2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之二次函數(shù)

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之二次函數(shù)

選擇題（共10小題）

1.如圖，在水平向右為X軸正方向，豎直向上為y軸正方向的坐標系中標記了4個格點，已知網(wǎng)格的單位

長度為1,若二次函數(shù)》=〃/+云+c的圖象經(jīng)過其中的3個格點，則〃的最大值為（）

T-----T----------1

343

A.-B.1C.一D.-

432

2.在平面直角坐標系X伽中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為雅系點.已知二次函數(shù)y=a?

-4x+c（〃W0）的圖象上有且只有一*個雅系點（—搟，—尚），且當mWxWO時，函數(shù)y—a^?-4x+c+,

WO）的最小值為-6,最大值為-2,則相的取值范圍是（）

779

A.-IWnzWOB.-77<m^-2C.--2D.-77<m<--r

ZZ4

3.在同一平面直角坐標系中，有兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，且它們的頂點與原點的連線互相垂直，若其

中一條拋物線的表達式為y—x2-4x+m,則m的值為（）

A.2或-6B.-2或6C.2或6D.-2或-6

4.對于拋物線y=（久-5/+3,下列說法錯誤的是（）

A.對稱軸是直線x=5

B.函數(shù)的最大值是3

C.開口向下，頂點坐標（5,3）

D.當尤>5時，y隨x的增大而增大

5.在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)丫=辦+2與二次函數(shù)y=/+a的圖象可能是（）

6.傳統(tǒng)的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接將面削到開水鍋里.如圖，面剛

被削離時與開水鍋的高度差〃=0.45根，與鍋的水平距離L=03w,鍋的半徑R=05w.若將削出的小面

圈的運動軌跡視為拋物線的一部分，要使其落入鍋中（鍋的厚度忽略不計），則其水平初速度vo不可能

為（提示g=10m/s2,水平移動距離s=M）（

而

A.25nlisB.3m/sC.35nlisD.5m/s

7.若拋物線y=J?-2m^+毋+2m+1（根是常數(shù)）的頂點到無軸的距離為2,則根的值為（）

3

A.B.-C.一期D

2--H

8.如圖，平面直角坐標系中有兩條拋物線，它們的頂點P,。都在x軸上，平行于x軸的直線與兩條拋物

若AB=10,BC=5,C￡）=6,則PQ的長度為（）

C.9D.10

9.二次函數(shù)y=ox2+bx+c的自變量尤與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如表:

X0123

y1mn1

下列判斷正確的是（）

A.m>nB.m<nC.772=〃D.

10.如圖1,質(zhì)量為他的小球從某高處由靜止開始下落到豎直放置的輕彈簧上并壓縮彈簧（已知自然狀態(tài)

下，彈簧的初始長度為12aw）.從小球剛接觸彈簧到將彈簧壓縮至最短的過程中（不計空氣阻力，彈簧

在整個過程中始終發(fā)生彈性形變），得到小球的速度v（eMs）和彈簧被壓縮的長度△/（cm）之間的關(guān)

系圖象如圖2所示.根據(jù)圖象，下列說法正確的是（）

A.小球從剛接觸彈簧就開始減速

B.當彈簧被壓縮至最短時，小球的速度最大

C.當小球的速度最大時，彈簧的長度為2cm

D.當小球下落至最低點時，彈簧的長度為6cm

二.填空題（共5小題）

11.王林對實心球投擲訓(xùn)練錄像進行了分析，發(fā)現(xiàn)實心球在行進過程中高度y（加）與水平距離x（m）之

間的函數(shù)圖象如圖所示（尸為拋物線頂點），由此可知此次投擲的成績是m.

12.將拋物線y=2x2先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得的拋物線的頂點坐標

為.

13.已知拋物線＞=/+??的對稱軸為直線尤=2,則關(guān)于x的方程/+〃1r=5的根是.

