2025年高考數(shù)學一輪復習：集合（八大題型）講義（解析版）

第01講集合

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：元素與集合...........................................................................4

知識點2:集合間的基本關系.....................................................................5

知識點3：集合的基本運算.......................................................................5

知識點4:集合的運算性質.......................................................................6

解題方法總結...................................................................................6

題型一：集合的表示：列舉法、描述法............................................................7

題型二：集合元素的三大特征....................................................................8

題型三：元素與集合間的關系...................................................................10

題型四：集合與集合之間的關系.................................................................11

題型五：集合的交、并、補運算.................................................................13

題型六：集合與排列組合的密切結合.............................................................15

題型七：容斥原理..............................................................................17

題型八：集合的創(chuàng)新定義運算...................................................................20

04真題練習?命題洞見...........................................................22

05課本典例?高考素材...........................................................24

06易錯分析?答題模板...........................................................26

易錯點：在解含參數(shù)集合問題時忽視空集.........................................................26

答題模板......................................................................................26

春情目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主，

2023年I卷第1題，5分考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.重點是

(1)集合的概念與表示2023年n卷第2題，5分集合間的基本運算，主要考查集合的交、并、補

(2)集合的基本關系2022年I卷n卷第1題，5分運算，常與一元二次不等式解法、一元一次不等

(3)集合的基本運算2021年I卷II卷第1題，5分式解法、分式不等式解法、指數(shù)、對數(shù)不等式解

2020年I卷II卷第1題，5分法結合.同時適當關注集合與充要條件相結合的解

題方法.

復習目標：

1、了解集合的含義，了解全集、空集的含義.

2、理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.

3、會求兩個集合的并集、交集與補集.

4、能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本

運算.

//二知識導圖?思維引航\\

確定性］

元素

互異性

特性

無序慢）

屬于

Y元素與集合的關系

不屬于

元素與集W）Y列舉法）

T集合的表示方法）--（描述法）

不常見數(shù)斷數(shù)學相

如果集合Z中任意一個元素都是集合5中的兀素，我們就說這兩個集合有包含關系,

稱集合N為集合笈的子集，記作ZG5（或574）

如果集合但存在元素x￡氏Fir時,

真子集

我們稱集合力是集合△的真子集，記作力

集合間的基本關系

集合如果集合力是集合△的子集，且集合△是集合力的子集

我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0

0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

交集/（1笈=住比￡4小￡5}

集合的基本運算4UB={X|X￡/,X￡5}

I/n(CM)=0，NU(Ci/)=U，CL(CLA)=A.

集合的運算性質A(JA=A,A(J0-A,A\JB-B\JA.

A[\A-A,/lf|0=0,A(}B-B^\A.

X./

者占突曲?題理探密

-------------H-H-c

知識JJ

知識點1:元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對象的部分或全體構成一個集合.構成集合的元素除了常見的數(shù)、點等數(shù)學對象外，還可以

是其他對象.

2、集合元素的特征

（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.

（2）互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復出現(xiàn).

（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關.

3、元素與集合的關系

元素與集合之間的關系包括屬于（記作aeA）和不屬于（記作a箔A）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

知識點詮釋：

（1）列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號括起來.

（2）描述法

在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合

中元素所具有的共同特征.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N.ZQR

【診斷自測】（2024?廣東惠州.一模）設集合M={xeZ1100<2*<1000},則M的元素個數(shù)為（）

A.3B.4C.9D.無窮多個

【答案】A

【解析】由函數(shù)y=2,在R上單調遞增,及26=64,27=128,29=512,2"=1024,

可得M={7,8,9},則其元素個數(shù)為3,

知識點2：集合間的基本關系

（1）子集：一般地，對于兩個集合A、3,如果集合A中任意一個元素都是集合3中的元素，我們

就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合3的子集，記作A=3（或8=A），讀作“A包含于3”

（或“3包含人”）.

