蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 圓周角（專項(xiàng)練習(xí)）（基礎(chǔ)練）

專題2.10圓周角（專項(xiàng)練習(xí)）（基礎(chǔ)練）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（23-24九年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在圖中標(biāo)出的4個(gè)角中，圓周角有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2024?浙江溫州?三模）如圖，AB,OK是。。的直徑，弦CD〃直徑A8,連結(jié)BC,BE,若/3CD=c,

3aC.90°-?D.90°-2c

3.（2023?山西朔州?模擬預(yù)測(cè)）已知命題"同圓中,相等角所對(duì)的弦相等"，在如圖所示的圖形中找出一個(gè)反

例，可以判斷該命題錯(cuò)誤的是（）

A.ZABC=ZADCQ.NCAD=NCBDC.ABAD=/BCDD.ZAEB=ZCED

4.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）如圖，是。。的直徑，CO是。。的弦，若NAOC=50。，則NBDC的度

A.25°B.30°c.50°D.65°

5.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?假期作業(yè)）如圖，3。是0。的直徑,NCBD=30°,則/A的度數(shù)為（）

45°C.60°D.75°

6.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AACD內(nèi)接于。。，點(diǎn)B在。。上，連接3C,BCA.AC,若

AC=6,^ADC=30°,則。。的直徑為（）

A.12B.673C.6D.3相

7.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCZ）內(nèi)接于回。，A8是。。的直徑，連接CO交。。于點(diǎn)E,

若NE=25。,則/。的度數(shù)是（）

A.100°B.105°C.110°D.115°

8.（2021九年級(jí)?安徽?專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于回0,AB為直徑，0C=12O°.若AD=2,則AB

的長(zhǎng)為（）

A.73B.2C.273D.4

9.（2024?陜西寶雞?三模）如圖1,筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖2,筒車。。與水面分

別交于點(diǎn)A、B,筒車上均勻分布著若干盛水筒，尸表示筒車的一個(gè)盛水筒，PC是。。的直徑，連接24、

P5,點(diǎn)M在A8的延長(zhǎng)線上，若NAPC=20。，則（）

A.115°B.70°C.120°D.110°

10.（2024?吉林長(zhǎng)春?一模）如圖，一個(gè)零刻度落在點(diǎn)A的量角器（半圓。）的直徑為A5,等腰直角三角

尺的一頂點(diǎn)與點(diǎn)8重合，它的斜邊與半圓交于點(diǎn)C,直角邊解與半圓交于點(diǎn)D若點(diǎn)C在量角器上的

讀數(shù)為26。，則點(diǎn)。在量角器上的讀數(shù)為（）

A.58°B.71°C.103°D.116°

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.（21-22九年級(jí)上?江蘇常州?期中）如圖，CD是回。的直徑，點(diǎn)A在。C的延長(zhǎng)線上，她=18。，AE交

回0于點(diǎn)3,SLAB^OD.則團(tuán)￡0￡>=

12.（23-24九年級(jí)下?上海?階段練習(xí)）如圖，A3是。。的直徑，若AC=Cr>=2。，連接8。,CD,則ZBDC

的度數(shù)是

13.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，AABC內(nèi)接于。。，是直徑，若NB=25°,則/C4D

14.（23-24九年級(jí)上,湖北武漢,期中）如圖，在AASC中，為。。直徑，々=50°,NC=60。，則/80D=

15.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E,F,且

/E=4（F,ZADC=85。，那么NA的度數(shù)為

16.（2022九年級(jí)?福建?競(jìng)賽）如圖，A8CQ為圓。的內(nèi)接四邊形，且AC13B。，若48=10,。=8,則圓。

的面積為一

17.（2024?福建廈門?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在。。中，A是優(yōu)弧8C上一點(diǎn)，ZBAC=a,連接B。，CO,延

長(zhǎng)30交AC于點(diǎn)O,則圖中角度大小為2c的角是.

