上海市華東師范大學周浦中學2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試卷(解析)

高中數(shù)學精編資源學年第二學期高一期末考試數(shù)學試卷一、填空題1.若角的終邊上有一點,則的值是______.【答案】【解析】【分析】直接利用正切函數(shù)的定義可以求解.【詳解】由正切函數(shù)的定義可得,則.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應用,屬于基礎題.2.函數(shù)的最小正周期為________【答案】【解析】【詳解】試題分析:因為,所以其最小正周期考點:三角函數(shù)周期3.已知復數(shù)滿足,則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求出,再根據(jù)復數(shù)的模的公式即可得解.【詳解】由,得,所以.故答案為:.4.在復數(shù)范圍內(nèi)的平方根是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)概念即可求解.【詳解】因為,復數(shù)范圍內(nèi)的平方根為,故答案為:5.已知坐標平面上三個點、、,則的重心坐標是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形重心坐標公式即可求解.【詳解】.故答案為:6.已知,,則在方向上的投影向量的坐標為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】由,,得在方向上的投影向量為.故答案為:.7.在△ABC中,若則____.【答案】【解析】【詳解】試題分析:(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,展開化為:b2+c2﹣a2=bc.再利用余弦定理即可得出.詳解:∵(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,∴(b+c)2﹣a2=3bc,化為:b2+c2﹣a2=bc.∴cosA=,∵A∈(0,π),∴A=60°.故答案為.點睛:本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應用與特殊角的三角函數(shù),屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關的問題時,還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應用.8.等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,若a2＋a4＝16,a1·a5＝28,則通項an＝_________.【答案】3n－1【解析】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得,解方程組求出,從而可求出公差,進而可求得數(shù)列的通項公式【詳解】設公差為d,∵a2＋a4＝a1＋a5＝16,∴由,解得或.∵等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,∴a1＝2,a5＝14.∴d＝＝＝3,∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.故答案為:3n－19.已知等差數(shù)列的各項不為零,且、、成等比數(shù)列,則公比是________【答案】1或【解析】【分析】由、、成等比數(shù)列,列方程找出,從而可求出公比【詳解】解:設等差數(shù)列的公差為,因為、、成等比數(shù)列,所以,即,化簡得,或當時,等差數(shù)列的每一項都相等,所以、、成等比數(shù)列時的公比為1當時,,所以,所以等比數(shù)列的公比為1或5故答案為:1或【點睛】此題考查的是等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運算,屬于基礎題10.已知正方形的邊長為2,點滿足,則__.【答案】-1【解析】【分析】首先根據(jù)條件確定點位置,然后建立平面直角坐標系并寫出各點坐標,然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算進行求解即可.【詳解】建立坐標系如圖,正方形的邊長為2,則,,,點滿足,所以,,,所以.故答案為:11.已知三點共線于直線,對直線外任意一點,都有,則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】先由A、B、C三點共線,得到,利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】由題意,A、B、C三點共線所以存實數(shù)λ使得,即,所以而所以則,所以當且僅當,即時取等號.因此的最小值為.故答案為:.12.已知向量是平面內(nèi)的一組基底,O為內(nèi)的一定點,對于內(nèi)任意點P,當時,則稱有序?qū)崝?shù)對(x,y)為點P的廣義坐標,若點A?B的廣義坐標分別為,有以下四個命題:①線段AB中點的廣義坐標為②A,B兩點間的距離為③向量平行于向量的充要條件是:④向量垂直于向量的的充要條件是:其中正確命題為___________(填寫序號).【答案】①③【解析】【分析】利用中點坐標公式可判斷①;利用平面兩點間的距離公式可判斷②;利用向量平行的充要條件可判斷③;利用向量垂直的充要條件可判斷④.【詳解】由題意知,根據(jù)中點公式知①正確;只有平面直角坐標中兩點間的距離公式②才正確,而題意未必是平面直角坐標系,故②錯誤;由向量平行的充要條件得③正確;與垂直的充要條件為,故④錯誤.故答案為:①③二、選擇題,每題只有一個選項,正確的結(jié)論代號寫在題后的括號內(nèi)13.已知復數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實數(shù)()A.2 B. C.或2 D.【答案】A【解析】【分析】由于復數(shù)為純虛數(shù),所以,從而可求出的值【詳解】解:因為復數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),所以,由,得或,由,得且,所以,故選:A14.將函數(shù)的圖像向右平移單位,再向上平移1個單位,所得函數(shù)圖像對應的函數(shù)表達式為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意,結(jié)合圖象的平移變化即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移單位,得函數(shù),再將函數(shù)向上平移1個單位,得函數(shù).