14.如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，矩形A8CO,8點坐標為（4,2）,A、C分別在y軸、x軸上；

若。點坐標為（1,0）,連結(jié)AD,點￡、點尸分別從A點、B點出發(fā)，在上相向而行，速度均為1

個單位/每秒，當E、尸兩點相遇時，兩點停止運動；過E點作EG〃A。交無軸于H點，交y軸于G點，

連結(jié)PG、FH,在運動過程中，△FG”的最大面積為

y

FB

ODH

15.省城太原金橋公園是一座綜合性城市公園，該公園最大的亮點是中心湖配備的功能強大的音樂噴泉,

噴泉噴出水流呈拋物線型.如圖是兩個連續(xù)噴泉，建立平面直角坐標系后，它們關(guān)于y軸對稱，y軸左

側(cè)噴泉可用y=-尋2—獸》一嶗表示，則兩個噴泉最高點之間的距離是m.

三.解答題(共5小題)

16.已知二次函數(shù)>=〃/+(1-4。)x+3.

(1)求證：不論〃取何值時，該二次函數(shù)圖象一定經(jīng)過兩個定點；

(2)A(2-m,yi)、B(2+m,>2)(m>0)是該函數(shù)圖象上的兩個點，試用兩種不同的方法證明yiV

(3)當3VxV4時，y隨x的增大而增大或y隨工的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出。的取值范

圍.

17.已知周長為〃cm(〃為定值)的矩形的一邊長y(cm)與它的鄰邊長x(cm)之間的函數(shù)圖象如圖所

/K.

(1)直接寫出〃的值和y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

(2)當x為何值時，該矩形的面積最大？最大面積是多少？

y/cm

10P(12,10)

O12r/cm

18.某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，出于營銷考慮，要求每本紀念冊的售價不低于20元且

不高于28元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y（本）與每本紀念冊的售價無（元）之間滿足

一次函數(shù)關(guān)系；當銷售單價為22元時，銷售量為36本；當銷售單價為24元時，銷售量為32本.

（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）設(shè)該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單價定為多少元時，才能

使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大？最大利潤是多少？

19.

制作簡易水流裝置

設(shè)計方案如圖，C。是進水通道，A8是出水通道，OE是圓柱形容器

的底面直徑，從。將圓柱形容器注滿水，內(nèi)部安裝調(diào)節(jié)器,

水流從8處流出且呈拋物線型.以點。為坐標原點，所

在直線為x軸,。4所在直線為y軸建立平面直角坐標系xOy,

水流最終落到x軸上的點M處.

示意圖

已知軸，AB=5cm,。/=15cm,點8為水流拋物線的頂

點，點A、B、0、E、M在同一平面內(nèi)，水流所在拋物線的

函數(shù)表達式為y—a}?+bx+X5(aWO)

任務(wù)一求水流拋物線的函數(shù)表達式；

任務(wù)二現(xiàn)有一個底面半徑為3cm,高為11c%的圓柱形水杯，將該

水杯底面圓的圓心恰好放在M處，水流是否能流到圓柱形

水杯內(nèi)？請通過計算說明理由.（圓柱形水杯的厚度忽略不

計）

任務(wù)三還是任務(wù)二的水杯，水杯的底面圓的圓心尸在X軸上運動，

為了使水流能流到圓柱形水杯內(nèi)，直接寫出。尸長的取值范

圍.

請根據(jù)活動過程完成任務(wù)一、任務(wù)二和任務(wù)三.

20.跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一.如圖，運動員通過助滑道后在點A處起跳，經(jīng)空中飛行后落

在著陸坡上的點尸處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分.這里OA表示起跳點A到地

面的距離，OC表示著陸坡BC的高度，表示著陸坡底端B到點。的水平距離.建立如圖所示

的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員到地面的豎直距離y（單位：；w）與他在水平

1

方向上移動的距離x（單位：MI）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-運產(chǎn)++c.已知。4=70%，0c=60〃z,

落點P到OC的水平距離是30/77,到地面OB的豎直高度是37.5/77.

