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2025屆福建省龍巖市非一級達(dá)標(biāo)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.有7名同學(xué)參加百米競賽,預(yù)賽成績各不相同,取前3名參加決賽,小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績,為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽,他還需要知道7名同學(xué)成績的()A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差2.命題“,”的否定形式是()A.“,” B.“,”C.“,” D.“,”3.已知是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列結(jié)論正確的是()A.若,則 B.若,則C若,則 D.若,則4.?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn),任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上,這條直線稱為歐拉線.已知的頂點(diǎn),,若其歐拉線的方程為,則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B.C. D.5.的展開式中的系數(shù)是()A.1792 B.C.448 D.6.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且平行于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn),那么的值為()A. B.C. D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸人的()A. B.或C. D.或8.已知數(shù)列中,其前項(xiàng)和為,且滿足,數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對恒成立,則實(shí)數(shù)的值可以是()A. B.2C.3 D.9.正方體的棱長為2,E,F(xiàn),G分別為,AB,的中點(diǎn),則直線ED與FG所成角的余弦值為()A. B.C. D.10.設(shè)分別為圓和橢圓上的點(diǎn),則兩點(diǎn)間的最大距離是A. B.C. D.11.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.12.若直線與平行,則實(shí)數(shù)m等于()A.0 B.1C.4 D.0或4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.14.已知圓柱軸截面是邊長為4的正方形,則圓柱的側(cè)面積為______________
.15.若經(jīng)過點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),則______.16.若在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為軸,焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,且(1)求拋物線的方程;(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),設(shè),判斷是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.18.(12分)已知橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,線段AB的中點(diǎn)為M.若直線OM的斜率為-1,求線段AB的長;(3)如圖,設(shè)橢圓上一點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1(R在第一象限),過R作兩條不重合直線分別與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)、若直線PR與QR的傾斜角互補(bǔ),求直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.19.(12分)已知點(diǎn),,線段是圓的直徑.(1)求圓的方程;(2)過點(diǎn)的直線與圓相交于,兩點(diǎn),且,求直線的方程.20.(12分)解答下列兩個(gè)小題:(1)雙曲線:離心率為,且點(diǎn)在雙曲線上,求的方程;(2)雙曲線實(shí)軸長為2,且雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程21.(12分)已知函數(shù)(1)求在點(diǎn)處的切線方程(2)求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積22.(10分)已知橢圓的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,橢圓的離心率為,過點(diǎn)作斜率不為0的直線,交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn),且為定值(1)求橢圓的方程;(2)求面積的最大值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì),結(jié)合題設(shè)按成績排序7選3,即可知還需明確的成績數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè),7名同學(xué)參加百米競賽,要取前3名參加決賽,則成績從高到低排列,確定7名同學(xué)成績的中位數(shù),即第3名的成績便可判斷自己是否能進(jìn)入決賽.故選:C.2、C【解析】由全稱命題的否定是特稱命題即得.【詳解】“任意”改為“存在”,否定結(jié)論即可.命題“,”的否定形式是“,”.故選:C.3、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,逐一核對四個(gè)選項(xiàng)得答案【詳解】解:對于A:若,則或,故A錯(cuò)誤;對于B:若,則或與相交,故B錯(cuò)誤;對于C:若,根據(jù)面面垂直的判定定理可得,故C正確;對于D:若則與平行、相交、或異面,故D錯(cuò)誤;故選:C4、A【解析】設(shè),計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程,再求出外心坐標(biāo),根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程,最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè),由重心坐標(biāo)公式得,三角形的重心為,,代入歐拉線方程得:,整理得:①的中點(diǎn)為,,的中垂線方程為,即聯(lián)立,解得的外心為則,整理得:②聯(lián)立①②得:,或,當(dāng),時(shí),重合,舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選:A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵一是求出外心,二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.5、D【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算出正確答案.【詳解】的展開式中,含的項(xiàng)為.所以的系數(shù)是.故選:D6、A【解析】根據(jù)橢圓的方程求出,再由橢圓的對稱性及定義求解即可.【詳解】由橢圓的對稱性可知,,所以,又橢圓方程為,所以,解得,所以,故選:A7、A【解析】根據(jù)題意可知該程序框圖顯示的算法函數(shù)為,分和兩種情況討論即可得解.【詳解】解:該程序框圖顯示得算法函數(shù)為,由,當(dāng)時(shí),,方程無解;當(dāng)時(shí),,解得,綜上,若輸出的,則輸入的.