（2）真子集：對于兩個集合A與3，若A=B，且存在OeB，但6已4，則集合人是集合3的真子

集，記作（或B復A）.讀作“A真包含于3”或“3真包含A”?

（3）相等：對于兩個集合A與3,如果4屋3，同時3=4,那么集合A與3相等，記作人=臺.

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真

子集.

【診斷自測】（2024.高三?四川成都?階段練習）已知集合4={1,2},8={2,3},貝!）集合

C={z|z=x+y,xeA,ye3}的子集個數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】。={3,4,5},故其子集的個數(shù)為8,

故選：D.

知識點3：集合的基本運算

（1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合5的元素組成的集合，叫做A與6的交集，記作AcB,

即AcB={x|尤eA且xe8}.

（2）并集：由所有屬于集合A或屬于集合3的元素組成的集合，叫做A與5的并集，記作

即4u8={x|xeA或xeB}.

（3）補集：對于一個集合A,由全集。中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全

集。的補集，簡稱為集合A的補集，記作C^A,即C（/A={x|xeU,且x任A}.

【診斷自測】（2024?陜西西安.一模）已知全集。=R,集合M={*|y=@=},N={-丘,01,2,向,

貝N=（）.

A.{-^,0,1}B.{2,⑨C.{1,2,如}D.{2}

【答案】B

【解析】由IrNO解得〃=（-8,小

所以e“=（l,+8），所以@M）CN=[2,4}.

故選：B

知識點4：集合的運算性質

（1）A|A=A，A0=0>AB=BA，AnBcA-AnBcB-

（2）AiA=A，A0=A，AB=BA，AcAoB-B7AuB.

⑶A'I（CuA）=0,A（G7A）=U，CU（CUA）=A-

（4）Ac8=AoAu8=3oAa3o稠屋0AoAc多3=0

【診斷自測】（2024.江西鷹潭.一模）己知集合4=卜|必一5*46},集合3={x|xNa},若8=

則。的取值范圍為（）

A.（6,+00）B.[6,+oo）C.（-co,-l）D.（-℃』]

【答案】A

【解析】H^A={X|X2-5X<6}={X|%2-5.X-6<0}={X|-1<X<6},

々4={蟲<-1或%>6},

因為集合8={%|%2.},8=&A）,所以a>6,

故選：A.

解題方法總結

（1）若有限集A中有"個元素，則A的子集有T個，真子集有才.1個，非空子集有2"一1個，非空真

子集有271—2個.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

（3）AqBoAB=A<^A\B=B<^CUB^CUA.

（4）Q（A3）=（C"）.S）,Cu（AB）=（C[/A）-（C;/B）-

r------------

\題型洞察n

題型一：集合的表示：列舉法、描述法

【典例1-1】（2024?廣東江門?一模）已知集合4={一1,0,1},B={m|/H2-leA,zn-UA）,則集合B中

所有元素之和為（）

A.0B.1C.-1D.也

【答案】C

【解析】根據(jù)條件分別令=解得“=0,土1,土應,

又m—1笑A,所以〃2=-1，土應，3=卜1,a,-0},

所以集合B中所有元素之和是-1,

故選：C.

【典例1-2】已知集合&={-3,—2,01,2,3,7},B={x|xeA-x1閩,則8=（）

A.[0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}

【答案】B

【解析】因為A={-3,-2,0,1,2,3,7},B={x\x&A,-xiA\,

所以3={1,7}.

故選：B.

【方法技巧】

1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

【變式1-1]（2024?新疆?一模）已知集合A=,ngkeN,且。WAV”，則集合A的元素個數(shù)為（

A.3B.2C.4D.5

【答案】A

【解析】當左=0時，sin—=sin0=0,

4

當k=1時，sin—=sin—=,

442

當左=2時，sin—=sin—=sin—=1,

442

、【/,7Qn-i--ku.37iA/2

三左=3H丁，sin——=sin——=——，

442

、1/丁Art-u-kit.4TT.C

當左=4時，sm一=sin一=sinjr=0,

44

故4=卜,亭,1],共三個元素.

