的一動點（不包含，E兩點）,

12

且滿足AM=aA3+4AC,則一+f的最小值為

ap

9.（2023?上海徐匯?三模）已知平面向量a,b,c>滿足什=2,卜+4=1,c=+且彳+2〃=1,若對每一個

確定的向量a，記，的最小值為加，則當a變化時，實數(shù)加的最大值為.

10.（2024.上海嘉定?二模）在平面直角坐標系xOy中，點P在圓/+,2=1上運動，定點A、8滿足。且

|。4卜倒=1,若回。4。尸|+|03。尸|恒成立，則實數(shù)上的取值范圍為.

11.（2024?上海?模擬預測）平面內互不重合的點4、&、A,、用、B?、鳥、B&,若,瓦+4旦+劣耳卜i,7=1,

2,3,4,則忸同+忸2聞+國聞的取值范圍是____.

12.（2021?上海普陀?二模）如圖，在△A3C中，C=g,AC=6,BC=1.若。為△ABC內部的點且滿足

OAOBOC則叫叫因=

|OA|+\OB\+|oc|

二、單選題

13.（2024?上海浦東新.三模）給定平面上的一組向量6、《2,則以下四組向量中不能構成平面向量的基底的是（）

A.2q+e2和ex—e2B.ex+3e2和e2+3q

C.3e,-e2和2e?-6etD.ex和el+e2

14.（2022?上海?模擬預測）如圖，B、。是以AC為直徑的圓上的兩點，其中AB=〃7T,AD=yft+2,貝l）AC-BD=

（）

c

A.1B.2C.tD.It

15.（2022?上海金山?一模）已知向量￡與6的夾角為120。，且7b=-2，向量2滿足c=Xa+（l—46（0<4<1）,且

a-c=b-c,記向量c在向量.與b方向上的投影分別為尤、y現(xiàn)有兩個結論：①若2=則村=2忖；②尤2+丁+沖的

最大值為;則正確的判斷是（）

4

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

16.（2024.上海楊浦.二模）平面上的向量.、萬滿足：\a\=3,\b\=4,定義該平面上的向量集合

A={x\\x+a\<\x+b\,x-a>.給出如下兩個結論：

①對任意ceA，存在該平面的向量ZeA，滿足卜-4=0.5

②對任意ceA，存在該平面向量deA，滿足卜-4=0.5

則下面判斷正確的為（）

A.①正確，②錯誤B.①錯誤，②正確C.①正確，②正確D.①錯誤，②錯誤

專題07平面向量（考點練+模擬練）

01上?？键c練

一、填空題

1.（2024?上海金山二模）已知向量。=（1,-3）,方=（m，D，^alb，則實數(shù)加的值為

【答案】3

【分析】根據(jù)可得a必=0,再根據(jù)數(shù)量積的坐標公式即可得解.

【解析】因為

所以a5=m-3=0，解得根=3.

故答案為：3.

2.（2024?上海奉賢.二模）已知向量a=（l,l）,力=（2,-1）,貝!|人在°方向上的投影向量為.

【答案】3

【分析】根據(jù)投影向量公式求出答案.

b-aa1（1,1）（11）

【解析】6在“方向上的投影向量為下「口=71優(yōu)=］于51

故答案為：

3.（23-24高三上.上海楊浦高級中學.開學考試）已知向量e為單位向量，且。少=3,則向量d在向量4方向上的投

影向量是.

【答案】3〉

【分析】利用投影向量的公式計算即可.

d?e

【解析】向量。在向量e方向上的投影向量是丁pe=3e.

故答案為：3e

4.（23-24高三上.上海.期中）已知°,6是兩兩垂直的單位向量，貝m-2*.

【答案】行

【分析】用向量的模的定義直接運算即可得出答案.

【解析】因為a，b是兩兩垂直的單位向量，

所以卜一20=（a-2b^=a-4a-b+4b=1-0+4=5,貝!|卜一2b卜君.

故答案為：5

5.(2024?上海?三模)已知點A(-2,2),將向量繞坐標原點。順時針旋轉60。得到。4,,貝UOA.OA=

【答案】4

【分析】先求|。,、ZAOA,再用向量的數(shù)量積公式計算即可.