（1）求y與x的函數(shù)表達式；

（2）進一步研究發(fā)現(xiàn)，運動員在空中飛行過程中，其水平方向移動的距離x（m）與飛行時間/（s）具

備一次函數(shù)關(guān)系，當運動員在起跳點騰空時，f=0,x=0；當他在點尸著陸時，飛行時間為5s.

①求x與/的函數(shù)表達式；

②當運動員與著陸坡8c在豎直方向上的距離達到最大時，求出此時他飛行時間f的值.

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之二次函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，在水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向的坐標系中標記了4個格點，已知網(wǎng)格的單位

長度為1,若二次函數(shù)＞=/+法+c的圖象經(jīng)過其中的3個格點，則。的最大值為（）

343

A.一B.1C."D.

432

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】平面直角坐標系；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)開口向上，開口越小。越大，進而建立坐標系，求解析式求得a的值，即可求解.

依題意，經(jīng)過點A,B,C時，拋物線開口向上，a的值最大,

VA(-1,0),B(2,0),C(1,-3),

設(shè)拋物線解析式為y=a（尤+1）（x-2）,將C（1,-3）代入得,

-3=-2a,

解得：a=

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，不共線三點確定拋物線解析式，解題

的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用.

2.在平面直角坐標系尤0y中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點尸為雅系點.已知二次函數(shù)

-4x+c(a^O)的圖象上有且只有一個雅系點(-|,-1),且當機WxWO時，函數(shù)尸內(nèi)2-4x+c+作(。

W0)的最小值為-6,最大值為-2,則m的取值范圍是()

779

A.-IWMWOB.-C.--2D.—<m<—

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的最值.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)雅系點的概念令ax2-4x+c=x,即ox2-5x+c=0,由題意，△=(-5)2-4〃c=0,即4〃c

=25,方程的根為4=—右從而求得。=-1,。=一竽，所以函數(shù)了=涼-4%+c+,=——-4%-6,

根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點坐標與縱坐標的交點坐標，根據(jù)y的取值，即可確定冗的取值范圍.

【解答】角星：令ax2-4x+c=x,即ax1-5x+c=0,

由題意，△=(-5)2-4〃。=0,即4〃c=25,

又方程的根為=一二，

2a2

解得a=-1,c——竽，

故函數(shù)y=a)?-4x+c+/=—x2-4x-6,

-?-4x-6=-(x+2)2-2,

???函數(shù)圖象開口向下，頂點為(-2,-2),與y軸交點為(0,-6),由對稱性，該函數(shù)圖象也經(jīng)過點

(-4,-6).

由于函數(shù)圖象在對稱軸x=-2左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，且當0

WxWm時，函數(shù)y=-x2-4%-6的最小值為-6,最大值為-2,

???-4WZ-2,

故選：C.

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判

別式等知識，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵.

3.在同一平面直角坐標系中，有兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，且它們的頂點與原點的連線互相垂直，若其

中一條拋物線的表達式為y—x2-4x+m,則機的值為()

A.2或-6B.-2或6C.2或6D.-2或-6

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)頂點公式求得已知拋物線的頂點坐標，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求得另一條拋物線的頂點，

由它們的頂點與原點的連線互相垂直，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于m的方程，解方程即可求得.

【解答】解：???一條拋物線的函數(shù)表達式為y=/-4x+w,

,這條拋物線的頂點為(2,m-4),

關(guān)于y軸對稱的拋物線的頂點(-2,m-4),

?.?它們的頂點與原點的連線互相垂直，

：.2X[22+(.m-4)2]=42,

整理得“P-8m+12=0,

解得m—2或m—6,

：.m的值是2或6.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點坐標公式，勾股

定理的意義，關(guān)于y軸對稱的點和拋物線的關(guān)系.

4.對于拋物線丫=-*（久-5產(chǎn)+3,下列說法錯誤的是（）

A.對稱軸是直線x=5

B.函數(shù)的最大值是3

C.開口向下，頂點坐標（5,3）

D.當尤>5時，y隨x的增大而增大

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

【答案】D

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以

解答本題.