故選：A.

【變式1?2】(2024?高三?山東泰安?期中)已知集合4={1,2,3},5={3,5},則

。={%歸=2.+),々￡中的元素個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由題意，x=2a+b,

當〃=1,Z?=5nx=7,

當a=l,b=3=>x=5,

當a=2,b=5=>x=9,

當〃=2,b=3nx=7,

當a=3,b=5^>x=ll,

當a=3,Z?=3=>x=9,

由集合中元素滿足互異性，所以C={5,7,9,11}.

故選：B

故選：A.

題型二：集合元素的三大特征

【典例2-1】設集合4=卜,3，]一3a,a+”1,B={\a-2\,3],已知4cA且4居3,則。的取值集合

為—,

【答案】{4}

【解析】因為4eA,即4e12,3,片—3a,a+/+71,

2

所以〃2一3〃=4或〃+—+7=4,

a

若〃2一3〃二4，貝1」。=-1或I=4；

2、

若々+—+7=4,即/+3〃+2=0，貝IJ。=一1或。=一2.

a

2

由3〃與a+—+7互異，得aw—1,

a

故a=-2或a=4,

又4走3,即4e{|a-2|,3},所以|a-2快4,解得aw—2且ax6,

綜上所述，。的取值集合為{4}.

故答案為：{4}

【典例2-2】由Q,—〃，同,構成的集合中，兀素個數(shù)最多是__.

【答案】2

【解析】當4=0時，a=-a=\a\=^=Q,此時元素個數(shù)為1；

當aw0時，4^=同=［“'〃>0,

［-a,a<0

所以一定與a或-a中的一個一致，此時元素個數(shù)為2.

所以由a,-a,|a|,而構成的集合中，元素個數(shù)最多是2個.

故答案為2

【方法技巧】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。

2、研究兩個或者多個集合的關系時，最重要的技巧是將兩集合的關系轉化為元素間的關系。

【變式2-1］（2024?高三?天津河西?期中）含有3個實數(shù)的集合既可表示成又可表示成

a2,a+b,0},貝以2必+/。22=_.

【答案】1

【解析】因為卜卜{1,。+6,0},

b

顯然awO,故一=0,貝！Jb=O；

a

此時兩集合分別是{a,1,0},{a,4,0},

貝!1/=1，解得。=1或-1.

當。=1時，不滿足互異性，故舍去；

當a=-1時，滿足題意.

所以a2022+b2022=（-1）2022+O2022=1

故答案為：r

【變式2-2］（2024?高三?山東濰坊?期中）英語單詞*aww”所含的字母組成的集合中含有個元素.

【答案】3

【解析】英語單詞“加國加?”所含的字母組成的集合為松,科，共3個元素.

故答案為：3.

【變式2-3］（2024?云南大理?模擬預測）已知{削GX2—4X+1=0}={6},其中a,beR,則6=（）

A.0B.—或！C.gD.一

4224

【答案】B

【解析】由題意知：b為方程以2一4尤+1=0的根，

當.=0時，b=--

4

[ab1-4Z>+1=01

當。片0時，二次方程有兩個相同的根，則有，此時8=：.

[16-4a=02

故選:B.

題型三：元素與集合間的關系

【典例3-1】已知集合A={x|x=4Z,左eZ|,B=|x|x=4zn+l,mez1,C=|x|x=4n+2,neZ|,

D={x\x=4t+3,t^Z},若“eg,beC,則下列說法正確的是（）

A.a-\-beAB.a+bE,BC.a+beCD.a+bD

【答案】D

【解析】因為beC,

則由題意可設a=4根+1,b=4n+2,其中加wZ,〃wZ,

則〃+b=4（M+〃）+3,Mm+neZ,

故。+人eD,

故選：D.