故選:A.8、D【解析】由求出,從而可以求,再根據(jù)已知條件不等式恒成立,可以進(jìn)行適當(dāng)放大即可.【詳解】若n=1,則,故;若,則由得,故,所以,,又因?yàn)閷愠闪?,?dāng)時(shí),則恒成立,當(dāng)時(shí),,所以,,,若n為奇數(shù),則;若n為偶數(shù),則,所以所以,對恒成立,必須滿足.故選:D9、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系,故選:B10、D【解析】轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值加(半徑).【詳解】設(shè),圓心為,則,當(dāng)時(shí),取到最大值,∴最大值為故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圓上點(diǎn)與橢圓上點(diǎn)的距離的最值問題,解題關(guān)鍵是圓上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圓心,利用圓心到動(dòng)點(diǎn)距離的最值加(或減)半徑得出結(jié)論11、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在有解,進(jìn)而求函數(shù)的最值,即可求出的范圍.【詳解】∵,∴,若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則有解,故,令,則在單調(diào)遞增,,故.故選:D.12、A【解析】由兩條直線平行的充要條件即可求解.【詳解】解:因?yàn)橹本€與平行,所以,解得,故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2n+1【解析】由計(jì)算,再計(jì)算可得結(jié)論【詳解】由題意時(shí),,又適合上式,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由求通項(xiàng)公式,解題根據(jù)是,但要注意此式不含,14、【解析】由圓柱軸截面的性質(zhì)知:圓柱體的高為,底面半徑為,根據(jù)圓柱體的側(cè)面積公式,即可求其側(cè)面積.【詳解】由圓柱的軸截面是邊長為4的正方形,∴圓柱體的高為,底面半徑為,∴圓柱的側(cè)面積為.故答案為:.15、【解析】由題意寫出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,得出韋達(dá)定理,由弦長公式可得答案.【詳解】設(shè),則直線的方程為由,得所以所以故答案為:16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),結(jié)合常變量分離法進(jìn)行求解即可.【詳解】,因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),所以在上恒成立,即,當(dāng)時(shí),的最小值為,所以,故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)是,0【解析】(1)根據(jù)題意,設(shè)拋物線的方程為:,則,,進(jìn)而根據(jù)得,進(jìn)而得答案;(2)直線的方程為,進(jìn)而聯(lián)立方程,結(jié)合韋達(dá)定理與向量數(shù)量積運(yùn)算化簡整理即可得答案.【小問1詳解】解:由題意,設(shè)拋物線的方程為:,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)椋?,即,解?所以拋物線的方程為:【小問2詳解】解:設(shè)直線的方程為,則聯(lián)立方程得,所以,,因?yàn)椋?所以為定值.18、(1);(2);(3).【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長半軸長a即可計(jì)算得解.(2)將代入橢圓的方程,再結(jié)合給定條件求出k值即可計(jì)算出AB的長.(3)設(shè)出直線PR的方程,再與橢圓的方程聯(lián)立求出點(diǎn)P坐標(biāo),同理可得點(diǎn)Q坐標(biāo),計(jì)算PQ的斜率即可作答.【小問1詳解】依題意,橢圓的半焦距c=1,而,解得,則,所以橢圓的方程是:.【小問2詳解】由消去y并整理得:,解得,,于是得線段AB的中點(diǎn),直線OM斜率為,解得,因此,,所以線段AB的長為.【小問3詳解】由(1)知,點(diǎn),依題意,設(shè)直線PR的斜率為,直線PR方程為:,由消去y并整理得,,設(shè)點(diǎn),則有,顯然直線QR的斜率為-t,設(shè)點(diǎn),同理有,于是得直線PQ的斜率,所以直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法:①定義法:根據(jù)橢圓的定義,確定,的值,結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程②待定系數(shù)法:若焦點(diǎn)位置明確,則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合已知條件求出a,b;若焦點(diǎn)位置不明確,則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論.19、(1);(2)或.【解析】(1)AB兩點(diǎn)的中點(diǎn)為圓心,AB兩點(diǎn)距離的一半為半徑;(2)分斜率存在和不存在,根據(jù)垂徑定理即可求解.【小問1詳解】已知點(diǎn),,線段是圓M的直徑,則圓心坐標(biāo)為,∴半徑,∴圓的方程為;【小問2詳解】由(1)可知圓的圓心,半徑為.設(shè)為中點(diǎn),則,,則.當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí),的方程為,此時(shí),符合題意;當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí),設(shè)的方程為,即kx-y+2=0,則,解得,故直線的方程為,即.綜上,直線的方程為或.20、(1);(2).【解析】(1)由可得,再將點(diǎn)代入方程,聯(lián)立解出答案,可得答案.(2)先求出橢圓的焦點(diǎn),則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,由條件可得,且,從而得出答案.詳解】(1)由,得,即,又,即,雙曲線的方程即為,點(diǎn)坐標(biāo)代入得,解得所以,雙曲線的方程為(2)橢圓的焦點(diǎn)為,設(shè)雙曲線的方程為,所以,且,所以,所以,雙曲線的方程為21、(1)(2)2【解析】(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可求出切線的斜率,再利用點(diǎn)斜式求出切線方程;(2)首先求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo),再利用定積分及微積分基本定理計(jì)算可得;【小問1詳解】解:因?yàn)?,所以,所以切線的斜率,切線過點(diǎn),切線的方程為,即【小問2詳解】解:由題知,即解得或,即或或,直線與曲線于則所求圖形的面積22、(1)(2)【解析】(1)由拋物線焦點(diǎn)可得c,再根據(jù)離心率可得a,即得b;(2)先設(shè)直線方程x=ty+m,根據(jù)向量數(shù)量積表示,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡可得為定值的條件,解出m;根據(jù)點(diǎn)到直線距離得三角形的高,利用弦公式可得底,根據(jù)面積公式可得關(guān)于t的函數(shù),最后根據(jù)基本不等式求最值【詳解】試題解析:解:(1)設(shè)F1(﹣c,0),∵拋物線y2=﹣4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),且橢
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