【解答】解：；拋物線y=—｝（%—5）2+3,

該拋物線的對稱軸是直線尤=5,故選項A正確；

函數(shù)有最大值，最大值y=3,故選項B正確；

開口向下，頂點坐標為（5,3）,故選項C正確；

當x>5時，y隨尤的增大而減小，故選項。錯誤；

故選：D.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性

質(zhì)解答.

5.在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)>="+2與二次函數(shù)y=/+q的圖象可能是（）

【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；幾何直觀；推理能力.

【答案】c

【分析】根據(jù)二次函數(shù)得拋物線開口向上，排除8,根據(jù)一次函數(shù)>=辦+2,得直線與y軸的

正半軸相交，排除》根據(jù)拋物線得故排除A.

【解答】解：?.?二次函數(shù)y=/+a,

???拋物線開口向上，

，排除8,

,一次函數(shù)y=（xr+2,

直線與y軸的正半軸相交，

，排除

:拋物線得4<0,

二排除A;

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，掌握圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.刀削面堪稱天下一絕，傳統(tǒng)的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接將面削到開水鍋里.如圖，面剛

被削離時與開水鍋的高度差7i=0.45〃z,與鍋的水平距離L=03〃，鍋的半徑R=0.5〃z.若將削出的小面

圈的運動軌跡視為拋物線的一部分，要使其落入鍋中（鍋的厚度忽略不計），則其水平初速度V0不可能

為（提示力=±9產(chǎn)，g—10m/s2,水平移動距離s=vf）（）

而

A.2.5mlsB.3m/sC.35mlsD.5m/s

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)高度求出運動時間，結(jié)合水平移動的范圍求出運動的初速度范圍，從而確定速度的大小.

【解答】解：*=引產(chǎn)，

；"=得耳=。3⑸,

VL<x<￡+27?,

根據(jù)％=uob

L03

可得最小速度為：二府=1（%/S）,

最大速度為：*盧0.3+2x0.513

=-(mis),

0.33

由此可知，選項A,B,C在此范圍內(nèi)，不符合題意，選項D5m/s不在此范圍內(nèi)，符合題意,

故選：D.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.若拋物線y=7-（根是常數(shù)）的頂點到無軸的距離為2,則根的值為（）

1313Q1

A.-4B.-C.一微或一D._,或一

222222

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

【答案】D

【分析】把二次函數(shù)解析式化為頂點式，再根據(jù)頂點到x軸的距離為2,得出頂點縱坐標的絕對值=2,

解方程求出m的值即可.

【解答】解：y=x1-Imx+m^+lm+l—（x-m）2+2/M+1,

；?拋物線y=/-2mx+〃，+2wi+l（機是常數(shù)）的頂點坐標為（m,2m+l）,

???頂點到x軸的距離為2,

\2m+l\—2,

即2m+l=2或2/77+1=-2,

解得m=杯或一

故選：D.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出頂點坐標.

8.如圖，平面直角坐標系中有兩條拋物線，它們的頂點P,。都在無軸上，平行于x軸的直線與兩條拋物

線相交于A,B,C,。四點，若AB=10,BC=5,CD=6,則P。的長度為（）

A.7B.8C.9D.10

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【答案】B

【分析】分別作出兩條拋物線的對稱軸PM,QC,交4。于點M,C,得四邊形PMCQ是矩形，利用拋

物線的對稱性計算即可.

【解答】解：分別作出兩條拋物線的對稱軸PM,QC,交AD于點C,

四邊形PMCQ是矩形，

C.MC^PQ,

VAB=10,BC=5,CD=6,

11151111

：.MA=MC=^AC=^(AB+BQ=號,BC=CD=^BD=(CD+BC)=蕓,

:.MN=AD-AM-CD=(.AB+BC+CD)-AM-CD=21-y---y=8,

；.尸。=8,

故選:B.

