浙江省新陣地教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

浙江省新陣地教育聯(lián)盟2025屆第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題卷命題：天臺中學(xué)蔣永存?李明磨題：安吉高級中學(xué)焦曉東湖州二中費(fèi)凡校稿：李慧華?呂金晶一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式得到，再由交集運(yùn)算即可.【詳解】所以故選:D2.已知平面向量，則（）A.2 B.10 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.【詳解】，.故選：A.3.在的展開式中，含的項的系數(shù)為（）A15 B. C.270 D.【答案】A【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式解決問題.【詳解】設(shè)二項展開式的第項為：，由.所以含項的系數(shù)為：.故選：A4.在中，角的對邊分別為.已知，則（）A.1 B.2 C.1或2 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由余弦定理可得,即，解得或，故選：C5.函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像即可判斷交點(diǎn)個數(shù).【詳解】畫出與的圖像如圖所示：根據(jù)圖像可知，交點(diǎn)個數(shù)是個.故選：C.6.若隨機(jī)變量，則下列選項錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用正態(tài)分布的概率、期望、方差性質(zhì)，結(jié)合期望、方差結(jié)論逐個驗(yàn)證即可.【詳解】對于A選項，變量，這里，所以，A選項正確.對于B選項，因?yàn)檎龖B(tài)分布圖象關(guān)于對稱，.根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，，B選項正確.對于C選項，若，則.對于，根據(jù)期望的性質(zhì).所以，C選項正確.對于D選項，若，則，對于，根據(jù)方差的性質(zhì).所以，D選項錯誤.故選：D.7.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對角線與的交點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間幾何體及球的特征確定球心，結(jié)合球體體積公式計算即可.【詳解】因?yàn)榈酌?，底面，即，根?jù)題意可知為等邊三角形，為直角三角形，而，則，取的中點(diǎn)，連接，所以，易知，則，所以三棱錐的外接球的球心為F，，∴該外接球的體積為.故選：B8.北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過反復(fù)嘗試，終于得出了長方臺形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積，第一層有個小球，第二層有個小球，第三層有個小球.....依此類推，最底層有個小球，共有層.現(xiàn)有一個由小球堆成的長方臺形垛積，共7層，小球總個數(shù)為168，則該垛積的第一層的小球個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)各層的小球個數(shù)為數(shù)列an，利用，可得，，利用等差數(shù)列的求和公式，求得，根據(jù)題意，列出方程，求得的值，進(jìn)而求得該垛積的第一層的小球個數(shù).【詳解】設(shè)各層的小球個數(shù)為數(shù)列an由題意得，因?yàn)椋傻?，則，因?yàn)榍?層小球總個數(shù)為168，所以，即，解得或（舍去），所以，可得，即該垛積第一層的小球個數(shù)為個.故選：B.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.某地區(qū)5家超市銷售額（單位：萬元）與廣告支出（單位：萬元）有如下一組數(shù)據(jù)：超市ABCDE廣告支出（萬元）1461014銷售額（萬元）620364048下列說法正確的是（）參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)A.根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到與之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則B.與之間的樣本相關(guān)系數(shù)C.若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好D.若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬元，則該超市的銷售額一定是17.6萬元【答案】AC【解析】【分析】計算樣本中心點(diǎn)并代入線性回歸方程可得從而判斷A，利用可判斷B，由殘差概念可判斷C，由線性回歸方程只能進(jìn)行數(shù)據(jù)估計可判斷D.【詳解】由題意，，，樣本中心點(diǎn)為，代入中，可得，故A正確；由，得，，，所以，故B錯誤；由殘差的計算可知，若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好，故C正確；若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬元，則該超市的銷售額估計值為（萬元），但不一定是17.6萬元，故D錯誤.故選：AC.10.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.三角形的周長是12B.若雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線的焦距為8，則雙曲線為C.若，則的位置不唯一D.若是雙曲線左支上一動點(diǎn)，則的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合雙曲線和圓的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式可得A正確；由相同漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，再由焦距解出即可得B錯誤；由橢圓的軌跡和圓的位置關(guān)系得到C正確；由雙曲線的定義結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到D正確；【詳解】由題意可得雙曲線，，，，，，圓心坐標(biāo)，半徑，A，，，，所以三角形的周長是12，故A正確；B，由題意可設(shè)雙曲線的方程為或，變形為標(biāo)準(zhǔn)形式或，，又雙曲線的焦距為8，所以，所以雙曲線為或，故B錯誤；C，，所以點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，，所以軌跡方程為，圓心坐標(biāo)代入橢圓方程可得，所以圓心在橢圓上，又點(diǎn)是圓上點(diǎn)，畫出圖形可得所以，的位置不唯一，故C正確；D，由雙曲線的定義可得，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，又因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以的最小值是，故D正確；故選：ACD.11.已知增函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集，的取值也為正整數(shù)，且滿足.下列說法正確的是（）A.B.C.D.對任意正整數(shù)，都有【答案】ABD【解析】【分析】列出的值，歸納規(guī)律，可得問題結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉檎麛?shù)，且單調(diào)遞增.因?yàn)椋ㄈ?，則，所以矛盾），所以或（且）若（且），令，則；再令，則，因?yàn)?，所以，即，這與矛盾.所以不成立.所以.所以；；；又因?yàn)闉檎麛?shù)，且單調(diào)遞增，所以；…可得下表：123456789101112131415162356791112131415171921232417181920212223242526272829303132252627282930313335373941434547483334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626365故AB正確；因?yàn)椋?