【典例3-2]（2024.高三.山東青島.開學考試）已知xe{l,2,尤2},貝口的取值為（）

A.1B.1或2C.0或2D.0或1或2

【答案】C

【解析】由元素和集合關系可知：*=1或尤=2或%=X2,

解的x=O或1或2,

由集合的性質可知，當x=l時，{1,2,1}不滿足互異性，

所以工的取值為?；?.

故選：C.

【方法技巧】

1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別.

2、當集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數(shù).

【變式3-1]（2024.全國.模擬預測）已知集合4={尤?=3左+1水?2},則下列表示正確的是（）.

A.-2eA2023gA

C.3k2+l^tA-35A

【答案】A

【解析】當上=-1時，x=-2,所以-2eA,故A正確；

當上=674時，x=3x674+l=2023,所以2023vA,故B錯誤；

當左=1或左=0時，3%2+1=3%+1,所以次2+leA,故C錯誤；

當上=一12時，x=-12x3+l=-35,所以一35wA,故D錯誤.

故選：A

【變式3-2](2024?貴州貴陽?模擬預測)若集合A={x|2〃ix-3>0,加eR},其中2e/且1交A,則實

數(shù)機的取值范圍是()

(331「33、(33、「33一

A.—B.—C.yD.—

(42」L42J(42)142」

【答案】A

心—,.,(2mx2—3>0A,33

【解析】由題意可得:|Q/八，解得=<加工].

[2mxl-3<042

故選：A.

【變式3-3]已知4=卜卜2一依+i?o},若2e/,且3任A,貝必的取值范圍是()

「「、

A5.引10AB./匕5，引1010?匕5刁)口.(—10

【答案】A

【解析】由題意得4—2"+14。且9—3。+1>。，解得

故選：A

題型四：集合與集合之間的關系

【典例4-1】(2024?四川德陽?三模)已知集合4="|1<彳<2024},B^[x\x<a},若A=B,則實數(shù)

。的取值范圍是()

A.(2024,E)B,[2024,+oo)C.(—8,2024]D.(-oo,2024)

【答案】B

【解析】集合A={x[l<x<2024},B^[x\x<a],又貝i]aN2024,

所以實數(shù)a的取值范圍是[2024,+助.

故選：B

【典例4?2】(2024.全國.模擬預測)已知集合｛1,0｝旦3｛-1,0,1,2｝,則滿足條件的集合笈的個數(shù)為

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】由｛1,0仁8可得1€8且。€3,根據(jù)3為｛-1,0,1,2｝的真子集，

可得3=｛1,0｝或8=｛1,0,-1｝或3=｛1,0,2｝,故滿足條件的集合3的個數(shù)為3.

故選：A

【方法技巧】

1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.

2、判斷集合之間關系的兩大技巧：

(1)定義法進行判斷

(2)數(shù)形結合法進行判斷

【變式4-1](2024?河南駐馬店?一模)已知集合

M=卜x=5+7,左eZN=]xk=工+萬,左wZeA/,則與與N的關系是()

A.B.XQ^N

C.無(,eM且不走ND.不能確定

【答案】A

【解析】M=|x|x=~|+；=2;晨eZ：,N=1x|x=：+；=^^,A:ez1,

由上eZ,可得2左+1是奇數(shù)，左+2是整數(shù)，

所以MqN,因為不€加，所以Xo^N.

故選：A.

【變式4-2】已知集合",Nu/,若McN=N,則()

A.薛必口[NB.M三0NC.猴/c,ND.M

【答案】C

【解析】McN=N,N=M,若把/看作全集，作出韋恩圖如圖所示:

的補集包含M的補集.

故選：C.

【變式4-3](2024.青海西寧.二模)設集合A={1,2“+1},8={3,a-1,34-2},若4=8,則。=()

A.-2B.-1C.1D.3

【答案】C

【解析】由已知得，若2a+l=3,解得a=l,

此時A={1,3},8={0,1,3},符合題意；

若2a+l=a—1,解得a=—2,

此時4={L—3},8={-8,-3,3},不符合題意;

若2a+l=3a-2,解得°=3,此時A={1,7},8={2,3,7},不符合題意，

綜上所述,。=1.