【解析】

由題意OA=(—2,2),8==J(-2)2+2?=20,ZAOA'=60°,

04.OA=網(wǎng)網(wǎng).cos60。=20x2應x3=4.

故答案為：4.

6.(2024?上海?一模)已知平面向量。=(1,2)]=(祖,4),若°與6的夾角為銳角，則實數(shù)加的取值范圍為

【答案】(-8,2)一(2,+8)

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式結合共線向量列出不等式組求解即得.

【解析】向量。=(1,2),6=(利,4)的夾角為銳角，則。力>0且3與方不共線，

f777+8>0

因此",解得〃z>-8且,

\2m豐4

所以實數(shù)加的取值范圍為(-8,2)(2,+?).

故答案為：(-8,2)1(2,”)

7.(23-24高三上?上海嘉定?期中)若平面向量自=2也卜0,al(a-3b),則3與Z,夾角的正切值是

【答案】西

2

【分析】利用向量的數(shù)量積公式求夾角即可.

【解析】由〃_L(Q-3Z7)=>Q-(Q—3Z?)=Q2—3〃包=0=4b2-6b2xcosa,b=0,

〃r\2

即cos(a,b)=5,

又(a@e[0,可，所以tana,6=J一c°s%，—=好.

cosa,b2

故答案為：旦

2

8.（2024?上海?三模）設平面向量a=（sin6,1）,6=（cos。,百），若d,萬不能組成平面上的一個基底，貝Utan，=.

【答案】叵:上

33

【分析】利用基底的定義可得a〃b，再利用共線向量的坐標表示求解即得.

【解析】由〃，b不能組成平面上的一個基底，得〃//人而a=（sine,l）,b=（cos6>,V3）,

因此A/3sin0=cos0,所以tan0=包?=YE.

cos。3

故答案為：B

3

9.（22-23高三下?上海閔行?階段練習）已知點尸是_ABC的中線3D上一點（不含端點），且AP=xA8+yAC,則2

滿足的等式是.

【答案】x+2y=l

【分析】把AP用向量表示出來，利用三點共線可求答案.

【解析】因為AP=xA3+yAC,所以AP=xAB+2yAD,

又民尸,。三點共線，所以x+2y=l.

故答案為：x+2y=l.

10.（2023?上海楊浦?三模）已知。1=（U）,OB在OA上的數(shù)量投影為直，其中點。為原點，則點8所在直線方程

為_________

【答案】x+y-2=0

【分析】設Wx,y）,利用向量的數(shù)量積坐標公式、模的公式化簡也空=應即得解.

\OA\

【解析】設8（x,y）,「.05=（羽y）,

因為。4=（1,1）,。8在。4上的數(shù)量投影為正，

所以生必=".?.中=夜，

\OA\V2

化簡得％+y-2=0.

所以點3所在直線方程為％+y-2=0.

故答案為：x+y-2=Q

11.（21-22高三上.上海奉賢.階段練習）如圖，在中，。是的中點，,目=1,卜4=指，貝！|

ADBC=.

【答案】1

【分析】由題可轉化為ADBC^AB+AC]\AC-AB）求解.

【解析】因為。是BC的中點，，AO=J（AB+AC）,又BC=Ae-AB，

所以A￡>.8C=g（A8+AC）.（AC_AB）=g（|AC（一網(wǎng)）=1.

故答案為：1.

12.（23-24高三上?上海浦東新?期中）已知尸是邊長為2的正六邊形A5CDEF上或其內部的一點，則APAB的取

值范圍為

【答案】[—2,6]

【分析】

根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標系，設出點P的坐標，利用數(shù)量積的坐標運算求解.

【解析】在正六邊形A5CDEF中，以點A為原點，AB,AE所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，如

圖，

因為A5=2,則A（0,0）,3（2,0）,C3,石）,D（2,2指）,E（0,2若），網(wǎng)一1,6）,

設尸（x,y）,由題意可知，-l4xV3,0V”2若，

所以AP=（羽y）,AB=（2,0）,則APAB=2尤w[-2,6],

故答案為：[-2,6]

13.（2024?上海?模擬預測）如圖，矩形A3CD中，E為BC中點，AE與BD交于點、F,若將AB=a,AD=b作為

平面向量的一個基，則向量AF可表示為（用a、B表示）.

D

【答案】1+?

【分析】先利用平行線的性質求出蕓，進而利用向量的線性運算求解即可.

