人教版九年級數(shù)學上冊《圓》單元測試卷（解析版）

2022—2023學年九年級數(shù)學上冊必考重難點突破必刷卷（人教版）

【單元測試】第二十四章圓（夯實基礎培優(yōu)卷）

（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）

學校:姓名：班級：考號：

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.如圖，A3為半圓。的直徑，OCVAB,平分/BOC,交半圓于點。，交OC于點￡,則NAEO

的度數(shù)是（）

C

A.75°B.67.5°C.60°D.30°

【答案】B

【分析】連接由題意可知，ZCOB=ZAOC=90°,由角平分線性質得到NOOB==45。，再

根據(jù)圓的半徑相等得到AO=OD,由三角形外角性質及等邊對等角解得/。4。=22.5。，最后由直角三角形

兩個銳角互余解答.

【詳解】解：連接OD

OCYAB

:.ZCOB=ZAOC=90°

平分

:.ZDOB=-ZCOB=45°

2

AO=OD

ZOAD=ZADO=-ZDOB」x45°=22.5°

22

ZAEO=90°-ZOAE=90°-22.5°=67.5°

故選：B.

c

【點睛】本題考查圓的基本性質，涉及等邊對等角、三角形的外角性質、直角三角形兩個銳角互余等知識，

是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵.

2.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小

明帶到商店去的一塊碎片應該是（）

A.第一塊B.第二塊C.第三塊D.第四塊

【答案】A

【分析】要確定圓的大小需知道其半徑，根據(jù)垂徑定理知第一塊可確定半徑的大小

【詳解】解：第一塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂

直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長.

故選：A.

【點睛】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的

圓心.

3.下列圖形中的角，是圓心角的為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)圓心角的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：A、頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；

B、頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；

C、是圓心角，故本選項符合題意；

D、頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了圓心角的定義，能熟記圓心角的定義（頂點在圓心上，并且兩邊與圓相交的角，叫圓

心角）是解此題的關鍵.

4.下列命題中，正確的是（）

A.和半徑垂直的直線是圓的切線B.平分直徑一定垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.垂直于弦的直徑必平分弦所對的弧

【答案】D

【分析】根據(jù)圓與直線間的關系，利用其性質定理及定義即可求解.

【詳解】A項還可能與圓相交，故錯誤不選；

B項過圓心的直線都平分直徑，但不一定垂直于弦，故錯誤不選；

C項如果半徑不等，則對應的弧也不相等，故錯誤不選；

D項說法正確.

故答案選D.

【點睛】本題考查圓與直線間的關系，需牢記相應的性質定理及判定條件并靈活運用.

5.如圖，在平面直角坐標系中，點/、B、C的坐標為（1,3）、（5,3）、（1,-1）,則A/BC外接圓的圓

心坐標是（）

C.(2,3)D.(3,2)

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的外心的概念作出外心，根據(jù)坐標與圖形性質解答即可.

【詳解】解：連接/2、AC,分別作/以ZC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點P,

y

則點尸為小/呂。外接圓的圓心，

由題意得：點尸的坐標為（3,1）,即A/BC外接圓的圓心坐標是（3,1）,

故選：B.

【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、坐標與圖形性質，掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平

分線的交點是解題的關鍵.

6.如圖，點尸為回。外一點，過點P作回。的切線以、PB,記切點為/、比點C為回。上一點，連接NC、

BC.若EL4cB=62。，則EL4尸3等于（）

A.68°B.64°C.58°D.56°

【答案】D

【分析】根據(jù)切線性質求出配4。=即50=90。，圓周角定理求得的。瓦再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可求得.

【詳解】解：EB4、尸5是回。的切線，

SOASR4,OB^PB,

EE7%O=ELP3O=90°,

EIEL4(9B+aP=180°,

0EWCS=62°,

EB4O8=2EL4cB=2x62°=124°,

EEL4PB=180°-124°=56°,

故選：D.

【點睛】此題考查了切線的性質、圓周角定理、四邊形內(nèi)角和，解題的關鍵熟記同弧所對的圓周角等于圓

心角的一半.

7.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。，點M在A8上，則/。監(jiān)的度數(shù)為（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

【答案】D

【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：連接。C、ODQOE,如圖所示：

回正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,

EBCOD=孥=60°,則團。0￡=120°,

6

WCME=；0。?！?60°,

故選：D.