故選:C.

題型五：集合的交、并、補運算

【典例5-1】已知集合4={磯尤-2)(X-5)<0},B=W|3-2x|<5},貝|他力18=()

A.(-1,2)B.[-1,2]C.[-1,2)D.(-1,2]

【答案】C

【解析】由(％-2心—5)40,得2VXV5,則4={x|2VxV5},則％A={x|x<2或x>5},

由|3-2x|<5,得-LVxV4,則8={尤|-14x<4},

所以(hA)cB={x|-14x<2}.

故選：C.

【典例5-2】（2024?廣東深圳?二模）對于任意集合下列關系正確的是（）

A.M風力=MNB.瘠N(MN)=(材

D.瘩N(/N)=(MNM)%'N)

C.M④NN=MN

【答案】B

對于A：如圖所知，為區(qū)域①，所以=M故A錯誤;

對于B：&UN（MCN）為區(qū)域①和③；（加施加）為區(qū)域③，（&°NN）為區(qū)域①，則

（齦NM）U（MUNN）也為為區(qū)域①和③；兩邊相等，故B正確;

對于C：(a^N)為區(qū)域①，MeNN為區(qū)域①，不等于區(qū)域②(區(qū)域②為McN),故C錯誤;

對于D：g”(McN)為區(qū)域①和③；而(勒〃加)為區(qū)域③，(孰3》)為區(qū)域①，所以

(麻NM)C(MUVN)為空集，所以D錯誤；

故選：B.

【方法技巧】

1、注意交集與并集之間的關系

2、全集和補集是不可分離的兩個概念

【變式5-1】已知集合0="4={巾=括二1+^^},3=卜卜一%2<()),則必(4可=()

A.[0,1)B.(0,1]

C.(-co,0]u(l,+co)D.(^?,0)kj[l,+co)

【答案】B

【解析】因為函數(shù)y=^/Tz7+C的定義域為{l},

所以函數(shù)y=VI=+GT值域為{0},

所以A={0}，

不等式％-》2<0的解集為{小<o或》〉1},

所以8=[x\x<0或x>1},

AuB={x|xW0或x>l},

則2(408)={引0<彳<1}.

故選：B.

【變式52](2024?四川德陽?二模)已知集合人=卜|九2一%—224,B={%|y=hiY},貝！](a4)八8二

()

A.1x|0<x<l|B.|x[0<x<21

C.{x|-l<x<2}D.{x|x>2}

【答案】B

【解析】因為A={九Ix2-x-2>0]={x\x>2^x<-l],

貝ijdA=|x|-l<x<2|,又5={x|y=Inx}=1x|x>0},

所以(aA)cB={x|0vxv2}.

故選：B

題型六：集合與排列組合的密切結合

【典例6-1】(2024?福建廈門?二模)設集合A=｛T,0/｝,B=\^xi,x1,x3,x^,x5)\xieA,z=1,2,3,4,5),那

么集合3中滿足14卜|+國+國+聞+國＜3的元素的個數(shù)為()

A.60B.100C.120D.130

【答案】D

【解析】由題意知集合3中滿足閆玉|+國+國+聞+國43的元素的個數(shù)，

即指王,々,三，州，毛中取值為-1或1的個數(shù)和為1或2或3,

故滿足條件的元素的個數(shù)為C；x2+C；x2?+C；x23=10+40+80=130(個)，

故選：D

【典例6-2](2024?全國?模擬預測)已知ABC的三個頂點的橫縱坐標均在集合｛1,2,3,4｝內(nèi)，則這樣

的三角形共有()

A.64個B.125個

C.432個D.516個

【答案】D

【解析】由題意，橫縱坐標均在集合｛L2,3,4｝內(nèi)的點共有4x4=16個，

從這16個點中任意選出三個點，共有CM=與手;=560個，

3x2x1

其中三個點共線的情況有C：x4x2+C：x2+4=44個，

所以滿足題目要求的三角形共有560-44=516.