EF

【解析】由已知A。//跖，

miAFAD.

則——=——=2,

EFBE

2

所以A尸二§AE,

22門、12

所以A尸=aAE=a6AO+AB=3〃+石〃.

JD1乙JJJ

i?-

故答案為：

14.（2024.上海.模擬預測）已知向量a,b,C滿足向=利=1,同=3,且Q+Z?+C=0,則cos（a_。,力_。）=___

4

【答案】y/0.8

【分析】根據(jù)已知條件依次求出“必=0、a.c=-l、b.c=-l，接著求出（a-膽-。）、|a-c|和忸即可結合向

量夾角余弦公式求解.

【解析】由題5+力=」，故（。+6『=（一。）2=片即

=>1+1+2a?b=2?=>。/=0；

a+c=-b,故(〃+c)=(_/?)二即〃2+J+2〃.c=52,

=>1+2+2a?c=1,=^>a?c=—1;

b+c=-a9故僅+C)=(-n)2=^2BP/?2+C2+2Z??C=?2，

=>1+2+2Z?*c=1?=>Z??c=—1>

所以(@_匕乂8_g)=a^b—^a+b^c+c2=2c2=4,

且==<a1+c?-幼宏二j,卜―4=’(/?—c)=db?+c?—24%=J,

(a-c\\b-c\44

所以COSQ—c*—c=-^-----7-—r=-f=-G=￡.

|(2-c||Z?-c|v5xV55

4

故答案為：—.

15.(23-24高三下?上海松江?階段練習)如圖，在矩形ABC。中，AB=y[i,5。=2,點E在邊8上運動(包含

端點），則AE-BE的取值范圍為.

【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標法計算數(shù)量積，再由二次函數(shù)的性質計算可得.

【解析】如圖，以A為原點建立平面直角坐標系，則4（0,0）,2（也0）,C（V2,2）,D（0,2）,

設則AE=（a,2）,BE="a,2）,

（/TA27

則=后）+4=a之一行〃+4=a-------+—,

k212

因為y=卜-1+：在Jo,4）上單調遞減，在［手，虎）上單調遞增，

當％=也時丁=（,當工=0時y=4,當尤=0時y=4,

22

（萬丫「-

所以a--+-e-,4.

\2/2「2一

16.（23-24高三上?上海虹口?期中）平面上的三個單位向量a,b，C滿足2c=34+46，則a，b.C兩兩間的夾

角中最小的角的大小為.

【答案】arccos^

16

【分析】對2c=3〃+46兩邊同時平方化簡可求出cosa,b=-1|同理可得cos〃,c=-J,cos/?,c=^,即可得出答

24416

案.

【解析】對2c=3〃+4。兩邊同時平方可得：4c2=（3a+4Z?）=9ti2+16/72+24|dt|-|/?|cos?,Z?,

7

貝!j4=25+24cosa/，則cos（〃l）=一一,

由2c=3〃+4》可得：2d-3Q=40，兩邊同時平方可得：

4c2+9tz2—12同Jdcosa,。=16Z?2,則13-12cosa,c=16,

貝Icosa,△=-—,

4

由2c=3〃+4b可得：2-4Z?=3〃，兩邊同時平方可得：

4c2+16/?2-16|z?|-|c|cosZ?,c=9a2,則20-16cosZ?,c=9,

則mcosbr,c.=—11.

所以a,b,c兩兩間的夾角中最小的角為"c所成角，大小為arccos^.

16

故答案為：arccos^|

16

17.（2024高三?上海?專題練習）已知平面內4民C三點不共線，且點。滿足0408=05.OC=Q4-OC，則。是

_ABC的心.（填“重”或“垂”或“內”或“外”）

【答案】垂

【分析】使用數(shù)量積的分配律得到08.01=0，OABC=0＞即OAVBC,進而得到點。為」1BC的

垂心.

【解析】由OAO8=O2OC=OAOC，知08。=OB.（OA-OC）=OAO8-O8OC=0,

OABC=OA^OC-OB）=OAOC-OAOB=0,故0BLC4,OALBC,從而。為.ABC的垂心.

故答案為：垂.

18.（2023?上海長寧?二模）已知平面向量￡,b，3，d滿足：=1,,-4=2,（a-6）//（6-c）,（o-4僅-d）=0,

則卜-q的最大值為.

