2023年九年級(jí)下冊(cè)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

圓

1.圓的認(rèn)識(shí)

(1)以點(diǎn)。為圓心的圓叫作“圓0”，記為“。0”。

(2)線段0A、OB、0C都是圓的半徑，線段AC為直徑。

(3)連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)之間的線段叫做弦。直徑是圓中最長(zhǎng)的弦。

(4)圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧。

不不小于半圓周的圓叫做劣弧。不小于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧。

(5)圓心角：頂點(diǎn)在圓心，兩邊與圓相交的角叫做圓心角。如NAOB.NAOC.NB0C就是圓心角。

2.圓的對(duì)稱性

(1)圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。

圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心。

(2)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

推論：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

(2)弦的垂直平分線通過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理:此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要懂得其中2個(gè)即可推出其他3個(gè)結(jié)

論，即：①是直徑②③④弧?、莼』?/p>

中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。

00

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。―V/A；

即：在。中，,///.?.弧弧

3.圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等,

弦心距相等。即：①；②；③；④弧弧

上述四個(gè)結(jié)論中，只要懂得其中的1個(gè)相等，則可以推出其他的3個(gè)結(jié)論,

4.圓周角

(1)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角。

(2)半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于90°(直角)。90°的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑。

(3)同圓或等圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的二分之一。

(4)同弧(或等弧)所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧相等。

(5)若三角形一邊上的中線等于這邊的二分之一，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

即：在4中，V

△ABC是直角三角形或NC=90。

注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的二分之一的

逆定理。

5.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑為r,點(diǎn)圓心0的距離為d,則

(1)點(diǎn)在圓外od>r

(2)點(diǎn)在圓上od=r

(3)點(diǎn)在圓內(nèi)od<r

6.(1)過(guò)一點(diǎn)可以畫無(wú)數(shù)個(gè)圓；

過(guò)兩點(diǎn)可以畫無(wú)數(shù)個(gè)圓，圓心在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上；

過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一種圓。

(2)三角形的外接圓：通過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，三角形外接圓的圓心叫做

這個(gè)三角形的外心。這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平

分線的交點(diǎn)，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

(3)一種三角形的外接圓是唯一的。

7.直線與圓的位置關(guān)系

(1)假如一條直線與一種圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這條直線與這個(gè)圓相離。

(2)假如一條直線與一種圓只有一種公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這條直線與這個(gè)圓相切。此時(shí)這條直線叫

做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(3)假如一條直線與一種圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這條直線與這個(gè)圓相交，此時(shí)這條直線叫做

圓的割線.

如上圖，設(shè)。0的半徑為r,圓心0到直線1時(shí)距離為d,從圖中可以看出:

若d>rO直線/與。。相離；

若d=r<=>直線/與。。相切；

若d<r。直線，與?0相交；

8.切線

(1)鑒定定理：通過(guò)半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

即：???且過(guò)半徑外端二是。的切線

證明切線常用的措施：1.連半徑，證垂直；2.作垂直，證半徑。

(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于通過(guò)切點(diǎn)的半徑。

即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中懂得其中兩個(gè)條件就能推出最終一種。

(3)切線長(zhǎng)：切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段時(shí)長(zhǎng).

性質(zhì)：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即：：、是的兩條切線???，平分.

(4)三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形

的內(nèi)切圓。三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心。這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形，三角

形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形三邊的距離相等。

9.圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

即：在。中，?.?四邊形是內(nèi)接四邊形

AZC+ZBAD=180°ZB+ZD=180°

10.圓和圓的位置關(guān)系

1)兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)兩個(gè)圓相離，其中(1)又叫做外離，(2)、(3)又叫做內(nèi)含。(3)

中兩圓的圓心相似，這兩個(gè)圓還可以叫做同心圓。

2)假如兩個(gè)圓只有一種公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，如其中(4)又叫做外切，(5)又叫做內(nèi)

切。

3)假如兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交，如(6)所示。

(1)兩圓外離+J

(2)兩圓外切od=R+j

(3)兩圓外離0火一r<2<尺+J

a

(4)兩圓外離=R-j

(5)兩圓外離O0Wd<R—r

11.圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

(1)正三角形在。中^是正三角形,在中進(jìn)行：；

(2)正四邊形：

(3)正六邊形AB:OB:OA=l：s/3:2.

12.圓中的計(jì)算問(wèn)題

(1)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為：

(2)扇形：由構(gòu)成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形。

扇形面積的計(jì)算公式：

:圓心角：扇形多對(duì)應(yīng)Btl圓的半徑：扇形弧長(zhǎng)：扇形面積

(3)圓錐的母線：把圓錐底面圓周上的任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線叫做圓錐的母線。

圓錐的高：連結(jié)頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫做圓錐的高.

(4)圓錐的底