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文檔簡介
安徽省黃山市徽州區(qū)一中2025屆高一數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.下列每組函數(shù)是同一函數(shù)的是()A. B.C. D.2.已知,則A. B.C. D.3.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為A. B.C. D.4.與角的終邊相同的最小正角是()A. B.C. D.5.的值是A.0 B.C. D.16.若關于的函數(shù)的最大值為,最小值為,且,則實數(shù)的值為()A.2020 B.2019C.1009 D.10107.“”是“”的()條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.即不充分也不必要8.可以化簡成()A. B.C. D.9.若直線與曲線有兩個不同的交點,則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.10.若函數(shù)的三個零點分別是,且,則()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知表示這個數(shù)中最大的數(shù).能夠說明“對任意,都有”是假命題的一組整數(shù)的值依次可以為_____12.已知函數(shù)若方程恰有三個實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是_______.13.已知函數(shù)是冪函數(shù),且在x∈(0,+∞)上遞減,則實數(shù)m=________14.已知的圖象的對稱軸為_________________15.已知函數(shù),,若不等式恰有兩個整數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是________16.命題“”的否定為___________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.如圖,某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,外的地方種草,的內(nèi)接正方形PQRS為一水池,其余的地方種花.若,,設的面積為,正方形PQRS的面積為.(1)用a,表示和;(2)當a為定值,變化時,求的最小值,及此時的值.18.已知函數(shù),.(1)若不等式的解集為,求不等式的解集;(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍19.已知函數(shù)(其中)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為(Ⅰ)求函數(shù)的圖象的對稱軸;(Ⅱ)若函數(shù)在內(nèi)有兩個零點,求的取值范圍及的值20.如圖,已知矩形,,,點為矩形內(nèi)一點,且,設.(1)當時,求證:;(2)求的最大值.21.已知向量,向量分別為與向量同向的單位向量.(Ⅰ)求向量與的夾角;(Ⅱ)求向量的坐標.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】依次判斷每組函數(shù)的定義域和對應法則是否相同,可得選項.【詳解】A.的定義域為,的定義城為,定義域不同,故A錯誤;B.的定義域為,的定義域為,定義域不同,故B錯誤;C.與的定義域都為,,對應法則相同,故C正確;D.的定義域為,的定義域為,定義域不同,故D錯誤;故選:C【點睛】易錯點睛:本題考查判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù),判斷時,注意考慮函數(shù)的定義域和對應法則是否完全相同,屬于基礎題.2、D【解析】考點:同角間三角函數(shù)關系3、D【解析】先由函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù),所以,再求得,再求函數(shù)的定義域,再結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】解:由題意函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱知,函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù),所以,即,要使函數(shù)有意義,則,即,解得,設,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.因為函數(shù)在定義域上為增函數(shù),所以由復合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知,則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,故選D【點睛】本題考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法及復合函數(shù)的單調(diào)性,重點考查了函數(shù)的定義域,屬中檔題.4、D【解析】寫出與角終邊相同的角的集合,即可得出結(jié)論.【詳解】與角終邊相同角的集合為,當時,取得最小正角為.故選:D.5、B【解析】利用誘導公式和和差角公式直接求解.【詳解】故選:B6、D【解析】化簡函數(shù),構(gòu)造函數(shù),再借助函數(shù)奇偶性,推理計算作答.【詳解】依題意,當時,,,則,當時,,,即函數(shù)定義域為R,,令,,顯然,即函數(shù)是R上的奇函數(shù),依題意,,,而,即,而,解得,所以實數(shù)的值為.故選:D7、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念,結(jié)合題意,即可得到結(jié)果.【詳解】因為,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B.8、B【解析】根據(jù)指數(shù)冪和根式的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)化即可【詳解】解:,故選:B9、D【解析】表示的曲線為圓心在原點,半徑是1的圓在x軸以及x軸上方的部分作出曲線的圖象,在同一坐標系中,再作出斜率是1的直線,由左向右移動,可發(fā)現(xiàn),直線先與圓相切,再與圓有兩個交點,直線與曲線相切時m值為,直線與曲線有兩個交點時的m值為1,則故選D10、D【解析】利用函數(shù)的零點列出方程,再結(jié)合,得出關于的不等式,解之可得選項【詳解】因為函數(shù)的三個零點分別是,且,所以,,解得,所以函數(shù),所以,又,所以,故選:D【點睛】關鍵點睛:本題考查函數(shù)的零點與方程的根的關系,關鍵在于準確地運用零點存在定理二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、(答案不唯一)【解析】首先利用新定義,再列舉命題為假命題的一組數(shù)值,再根據(jù)定義,驗證命題是假命題.