【答案】3

【分析】依題意，如圖作出各向量，可判斷點ABC共線，且|A4|=1,|BC|=2,點。的軌跡是以線段A2為直徑

的圓，故卜-4即可理解為點C到圓上點的距離，即得點。與點A重合時取得最大值.

【解析】

D

依題意，如圖分別作。4=a,02=6,OC=c,OD=Z,其中,一.=網(wǎng)=1/-c|=岡=2,

由(a-b)〃伍-c)知BA//8C，依題意知點C有兩個位置，即點C和點G，

又a-d=DA,b-d=DB,由,一/)，僅一1)=0知ZM_L,

即點。的軌跡是以線段A8為直徑的圓.

故c-d=DC的模長當且僅當點。與點A重合時取得最大，最大值為|CA|=2+1=3.

故答案為：3.

【點睛】方法點睛：本題主要考查向量的模長的最值問題，屬于難題.對于抽象的向量的共線，垂直，模長等相關量

的問題，一般是根據(jù)題意作出滿足條件的圖形，將問題轉化成幾何圖形的距離、夾角等相關量來解決.

19.(2024?上海崇明?二模)已知A、B、C是半徑為1的圓上的三個不同的點，且,耳=血，則A5MC的最小值

是.

【答案】|-V3

【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得sinC=且，然后分8=]兀-A與8=討論，再由平面向量數(shù)量積的定義

233

展開，結合三角恒等變換公式代入計算，即可得到結果.

【解析】由正弦定理可得」方=—二=2廠，所以正=_竺=2,

sinCsmBsinCsinB

所以sinC=正，且C?0,兀)，則C=W或黑，

233

2兀

則B=或2=]-A,

當3二[兀一？1時，Z?=2sinB=2sin^7i-A^,

所以AB?AC=becosA=6x2sin兀一A]xcosA

=2\/3x^-cosA+—sinAcosA

122

=3cos2A+^3sinAcosA

3(l+cos2A)6.、A

=--------------+——sin2A

22

=V3sin^2A+^+|,Ae(0,|■兀｝則2A+ge，

當2A+]=5時，即A=\兀時，.AC取得最小值白6;

當5=]—A時，b=2sin5=2sin[5-A],

所以AB-AC=Z?ccosA=A/3x2sin^y-A^jxcosA

=2^x-^-cosA--sinAcosA

122J

=3cos2A一百sinAcosA

3(1+cos2A)6,△人

=---------------------sin2A

22

二一氐124一5+|,Ae(0,「則24一占卜會?，

則AB?AC無最值；

綜上所述，AaAC的最小值是百

故答案為：T-若

20.(2024.上海虹口?二模)已知平面向量°,6滿足同=3,忖=4,4力=4,若平面向量C滿足卜-可=1,貝！|k-4的

最大值為.

【答案】?+1/1+而

【分析】設。4=a,OB="OC=c,先求出NAO3,以點。為原點，08為了軸的正方向建立平面直角坐標系，根

據(jù)卜-4=1求出點C的軌跡，進而可得出答案.

【解析】如圖，設。A=a,OB=b,OC=c,

因為何=3,W=4,a?6=4,

410AB

所以cosAAOB=-__-=—,故sinZ.AOB=------，

3x433

如圖，以點。為原點，02為x軸的正方向建立平面直角坐標系,

則8（4,0）,A（l,2/）,設C（x,y）,

由卜_〃=1,得（x-4）?+y2=1,

所以點C的軌跡是以點8為圓心，1為半徑的圓，

\c-a\=|AC|表示AC兩點間的距離，

所以卜一《的最大值為|AB|+1='（4—1）2+（0—20）2+1=717+1.

故答案為：V17+1.

21.（23-24高三上.上海黃浦?開學考試）如圖，正六邊形的邊長為2,圓。的圓心為正六形的中心，半徑為1,若

點〃在正六邊形的邊上運動，動點A8在圓。上運動且關于圓心。對稱，則MA.MB的取值范圍是.

M

【答案】[2,3]

【分析】求出線段MO長的范圍，結合給定條件，利用向量數(shù)量積的運算律求解作答.

