山東省聊城第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考試題含解析

山東省聊城第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，最小正周期為π2A.y=cosxC.y=cos2x2．已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．一個(gè)孩子的身高與年齡（周歲）具有相關(guān)關(guān)系，根據(jù)所采集的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)中心B.斜率的估計(jì)值等于6.217，說(shuō)明年齡每增加一個(gè)單位，身高就約增加6.217個(gè)單位C.年齡為10時(shí)，求得身高是，所以這名孩子的身高一定是D.身高與年齡成正相關(guān)關(guān)系4．已知，分別是圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.5．“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6．已知,,,則的大小關(guān)系A(chǔ). B.C. D.7．如圖所示韋恩圖中，若A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，7}，則陰影部分表示的集合是（）A.2，3，4，5，6， B.2，3，4，C.4，5，6， D.2，6，8．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，則其中正確命題的序號(hào)是A.①③ B.①④C.②③ D.②④9．若，，且，則A. B.C. D.10．下列選項(xiàng)中，與的值不相等的是（）A B.cos18°cos42°﹣sin18°sin42°C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為___________.12．計(jì)算的值為__________13．已知函數(shù)的零點(diǎn)依次為a，b，c，則＝________14．已知,則的值為________15．若，則_________.16．函數(shù)的最小值為_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．已知全集，，.（1）當(dāng)時(shí)，，；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，18．如圖所示，正方形邊長(zhǎng)為分別是邊上的動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，將的面積用表示，并求出面積的最大值；（2）當(dāng)周長(zhǎng)為4時(shí)，設(shè)，.用表示，由此研究的大小是否為定值，并說(shuō)明理由.19．已知，求下列各式的值.（1）；（2）.20．如圖，甲、乙是邊長(zhǎng)為4a的兩塊正方形鋼板，現(xiàn)要將甲裁剪焊接成一個(gè)正四棱柱，將乙裁剪焊接成一個(gè)正四棱錐，使它們的全面積都等于一個(gè)正方形的面積（不計(jì)焊接縫的面積）（1）將你的裁剪方法用虛線標(biāo)示在圖中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明；（2）試比較你所制作的正四棱柱與正四棱錐體積的大小，并證明你的結(jié)論21．設(shè)兩個(gè)向量，，滿足，.（1）若，求、的夾角；（2）若、夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】利用三角函數(shù)的周期性求解.【詳解】A.y=cosx周期為T=2πB.y=tanx的周期為C.y=cos2x的周期為D.y=tan2x的周期為故選：D2、D【解析】將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過對(duì)參數(shù)討論作圖可解.【詳解】在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上有且只有一個(gè)解，即在區(qū)間上有且只有一個(gè)解令，，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增且，，由圖1知，此時(shí)函數(shù)與在上只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以要使函?shù)與在上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由圖2知，即，解得或（舍去）.綜上，的取值范圍為.故選：D3、C【解析】利用線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)可判斷A；由回歸方程求出的數(shù)值是估計(jì)值可判斷B、C；根據(jù)回歸方程的一次項(xiàng)系數(shù)可判斷D；【詳解】對(duì)于A，線性回歸方程一定過樣本中心點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由于斜率是估計(jì)值，可知B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，求得身高是是估計(jì)值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，線性回歸方程的一次項(xiàng)系數(shù)大于零，故身高與年齡成正相關(guān)關(guān)系，故D正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的特征，需掌握這些特征，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】由已知可得，，求得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得，則因?yàn)椋謩e在圓和圓上，所以，，則因?yàn)?，所以故選：B.5、B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求的解集，由充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系即可.