故選:D.15.關于等差數(shù)列和等比數(shù)列,下列四個選項中正確的有()A.若數(shù)列的前n項和(a,b,c為常數(shù)),則數(shù)列為等差數(shù)列B.若數(shù)列的前n項和,則數(shù)列為等比數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列,為前n項和,則,,,…仍為等差數(shù)列D.數(shù)列是等比數(shù)列,為前n項和,則,,,…仍為等比數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】由得,進而可判斷A和B;由等差數(shù)列的性質(zhì)判斷C;舉反例判斷D.【詳解】根據(jù)題意,依次分析選項:對于選項A:因為,,當時,,所以,所以只有當時,數(shù)列成等差數(shù)列,故A錯誤;對于選項B:因為,,當時,,當時,,符合上式,所以,則數(shù)列成等比數(shù)列,故B正確;對于選項C:數(shù)列是等差數(shù)列,為前項和,則,,,是公差為(為的公差)的等差數(shù)列,故C正確;對于選項D:令,則,,,是常數(shù)列,顯然不是等比數(shù)列,故D錯誤.故選:BC.16.歐拉公式(為虛數(shù)單位,,為自然底數(shù))是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系,它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位,被譽為“數(shù)學中的天橋”,現(xiàn)有以下兩個結(jié)論:①;②其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①②均正確 B.①②均錯誤C.①對②錯 D.①錯②對【答案】A【解析】【分析】對①,通過歐拉公式,,算出即可;對②,先將歐拉公式逆用,將原式化簡為,再通過指數(shù)運算性質(zhì)化簡,最后再用歐拉公式展開,最后算出即可.【詳解】對①,由題意,,正確;對②,原式===,正確.故選:A.三、解答題(滿分48分,)本大題共5題,解答下列各題必須寫出必要的步驟.17已知,.(1)若,求實數(shù)的值;(2)若,求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)向量共線滿足的坐標關系即可求解,(2)根據(jù)向量垂直的坐標關系即可求解.【小問1詳解】因為,所以,所以;【小問2詳解】因為,所以,所以.18.已知復數(shù),,其中為虛數(shù)單位,.(1)當、是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根時,求、的值.(2)求的值域.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)由于、是方程的兩個虛根,得出,求出的值,再根據(jù)根與系數(shù)的關系可求出、;(2)直接求出的表達式,利用三角函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì),求出值域即可.【詳解】(1)已知復數(shù),,、是方程的兩個虛根,所以,即,所以,所以,,由韋達定理可得,;(2)【點睛】方法點睛:三角函數(shù)最值的不同求法:①利用和的最值直接求;②把形如的三角函數(shù)化為的形式求最值;③利用和的關系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值;④形如或轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.19.如圖,摩天輪上一點P在時刻t(單位:分鐘)距離地面的高度y(單位:米)滿足,已知該摩天輪的半徑為50米,圓心O距地面的高度為60米,摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動,每3分鐘轉(zhuǎn)一圈,點P的起始位置在摩天輪的最低點處.(1)根據(jù)條件寫出y關于t的函數(shù)解析式;(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi),有多長時間點P距離地面的高度超過85米?【答案】(1);(2)分鐘【解析】【分析】(1)根據(jù)題意得到,,當時,,解得答案.(2)解不等式得到答案.【詳解】(1)根據(jù)題意:,故,,,故.當時,,即,,故..(2),故,.解得,解得,故有分鐘長的時間點P距離地面的高度超過85米.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的應用,意在考查學生的計算能力和應用能力.20.已知等比數(shù)列,前項和為,滿足.(1)求的值及的通項公式;(2)求值;(3)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和.【答案】(1),(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)與的關系求出前3項,再由題意知為等比數(shù)列即可求出及公比和首項即可求解;(2)把(1)的結(jié)論代入化簡,再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可求解;(3)分組求和即可求解.【小問1詳解】由可得,,,因為數(shù)列是等比數(shù)列,所以,即,所以,.所以,,符合題意;【小問2詳解】由(1)知,,所以,令,則,,所以是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以.【小問3詳解】因為,所以.21.數(shù)列的數(shù)列的首項,前n項和為,若數(shù)列滿足:對任意正整數(shù)n,k,當時,總成立,則稱數(shù)列是“數(shù)列”(1)若是公比為2的等比數(shù)列,試判斷是否為“”數(shù)列？(2)若是公差為d的等差數(shù)列,且是“數(shù)列”,求實數(shù)d的值;(3)若數(shù)列既是“”,又是“”,求證:數(shù)列為等差數(shù)列.【答案】(1)不是“”數(shù)列;(2);(3)證明見解析;【解析】【分析】(1)假設是數(shù)列,由已知,可得,當時,,,,故可判斷不是為為數(shù)列;(2)設的公差為d,則,由題意,即,解方程即可;(3)由數(shù)列既是“數(shù)列”,又是“數(shù)列”,可得,,進一步推理可得成等差數(shù)列,成等差數(shù)列,從而即成等差數(shù)列.【詳解】(1)因為,,所以,假設是數(shù)列,則當時,則成立,但時,,,,所