【解析】正六邊形的邊長為2,則其半徑為2,邊心距為石，則正六邊形邊上的點“到其中心。的距離2],

因止匕?MB=(MO+OA)\MO+OB)=(MO+OA)-(MO-OA)

=|MOI2-1OA|2=|MO|2-1e[2,3],

所以MA-MB的取值范圍是23].

故答案為：[2,3]

u

22.（23-24高三上?上海虹口?期末）設%,生，生，々，偽，4是平面上兩兩不相等的向量，若

_引=%_q|=卜3M=2,且對任意的i,jw{1,2,3},均有，「耳e{l,g，則.一同+,同+忖一同=

【答案】3

【分析】作出圖形，根據(jù)圖形的幾何意義求解即可.

【解析】由W-回=卜2=|“3M=2,得向量4、%、生分別看作是以。為起點，

以A,民C為終點的向量，且ABC是邊長為2的正三角形，。為正ABC的中心，

由對任意的力{1,2,3},均有|4-%卜{1,右},得向量X、2、&是以。為起點，

ABC各邊中點及尸,G為終點的向量，則卜金=J%-金=W-川=1,

所以._金+旭一M+W-《=3.

故答案為：3

【點睛】思路點睛：涉及向量的模探求向量問題，可以借助向量的幾何意義，作出符合要求的圖形，數(shù)形結合求解

作答.

23.（23-24高一下?上海?期中）若a）均為單位向量，下列結論中正確的是（填寫你認為所有正確結論的序

號）

⑴若a/=0且（d-c）.僅一c）40,且同=1,則k+6-c|的取值范圍為[a-1,小

（2）若。為=0且（a-c）.僅一c）4。，且冏￥，則B+X-W的取值范圍為，,亭；

（3）若a-c=;且對任意實數(shù)4恒成立，則k+“+卜-司的最小值為百；

乙乙

（4）若夕4=1?且|a+Xc|Na-gc對任意實數(shù)2恒成立，貝|Ja+b+；b-c的最小值為百.

【答案】(1)(2)(3)(4)

【分析】（1）利用向量關系作出幾何圖形，可知,+6-4=|8|,從而利用數(shù)形結合求得;

(2)與(1)比較僅改變了|c|=乎，同理利用數(shù)形結合去求出口。卜?，手；

(3)要利用模的平方等于向量的平方進行計算，從而轉到到一元二次不等式恒成立，即可以求出同=1,并求出與

a夾角為60。，從而確定兩向量的位置關系，再分析,+小卜-小陽+舊。歸國,即可求得最小值；

(4)關鍵是作出圖形后，利用=轉化為幾何關系求最小值.

由夕6=0且a川均為單位向量，作圖：a=OA,b=OB,|(?A|=1,|OB|=LOA±OB,

因為(a-c).(b-c)40,即CACBWO，所以點C在以A3為直徑的圓上或內部，

又因為同=1，所以點C又在點。為圓心的單位圓上，即點C在圓。的劣弧A3上,

又由卜+6-4=|。。一=所以由圖可得「4e[0-1,1],故(1)正確；

由于同=正與(1)不同，假設點。為圓心半徑為正圓與以AB為直徑的圓相交于點M,N,則點C在圓。的劣弧

1122

MN上,由圖可知以A3為直徑的圓也是以OD為直徑的圓，所以由。"=受，可得

2

MD=^OD2-OM-==*，

所以由圖可得口。卜]乎，手:故(2)正確；

由卜+Ac|Na-c平方得：a?+24a,c+A2c2Na2—a-c-\—c2,

24

又因為=所以得：A2C2+A+^-1C2>0,

224

上式是關于幾的一元二次不等式，由于對任意實數(shù)4恒成立,

j5|flUA=l-4c2^1-^c2j=c4-2c2+l=(c2-l)2<0,

即卜2_1丫=0,所以|c|=l,由a-c=；,可得8s乙

又因為NAOCe(0,180°),所以NAOC=60°,此時a,6,c均為單位向量，如圖:

由a=OA,6=OB,c=OC,OE=_OA=_a,可知,+6葉_(-。)|=即，|c-Z?|=|BC|

而因為點8是單位圓上的動點，所以忸q+|E3|N|EC|,

此時由NEOC=180°—60°=120°,可得：|EC|=g,

所以卜+W+卜一6,君，故(3)正確;

a^OA,b^OB,c^OC,OE=-OA=-a,作一個同心圓且半徑為：，分別交OB,OE于點D/則

^a+b+^b-c=\pB-OF\+\OD-G>c|=|^|+|CZ)|

由于三角形OBE是等腰三角形，2尸分別為。3,?！甑闹悬c，可得FB=DE,

所以,q+|c4=OE+￡>C2CE,而國C|=6,所以;a+匕+；b-c故(4)正確;

故答案為：(1),(2),(3),(4).