18.（23-24九年級(jí)上?浙江溫州?階段練習(xí)）兩個(gè)大小不同的半圓疊放如圖所示，其圓心均為點(diǎn)0,直徑A3

和CO在同一直線上，E為小半圓的中點(diǎn)，延長(zhǎng)EC和ED分別交大圓于點(diǎn)P和點(diǎn)G,連接尸G,若AB=4,C

為。I中點(diǎn)，則FG的長(zhǎng)為.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）（23-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，N4BC中，AB^AC,以AB為直徑作。0,交BC

于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.

（1）求證：BD=DE；

（2）若/54C=50。，求—AOE的度數(shù).

20.（8分）（2024?甘肅蘭州?一模）如圖，在“103中，4=30。，。。與A3相切于點(diǎn)A,與相交于點(diǎn)

C,延長(zhǎng)AO交。。于點(diǎn)。，連接。.

（1）求一。的大小；

（2）當(dāng)BC=2時(shí)，求。的長(zhǎng).

21.（10分）（23-24九年級(jí)上?河南周口?期末）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC交于點(diǎn)E,平

分NABC,NBAC=ZADB.

（1）求證：為圓的直徑；

（2）過點(diǎn)C作C戶〃AD交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,^AC=AD,BF=3,求此圓半徑的長(zhǎng).

22.（10分）如圖，N、P、B、C是。O上的四個(gè)點(diǎn)，ZAPC=ZCPB^60°.

（1）判斷"RC的形狀，并證明你的結(jié)論

（2）探究左、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

23.（10分）（2023?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,AABC中，CA=CB,。是"RC外接圓。。上一點(diǎn)，連

接C。，過點(diǎn)B作3E〃CD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交0。于點(diǎn)

（1）求證：四邊形D￡FC是平行四邊形；

（2）如圖2,若A3為。。直徑，AB=7,BF=l,求CO的長(zhǎng).

24.（12分）【問題背景】如圖1,在四邊形AOBC中，a4CB=a4DB=90o,AD=BD,探究線段AC,BC,

C。之間的數(shù)量關(guān)系

小明同學(xué)探究此問題的思路是：將SBC。繞點(diǎn)。，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到財(cái)即處，點(diǎn)5c分別落在點(diǎn)處

（如圖2）,易證點(diǎn)C,A,E在同一條直線上，并且回CZJE是等腰直角三角形，所以CE=0CD,從而得出結(jié)論：

AC+BC=y/2CD

【簡(jiǎn)單應(yīng)用】

⑴在圖1中,若AC=6,CD=］正,則A3=_.

（2汝口圖3,AB是團(tuán)。的直徑，點(diǎn)C.。在回。上，0C=45°,若A8=25,BC=24,求CD的長(zhǎng).

【拓展延伸】

⑶如圖4,^1ACB=B1ADB=90O,AD=BD,若AC=",C￡>=,求2C的長(zhǎng).（用含的代數(shù)式表示）

參考答案：

1.B

【分析】本題考查了圓周角的定義，頂點(diǎn)在圓周上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角，由此即可得

出答案，熟練掌握?qǐng)A周角的定義是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由圖可得：N1和/3符合圓周角的定義，N2頂點(diǎn)不在圓周上，N4的一邊和圓不想交，

故圖中的圓周角有N1和23,共2個(gè)，

故選：B.

2.A

【分析】設(shè)3c與OE相交于點(diǎn)尸，由平行線的性質(zhì)可得出=由同弧所對(duì)的圓周角相等

可得出N3ED=N3CD=a,由等邊對(duì)等角可得出=根據(jù)角的和差可得出

EBF=ZCBO+ZOBE=2a,由對(duì)頂角相等可得出=,由三角形內(nèi)角和可得出

NFCD+/CDF=ZBEO+NEBF,即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)BC與OE相交于點(diǎn)R

SCD//AB,ZBCD=a

0NCBO=NBCD=a,

aBD=BD，

團(tuán)ABED=ZBCD=a,

0OB-OE,

團(tuán)/BED=/OBE=a,

0EBF=Z.CBO+Z.OBE=2a,

在△(?//口AEBF中,

⑦NCFD=NBFE,

團(tuán)NFCD+/CDF=ZBEO+ZEBF,

即a+NCDF=a+2a,

BZCDF=2a,

即ZCDE=2a,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理以及等邊對(duì)等角等知

識(shí)點(diǎn)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】根據(jù)圓周角的定義、圓周角定理判斷即可.