，，，，…所以，故D正確；因?yàn)椋蔆錯.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：先確定f1的值，因?yàn)椋?，所以或，若根?jù)繼續(xù)往下推，得到的結(jié)果就不滿足單調(diào)遞增，所以成立.第Ⅱ卷三?填空題：本題共3小題，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式求解即可.【詳解】，故.故答案為：13.已知是等差數(shù)列的前項和，若，則__________.【答案】3【解析】【分析】由題意得，進(jìn)一步由等差數(shù)列基本量的計算即可得解.【詳解】由題意，所以，所以（為公差）.故答案為：3.14.甲乙兩人進(jìn)行一場抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于12或者所有卡片被抽完時，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時，恰好游戲結(jié)束的概率是______.【答案】【解析】【分析】依題意可知游戲結(jié)束時共抽取了5張卡片，甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12，分別計算出所對應(yīng)的排列總數(shù)即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12；總的情況相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張并進(jìn)行全排列，即共種排法；其中三張卡片數(shù)字之和為12的組合有；；；；共5種情況；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；；；時，乙在剩余的4個數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有種；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為時，若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為，此時不合題意，此時共有種；所以符合題意的排列總數(shù)為種，可得所求概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于首先明確游戲結(jié)束時甲乙兩人抽取的卡片張數(shù)以及數(shù)字之和的所有情況，再利用全排列公式計算出各種情況對應(yīng)的種類數(shù)可得結(jié)論.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列an的首項，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù).【答案】（1）證明見解析，（2）12【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的通項公式即可；（2）利用分組求和法求得，記，判斷出單調(diào)遞增，再分別取和驗(yàn)證即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；所以，所以；【小問2詳解】由（1）知，記，則，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時，，不符合；當(dāng)時，，所以最大值為12.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，.（1）若是中點(diǎn)，證明：；（2）若，求平面與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先依次證明，由線面垂直判定定理可得平面，進(jìn)一步結(jié)合線面垂直性質(zhì)即可得證；（2）思路一：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系求出兩個平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式即可求解；思路二：用定義法說明是二面角的平面角，進(jìn)一步計算即可求解.【小問1詳解】是中點(diǎn)，，平面平面平面，平面，又與是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面，；【小問2詳解】解法一：（坐標(biāo)法）過作于平面平面平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，平面的一個法向量為，，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則，令，解得，所以平面的一個法向量為，平面與平面所成的角記為，，即平面與平面所成角的正切值是，解法二：（幾何法）記平面與平面的交線為，平面平面，即直線兩兩平行，又平面平面，平面與平面所成角與二面角的平面角互余，過作于平面平面平面，過點(diǎn)作于，連接是二面角的平面角，平面與平面所成角的正切值為，，，即平面與平面所成角的正切值是.17.平面內(nèi)有一點(diǎn)和直線，動點(diǎn)滿足：到點(diǎn)的距離與到直線的距離的比值是.點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是曲線，曲線上有四個動點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）若在軸上方，，求直線的斜率；（3）若都在軸上方，，直線，求四邊形的面積的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知條件列出方程化簡即可；（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，設(shè)，與（3）延長，交橢圓于點(diǎn)，四邊形的面積，設(shè)，利用韋達(dá)定理結(jié)合基本不等式求的最大值.【小問1詳解】由題意，兩邊平方得，化簡得，所以曲線的方程為；【小問2詳解】，即，則直線的斜率是正數(shù)，設(shè)，直線的斜率為，設(shè)Ax1,化簡得，所以，由題意知，代入，消，可得，解得，所以直線的斜率是；【小問3詳解】延長，交橢圓于點(diǎn)，，由對稱性可知，和等底等高，，四邊形的面積，設(shè)，由（2）知，所以，即，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取到最大值，此時分別在正上方.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．18.已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若恒成立，求的最小值.【答案】（1）在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減（2）（3）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式即可求解；（2）由題意在定義域內(nèi)有異號零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式求解即可；（3）易知當(dāng)時，，再證能成立，即證：存在，使得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；【小問2詳解】函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且不具有單調(diào)性，在定義域內(nèi)有正有負(fù)（有異號零點(diǎn)），記，則在為負(fù)，為正，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故存在，使得，只需，即.【小問3詳解】對任意都成立，當(dāng)時，，下證：能成立，即證：存在，使得恒成立，記，故（必要性），而，則，解得，只需證：恒成立，，由（2）知，其在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在為正，在為負(fù)，在為負(fù)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，得證；綜上，的最小值為0.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理．19.正整數(shù)集，其中.將集合拆分成個三元子集，這個集合兩兩沒有公共元素.若存在一種拆法，使得每個三元子集中都有一個數(shù)等于其他兩數(shù)之和，則稱集合是“三元可拆