【詳解】由，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B6、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】∵0＜a＝0.71.3＜1，b＝30.2＞1，c＝log0.25＜0，∴c＜a＜b故選D【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題7、D【解析】根據(jù)圖象確定陰影部分的集合元素特點(diǎn)，利用集合的交集和并集進(jìn)行求解即可【詳解】陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為{x|x∈A∪B且x?A∩B}，∵A∪B={1，2，3，4，5，6，7}，A∩B={3，4，5}，∴陰影部分的集合為{1，2，6，7}，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的運(yùn)算，根據(jù)Venn圖表示集合關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵8、C【解析】由空間中直線與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析即可【詳解】當(dāng)時(shí)，可能平行，也可能相交或異面，所以①不正確；當(dāng)時(shí)，可以平行，也可以相交，所以④不正確；若，，則；若，則，故正確命題的序號(hào)是②③.【點(diǎn)睛】本題考查空間中平面與直線的位置關(guān)系，屬于一般題9、A【解析】∵，∴2既是方程的解，又是方程的解令a是方程的另一個(gè)根，b是方程的另一個(gè)根由韋達(dá)定理可得：2×a=6，即a=3，∴2+a=p，∴p=52+b=?6，即b=?8，∴2×b=?16=?q，∴q=16∴p+q=21故選：A10、C【解析】先計(jì)算的值，再逐項(xiàng)計(jì)算各項(xiàng)的值，從而可得正確的選項(xiàng)．【詳解】．對(duì)于A，因?yàn)椋蔄正確．對(duì)于B，，故B正確．對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，，故D正確．故選：C．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8【解析】由給定條件可得，再變形配湊借助均值不等式計(jì)算作答.【詳解】由得：，又實(shí)數(shù)x，y滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，由解得：，所以當(dāng)時(shí)，取最小值8.故答案為：8【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的條件.12、【解析】.13、【解析】根據(jù)對(duì)稱性得出，再由得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，又，所以.故答案為：14、【解析】利用正弦、余弦、正切之間的商關(guān)系,分式的分子、分母同時(shí)除以即可求出分式的值.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的平方和關(guān)系和商關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15、##【解析】依題意利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所?故答案為：.16、【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的最小值.【詳解】由正弦型函數(shù)的性質(zhì)知：，∴的最小值為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1），或；（2）【解析】（1）解不等式，求出，進(jìn)而求出與；（2）利用交集結(jié)果得到集合包含關(guān)系，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【小問1詳解】，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，或；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，要滿足，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是18、（1），（2），為定值，理由見解析【解析】（1）由題意可知，進(jìn)而可得，由此即可求出結(jié)果；（2）由題意可知，再根據(jù)的周長(zhǎng)，化簡(jiǎn)整理可得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】解：由，知，由周長(zhǎng)為4，可知，，，而均為銳角，故，為定值.19、（1）2（2）【解析】（1）依據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后去求解即可解決；（2）轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)齊次式的值即可解決.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.20、(1)見解析(2)正四棱柱的體積比正四棱錐的體積大【解析】1該四棱柱的底面為正方體，側(cè)棱垂直底面，可知其由兩個(gè)一樣的正方形和四個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形組成，對(duì)圖形進(jìn)行切割，畫出圖形即可，畫法不唯一；2正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2a，高為a，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h=(3a)解析：（1）將正方形甲按圖中虛線剪開，以兩個(gè)正方形為底面，四個(gè)長(zhǎng)方形為側(cè)面，焊接成一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2a，高為a的正四棱柱將正方形乙按圖中虛線剪開，以兩個(gè)長(zhǎng)方形焊接成邊長(zhǎng)為2a的正方形為底面，三個(gè)等腰三角形為側(cè)面，兩個(gè)直角三角形合拼成為一側(cè)面，焊接成一個(gè)底面板長(zhǎng)為2a，斜高為3a的正四棱錐（2）∵正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2a，高為a，∴其體積V1又∵正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h=(3a)∴其體積V∵42即4>823，4故所制作的正四棱柱的體積比正四棱錐的體積大（說(shuō)明：裁剪方式不唯一，計(jì)算的體積也不一定相等）點(diǎn)睛：本題考查了四棱錐和四棱柱的知識(shí)，需要掌握二者的特征以及其體積的求法，對(duì)于圖形進(jìn)行分割，畫出圖形即可，注意畫法不唯一，結(jié)合體積公式求得體積，然后比較大小即完成解答21、（1）；（2）且.【解析】（1）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算以及結(jié)果，結(jié)合模長(zhǎng)，即可求