故選：D

加

4

【典例6-3】card(AB)=card(BC)=card。A)=l,且ABC=0,則稱(A,B,C)為N的“有

序子集列”.現(xiàn)有N={1,2,3,4,5,6},則N的“有序子集列”的個數(shù)為()

A.540個B.1280個C.3240個D.7680個

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，優(yōu)先確定兩兩交集cwd(A'3)=ca"(3C)=card(CA)=l中的元素，六個元

素中選擇三個進行排列，然后再排其余的三個元素，其余的三個元素可能再A,B,C的某一個里面可能都不

在，所以其余的三個元素都有4種選擇方法，所以N的“有序子集列”的個數(shù)為A：X43=7680（個）.

故選：D.

【方法技巧】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數(shù)的問題，需要運用分析與轉化的思想方法。

【變式6-1】設集合A={1,2,3,4},8={5,6,7},則從A集合到B集合所有不同映射的個數(shù)是（）

A.81B.64C.12D.以上都不正確

【答案】A

【解析】集合A中的每一個元素，在集合3中都有唯一對應的元素與之對應，

A中有4個元素，每個元素可以有3種對應方式，共有34=81種不同的對應方式，

即從集合A到集合3的不同映射的個數(shù)是81.

故選：A

【變式6-2］己知AB={1,2,3,,2022,2023},則由集合A,3構成的集合{A,周的個數(shù)為（）

A24045_22023B24045—22022

C24046_22023D24046—22022

【答案】B

【解析】由于口,2,3,,2022,2023}的子集個數(shù)為22。23,

因此集合{4團是從{123,「2022,2023}的22。23個子集中挑選2個子集組成的集合，

22023/22023_1\

240452022

于是集合{A，B}的個數(shù)為CM23=_____'_______L=2-2.

22U232

故選：B.

【變式6-3］（2024.高三?四川雅安.開學考試）已知集合［/=口€2|14工＜5},非空集合A=且A中

所有元素之和為奇數(shù)，則滿足條件的集合A共有（）

A.12個B.14個C.16個D.18個

【答案】C

【解析】U={xeZ|lWxW5}={l,2,3,4,5},

由于A中所有元素之和為奇數(shù)，且非空集合

當A中只有一個元素時，則4={1},或A={3},或4={5},

當A中有2個元素時，則A中的元素必為一偶一奇，故有2*3=6個滿足條件的A,

當A中有3個元素時，則A中的元素必為2偶一奇或者三個元素均為奇數(shù)，故有4個滿足條件的A,

當A中有4個元素時，則A中的元素必為一偶3奇，故有2個滿足條件的A,

當A中有5個元素時，則A={1,2,3,4,5}滿足條件,

故共有3+6+4+2+1=16,

故選：c

【變式6-4］（2024?上海靜安?一模）已知直線歐+力+C=O的斜率大于零，其系數(shù)。、b、c是取自集合

{-2,-1,0,1,2}中的3個不同元素，那么這樣的不重合直線的條數(shù)是（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】A

【解析】因為直線6+外+。=0的斜率大于零，

所以“6<0,

當c=0,。有2種選法，b有2種選法，c有1種選法；

因為直線-2x+2y=0與直線-尤+y=0重合，

所以這樣的直線有2x2x1-1=3條；

當c<0時，。有1種選法，b有2種選法，c有2種選法；

所以這樣的直線有2xlx2=4條，

當c>0時，。有2種選法，b有1種選法，c有2種選法；

所以這樣的直線有2xlx2=4條，

綜上：這樣的不重合直線的條數(shù)是3+8=11條，

故選:A

題型七：容斥原理

【典例7-1】（2024?高三?北京?強基計劃）一群學生參加學科夏令營，每名同學參加至少一個學科考

試.已知有100名學生參加了數(shù)學考試，50名學生參加了物理考試，48名學生參加了化學考試，學生總數(shù)