【點睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正〃多邊形的中心角為當是解答的關鍵.

n

8.如圖，邊是國。內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在AB上，且8C是回。內(nèi)接正八邊形的一邊，若/C是回。

內(nèi)接正〃邊形的一邊，則〃的值是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360。+邊數(shù)，列式計算分別求出的08,勖OC的度數(shù)，可得a40c=15。，然后根

據(jù)邊數(shù)〃=360。+中心角即可求得答案.

【詳解】解：連接。C,

2L45是回。內(nèi)接正六邊形的一邊，

回&4。8=360°+6=60°,

I3BC是團。內(nèi)接正八邊形的一邊，

IWOC=360°+8=45°,

回S40c=EL4O3—勖OC=60°—45°=15°

幽=360°+15°=24.

故選：C.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質、正八邊形、正二十四邊形的性質；根據(jù)題意求出中

心角的度數(shù)是解題的關鍵.

9.如圖，以點。為圓心的兩個同心圓把以。4為半徑的大圓。的面積三等分，這兩個圓的半徑分別為。8,

0C.則。4:03:OC的值是（）

c.6叵1D.3:后夜

【答案】c

【分析】根據(jù)圓的面積公式得出方程，根據(jù)算術平方根求出04、OB,0C的值，再代入即可得出答案

21

【詳解】解：以。4半徑的圓的面積是此2,則以08半徑的圓的面積是:W2,則以OC半徑的圓的面積是:

TIP2

21

團TIOB1=—nr2,TIOC2——nr2,

33

回。8=1r，oc=2r.

33

B1OA：OB：0C=r：逅r：—r=^：0：1,

33

故選：C.

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，算術平方根，圓的面積的應用，解此題的關鍵是能根據(jù)題意得出關于

CM、OB、OC的方程，難度不是很大.

10.把量角器和含30。角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長直角邊重合，移動量角器使外圓弧與斜邊

相切時，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度2處，短直角邊過量角器外沿刻度120處（即OC=2cm,40尸=120。）.則

陰影部分的面積為（）

【答案】C

【分析】先求出團C0R進而求出0E=0B=4cm,再求出進而求出2E,最后用三角形的面積減去扇

形的面積，即可求出答案.

【詳解】在中，NC?=180?！狽BO尸=60。，

^ZOFC=900-ZCOF=30°,

OC=2cm,

..OF=2OC=4cm,

連接OE,則0石=0b=4cm,

回外圓弧與斜邊相切，

^EBEO=90°,

在中，ZB=30°,

:.ADOE=60°,OB=2（9￡=8cm,

根據(jù)勾股定理得，BE=4OB1-OE1=4百，

??.S陰影=SSOE-S扇形oo￡=；BE-OE_^^=；x4百x4_：萬=186_g%]cm2,

2JoU23I3/

故選：c.

【點睛】此題主要考查了切線的性質，含30。角的直角三角形的性質，三角形的面積公式和扇形的面積公式，

求出圓的半徑是解本題的關鍵.

二、填空題（本大題共6個小題，每題3分，共18分）

11.A2為半圓。的直徑，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點尸在半圓上，斜邊過點8,一條直

角邊交該半圓于點。.若AB=2,則線段BQ的長為.

【答案】y/2

【分析】連接A。，BQ,根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得/QAB=/P=45。，根據(jù)直徑所對的圓周角是直

角可得AABQ是等腰直角三角形，進而勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接AQ,BQ,

4=45。，

ZQAB=ZP=45°,

QAB為直徑，

AAQB=90°,

???AAB。是等腰直角三角形.

AB=2,

2BQ2=4,

BQ=y[2.

故答案為：血.

【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，掌握圓周角定理是解題的關鍵.

12.如圖，。是以原點為圓心，半徑為2的圓，點尸是直線＞=-％+6上的一點，過點尸作。的一條切線

PQ,。為切點，則5相。的最小值為

【答案】V14

【分析】過點。作于點C,根據(jù)切線的性質得到。。，尸。，根據(jù)勾股定理用。尸表示出尸。，根據(jù)

三角形的面積公式求出0C,得到答案.

