九年級數(shù)學旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)變換培優(yōu)教程二

九年級數(shù)學旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)變換培優(yōu)教程二考點·方法·破譯1．能利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)進行開放探究；2．能運用類比推理思想進行開放探究；3．學會在旋轉(zhuǎn)變換中尋找不變幾何關(guān)系。經(jīng)典·考題·賞板【例１】（山西）如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE、GC.試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE和CG,你認為（1）的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由。【解法指導】解：（1）答：AE⊥GC.證明：延長GC交AE于點H.在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC,∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG,∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°∴AE⊥GC（2）答：成立證明：延長AE和GC相交于點H.在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC,DE=DG.∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDC=90°∴∠1=∠2=90°-∠3∴△ADE≌△CDG∴∠5=∠4.又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°∴∠6=∠7.又∵∠AEB+∠6=90°,∠AEB=∠CEH∴∠CEH+∠7=90°,∴∠EHC=90°，∴AE⊥GC【變式題組】1．（煙臺）如圖，直角梯形ABC中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，過點D作DE∥AB，∠BCD的平分線于點E,連接BE.（1）求證：BC=CD（2）將△BCE繞點C，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCG，連接EG。求證：CD垂直平分EG。（3）延長BE交CD于點P.求證：P是CD的中點?！纠病浚ㄅ_州）如圖1，Rt△ABC≌△Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°?！鱁DF繞著邊AB的中點D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交線段AC于點M、K（1）觀察：①如圖2、圖3，當∠CDF=0°或60°時，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．②如圖4，當∠CDF=30°時，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．（2）猜想：如圖1，當0°＜∠CDF＜60°時，AM+CK_______MK，證明你所得到的結(jié)論．（3）如果MK2+CK2=AM2，請直接寫出∠CDF的度數(shù)和的值．【解法指導】（1）①=②＞（2）＞證明：作點C關(guān)于FD的對稱點G，連接GK，GM，GD，則CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，∵D是AB的中點，∴AD=CD=GD．∵30°，∴∠CDA=120°，∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°．∴∠ADM=∠GDM，∵DM=DM，∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．（3）∠CDF=15°，=【變式題組】2．填空或解答：點B、C、E在同一直線上，點A、D在直線CE的同側(cè)，AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED，直線AE、BD交于點F.（1）如圖①，若∠BAC=60°，則∠AFB=_____；如圖②，若∠BAC=90°，則∠AFB=_____；（2）如圖③，若∠BAC=，則∠AFB=_____（用含的式子表示）；（3）將圖③中的△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)（點F不與點A、B重合），得圖④或圖⑤，在圖④中，∠AFB=與∠的數(shù)量關(guān)系是______；在圖⑤中，∠AFB=與∠的數(shù)量關(guān)系是______，請你任選其中一個結(jié)論證明?！纠场恳阎獙⒁桓比前澹≧t△ABC和Rt△DEF）如圖1擺放，點E、A、D、B在一直線上，且D是AB的中點，將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)（0°＜＜90°），在旋轉(zhuǎn)的過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N,分別過M、N作直線AB的垂線垂足為G、H。當=30°時，（如圖2），求證：AG=DH；當=60°時，（如圖3），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由；當0°＜＜90°時，（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論并根據(jù)圖4說明理由?！窘夥ㄖ笇А勘绢}屬于旋轉(zhuǎn)類動態(tài)問題，是開放探究題，在旋轉(zhuǎn)變化中，始終有兩組三角形全等（或相似）。（1）證明：∵∠A=∠ADM=30°，

∴MA=MD.又MG⊥AD于點G，

∴AG=AD.

∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，

∴CB=CD.

∴C與N重疊.又NH⊥DB于點H，

∴DH=DB.

∵AD=DB，

∴AG=DH.

(2)解：結(jié)論成立.

∵∠ADM=60°，

∴∠NDB=90°-60°=30°.

∴∠MAD=∠NDB.

又AD=DB，∠ADM=∠B=60°，

∴△MAD≌△NDB.

∴MA=ND.

∵MG，NH分別是△MAD，△NDB的對應高，

∴Rt△MAG≌Rt△NDH.

∴AG=DH.

(3)解：結(jié)論成立.在Rt△AMG中，∠A=30°，

∴∠AMG＝60°＝∠B.

又∠AGM=∠NHB=90°，

∴△AGM∽△NHB.

∴.

∵∠MDG=α，

∴∠DMG=90°-α=∠NDH.