是只參加一門考試學生數(shù)的2倍，也是參加三門考試學生數(shù)的3倍，則學生總數(shù)為（）

A.108名B.120名C.125名D.前三個答案都不對

【答案】A

【解析】設只參加了數(shù)學、物理、化學考試的學生數(shù)分別為％,y,z；

參加了兩門學科考試的同學中參加了數(shù)學和物理、物理和化學、化學和數(shù)學的學生數(shù)分別為c,a,

同時參加了三門學科考試的學生數(shù)為加，如圖.

x+b+c+m=100

y+c+a+m=50

根據(jù)題意，有<

z+a+b+m=4S

x+y+z+〃+b+c+機=2（x+y+z）=3m

前面三個等式相加，可得元+丁+2+2（。+/?+0）+3機=198.

3m

由第四個等式可得x+y+z=一a,a+b+c=一,

22

3

因止匕一根+m+3m=198,

2

解得m=36.因此學生總數(shù)為3m=108.

【典例7-2】“四書五經(jīng)”是中國傳統(tǒng)文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學》《中庸》

《論語》《孟子》.某大學為了解本校學生閱讀“四書”的情況，隨機調查了200位學生，其中閱讀過《大學》

的有60位，閱讀過《論語》的有160位，閱讀過《大學》或《論語》的有180位，閱讀過《大學》且閱讀

過《論語》及《中庸》的有20位.則該校閱讀過《大學》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學生人數(shù)與

該校學生總數(shù)比值的估計值是（）

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

【答案】A

【解析】如下圖，閱讀過《大學》且閱讀過《論語》的人數(shù)是160+60—180=40,

閱讀過《大學》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學生人數(shù)是40—20=20,

由樣本估計總體，得所求比值為2品0=?！?

容斥問題本身存在包容與排斥的一種計數(shù)問題，所以我們在處理這一類問題的時候必須要注意扣除掉

重復的部分，也要保證沒有遺漏，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這種方

法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)

時重復計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理.

【變式7-1］（2024.高三.湖北.期末）某校高一年級有1200人，現(xiàn)有兩種課外實踐活動供學生選擇，要

求每個同學至少選擇一種參加.統(tǒng)計調查得知，選擇其中一項活動的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%,選擇另一項

活動的人數(shù)占50%到55%,則下列說法正確的是（）

A.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有100人

B.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有180人

C.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有260人

D.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有320人

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，60%+50%-1=10%,65%+55%-1=20%,

則同時選4,8的人數(shù)在10%到20%之間，換算成人數(shù)為1200xl0%=120,1200x20%=240,即120到

240之間，

因此符合題意的選項只有B.

故選：B.

【變式7-2］（2024?高三?福建三明?期中）某班有45名同學參加語文、數(shù)學、英語興趣小組.已知僅參

加一個興趣小組的同學有20人，同時參加語文和數(shù)學興趣小組的同學有9人，同時參加數(shù)學和英語興趣小

組的同學有15人，同時參加語文和英語興趣小組的同學有11人，則同時參加這三個興趣小組的同學有

人.

【答案】5

【解析】以集合A、B.C表示分別參加語文、數(shù)學、英語興趣小組的學生，如下圖所示：

設同時參加這三個興趣小組的同學有1人，由圖可得20+（9-x）+（n-x）+（15—x）+x=55—2x=45,

解得x=5.

故答案為：5.

【變式7-3］（2024.江西?模擬預測）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：

看電影，學黨史”系列短視頻，傳揚中國共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之

歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學社團有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看

了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4

人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人,

三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為一.

【答案】3

【解析】把大學社團50人形成的集合記為全集U,觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三

支短視頻的人形成的集合分別記為A,B,C,依題意，作出韋恩圖，如圖，

觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有21-4-6-3=8（人）,

因觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，則只看了《建黨偉業(yè)》的有23-4-7-3=9（人），

因觀看了《開國大典》的有26人，則