【詳解】解：A、當(dāng)=時(shí)，AC=AC,不能判斷命題"同圓中，相等角所對(duì)的弦相等"是假命

題，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)/。LD=/CBD時(shí)，CD=CD,不能判斷命題"同圓中，相等角所對(duì)的弦相等"是假命題，故此選項(xiàng)不

符合題意；

C、當(dāng)=時(shí)，BD=BD,不能判斷命題"同圓中，相等角所對(duì)的弦相等"是假命題，故此選項(xiàng)不

符合題意；

D、當(dāng)=時(shí)，AB^CD,能判斷命題"同圓中，相等角所對(duì)的弦相等"是假命題，故此選項(xiàng)符合

題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查的是命題的真假判斷，圓周角定理，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判

斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

4.D

【分析】本題考查圓周角定理，由平角定義求出4太=180。-50。=130。，由圓周角定理得到

?BDC-?BOC65?.關(guān)鍵是由圓周角定理得到NBOCUL/BOC.

22

【詳解】解：0ZAOC=50°,

0ZBOC=180°-50°=130°,

0?BDC-?BOC65?.

2

故選：D.

5.C

【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角等于90。，同弧所對(duì)的圓周角相等，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90。，結(jié)合已知條件即可求得N3CD=90。，即可求得NBDC=60。，根據(jù)同弧所

對(duì)的圓周角相等求出結(jié)論.

【詳解】解：Q3。是。。的直徑，

:.ZBCD=90°.

0ZCBZ)=3O°,

0ZBDC=60°.

回/A與NBDC是同弧所對(duì)的圓周角，

0ZA=ZSZX?=6O°.

故選：C.

6.A

【分析】本題主要考查圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)，連接A8,由3C，AC,可得AS為。。的直徑，

當(dāng)NAOC=30。，可得ZA8C=30。，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=6,則AB=12,故

可得解.

【詳解】解：連接A3,如圖，

0BC±AC,BPZACB=90°,

團(tuán)A3為。。的直徑，

回AC所對(duì)的圓周角是NQNB，

回48=/。=30。，

在RtZkABC中，NACB=90。，/ABC=30。，AC=6,

:.AB=2AC=12,

故選：A.

7.D

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓周角定理得到，求得根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：回CE是。。的直徑，

0ZCBE=90°,

0ZBCE=9O°-ZE=9OO-25O=65°,

@OB=OC,

田/ABC=/BCE=65。,

團(tuán)四邊形ABC。內(nèi)接于回O,

*0=180?！狽ABC=115。.

故選：D.

8.D

【分析】連接OD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出回A=60。，得出團(tuán)AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)得出OD=OA=AD=2,求出直徑AB即可.

【詳解】解：連接0D,

八c

團(tuán)四邊形ABCD是回0的內(nèi)接四邊形，

回回A+回C=180°,

團(tuán)團(tuán)0120°,

盟1A=6O°,

團(tuán)0D=0A,

加AOD是等邊三角形，

0AD=OD=OA,

團(tuán)AD=2,

團(tuán)0A二0D=OB二2,

團(tuán)AB=2+2=4,

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出

回A+團(tuán)0180°是解此題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，鄰補(bǔ)角等知識(shí).熟練掌握直徑所

對(duì)的圓周角為直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，鄰補(bǔ)角是解題的關(guān)鍵.

如圖2,連接AC,則44c=90。，ZPC4=70°,由人尸=人尸，可得NP54=/PG4,根據(jù)

ZPBM=18O°-ZPBA,求解作答即可.