【點睛】方法點睛：關鍵把定向量轉化為定點，把動向量轉化為動點，最后研究向量的模轉化為動點到定點的距離

問題，再利用幾何中的不等式關系就可以得到結果.

24.(2024高三?上海?專題練習)已知|。1|=|。8|=1,若存在機,“eR,使得加AB+Q4與〃AB+03夾角為60,且

mAB+OA^-(nAB+OB=;,則網(wǎng)的最小值為.

【答案】半

【分析】設a=OA=〃*B+OA，b=O3'=〃AB+O3可得AA,民B'共線，又|々_昨|34|=],當|8%|=:為最小

22

時從目最小，而此時4、B'關于y軸對稱，結合已知即可求,目的最小值.

【解析】由題意，AB=08-04，

:.令a=0A'=mAB+OA=(l-m)OA+mOB,b=OB'=nAB+OB=(1+n)OB-nOA,故有A,A,B,B'共線，

■：\a-b\=\B'A'\=^,故當且僅當|8'A|=g為最小時，最小，

有A、？關于y軸對稱時，kN最小，止匕時。至UAB的距離為g.粵]=乎,

.3=廠=叵,BPH-—?

2V164i12

故答案為：巫.

2

【點睛】關鍵點點睛：應用向量的線性關系及共線性質，可知Q=OA=%A5+OA,b=OBr=nAB+OB＞。4、OB

的終點共線，且|a-N=|8'A|=g可分析得A、&關于y軸對稱時，,可最小，進而求最小值即可.

25.(23-24高一下.上海?期末)如圖，已知點P為一ABC所在平面內一點，|AB-AC|=8,=定義點集

D=|p|AP=32AB+^AC,2eR},若存在點Ee。，使得對任意尸eO,有,尸2,兄|恒成立，那么當，1BC的

面積取得最大值12時，,好卜.

【答案】3

【分析】延長AB到M滿足AM=3A3,取AC的靠近A的三等分點N,連接MN,由向量共線定理得三點

共線，從而|A閱表示.AMN的邊MN上的高，利用正弦定理求得—AMN的面積的最大值，從而可得結論.

【解析】延長AB到M滿足AM=342，取AC的靠近A的三等分點N,連接MN,如圖，

}—^AC=A,-3AB+(1-A)^-=A.AM+(1-A)AN,則P,M,N三點共線,

AP=3AAB+

又存在點心?。，使得對任意尸eO,滿足,尸,,聞恒成立,

則A4的長表示A到直線MN的距離，即..AA/N的邊MN上的高，設|A闈=3

由國|=3網(wǎng)，得|AC|=|AM|,|AB|=|?V|,則△ABC四△AAA,|腦V|=W0=8,

\AM\_|AN|_|AfN|

在一AMN中，設NA2VM=。，由正弦定理得

sin0sinMsinZMAN'

8sin68sinM

于是sind=3sinM,\AM\=,\AN\=

sinZMANsinZMAN

132sinOsinM96sin2M

則SABC=SANM=-\AM\\AN\sinZMAN=

2sinZMANsin(M+6>)

96sin2M96sin2M96sinAf

sinMcos0+cosMsin0sinMcos0+3cosMsinMcos0+3cosM

96sinM96sinM

若。不是鈍角，則HABC

71-sin26?+3Jl-sin2MVl-9sin2M+19-9sin2M'

由2sin，=3sinM41,得sinAfwg,BP0<sinM<^,

則6ABC，設”“

1T

則看29,S'ABC=m9+3dtj，它是減函數(shù)，當，=9時，(§!ABC)max=,不滿足題意,

，一仁96sinM96sinM

-==

右0是電屯角，則5BC=—/.2=I.2八=/=^/.2=

A3vl-sin2M-Vl-sm20v9-9sin2M->/l-9sin2M

96

，貝卜29,ABC=3g_g，

令—9=