【詳解】解：過點。作OC_LAB于點C,

是。的切線，

：.OQ±PQ,

SpQO=^OQPQ,

，。。是（。的半徑，大小不變，

，當尸。最小時，一尸。。的面積最小，

在Rt..OPQ中，PQ=^OP2-OQ2=VOP2-4,

則當。尸最小時，PQ最小，

對于直線/=一尤+6,當x=0時,y=6,當y=。時,無=6,

貝OA=6,OB=6,

由勾股定理得：AB=y/o^+OB2=6A/2>

SAOB=^ABOC=^OA-OB,

貝dx6VLOC=』x6x6,

22

解得：0c=30，

當點尸與點C重合時，0P最小，。尸的最小值為3行，

則PQ的最小值為：J（3衣）2一4=”?，

SPQ0的最小值=：、2*JiZ=JiZ,

故答案為：V14.

【點睛】本題考查的是切線的性質、一次函數(shù)的圖象和性質，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題

的關鍵.

13.如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1,點尸在以斜邊為直徑的半圓上，〃為PC的中點，

當點尸沿半圓從點A運動至點3時，點M運動的路徑長是.

【答案】顯兀

4

【分析】取A3的中點。、AC的中點￡、BC的中點/，連接OC、OP、OM、0E、OF,EF,可得四

邊形CE。尸是正方形，由OP=OC得OM0PC,則可得點M的運動路徑，從而求得路徑的長.

【詳解】取A3的中點。、AC的中點E、5c的中點尸，連接OC、OP、OM,0E、OF、EF,如圖,

則OE〃BC,S.OE=-BC=-,OF//AC,OF=-AC=~,

2222

團四邊形CEO尸為平行四邊形,

a4c=BC,a4c2=90°,

團四邊形CEOF為正方形，

EICE=CF=J,EF=OC,

由勾股定理得：EF=OC=—,

2

回在等腰RtaABC中，AC=BC=1,

回AB=6,BC=&，

0OC=-AB=—,OP=-AB=—,

2222

團〃為PC的中點，

0ZCMO=90°,

回點M在以OC為直徑的圓上，

當點P點在點A時，M點在￡點；點尸點在點3時，M點在尸點,

回M點的路徑為以EF為直徑的半圓，

團點M運動的路徑長=L%.

224

故答案是：^^萬.

4

【點睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質、三角形中位線定理、等腰三角形的性質及

正方形的判定，確定點M的運動路徑是關鍵與難點.

14.若正六邊形ABCDE/和正五邊形按如圖所示的方式放置，其中兩個正多邊形底邊重合，則

【答案】120

【分析】據(jù)正五邊形和正六邊形性質得出各內(nèi)角度數(shù)，進而可得答案.

52xl8

【詳解】解：回在正六邊形/5CDEF和正五邊形N8G質中，0ABG=（~）°=i08°,0

5

皿―",

EBGBCuEMBC-EL45G=120°-108°=12°,

故答案為：12。.

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，多邊形的內(nèi)角與外角，利用了正五邊形的內(nèi)角，正六邊形的內(nèi)角.

15.如圖，矩形48co的對角線/C,2。交于點O,分別以點力,。為圓心，長為半徑畫弧，分別交48,

。于點E,F.若BD=6,回C48=30。，則圖中陰影部分的面積為.（結果保留n）

DC

AEB

【答案】；3乃

【分析】利用矩形的性質求得O/=OC=O5=OD=3,再利用扇形的面積公式求解即可.

【詳解】解：回矩形N8CD的對角線NC,8。交于點O,且8。=6,

囿4。=2。=6,

SiOA=OC=OB=OD=3,

noco2x30"x323

回$陰影=2s扇形AOE=盤。=不"'

3

故答案為：■

【點睛】本題考查了矩形的性質，扇形的面積等知識，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想

解答.

16.跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲.如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形A3c和

等邊三角形3跖組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形.若AB=27厘米，則這個正六邊形的周長為

_________厘米.

【答案】54

【分析】設N8交￡尸、FO與點N□跖AC交EF、ED于點G、H,BC交FD、ED于點O、P,再證明0FAW、

EL4NG、^BMO.WOP,^CPH,EKGX是等邊三角形即可求解.