【詳解】解:如圖2,連接AC,

圖2

團(tuán)PC是。。的直徑,

0ZPAC=90°,

0ZPC4=70°,

團(tuán)AP=A尸，

0ZPBA=ZPC4=7O°,

0ZPBM=180°-ZPBA=110°,

故選：D.

10.D

【分析】本題考查同弧的圓心角和圓周角的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握同弧的圓心角和圓

周角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意先求出NABQ的度數(shù)，進(jìn)而求出NABD=/ODB=58。，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和得出NDOB的度

數(shù)，即可得出點(diǎn)。在量角器上的讀數(shù).

【詳解】解：連接OC,?！?gt;,如圖所示,

點(diǎn)C在量角器上的讀數(shù)為26。,

:.ZAOC=26°,

ZABQ=13°,

是等腰三角形,

ZPBQ=45°,

ZABD=ZABQ+ZPBQ=58°,

???OB=OD,

ZABD=ZODB=58°f

:./DOB=64。,

ZAOD=116°f

則點(diǎn)D在量角器上的讀數(shù)為116°,

故選：D.

11.54°

【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)，可得團(tuán)0班二團(tuán)。3區(qū)她03=18。，從而得至抽。班二團(tuán)。5氏0A+她03=36。，繼而

得到勖OE=108。，即可求解.

【詳解】解：團(tuán)8是回。的直徑，

BOD=OE=OBf

^\OEB=BOBEf

MB=OD,

^AB=0Bf

團(tuán)媯03二媯，

甌A=18°,

函403=18°,

^OEB=^OBE=^A+^MOB=36°,

麗8O￡=108°,

WEOD=180°-^BOE-^AOB=54o.

故答案為：54°

【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.120。/120度

【分析】本題考查圓周角定理，連接AD,0C,圓周角定理")3=90。，得到/ADC=；NAOC=30。,

再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：連接AD,0C,

回A3是。。的直徑，

SZADB=90°,

^AC=CD=BD>

0ZAOC=60°,

0ZADC--ZAOC=30°,

2

國(guó)ZBDC=ZADC+ZADB=120°；

故答案為：120。.

13.65

【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，連接C。，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角

得出—ACD=90。，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出/。=/3=25。，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余,

即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接CD,

EIAABC內(nèi)接于0。，A。是直徑,

#ACD=90°,

^AC=AC'ZB=25°，

0ZD=ZB=25°

0ACAD=90°-25°=65°,

故答案為：65.

14.140

【分析】本題考查的是圓周角定理，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NA的度數(shù)，再由圓周角

定理即可得出結(jié)論.

【詳解】?.-ZB=50°,ZC=60°,

.?.ZA=180°-ZABC-ZC=70°,

:.ZBOD=2ZA=140°,

故答案為：140。.

15.45°/45度

【分析】本題考查三角形外角的定義和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出ZBCD,

再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出ZA+ZBCD=180°,即可求解.

【詳解】解：???NADC=85。，

NCDE=180°—ZADC=95°,

NBCD=ZCDE+ZE=95O+40°=135°,

???四邊形ABC。為圓的內(nèi)接四邊形，

ZA+ZBCr>=180°,

ZA=180°-ZBCD=180o-135o=45°,

故答案為：45°.

16.41萬

【分析】連接A。，并延長(zhǎng)交圓。于點(diǎn)E,連接班，EC,可得/ADE=NACE=90。，從而可得BD〃CE,

得到CD=BE，所以BE=C。，由勾股定理可得AE的長(zhǎng)，從而可求出圓。的面積.

【詳解】解：如圖，連接A。，并延長(zhǎng)交圓。于點(diǎn)E,連接EC.

則AC1CE.

SACJ.BD,

0BDIIEC,

國(guó)CD=BE

⑦BE二CD,

團(tuán)CD=8

0￡B=CD=8.