又∠MGD=∠DHN=90°，

∴Rt△MGD∽Rt△DHN.

∴

∴

∴∴AG=DH.【變式題組】3．（沈陽）將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．

（1）求證：AF+EF=DE；

（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；

（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其它條件不變，如圖③．你認為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由．【例４】如圖①，兩個圖形（與比2：1），∠BAD=120°，對角線均在軸上，拋物線y=x2經(jīng)過AD中點M．

（1）填空：A點坐標為_____，D點坐標為______；（2）操作：如圖②，固定，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)α度角（0°＜α＜90°），并延長E交AD于P，延長H交CD于Q．探究1：在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在某一角度α，使得四邊形AFEP是平行四邊形？若存在，請推斷出α值；若不存在，說明理由；探究2：設(shè)AP=x，四邊形OPDQ面積s，求s與x之間函數(shù)關(guān)系式，并指出x取值范圍．【解法指導】（1）A（0，2），D（，0）．（2）探究1：當α=60°時，四邊形AFEP是平行四邊形．理由如下：∵兩菱形的位似比為2﹕1，OA=2，OD=，菱形ABCD邊長為4，∠BAO=60°∴菱形EFGH的邊長EF=AD=2，∠FEO=60°∵在旋轉(zhuǎn)過程中EF的長和∠FEO的大小始終不變∴當射線OE旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過M點時，P與M重合，AM=AP=2△AOP為等邊三角形，∠APO=∠AOP=60°那么，∠APO=∠FEO=60°，則EF∥AP又∵EF=AM=2∴當旋轉(zhuǎn)角度α=∠AOP=60°時，EF平行且等于AP∴α=60°時，四邊形AFEP為平行四邊形．探究2：過P點作PR⊥y軸于R，過Q作QT⊥x軸于T，設(shè)TQ=y，則：PR=AP?sin60°=，OR=OA﹣AR=2﹣AP?cos60°=2﹣x，OT=OD﹣DT=﹣TQ?tan60°=2﹣y∵它繞對稱中心O旋轉(zhuǎn)時∠POR=∠QOT∴Rt△POR∽Rt△QOT∴∴，化簡得：y=∴S=S△OPD+S△ODQ=×2（2﹣x）+×2×=2﹣x+．即S與x的函數(shù)關(guān)系式為：S=2﹣x+．（0＜x＜4）【變式題組】4．（寧波）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度得到四邊形OA′B′C′，此時OA′、B′C′分別與直線BC相交于P、Q．（1）四邊形OA′B′C′的形狀是________矩形，當α=90°時，的值是________；（2）①如圖2，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸上時，求的值；②如圖3，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時，求△OPB′的面積；（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當0°＜α≤180°時，是否存在這樣的點P和點Q，使BP=BQ？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．5.（武漢選拔賽）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，S則BE的長為（ ）A．2 B．3 C． D．2演練鞏固·反饋提高01．（茂名）如圖，把拋物線y=x2與直線y=1圍成圖形OABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，再沿x軸向右平移1個單位得到圖形O1A1B1C1，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A． 點O1的坐標是（1,0） B．點C1的坐標是（2，-1） C．四邊形O1BA1B1是矩形 D．若連接OC，則梯形OCA1B1的面積是302．（河南）如圖所示，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（-2,0）和（2,0）.月牙①繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到月牙②，則點A的對應點A′的坐標為（ ）A．（2,2）B．（2,4） C． （4,2） D．（1,2）03．（包頭）如圖，已知△ACB與△的DFE是兩個全等的直角三角形，量得它們的斜邊長為10cm，較小的銳角為30°，將兩個三角形擺成如圖（1）所示的形狀，使點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合，將圖（1）中的△ACB繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置，點E在AB邊上，AC交DE于點G，則線段FG的長為______cm（保留根號）.04．（河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，點O是AC的中點，過點O的直線l從與AC重合的位置開始，繞點O作逆時針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點D，過點C作CE∥AB交直線l于點E，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為α.

（1）①當α______度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD長為______；②當α______度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD長為______；（2）當α=90°時，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由.培優(yōu)升級·奧賽檢測01．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F,給出以下四個結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=S△ABC；④EF=AP.當∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的有（ ）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個02．（武漢選拔賽）如圖，設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點A、B的距離分別為2、3.則PC所能達到的最大值為（ ）A． B． C． 5 D．603．（常德）如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．（1）當把△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；

（2）當△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請說明理由．04．（隨州）如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使