【詳解】設AB交EF、FD與點、NUM,AC交EF、ED于點G、H,BC交FD、ED于點、O、P,如圖，

回六邊形MNGHPO是正六邊形，

B3GMW=I3MWO=120°,

a3EM0=EIFA/N=6O°,

團MW是等邊三角形，

同理可證明BUNG、05M。、前。尸、回。尸"、MG"是等邊三角形,

^MO=BM,NG=AN,OP=PD,GH=HE,

皿NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB,GH+PH+OP^HE+PH+PD^DE,

團等邊的等邊EIDER

^\AB=DE,

l?L45=27cm,

l?]D￡=27cm,

團正六邊形MNGHPO的周長為：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm,

故答案為：54.

【點睛】本題考查了正六邊的性質、全等三角形的性質以及等邊三角形的判定與性質等知識，掌握正六邊

的性質是解答本題的關鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，共52分；第17T8每小題5分，第19-22每小題6分，第

23小題8分,第24小題10分)

17.已知銳角sABC內(nèi)接于〈:。，ODABC于點D.

(1)若N&1C=6O。，弦3c的長為2百，求，。的半徑；

(2)請用無刻度直尺畫出ABC的角平分線(不寫作法，保留作圖痕跡)

【答案】⑴。的半徑2

(2)見解析

【分析】(1)連接08,OC.解直角三角形08。即可.

(2)延長。D交回。于連接射線即為EB/C的角平分線.

【詳解】(1)解:連接08,OC.

EESOC=205/C,勖/C=60°,

00SOC=12OO,

0OD05C,OB=OC,

^D=CD=6,05OD=；EBOC=6O。，

00050=30°,

^OB2=BD2+OD2,

SOB2=(V3)2+(1G>B)2,

005=2,

解：延長0D交回。于M,連接/“，射線即為血C的角平分線.

0OZJ05C,

^BM=MC<

^BBAM=^CAM.

【點睛】本題考查作圖-基本作圖，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學

知識解決問題.

18.定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點尸（x,y）的縱坐標y與其橫坐標x的差y-x稱為尸點

的“坐標差"，而圖形G上所有點的"坐標差"中的最大值稱為圖形G的"特征值".

②拋物線y=-/+3x+3的"特征直為

(2謀二次函數(shù)尸一/+云+^^為淵崎征值為-1,點B(加，0)與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x

軸和7軸的交點，且點2與點C的"坐標差”相等.

①直接寫出m=—；(用含c的式子表示)

②求此二次函數(shù)的表達式.

(3汝口圖，在平面直角坐標系xOy中，以M(2,3)為圓心，2為半徑的圓與直線y=x相交于點D、E,

請直接寫出M的"特征值"為.

【答案】⑴①2；②4；

(2)①/〃=-<?；②y=-x?+3x-2；

⑶1+20.

【分析】(1)①②根據(jù)"坐標差"，"特征值"的定義計算即可；

(2)因為點8與點C的"坐標差”相等,推出B(-c,0),把(-c,0)代入〉=一1+法+。,得到：0=-<?-bc+c,

推出。=1-6,因為二次函數(shù)y=-x2+fex+c(exO)的“特征值"為-1,所以y一%=一工2+。一1)》+1-6的最大

值為-1，可得T。一。)一僅一1)一=T,解得6=3,由此即可解決問題；

-4

(3)如圖，設M(2,3),作MKElx軸于K,交EM于N,朋7取軸于，，作ELMV的平分線交IW于T,觀察

圖象，根據(jù)"特征值"的定義，可知點7的"坐標差”的值最大.

【詳解】(1)①點4(1,3)的"坐標差"為=3-1=2,

故答案為2；

②設尸(xfy)為拋物線y=-/+3工+3上一點，

坐標差=一/+2%+3=-(％-1)2+4,最大值為4,

所以拋物線y=-X2+3x+3的〃特征值〃為4

故答案為4.

(2)①由題意：0-加=c-0,可得冽=-c.

②團C(0,。)，

又回點B與點C的〃坐標差〃相等，

魴(-c,0),

把(-c,0)代入yn-f+bx+G得到：0=-O2_6C+G

回。=1-瓦

團二次函數(shù)丁=一/+"+。(CHO)的〃特征值〃為-1

所以y-尤=4+(b-1)x+l-b的最大值為-1,

回-4(1-6)-e-1)2=_],

-4

解得6=3,

0c=-2,

回二次函數(shù)的解析式為J=-x2+3x-2.