【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.二次函數(shù)y=o?+foc+c的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如表：

X0123

y1mn1

下列判斷正確的是（）

A.m>nB.m<nC.iri=nD.m=2n

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【答案】c

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以求得該函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)圖象具有對稱性，即可得到加

和n的關(guān)系.

【解答】解：由表格可得，

該函數(shù)的對稱軸為直線尤=竽=怖，

3I31

V--1=5，2—5=5，

2222

??rn=n.

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

10.如圖1,質(zhì)量為機的小球從某高處由靜止開始下落到豎直放置的輕彈簧上并壓縮彈簧（已知自然狀態(tài)

下，彈簧的初始長度為120"）.從小球剛接觸彈簧到將彈簧壓縮至最短的過程中（不計空氣阻力，彈簧

在整個過程中始終發(fā)生彈性形變），得到小球的速度v（cm/s）和彈簧被壓縮的長度△/（cm）之間的關(guān)

系圖象如圖2所示.根據(jù)圖象，下列說法正確的是（）

A.小球從剛接觸彈簧就開始減速

B.當彈簧被壓縮至最短時，小球的速度最大

C.當小球的速度最大時，彈簧的長度為2c7九

D.當小球下落至最低點時，彈簧的長度為6c/n

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象給出的信息分析出小球何時開始減速，小球下落最低點時彈簧的長度，小球速度最大

時，彈簧的長度即可解答.

【解答】解：由圖象可知，彈簧壓縮2c機后開始減速，

故選項A不符合題意；

由圖象可知，當彈簧被壓縮至最短，小球的速度最小為0,

故選項B不符合題意；

由圖象可知小球速度最大時，彈簧壓縮2c7W,

此時彈簧的長度為12-2=10（cm）,

故選C不符合題意；

由圖象可知，當小球下落至最低點時，彈簧被壓縮的長度為6c機時，

此時彈簧的長度為12-6=6（cm）,

故選項。符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

二.填空題（共5小題）

11.王林對實心球投擲訓(xùn)練錄像進行了分析，發(fā)現(xiàn)實心球在行進過程中高度y（憶）與水平距離x（相）之

間的函數(shù)圖象如圖所示（尸為拋物線頂點），由此可知此次投擲的成績是8m.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】8.

【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式，求出解析式，再求出當y=0時自變量的值即可.

【解答】解：由題意得：設(shè)拋物線解析式為y=a（%-3）2+2.

將點（0,1.28）代入y=a（x-3）2+2,

得。=一急

即拋物線解析式為：尸—條（x-3）2+2,

當y=0時，化簡得：

-25（x-3）~+2=0,

解得：A1=8,X2=-2（舍去）.

故答案為：8.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

12.將拋物線＞=2/先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得的拋物線的頂點坐標為（2,

-3）

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的原則寫出平移后的拋物線的解析式，并寫出頂點坐標即可.

【解答】解：由題意得：平移后的拋物線的解析式為：j=2（x-2）2-3,

頂點坐標為（2,-3）,

故答案為：（2,-3）.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握“上加下減，左加右減”的法則是解題的關(guān)

鍵.

13.已知拋物線的對稱軸為直線x=2,則關(guān)于尤的方程jc-+mx=5的根是-1或5.

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【答案】-I或5.

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)〉=/+7虹的對稱軸是直線x=2求出m的值,再把機的值代入方程/+:nr=5,

求出x的值即可.

【解答】解：二?二次函數(shù)的對稱軸是直線尤=2,

—詈=2,解得m=-4,

...關(guān)于尤的方程/+3=5可化為7-4x-5=0,即（x+1）（%-5）=0,解得xi=-1,尤2=5.

故答案為：-1或5.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的對稱軸方程是解答此題的關(guān)鍵.

14.如圖，在直角坐標系中，。為坐標原點，矩形ABC。，B點坐標為（4,2）,A、C分別在y軸、尤軸上；

若。點坐標為（1,0）,連結(jié)AD,點E、點尸分別從A點、8點出發(fā)，在48上相向而行，速度均為1

個單位/每秒，當E、P兩點相遇時，兩點停止運動；過E點作EG〃A。交無軸于8點，交y軸于G點，

連結(jié)PG、FH,在運動過程中，△人?”的最大面積為4.5.

y

FB

ODH

【考點】二次函數(shù)的最值；矩形的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì).