在的中，

RABE1AB=10fEB=8

所以，由勾股定理得，AE=y1AB2+BE2=yJlQr+82=2^/41

EIOA=-AE=A/4T.

2

所以圓。的面積為；rxOA?=4比.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角以及在同圓或等圓中平行弦所夾弧相等等知識(shí)，正確作

出輔助線構(gòu)造直角是解答本題的關(guān)鍵.

17.NBOC

【分析】本題主要考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的定義與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圓周角

以及三角形的相關(guān)知識(shí)確定圖中各個(gè)角的數(shù)量關(guān)系即可作答.

【詳解】連接BC,如圖，

團(tuán)A是優(yōu)弧3c上一點(diǎn)，ZBAC=a,

SZBOC^2a,即：ZDOC=180°-ZBOC=180°-2(z,

0ZBAC+ZABD=a+ZABD=NBDC,ZBDC+ZACO=NBOC=2a,

團(tuán)a+ZABO+ZACO=2a,

團(tuán)NABD+NACO=a,

團(tuán)結(jié)合圖形有：ZABD<a,AACO<a,

BZBDC<2a,

團(tuán)ZADB=180°-ZBDC,

ZADB=1800-ZBDC>180°-2a,

即可以確定角度大小為2a的角為：NBOC,

故答案為：ZBOC.

18.1+77/77+1

【分析】

先由垂徑定理得FH=G”,根據(jù)圓的性質(zhì)，得OC=1,OG=AO=2,結(jié)合直徑所對(duì)的圓周角

是90。，得NCED=90。,CE=ED,NEGF=NEDC=45。,再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：如圖：連接EO并延長(zhǎng)交尸G于一點(diǎn)X,連接GO

回兩個(gè)大小不同的半圓疊放如圖所示，其圓心均為點(diǎn)O,直徑A3和8在同一直線上，E為小半圓的中點(diǎn)，

0EHLFG,FH=GH

團(tuán)AB=4,C為Q4中點(diǎn)，

aOC=-AO=-xlAB-LOG^AO=-AB^2

2222

回。為直徑

0ZC￡D=90°,CE=ED,NEGF=NEDC=45。

設(shè)S=無

則“G=EH=l+x,

在RtA(9〃G中，OG?=O*HG?

即22=X2+(X+1)2

解得元=士立(負(fù)值已舍去)

2

'-1+/、/-

回FG=2HG=2x1+———=1+V7

I2J

故答案為：1+近

【點(diǎn)撥】

本題考查了圓周角定理，垂直定理，勾股定理，公式法解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的

關(guān)鍵.

19.(1)見解析

(2)ZAOE=80°

【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和

等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)連接AD,先由圓周角定理得NADB=90。，則再由等腰三角形的性質(zhì)得NA4O=NC4D,

即可得出結(jié)論；

(2)連接。E,先由等腰三角形的性質(zhì)得NOE4=NA4C=50。，再由三角形內(nèi)角和定理求出NAOE=80。，

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接AO,如圖1所示：

但?.?AB是。。的直徑,

B、-DC

圖1

:.ZADB=90°,

:.AD±BC,

?.?AB=AC,

ABAD=ACAD,

BDDE-

(2)解：連接OE,如圖2所示:

^LE是。。的直徑,

.:OA是半徑,

OA=OE,

ZOEA=ABAC=50°,

/.ZAOE=180°-50°-50°=80°.

20.⑴30。

⑵2百

【分析】（1）由切線的定義得出NQ鉆=90。，則NAOB=60。，ZDOC=120°,結(jié)合OD=OC,由三角形內(nèi)

角和定理則可以求出/O.

（2）連接AC,由直徑所對(duì)的圓周角等于90。得出/ACD=90。，證明AAOC為等邊三角形，再由含30。直

角三角形的性質(zhì)得出進(jìn)而可得出AC,由勾股定理即可求出CD.