(3)

如圖，設M（2,3）,作軸于K,交IW于N,該跑軸于J,作ELZAW的平分線交IW于7,觀察圖象,

根據(jù)"特征值"的定義，可知點7的"坐標差"的值最大.

易知回力WF是等腰直角三角形，

?TF=FM=e,EF=KM=3,EK=FK=M=亞,

0OE=OK-EK=2-6,TE=3+亞,

半徑為2的圓的"特征值”為3+&-（2-0）=1+20.

故答案為1+20.

【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、"坐標差"，"特征值"的定義、等腰直角三角形的性質、圓的有關知識,

解題的關鍵是理解題意，學會利用參數(shù)解決問題，學會構建函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題.

19.已知，在平面直角坐標系中，N點坐標為（0,m）（加＞0）,8點坐標為（2,0）,以N點為圓心O/為

半徑作的，將△N05繞2點順時針旋轉a角（0。＜&＜360。）至處.

圖3備用圖

⑴如圖1,4=4,?=90°,求0'點的坐標及48掃過的面積；

⑵如圖2,當旋轉到A、。、左三點在同一直線上時，求證：是回。的切線；

⑶如圖3,〃?=2,在旋轉過程中，當直線8。與朋相交時，直接寫出a的范圍.

【答案】（1）。'（2,2）,N5掃過的面積為57r

（2）見解析

⑶當直線80'與曲相交時，a的范圍為：?！?lt;（/<90°或180°<0<270°

【分析】（1）先判斷出旋轉后。歸取軸，從而得出點。'的坐標，進而判斷出是N5掃過的面積是以為半

徑，圓心角為90。的扇形的面積，

（2）先判斷出dAO'3絲一A'O'3.即可得出AO'=A'O;進而得出AO'=即可得出結論；

（3）找出50'與姐相切時旋轉角的度數(shù)即可確定出范圍.

【詳解】（1）當a=90°時，?！?擊軸，

由旋轉知，O'B=OB=2,

0O'（2,2）,

在比A/OB中，08=2,OA=m=4,

0AB=26

由旋轉知，四繞點8旋轉90。到歷T,

BL4B掃過的面積=雙五生魚=5兀；

360

（2）由旋轉知，AB=A'B,

SZBAA'=ZBA'A,

dA、。、4三點在同一直線上,

^ZAO'B=ZA'O'B=90°,

在△/OB和△/'OB中，

AAO'B=ZA'O'B=90°

<ZBAA'=ZBA'A,

AB=A'B

團AO'B^A'O'B.AO'=A'O',

由旋轉知，A'O'=AO,

回AO'=AO,

回。'8是回。的切線；

(3)

團加二2,

的(0,2),

財(0,2),

旗14=OB=2,

當順時針旋轉時，8。與財相切時，四邊形AOBOC剛好是正方形，

00°<?<90°,30'與財相交，

同理：180°<(z<270°時，30'與的相交，

即：當直線30'與明相交時，a的范圍為：0°<0<90°或180°<c<270°.

【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了扇形的面積公式，全等三角形的判定和性質，切線的判定，勾股

定理，解本題的關鍵判斷出，,AO'BZA'O'B,是一道中等難度的中考?？碱}.

20.如圖1,菱形N8CD的邊長為12cm,05=60°,M,N分別在邊N8,CD.上，AM=3cm,DN=4cm,

點尸從點M出發(fā)，沿折線M3-3C以lcm/s的速度向點C勻速運動(不與點C重合)；的PC的外接圓團。

與CD相交于點E,連接尸￡交NC于點足設點P的運動時間為舊

(1)EL4P￡=°；

(2)若回。與相切,

①判斷回。與CD的位置關系；

②求APC的長；

⑶如圖3,當點尸在8C上運動時，求的最大值，并判斷此時尸￡與NC的位置關系；

⑷若點N在回。的內(nèi)部，直接寫出/的取值范圍.

【答案】⑴60。

（2）①回。與CD相切；②=

⑶C戶的最大值為3cm,此時AC^PE

⑷當OV<1時或17<”21時，點N在圓內(nèi)部；

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質易證明C￡?為等邊三角形，根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可得到的尸E的度數(shù)；

（2）①先找出回。與/。相切時的情況，根據(jù)切線長定理即可證明回。與CD相切；②根據(jù)切線長定理和菱

形的性質，可求得圓的半徑，根據(jù)弧長公式即可求解；

（3）要使b取得最大值，則4尸應該取最小值，當/。叩￡時，/尸最小，此時CF取得最大值，求出即可；

（4）分兩種情況進行討論，當尸在48上時和當點P在3C上時.

