2024-2025學年陜西某中學高三（上）開學數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年陜西師大附中高三(上)開學數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合a={-1,1,2,4},B={x||x-l|W1},則力CB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.設a,b&R,貝ij“a3=b3”是“2。=26”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知命題p：VxeR,x+|x|>0；命題q：>0,5依=久，貝!|()

A.p和q都是真命題B.p和rq都是真命題

C.->p和q都是真命題D.-ip和rq都是真命題

4.已知函數(shù)/(%)=3上然花，二°在R上單調(diào)，則a的取值范圍是()

A.(—8,0]B.[0,+8)C.[-1,1]D.[—1,0]

5.函數(shù)/(x)=裝苧的圖象大致為()

6.若m為函數(shù)/（%）=6（%-租）2（九一%）（其中znW0）的極小值點，貝女）

A.m>nB.mn>m2C.m<nD.mn<m2

7.已知函數(shù)/（%）=x2-2x+a（e》T+?一久+1）有唯一零點，則。=（）

A.B.C.~D.1

8.設a=21nl.01,b=lnl,O2,c=*則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

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二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.旅，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質(zhì)子和兩個中子組成，并帶有放射性，會發(fā)生

S衰變，其半衰期是12.43年樣本中氤的質(zhì)量N隨時間t(單位：年)的衰變規(guī)律滿足可=N(r2一心，其中N。

表示瓶原有的質(zhì)量，貝！1(參考數(shù)據(jù)：lg2?0.301)()

N

A.t=1243log2M

B.經(jīng)過24.86年后，樣本中的晁元素會全部消失

C.經(jīng)過62.15年后，樣本中的笳元素變?yōu)樵瓉淼膶?/p>

D.若久年后，樣本中旅元素的含量為0.4N。，貝k>16

10.已知函數(shù)/(%)=x3-2x2+x+1,下列說法正確的是()

A.f(x+l)+f(-x+|)=2/(|)

B.方程n>)=|有3個解

C.當x6[0,2],f(x)￡[1,3]

D.過點(0,1)作y=/(久)的切線，有且僅有一條

11.已知定義在R上不為常數(shù)的函數(shù)/'(%)滿足/'(2x)+f(x+y)/(x-y)=0,貝!|()

A./(0)=-1B./(3)=[7(1)]3

C.=2D./(x)+/(-%)<-2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/'(%)=?3"-3—*)是偶函數(shù)，貝抽=.

11q

13.已知a>1,研一印=一5，則a=-------

14.若函數(shù)/'(X)=(bur-2)(ax-bi久)在(0,e)單調(diào)遞增，貝!|a的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(X)=lnx+x2+ax+2在點(2,/(2))處的切線與直線2x+3y=0垂直.

(1)求a；

(2)求/(乃的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.(本小題12分)

設函數(shù)/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,

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(1)判斷函數(shù)/(X)的奇偶性；

(2)解不等式/(。2+D+f(-4)>0

17.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=a(ex+a)-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當a>0時，f(x)>21na+|.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(X)=ln^^+ax+b(x—I)3.

(1)若b=0,且((x)>0,求a的最小值；

(2)證明：曲線y=/(久)是中心對稱圖形；

(3)若/(X)〉—2,當且僅當1<%<2,求b的取值范圍.

19.(本小題12分)

若函數(shù)f(x)在區(qū)間/上有定義，且VxGI,/(x)e1,則稱/是/(*)的一個“封閉區(qū)間”.

(1)已知函數(shù)/(x)=X+sinx,區(qū)間/=[0,r](r>0)是/(%)的一個"封閉區(qū)間”,求r的取值集合;

(2)已知函數(shù)。(久)=ln(x+1)+|x3,設集合P={x|g(x)=x}.

⑴求集合P中元素的個數(shù)；

(ii)用b-a表示區(qū)間[a,6](a<6)的長度，設機為集合P中的最大元素.

證明：存在唯一長度為根的閉區(qū)間。，使得。是9。)的一個“封閉區(qū)間”.

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參考答案

1.5

2.C

3.C

4.D

5.4

6.B

7.C

8.B

9.CD

10.AC

11.ABD

12.1

13.64

14.(-8月

15.解：(1)尸0)=|+2x+a,r(2)=5+a,

直線2x+3y=0的斜率-*/(%)在(2/(2))處的切線與直線2尤+3y=0垂直,

則弓+砌(一|)=-1,

得a——3；

(2)由a=-3,故/(%)=Inx+x2-3x+2,定義域為(0,+8),

令((%)=；+2%-3=+1=(2%?(%—1)一0,x>o,

解得％=寺或1,

所以當0<%，時，f(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當2V%<1時，/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當%>1時，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，

故/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3、(l,+8),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為6,1),

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所以f⑺極大值=6)=峙+(界-1+2=%-ln2,

〃式)極小值=/(1)=lnl+12-3+2=0.

16.解：(1)函數(shù)/(約為奇函數(shù)，證明如下：

由題意可得：伯:["。。，解得尤7士a

1

所以函數(shù)“%)的定義域為｛%|%±-),

又因為/(%)+/(_%)=ln|2x+1|-ln|2x-1|+ln|-2x+1|—ln|—2x-1|

=ln|2x+1|—ln|2x-1|+ln|2x-1|—ln|2x+1|=0,

即"%)=-所以函數(shù)/(%)為奇函數(shù).