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；矩形菱形正方形；運算能力.

【答案】4.5.

【分析】先求得直線的解析式，進而得到設(shè)直線EG的解析式為y=-2x+b,則G(0,b),由此得

出BF—AE=^―,即可得出EF=6-b,利用SAFGH=SAEFG+SAEFH=^EF*OG得出SAFGH==(6-Z?)

'b=-\(b-3)2+4.5,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得△打；”的最大面積.

【解答】解：由題意可知A(0,2),

設(shè)直線為>=日+2,

把。(1,0)代入得，4+2=0,解得上=-2,

直線4。為>=-2x+2,

'：EG//AD,

設(shè)直線EG的解析式為y=-2x+b,則G(0,6),

A_7

當y—2時，x=—,

b—2.

:?E(-----,2),

2

：.AE=號,

h-2

；?BF=AE=

：.EF^4-2x-^^6-b,

S/^FGH=SAEFG+SAEFH=^EF'OG=I(6-b'),b=(6-3)2+4.5,

<0,

???AFGH的最大面積為4.5,

故答案為：4.5.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求由此函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的性質(zhì)，二

次函數(shù)的最值，利用SAFGH=SAEFG+SAEFH得出SAFGH=1(6-b)'b=(Z?-3)2+4.5是解題的關(guān)鍵.

15.省城太原金橋公園是一座綜合性城市公園，該公園最大的亮點是中心湖配備的功能強大的音樂噴泉,

噴泉噴出水流呈拋物線型.如圖是兩個連續(xù)噴泉，建立平面直角坐標系后，它們關(guān)于y軸對稱，y軸左

側(cè)噴泉可用y=-言/一胃“一嗡表示，則兩個噴泉最高點之間的距離是52m.

4-0

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識.

【答案】52.

【分析】依據(jù)題意，先求出y=-1/-整%-袈的頂點坐標，再根據(jù)對稱性求出另一個頂點坐標,

進而可以得解.

【解答】解：由題意，=一1——需萬—=一靠(x+26)2+60,

軸左側(cè)噴泉最高點坐標為(-26,60).

：兩個連續(xù)噴泉，建立平面直角坐標系后，它們關(guān)于y軸對稱，

軸右側(cè)噴泉最高點坐標為(26,60).

.?.兩個噴泉最高點之間的距離是26-(-26)=52(m).

故答案為：52.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.已知二次函數(shù)丁=〃/+(1-4a)x+3.

(1)求證：不論〃取何值時，該二次函數(shù)圖象一定經(jīng)過兩個定點；

(2)A(2-m,yi)、B(2+m,")(m>0)是該函數(shù)圖象上的兩個點，試用兩種不同的方法證明

y2；

(3)當3Vx<4時，y隨x的增大而增大或y隨工的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出。的取值范

圍.

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析；

11

(3)a>0或一趣VaVO或aV一言.

4Z

【分析】(1)當x=0時，y=3；當x=4時，y=7,進而即可得到結(jié)論；

(2)分別用作差法和二次函數(shù)圖象的對稱性比較"、”大小即可；

(3)分當〃>0時和〃<0時，對拋物線的對稱軸位置進行討論即可.