【詳解】（1）解：回四邊形/BCD為菱形，05=60°,

釀。=勖=60°,AD=CD,

EIEL4CD為等邊三角形，

0EL4C￡=6O°,

EB4PE=EL4CE=60°,

故答案為：60°.

（2）

A___________D

如圖，當點P運動到點8時，回。與AD相切,

①團四邊形/BCD為菱形,

^AD=CD,

盟。與相切,

盟。與CO相切;

②連接OD,

由(1)可知，0ADC=6O。，

EL4O、CD分別與回。相切，

EEADO=!a<DC=30°,

a4O=AZ)xtan30o=12x—=45/3,

3

0APC=-x(2zrx4A/3)=TI；

33

(3)

由圖可知：CF=AC-AF,

SAB=BC,05=60°,

的48c為等邊三角形，則NC=12cm,a4c8=60°,

回要使C尸取得最大值，則4F應該取最小值，

當/CHPE時，Z尸最小，此時CF取得最大值，

13點。為胤4PC外接圓圓心，

^\OA=OC=OP=—AC=6cm,

2

團財CB=60°,

0CF=CP*cos60°=3cm,

綜上：CF的最大值為3cm,此時ZCWPE.

(4)

①當點尸在ZB上時，

回四邊形NPCE為圓的內(nèi)接四邊形,

加尸C+04EC=18O°,

酮4￡Z>++胤4EC=180°,

^\APC^AED,

在的PC和回OE4中，

AC=AD,即％C=肛^APC^AED,

的4PC醐M4,

射P二DE,

當點石與點N重合時，DE=DN=AP=4,

[WP=4-3=lcm,

0Z=15,

當0<”1時，點N在圓內(nèi)部；

②當點。在BC上運動時，

釀4EP二胤4cp=60°,

團0APE為等邊三角形,

^AP=AE,皿E=60°,

團曲。=60°,

團曲。二團小￡,

在曲尸和團C4E中，

AB=AC,曲4PR1C4E,AP=AE,

^\BAP^\CAE,

國BP=CE,

當點E與帶你N重合時，CE=CN=BP=12-4=8cm,

MP+BP

此時t==9+8=175,

1

當點尸到達點C時，f=21s,

當17V<21時，點N在圓內(nèi)部;

綜上：當0</<1時或17<，<21時，點N在圓內(nèi)部.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，切線長定理，以及和圓相關的內(nèi)容，熟練掌握相關知識點是解題的

關鍵.注意在解題過程中靈活運用“同弧所對的圓周角相等"這一定理.

21.如圖，。為正五邊形ABCDE的外接圓，已知CF=g8C,請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的

畫圖痕跡.

⑴在圖1中的邊DE上求作點G,使。G=B；

（2）在圖2中的邊DE上求作點H,使EH=CF.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）連接并延長與CD相交，連接跖交/O延長線于連接8〃與。E的交點即為所求作；

（2）在（1）的基礎上，連接2。并延長與?！晗嘟?，連接/G交2。延長線于N,連接CN并延長即可.

【詳解】（1）連接/O并延長與CD相交，連接￡尸交/O延長線于“，連接交DE于點G,則點G為

所求作，如圖1所示；

理由：

03。為正五邊形的外接圓，

回直線49是正五邊形/3CDE的一條對稱軸，點3與點E、點C與點。分別是一對對稱點.

回點〃■在直線20上，

國射線與射線時關于直線對稱，從而點尸與點G關于直線/。對稱，

0CF與DG關于直線AO對稱.

^DG=CF.

ffil

(2)在(1)的基礎上，連接2。并延長與DE相交，連接/G交2。延長線于N,連接CN,如圖2所示;

【點睛】本題考查了作圖：無刻度直尺作圖，考查了正五邊形的對稱性質，掌握正五邊形的性質是解題的

關鍵.