【詳解】設,,則,而,,故命題為假命題,故依次可以為故答案為:(答案不唯一)12、【解析】令f(t)=2,解出t,則f(x)=t,討論k的符號,根據(jù)f(x)的函數(shù)圖象得出t的范圍即可【詳解】解:令f(t)=2得t=﹣1或t(k≠0)∵f(f(x))﹣2=0,∴f(f(x))=2,∴f(x)=﹣1或f(x)(k≠0)(1)當k=0時,做出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示:由圖象可知f(x)=﹣1無解,即f(f(x))﹣2=0無解,不符合題意;(2)當k>0時,做出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示:由圖象可知f(x)=﹣1無解,f(x)無解,即f(f(x))﹣2=0無解,不符合題意;(3)當k<0時,做出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示:由圖象可知f(x)=﹣1有1解,∵f(f(x))﹣2=0有3解,∴f(x)有2解,∴1,解得﹣1<k綜上,k的取值范圍是(﹣1,]故答案為(﹣1,]【點睛】本題考查了函數(shù)零點個數(shù)與函數(shù)圖象的關系,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題13、2【解析】由冪函數(shù)的定義可得m2-m-1=1,得出m=2或m=-1,代入驗證即可.【詳解】是冪函數(shù),根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì),得m2-m-1=1解得m=2或m=-1,當m=2時,f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數(shù),符合題意;當m=-1時,f(x)=x0=1在(0,+∞)上不是減函數(shù),所以m=2故答案為:2【點睛】本題考查了冪函數(shù)的定義,考查了理解辨析能力和計算能力,屬于基礎題目.14、【解析】根據(jù)誘導公式可得,然后用二倍角公式化簡,進而可求.【詳解】因為所以,故對稱軸為.故答案為:15、.【解析】因為,所以即的取值范圍是.點睛:對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題,可利用函數(shù)的值域或最值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍.從圖象的最高點、最低點,分析函數(shù)的最值、極值;從圖象的對稱性,分析函數(shù)的奇偶性;從圖象的走向趨勢,分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等16、【解析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題求解.【詳解】因為特稱命題的否定為全稱命題,所以“”的否定為“”,故答案:.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)當時,的值最小,最小值為【解析】(1)利用已知條件,根據(jù)銳角三角形中正余弦的利用,即可表示出和;(2)根據(jù)題意,將表示為的函數(shù),利用倍角公式對函數(shù)進行轉(zhuǎn)化,利用換元法,借助對勾函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最小值.【詳解】(1)在中,,所以;設正方形的邊長為x,則,,由,得,解得;所以;(2),令,因為,所以,則,所以;設,根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知,在上單調(diào)遞減,因此當時,有最小值,此時,解得;所以當時,的值最小,最小值為.【點睛】本題考查倍角公式的使用,三角函數(shù)在銳角三角形中的應用,以及利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值,涉及換元法,屬綜合性中檔題.18、(1);(2)【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)與對應一元二次不等式的關系,求出a的值,再解不等式即可;(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),列出不等式組,求出解集即可.【詳解】(1)因為不等式的解集為,則方程的兩個根為1和2,由根與系數(shù)的關系可得,,所以.由,得,即,解得或,所以不等式的解集為;(2)由題知函數(shù),且在區(qū)間上有兩個不同的零點,則,即,解得,所以實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題,也考查了不等式(組)的解法與應用問題,綜合性較強,屬中檔題.19、(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】(Ⅰ)由題意,圖象上相鄰兩個最高點的距離為,即周期,可得,即可求解對稱軸;(Ⅱ)函數(shù)在,內(nèi)有兩個零點,,轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個交點,即可求解的范圍;在,內(nèi)有兩個零點,是關于對稱軸是對稱的,即可求解的值【詳解】(Ⅰ)∵已知函數(shù)(其中)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為,∴,故函數(shù).令,得+,故函數(shù)的圖象的對稱軸方程為+,;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知函數(shù).∵x∈,∴∈[,]∴-≤≤,要使函數(shù)在內(nèi)有兩個零點∴-<m<,且m即m的取值范圍是(-,)∪(,)函數(shù)在內(nèi)有兩個零點,可得是關于對稱軸是對稱的,對稱軸為=2x-,得x=,在內(nèi)的對稱軸x=或當m∈(-,1)時,可得=,=當m∈(-1,-)時,可得x1+x2=,∴==20、(1)見解析(2)【解析】(1)以為坐標原點建立平面直角坐標系,求出各點的坐標,即得,得證;(2)由三角函數(shù)的定義可設,,再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解.【詳解】以為坐標原點建立平面直角坐標系,則,,,.當時,,則,,∴.∴.(2)由三角函數(shù)的定義可設,則,,,從而
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