【詳解】（1）解：團(tuán)。。與相切于點(diǎn)A,

團(tuán)/OAB=90。,

0ZB=3O°,

團(tuán)NAQB=60。，

團(tuán)NDOC=120°,

團(tuán)OD=OC

回ND=ZOCD=-1(180°-ZDOC)=30°

(2)連接AC,貝！J/ACD=90。,

0ZAOB=6O°,OA=OC

團(tuán)“IOC為等邊三角形，

團(tuán)NQ4B=90。AC=OC=AO,

SZB=30°,ZQ4B=90°,

2

國(guó)AO=AC=OC=BC=2,

團(tuán)AD=4,

^CD=^AD2-AC2=V42-22=273?

【點(diǎn)撥】本題主要考查了切線的定義，三角形內(nèi)角和定理，直徑所對(duì)的圓周角等于90。，等邊三角形的判

定以及性質(zhì)，含30。直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握這寫性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.⑴證明見解析

（2）圓的半徑長(zhǎng)是6

【分析】

（1）根據(jù)已知得出AB=BC，則=即可證明平分/仞C,進(jìn)而根據(jù)班）平分/ABC,

得出AD=C￡>，推出2AO=BCD，即可得出BD是直徑；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，=90。，AADC是等邊三角形，進(jìn)而得出/CDS=（ZADC=30°,

由30是直徑，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得2c=5a）,在中，根據(jù)含30度角的直角

三角形的性質(zhì)求得3C的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解.

【詳解】（1）解：^\ZBAC=ZADB,

^AB=BC>

0ZADB=NCDB,即DB平分/ADC.

回3。平分/ABC,

SZABD=ZCBD,

^AD=CD，

^AB+AD=BC+CD^BPBAD=BCD>

回應(yīng)）是直徑；

（2）解：0Z&W=9O°,CF//AD,

SZF+ZBAD=180°,則/尸=90°.

^AD=CD，

0AD=￡）C.

團(tuán)AC=AD,

團(tuán)AC=AD=CD,

團(tuán)八位）。是等邊三角形，則NAT>C=60。.

團(tuán)皮）平分/ADC,

ElZCDB=-ZADC=30°.

2

回3。是直徑，

0ZBCD=9O°,貝I|2C=LB。.

2

回四邊形A3CD是圓內(nèi)接四邊形，

0ZA￡>C+ZABC=180°,則/ABC=120°,

0ZFBC=60°,

0ZFCfi=90°-60°=30°,

0FB--BC.

2

團(tuán)BF=3,

0BC=6,

@BD=2BC=12.

回3。是直徑，

團(tuán)此圓半徑的長(zhǎng)為工2。=6.

2

【點(diǎn)撥】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，含30度角的

直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

22.(1)等邊三角形，見解析

(2)PC^PA+PB,見解析

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得到NABC=/APC=60。，/BAC=NCPB=60。,根據(jù)等邊三角形的判定定

理證明；

(2)在PC上截取尸”=上4,得到VAP以為等邊三角形，證明也AAHC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，

結(jié)合圖形證明即可.

【詳解】(1)解：AABC是等邊三角形，理由如下：

由圓周角定理得，ZABC=ZAPC=60°,ZBAC=ZCPB=60°,

0AABC是等邊三角形；

(2)解：PC=PA+PB,理由如下：

在PC上截取尸H=B4,

0ZAPC=60°,

EIVAPH為等邊三角形，

SAP=AH,ZAHP=60°,

在zMPB和AAHC中，

"NABP=ZACH

<ZAPB=ZAHC=120°,

AP=AH

0&APB^AAHC(AAS)

0PB=HC,

?PC=PH+HC=PA+PB.

【點(diǎn)撥】本題考查的是圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的

圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.

23.⑴見解析

(2)473

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定

理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等等：

（1）利用平行線的性質(zhì)，等弧對(duì)相等的圓周角，證得DE〃CF即可；

⑵連接。尸，AF,禾U用平行線的性質(zhì)證得NZMC+/ACF=180。，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得

ZADF+ZACF=1