2.3.2面積問題　課件　2023--2024學年北師大版數(shù)學九年級上冊

2.3.2用公式法求解一元二次方程會用一元二次方程解決面積問題.學習目標：（1分鐘）問題1：解一元二次方程我們學過哪幾種方法？直接開平方法

,配方法,公式法.問題2：如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長30m、寬20m的長方形土地上修建三條等寬的通道，使其中兩條與AB平行，另外兩條與AD平行，其余部分種花草，要使每一塊花草的面積都為78m2，那么通道寬應(yīng)該設(shè)計為多少？設(shè)通道寬為xm，則由題意列的方程為_____________________.CBDA(30-2x)(20-x)=6×78新課引入問題：在一塊長16m,寬12m的矩形荒地上,要建造一個花園,并使花園所占面積為荒地面積的一半.16m12m想一想，你會怎么設(shè)計這片荒地？看一看：下面幾位同學的設(shè)計方法是否合理？利用一元二次方程解決面積問題自學指導1：（5分鐘）解：設(shè)小路的寬為xm,根據(jù)題意，得即x2-14x+24=0.

解得x1=2,x2=12.

將x=12代入方程中不符合題意舍去.答：小路的寬為2m.小明設(shè)計：如圖所示，其中花園四周小路的寬都相等.通過解方程,得到小路的寬為2m或12m.16m12m問題：你覺得他的結(jié)果對嗎？你能將小明的解答過程重現(xiàn)嗎？xx解：設(shè)扇形半徑為xm.根據(jù)題意，得即πx2=96.

解方程得x1=,x2=(舍去),答：扇形半徑約為5.5m.小亮設(shè)計：如圖所示，其中花園每個角上的扇形都相同.問題：你能幫小亮計算一下這個扇形的半徑是多少嗎？16m12m

小穎設(shè)計：如圖所示，其中花園是兩條互相垂直的小路,且它的寬都相等.問題：你能幫小穎計算一下圖中x嗎？16m12mxmxm解：設(shè)小路的寬為xm.根據(jù)題意，得即x2-28x+96=0.

解得x1=4,x2=24,

將x=24代入方程中不符合題意，舍去.答：小路的寬為4m.認真閱讀P44的內(nèi)容,回答課本上的問題：（1）你認為小明的結(jié)果對嗎？為什么？（2）你能幫助小亮求出圖2-6中的x嗎？（3）你還有其他設(shè)計方案嗎？解:設(shè)小路寬xm,則花園的長為_______m,寬為________m.則得方程____________________________.解得:x1=2，x2=12而荒地的寬為12m,若小路寬為12m,不符合實際情況,故x2=12m不合題意.所以小路的寬為2m.(16-2x)(12-2x)由題意得：____________________

解得：_________∴_______答:小穎的設(shè)計方案中扇形的半徑約為____m

（1）主要集中在幾何圖形的面積問題,這類問題的面積公式是等量關(guān)系.如果圖形不規(guī)則應(yīng)割或補成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關(guān)系,再運用規(guī)則圖形的面積公式列出方程;

（2）與直角三角形有關(guān)的問題：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是這類問題的等量關(guān)系，即用勾股定理列方程.方法歸納1.某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場,養(yǎng)雞場的一邊靠墻(墻長25m),另外三邊用木欄圍成,木欄長40m.問：養(yǎng)雞場的面積能達到180m2嗎?如果能,請給出設(shè)計方案;如果不能,請說明理由.25m180m2解:設(shè)養(yǎng)雞場的長為xm.根據(jù)題意，得

即x2-40x+360=0.

解方程,得

x1=x2=

(舍去).

答：雞場的為（）m滿足條件.x自學檢測1：（8分鐘）完成P45的第2題2.如圖,有長為24米的籬笆,一面利用墻(墻的最大可用長度a為10米),圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃.設(shè)花圃的寬AB為x米,面積為S米2.(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果要圍成面積為45米2的花圃,AB的長是多少米？變式:如圖,若要建一個長方形養(yǎng)雞場,養(yǎng)雞場的一邊靠墻,墻對面有一個2m寬的門,另三邊用竹籬笆圍成,籬笆總長33m．

(1)若墻長為18m,要圍成養(yǎng)雞場的面積為150m2,則養(yǎng)雞場的長和寬各為多少？

(2)圍成養(yǎng)雞場的面積能否達到200m2嗎？答：截去正方形的邊長為10厘米。3.如圖是長60,寬40的長方形鐵皮,在四角截去四個相等的小正方形,折成一個無蓋的長方體水槽,使它的底面積為800平方厘米.求截去正方形的邊長.

如圖,在一塊長為92m,寬為60m

的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬都相等,水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊,水渠應(yīng)挖多寬？

分析：設(shè)水渠寬為xm，將所有耕地的面積拼在一起，變成一個新的矩形，長為(92–2x)m,寬(60-x)m.解：設(shè)水渠的寬應(yīng)挖xm.(92-

2x)（60-

x）=6×885.解得x1=105(舍去），x2=1.注意：結(jié)果應(yīng)符合實際意義例自學指導2：（5分鐘）我們利用“圖形經(jīng)過移動，它的面積大小不會改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）.方法點撥1.完成P44隨堂練習的內(nèi)容自學檢測2：（6分鐘）解:設(shè)小路寬xm,則得方程__________________________.解得:x1=4，x2=24而荒地的寬為12m，若小路寬為24m,不符合實際情況,故x2=24m不合題意.所以x=42.在一幅長90cm,寬40cm的風景畫四周外圍鑲上一條寬度相同的金色紙邊,制成一幅掛圖.如果要求風景畫的面積是整個掛圖面積的72%.那么金邊的寬應(yīng)是多少？解：設(shè)金邊的寬為xcm.根據(jù)題意，得(90+2x)(40+2x)×72%=90×40.

即

x2+65x-350=0.解方程,得

x1=5,x2=-70(舍去).答:金邊的寬應(yīng)是5cm.3.如圖1，在寬為20米，長為32米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540平方米，求道路的寬.

解：設(shè)道路寬為x米，由平移得到圖2，則寬為(20-x)米，長為（32-x)米，列方程,得（20-x)(32-x)=540，整理,得x2-52x+100=0，解得x1=50(舍去），x2=2.答：道路寬為2米.圖1圖2變式：如圖，一長為32m、寬為20m的矩形地面上修建有同樣寬的道路(圖中陰影部分)，余下部分進行了綠化，若已知綠化面積為540m2，求道路的寬．利用一元二次方程解決面積問題幾何圖形常見幾何圖形面積是等量關(guān)系類型花壇面積問題相框?qū)挾葐栴}常采用圖形平移能聚零為整方便列方程課堂總結(jié)1.一個矩形的面積是48平方厘米，它的長比寬多8厘米，則矩形的寬x（厘米），根據(jù)題意可列方程

。2.用10米長的鐵絲圍成面積是3平方米的矩形，則其長和寬分別是()A.3米和1米B.2米和1.5米

當堂訓練：（15分鐘）3.如圖，某工程隊在工地利用互相垂直的兩面墻AE、AF，另兩邊用鐵柵欄圍成一個長方形場地ABCD，中間再用鐵柵欄分割成兩個長方形，鐵柵欄總長180米，已知墻AE長90米，墻AF長為60米．(1)設(shè)BC=x米，則CD為______米，四邊形ABCD的面積為______米2；(2)若長方形ABCD的面積為4000平方米，問BC為多少米？4.