(2)當％Gg+8)時，/(%)=ln|2x+1|—ln|2x-1|=ln(2%+1)—ln(2x—1),

所以—-_____-——2久—1―(23+1)--------△-------VQ

歷"/W-2x+l2%-1-(2%+1)(2%-1)-(2x+1)(2%-1)U,

所以/(X)在9+8)上單調(diào)遞減，

因為函數(shù)人久)為奇函數(shù).，所以不等式/(a2+l)+/(—4)>0等價于f(a2+l)〉/(4),

由于4>|,函數(shù)f(x)在8+8)上單調(diào)遞減，

所以/S2+1)>/(4)等價于。2+1<4,解得：—4<a<避，

所以不等式/(。2+1)+/(-4)>0的解集為(一道，4).

17.1?：(1)/(久)=aex-l,

當。=0時尸(%)=-1<0,/(%)在(-8,+8)單調(diào)遞減，

當aVO時Qe%V0,f'(x)<0,/(%)在(―8,+8)單調(diào)遞減，

當a〉0時，令/(X)=0,%=-Ina,%C(-8,-lna)時，/<%)<0,/(%)單調(diào)遞減.

%E(—Ina,+8)時>(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，

故當Q<0時/(%)在(-8,+8)單調(diào)遞減，

當。>0時，/(%)在區(qū)間(-8,-lna)單調(diào)遞減，在區(qū)間(-Ina,+8)單調(diào)遞增.

(2)由⑴知當a>0時，/(%)在區(qū)間(-8,-1迎)單調(diào)遞減，在區(qū)間(-Ina,+8)單調(diào)遞增.故/(%)min=/(-Ina)

=小+Ina+1,

令g(a)=(a2+Ina+1)—(21na+|)=a2—Ina-

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g'(a)=2a：T,令g'(a)=0,因為a>0,故(1=乎，g(a)在區(qū)間(0,孝)單調(diào)遞減，在區(qū)間(孝,+8)單調(diào)

遞增，g(a)min=9(￥)=Tn#>0,即a>0時,g(a)>0恒成立，即/(x)min〉21na+|,即當a>0時，

/(%)>21na+

x

18.(1)解：當b=0時，/(x)=\ny—~+ax,xE(0,2),

2

由題意知Vxe(0,2),/(x)=x(2_x)+a20恒成立，

所以一a<■石]min，

因為Xe(0,2),所以久>0,2-%>0,

一22

所以工(2乃之(+2-y=2,當且僅當％=1時，取等號?

所以一a<2,則Qmin=—2.

(2)證明:因為-2—x)=ln號+a(2-r)+/>(l-x)3

■X

=—[h巧二;+ax+b(x—I)3]+2a=—/(%)+2a,

所以曲線y=f(x)關(guān)于點(l,a)成中心對稱圖形.

(3)解:因為/'(1)=a4—2,否則解集中含有x=1:又由(1)知。>-2,否則/'(1)<0,從而a=-2,

由題意知V%G(1,2),/(x)=ln^^-2x+h(x-l)3>-2,且f(l)=-2,

,(久)=x(2-xj~2+3^(x-1)2=(%-1)2[3&f'(l)=0,

令g(x)=f'(x)=(x-l)2[3/>+X(22_X)=

11

又。'(久)=一衰+?一支下+66(久-1),g'(l)=0,

11

令h(x)=g'(x)=一殺+(2_久)2+6b(x-l),

72

又"(久)=或+(2r)3+66,h'(l)=4+66,

令〃⑴=4+6b20,得b>-1,

此時.。)=0-1)2[思石+302(久一1)2匕含廠2]=靠著20,

故/(%)在(1,2)上單調(diào)遞增,所以對V%￡(1,2),f(x)>一2恒成立，

綜上所述，b的取值范圍為[—|,+8).

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19.解:⑴由于/'(%)=1+cosx>0且只在%=(2k+1)兀(憶為整數(shù))處取到0,

故/(%)在R上單調(diào)遞增，

所以％e[0用時，/(x)e[/(0)/(r)],

即f(%)W[。，丫+sinr],

所以命題等價于/(廠)<r,即丁+sinr<r,BPsinr<0,

所以廠的取值集合是仁耳2々初，kEN*；

(2)(。即求九(%)=ln(x+1)+搟%3_%(%>一1)的零點個數(shù)，

〃(x)=++*L

設t(X)=/l'(x)=Ny+｝：2-1,

g1

則t'(x)=/-(久+1)2在(T,+8)上單調(diào)遞增，

因為y(0)=-1<0,%)=^-|>0,

所以存在%oW(0,1")，使得力'(%0)=。，

故當％e(-Lx。)時，?%)<0,函數(shù)「(%),即"(%)單調(diào)遞減；

當%e(%。,+8)時,"%)>o,函數(shù)t(%)，即”(%)單調(diào)遞增，

所以"(%)min="(%0)，

因為"(0)=0,所以》(孫)</1'(0)=0,

又+8時，//(%)7+00,

故存在％1￡(%0,+8),使得“(%1)=