2025屆福建泉州市數(shù)學(xué)高一上期末調(diào)研試題含解析

2025屆福建泉州市數(shù)學(xué)高一上期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，則的值為（）A. B.C.或 D.2．已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖A'B'C'D'（如圖所示），其中A'D'=2，B'C'=4，A'B'=1，則直角梯形DC邊的長(zhǎng)度是A.5 B.2C.25 D.3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，則（）A. B.C. D.5．函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[–π，π]的圖象大致為（）A. B.C. D.6．已知扇形的面積為，當(dāng)扇形的周長(zhǎng)最小時(shí)，扇形的圓心角為（）A1 B.2C.4 D.87．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A. B.C. D.8．劉徽(約公元225年—295年)，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一.他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作，割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)變得很大時(shí)，這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可以得到的近似值為（）A. B.C. D.9．設(shè)命題p：，命題q：，則p是q成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．如果且，則等于A.2016 B.2017C.1009 D.2018二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，，則________12．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時(shí)間t(單位：h)間的關(guān)系為，其中，是正的常數(shù).如果在前5h消除了10%的污染物，那么10h后還剩百分之幾的污染物________.13．已知，則的最小值為_______________.14．圓在點(diǎn)P（1，）處的切線方程為_____15．已知表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．能夠說明“對(duì)任意,都有”是假命題的一組整數(shù)的值依次可以為_____16．如圖，在正方體中，、分別是、上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)最大值和最小值.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍.19．已知函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）解不等式.20．在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時(shí)，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識(shí)來研究，在一定程度上可以簡(jiǎn)化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式：具體過程如下：如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓，以為始邊作角．它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為則，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有設(shè)的夾角為，則，另一方面，由圖（1）可知，；由圖（2）可知，于是所以，也有；所以，對(duì)于任意角有：此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記作．有了公式以后，我們只要知道的值，就可以求得的值了閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中是的中點(diǎn)），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：（1）判斷是否正確？（不需要證明）（2）證明：21．設(shè)向量，且與不共線（1）求證：；（2）若向量與的模相等，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】分別令和，根據(jù)集合中元素的互異性可確定結(jié)果.【詳解】若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），此時(shí)，符合題意；綜上所述：.故選：A.2、B【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫法，原來的高變成了45°方向的線段，且長(zhǎng)度是原高的一半，∴原高為AB=2而橫向長(zhǎng)度不變，且梯形ABCD是直角梯形，∴DC=故選B3、B【解析】先由函數(shù)定義域，排除A；再由函數(shù)奇偶性排除D，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可得出B正確，C錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，故A不滿足題意；D選項(xiàng)，余弦函數(shù)偶函數(shù)，故D不滿足題意；B選項(xiàng)，正切函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間是增函數(shù)，即B正確；C選項(xiàng)，正弦函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間是增函數(shù)；因此是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故C不滿足題意.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟記三角函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解析】根據(jù)解析式，判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求得零點(diǎn)所在區(qū)間，結(jié)合題意，即可求得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，故其至多一個(gè)零點(diǎn)；又，，故的零點(diǎn)在區(qū)間，故.故選：5、A【解析】首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在處的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，據(jù)此可知選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；且時(shí)，，據(jù)此可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)6、B【解析】先表示出扇形的面積得到圓心角與半徑的關(guān)系，再利用基本不等式求出周長(zhǎng)的最小值，進(jìn)而求出圓心角的度數(shù).【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，則由題意可得∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)扇形的圓心角為2時(shí),扇形的周長(zhǎng)取得最小值32.故選：B.7、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上為增函數(shù)；由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增；由在區(qū)間上為增函數(shù)，為增函數(shù)，可知在區(qū)間上為增函數(shù)；知在區(qū)間上為減函數(shù).故選：D8、B【解析】將一個(gè)圓的內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形；根據(jù)題意，可知個(gè)等腰三角形的面積和近似等于圓的面積，從而可求的近似值.【詳解】將一個(gè)圓的內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形，設(shè)圓的半徑為，則，即，所以.故選：B.9、B【解析】先解不等式，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷【詳解】由，得，所以命題p：，由，得，所以命題q：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不一定成立，當(dāng)時(shí)，一定成立，所以p是q成立的必要不充分條件，故選：B10、D【解析】∵f（x）滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b都有f（a+b）=f（a）?f（b），∴令b=1得，f（a+1）=f（a）?f（1），∴,所以，共1009項(xiàng)，所以.故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】發(fā)現(xiàn)，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，且，則.故答案為-2【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)解析式，計(jì)算發(fā)現(xiàn)是關(guān)鍵，屬于中檔題.12、81%【解析】根據(jù)題意，利用函數(shù)解析式，直接求解.【詳解】由題意可知,，所以.所以10小時(shí)后污染物含量，即10小時(shí)后還剩81%的污染物.故答案為:81%13、##225【解析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.14、x－y＋2＝0【解析】圓，點(diǎn)在圓上，∴其切線方程為，整理得：15、（答案不唯一）【解析】首先利用新定義，再列舉命題為假命題的一組數(shù)值，再根據(jù)定義，驗(yàn)證命題是假命題.【詳解】設(shè)，，則，而，，故命題為假命題，故依次可以為故答案為：（答案不唯一）16、【解析】連接，可得出，證明出四邊形為平行四邊形，可得，可得出異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，分析的形狀，即可得出的大小，即可得出答案.【詳解】連接、、，，，在正方體中，，，，所以，四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線與所成的角為.易知為等邊三角形，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，一般利用平移直線法，選擇合適的三角形求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），.【解析】（1）利用和差公式和倍角公式把化為，然后可解出答案；（2）求出的范圍，然后由正弦函數(shù)的知識(shí)可得答案.【詳解】（1）由可得單調(diào)遞增區(qū)間為（2），即時(shí)，即時(shí)，18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】（1）先由三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出單調(diào)區(qū)間；（2）由的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)的定義求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由得故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.由得故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】由（1）可知，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)由題意可知：，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19、（1）見解析；（2）【解析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到，即可解出的集合.【詳解】解：（1）設(shè)任意的且，則，且，，，即，即，即對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，在區(qū)間上增函數(shù)；（2）由（1）知：在區(qū)間上是增函數(shù)；又，，即，即，解得：，即的解集為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定義法判定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的一般步驟：

取值：任取，，規(guī)定，

作差：計(jì)算，

定號(hào)：確定的正負(fù)，

得出結(jié)論：根據(jù)同增異減得出結(jié)論.20、（1）正確；（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)單位向量的定義可得出結(jié)論；（2）根據(jù)向量相等及坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)計(jì)算即可證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?/p>