【解答】解：(1)???當％=0時，y=3；當％=4時，y=7,

???不論。取何值時，該二次函數(shù)圖象一定經(jīng)過兩個定點(0,3)、(4,7)；

(2)方法一、丁A(2-m,yi)、B(2+m,”)(m>0)是該函數(shù)圖象上的兩個點,

2

yr=a(2—m)2+(1-4a)(2—m)+3,y2=a(2+m)+(1—4a)(2+m)+3,

?'?%—y2=a(2—??i)2_|_(i-4a)(2—TTL)+3—a(2+一(1—4a)(2+TTI)—3

=a(-4m)+(1-4。)(-2m)

=-2ni,

Vm>0,

Ayi-y2V0,BPyiv”；

方法二、：拋物線的對稱軸為：直線x=-與普=2-上，

乙(X乙CX

1111

|2一小—2+而|=I而一劑，\2+m-2+^\=\^+m\,

11

當〃>0時，|而—加V|而+刑，此時，yi<y2,

11

當〃<0時，|萬■-7?1|,此時，yi<y2,

乙vv乙vv

綜上所述：yi<y2；

(3);當。>0時，拋物線開口向上，拋物線的對稱軸為：直線x=2-/V2,

.,.3<尤<4時，y隨尤的增大而增大，符合題意；

當a<0且2-2<3或2-A>4時，y隨尤的增大而減小或y隨x的增大而增大，

11

—4VaVO或aV—?

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的對稱性是關(guān)鍵.

17.己知周長為acm(a為定值)的矩形的一邊長y(cm)與它的鄰邊長x(c相)之間的函數(shù)圖象如圖所

不.

(1)直接寫出〃的值和y關(guān)于％的函數(shù)表達式；

(2)當x為何值時，該矩形的面積最大？最大面積是多少？

【考點】二次函數(shù)的最值；函數(shù)的圖象.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【答案】(1)44cm；y=22-x；

(2)當x=llcm時，該矩形的面積最大，最大面積是121cm2.

【分析】(1)根據(jù)矩形的周長公式得出〃=2(x+y),再把P(12,10)代入求出。的值，用工表示出y

的值即可；

(2)利用矩形的面積公式得出S矩形與x的函數(shù)關(guān)系式，求出S的最大與最小值即可.

【解答】解：(1):?周長為"czn(。為定值)的矩形的一邊長y(cm)與它的鄰邊長工(cm),

?.a2(1+y),

\?當％=12時，y=10,

：.a=2(12+10)=44(cm).

a=44cm,〃=2(x+y),

??y^22-%；

(2)??,由(1)知，

???5矩形=孫=1(22-x)=-/+22x(x>0),

.?.當x=—4=11時，S矩形最大=-112+22X11=121(cm2).

一乙

答：當無=llcm時，該矩形的面積最大，最大面積是1215A

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的最值，根據(jù)題意得出S矩形與尤之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

18.某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，出于營銷考慮，要求每本紀念冊的售價不低于20元且

不高于28元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y(本)與每本紀念冊的售價無(元)之間滿足

一次函數(shù)關(guān)系；當銷售單價為22元時，銷售量為36本；當銷售單價為24元時，銷售量為32本.

(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單價定為多少元時，才能

使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大？最大利潤是多少？

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解可得；

(2)根據(jù)所獲得總利潤=每本利潤X銷售數(shù)量列出函數(shù)解析式，配方成頂點式可得答案.

【解答】解：(1)設(shè)y與x的關(guān)系式為y=fcc+6,

把(22,36)與(24,32)代入，

彳日(22k+匕=36

伶：L24fc+=32'

解得：仁=.，

S=80

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為尸-2x+80(20WxW28)；

(2)由題意可得：

w=(x-20)(-2x+80)

=-2/+120x-1600

=-2(x-30)2+200,

:每本紀念冊的售價不低于20元且不高于28元，

，20WxW28,

.?.當x=28時，w最大，w最大=-2X(28-30)2+200=192,

答：該紀念冊銷售單價定為28元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大，最大利潤是192元.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)銷售問

題中關(guān)于利潤的相等關(guān)系列出函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì).

19.

制作簡易水流裝置

設(shè)計方案如圖，CQ是進水通道，A8是出水通道，OE是圓柱形容器

的底面直徑，從將圓柱形容器注滿水，內(nèi)部安裝調(diào)節(jié)器,

水流從2處流出且呈拋物線型.以點。為坐標原點，E。所

在直線為x軸,。4所在直線為y軸建立平面直角坐標系xOy,

水流最終落到x軸上的點M處.