22.已知回。的半徑和正方形4?。的邊長均為1,把正方形48CD放在回。中，使頂點4。落在回。上，

此時點/的位置記為4,如圖1,按下列步驟操作：

如圖2,將正方形ABCD在回。中繞點A順時針旋轉，使點B落到回。上，

完成第一次旋轉；再繞點2順時針旋轉，使點C落到回。上，完成第二次旋轉；……

(1)正方形N8CD每次旋轉的度數(shù)為。；

(2)將正方形N2CD連續(xù)旋轉6次，在旋轉的過程中，點8與4之間的距離的最小值為.

【答案】302-&

【分析】根據(jù)題意可知△04。是等邊三角形，每一次旋轉可以轉化為等邊三角旋轉60度，則正方形各頂點

構成正六邊形，邊長為1,進而求得每次旋轉的角度；在正方形的旋轉過程中，第三次旋轉過程中點3與4

之間的距離的最小值為（。的直徑減去正方形的對角線的長度

【詳解】.回。的半徑和正方形NBCD的邊長均為1,

是正三角形

:.ZOAD=60°

ZB0AB=120°-90°=30°

即正方形每一次旋轉的角度為30。，

如圖，B點的運動路徑如圖中線—…一舔部分,

?.?正方形的邊長為1,

,正方形的對角線長為0,

)0的半徑為1

，最短距離為2-0

故答案為：30,2-V2

【點睛】本題考查了正多邊形的性質，圓的性質，旋轉的性質，正三角形的性質，找到正方形旋轉的規(guī)律

是解題的關鍵.

23.如圖，以西3c的8c邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過48兩點，且與2c邊交于點￡,ZXM8E于點O,

連接40交2c于尸，若AC=FC.

⑴求證：NC是回。的切線：

(2)若B尸=8,DF=2?,求回。的半徑；

⑶若0AD2=6O。，BD=1,求陰影部分的面積.(結果保留根號)

【答案】⑴見解析

(2)6

【分析】（］）連接。/.由OA=OD,可得NOAT）=NOD4.由AC=CF,可得NC4F=NCE4.由OD_L8E,

可得"03=/。0尸=90。，所以NOFD+NODA=90。.結合NOW=NODA,Z.CAF=ZCFA,

ZOFD=ZCFA,可得NC4F+/Q4Z）=90。.

所以O4_LAC,即/C是。的切線.

（2）設。的半徑為r,所以3。=。。=廠.由3尸=8,可得O尸=8—r.在RtODP中，由勾股定理得

OF2+OD2=DF2,結合D尸=2西，可得（8-萬+/=（2而）2,解得r=6或廠=2（不符合題意舍），故二O

的半徑為6.

(3)由于30=00,BD=1,在Rf.BOD,由勾股定理得BO?+0￡P=臺。?，解得BO=DO=①,所以CO

2

的半徑為也.由ZADB=60。，可得ZAOB=120。.可求出NAOC=180。-NAOB=60。.由于。4_LAC,可得

2

刖聾.即

NQ4c=90°.所以在中，tanAOC=tan60°=—=.由QA=亞，可得AC=

OA2

60。若A

.故

可求出：SKRiIZAlyAC=c-OA.AC=-CCC4,、一71

AOAC22224。扇形Q4E一

360012

S陰影=SRIAOAC-S扇形OAE=°，——

【詳解】（1）證明：連接。4

OA=OD

ZOAD=ZODA

AC=CF

ZCAF=ZCFA

OD±BE

ZDOB=ZDOF=90°

???NOFD+NODA=90。

ZOAD=ZODA,ZCAF=ZCFA,ZOFD=ZCFA

ZCAF^-ZOAD=90°

OA±AC

即4。是C。的切線.

A

解：設。的半徑為V

，BO=DO=r

BF=8

OF=8-r

NDOF=90。

.,.在RtODF中，由勾股定理得。產(chǎn)+O￡p=￡>F2

DF=2回

(8-r)2+r2=(2A/10)2

解得：r=6或r=2(不符合題意舍)

故的半徑為6

(3)

解：BO=DO,BD=1,"03=90。

???在RtBOD,由勾股定理得BO2+OD2=BD-

，解得8。=￡＞。=變

2

即的半徑為走

ZADB=60°

ZAOB=2ZADB=120°

，ZAOC=180°-ZAOB=60°

OA1AC

，ZOAC=90°

在RtAOAC中，tanAOC=tan60°==.

OA

OA上

2

AC=yfiOA=—

2

10#660。%（交了

—OA.AC=—xx=,_。