示意圖為

c、

B

A

X------------、

E<---'

0Mx

已知AB〃x軸，AB=5cm,0M=15cs,點8為水流拋物線的頂

點，點A、B、0、E、M在同一平面內(nèi)，水流所在拋物線的

函數(shù)表達式為丫=癥+法+必（aWO）

任務(wù)一求水流拋物線的函數(shù)表達式；

任務(wù)二現(xiàn)有一個底面半徑為3cm高為11c%的圓柱形水杯，將該

水杯底面圓的圓心恰好放在M處，水流是否能流到圓柱形

水杯內(nèi)？請通過計算說明理由.（圓柱形水杯的厚度忽略不

計）

任務(wù)三還是任務(wù)二的水杯，水杯的底面圓的圓心尸在X軸上運動，

為了使水流能流到圓柱形水杯內(nèi)，直接寫出OP長的取值范

圍.

請根據(jù)活動過程完成任務(wù)一、任務(wù)二和任務(wù)三.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】任務(wù)一：水流拋物線的函數(shù)表達式為：y=-#+2x+15.

任務(wù)二：水流不能流到圓柱形水杯內(nèi)；

任務(wù)三：2+3西VOPV8+3小.

【分析】任務(wù)一：易得點2的橫坐標為5,那么拋物線的對稱軸為：直線x=5,即可得到-芻=5,那

么b=-10a,根據(jù)的長度可得點〃的坐標，代入拋物線解析式后可得a和。的關(guān)系式，與b=-

10。聯(lián)立可得。和b的值，即可求得拋物線的解析式；

任務(wù)二：根據(jù)題意可得杯子的最左端距離原點12am取x=12代入拋物線解析式，計算出y的值.若

圓柱形水杯的高小于y的值，則水流能流到圓柱形水杯內(nèi)；

任務(wù)三：計算出尸點剛能使水流進入和離開的時刻即可.

【解答】解：任務(wù)一：

TAB〃1軸，A5=5on,點3為水流拋物線的頂點，

???拋物線的對稱軸為：％=5.

:?b=-lOtz.

把點M(15,0)代入拋物線得：

15〃+b+l=0,

把6=-10〃代入15〃+。+1=0得：

15〃-10(2+1=0,

解得：a=

:.b=2,

水流拋物線的函數(shù)表達式為：y=-1?+2尤+15.

任務(wù)二：

圓柱形水杯最左端到點0的距離是15-3=12,

當x=12時，y=-1xl22+2X12+15=10.2,

Vll>10.2,

/.水流不能流到圓柱形水杯內(nèi).

任務(wù)三：2+3西<OPV8+3*.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用.根據(jù)題意判斷出函數(shù)圖象的對稱軸和關(guān)鍵點的坐標是解決本題的關(guān)

鍵.

20.跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一.如圖，運動員通過助滑道后在點A處起跳，經(jīng)空中飛行后落

在著陸坡上的點P處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分.這里OA表示起跳點A到地

面。2的距離，OC表示著陸坡8C的高度，。2表示著陸坡底端B到點。的水平距離.建立如圖所示

的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員到地面的豎直距離y(單位：加)與他在水平

1

方向上移動的距禺X(單位：優(yōu))近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-邁久2++C.已知。4=70%，OC=60m,

落點P到0C的水平距離是30/77,到地面OB的豎直高度是37.5/TI.

(1)求y與x的函數(shù)表達式；

(2)進一步研究發(fā)現(xiàn)，運動員在空中飛行過程中，其水平方向移動的距離x(m)與飛行時間f(s)具

備一次函數(shù)關(guān)系，當運動員在起跳點騰空時，f=0,x=0；當他在點尸著陸時，飛行時間為5s.

①求x與/的函數(shù)表達式；

②當運動員與著陸坡8c在豎直方向上的距離達到最大時，求出此時他飛行時間f的值.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】⑴y與x的函數(shù)關(guān)系式為丫=一方2+捌+70；