北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.2．如圖，已知二面角平面角的大小為，其棱上有、兩點(diǎn)，、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都與垂直.已知，，則（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，，.設(shè)，若對(duì)于，都有恒成立，則最大值為A.3 B.4C.7 D.94．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.5．設(shè)，，則與的等比中項(xiàng)為（）A. B.C. D.6．橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，是上一點(diǎn)，軸，，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.7．若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.8．如果向量，，共面，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.C. D.9．已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為A.2 B.3C.4 D.510．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為A.B.C.D.11．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（-1，0）且斜率為的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A. B.14C. D.1512．已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為______14．某高中高二年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)學(xué)選擇性必修一后進(jìn)行了一次測(cè)試，總分為100分.現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣方法從學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中抽取一個(gè)樣本量為40的樣本，再將40個(gè)成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計(jì)成績(jī)樣本數(shù)據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的兩組學(xué)生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取兩個(gè)進(jìn)調(diào)查，求調(diào)查對(duì)象來自不同分組的概率.15．已知圓，過點(diǎn)作圓O的切線，則切線方程為___________.16．已知A(1,3)，B(5，－2)，點(diǎn)P在x軸上，則使|AP|－|BP|取最大值的點(diǎn)P的坐標(biāo)是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖四棱錐P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等邊三角形.（1）設(shè)面PAB面PDC=l，證明:l//平面ABCD；（2）線段PC內(nèi)是否存在一點(diǎn)E，使面ADE與面ABCD所成角的余弦值為，如果存在，求λ=的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.18．（12分）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí)，（1）求橢圓E的方程；（2）求的范圍19．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)的和.20．（12分）如圖，四邊形是某半圓柱的軸截面（過上下底面圓心連線的截面），線段是該半圓柱的一條母線，點(diǎn)為線的中點(diǎn)（1）證明：；（2）若，且點(diǎn)到平面的距離為1，求線段的長(zhǎng)21．（12分）已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，A，B分別為左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上不同于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線AP與直線（m為常數(shù)）交于點(diǎn)Q，①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線OQ的斜率為，直線BP的斜率為．求證：為定值；②過Q與PB垂直的直線l是否過定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由22．（10分）如圖甲，在直角三角形中，已知，，，D，E分別是的中點(diǎn).將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，且，連接，得到如圖乙所示的四棱錐，M為線段上一點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）過B，C，M三點(diǎn)的平面與線段A'E相交于點(diǎn)N，從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求直線DN與平面A'BC所成角的正弦值.①；②直線與所成角的大小為；③三棱錐的體積是三棱錐體積的注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，即有，而，則過點(diǎn)，斜率為1的直線方程為：，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.故選：D2、C【解析】以、為鄰邊作平行四邊形，連接，計(jì)算出、的長(zhǎng)，證明出，利用勾股定理可求得的長(zhǎng).【詳解】如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因?yàn)?，，則，又因?yàn)椋?，，故二面角的平面角為，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危瑒t，，因?yàn)?，故為等邊三角形，則，，則，，，故平面，因?yàn)槠矫?，則，故.故選：C.3、A【解析】整理數(shù)列的通項(xiàng)公式有：，結(jié)合可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，，原問題即：恒成立，當(dāng)時(shí)，，即>3，綜上可得：的最大值為3.本題選擇A選項(xiàng)點(diǎn)睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)4、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.詳解】對(duì)于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以不成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，故D不正確.故選：B5、C【解析】利用等比中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，與的等比中項(xiàng)為.故選：C.6、A【解析】在中結(jié)合已知條件，用焦距2c表示、，再利用橢圓定義計(jì)算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，因是上一點(diǎn)，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故選：A7、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式來判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，則等號(hào)不成立，所以，C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質(zhì)和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】設(shè)，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出方程組，即可解得的值.【詳解】由于向量，，共面，設(shè)，可得，解得.故選：B.9、D【解析】拋物線焦點(diǎn)在軸上，開口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.10、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，根據(jù)等積法求出幾何體內(nèi)切球的半徑，再計(jì)算內(nèi)切球的表面積【詳解】解：由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐，放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，如圖所示：設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則由等體積法得，解得，所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內(nèi)切球表面積的應(yīng)用問題，屬于中檔題11、C【解析】設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)拋物線的定義求出，然后將直線的方程代入拋物線方程并化簡(jiǎn)，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.【詳解】設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義可知：.聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，.故選：C.12、D【解析】由題設(shè)易知上恒成立，而在上，討論、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的最值，由不等式恒成立求的取值范圍.【詳解】由時(shí)，在上；由時(shí)，在上遞減，值域?yàn)椋涣钋?，則，當(dāng)時(shí)，，即遞增，值域?yàn)?，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，在上，即遞減，在上，即遞增，此時(shí)值域?yàn)?；?dāng)，即時(shí)存在，而在中，此時(shí)，不合題設(shè)；所以，此時(shí)要使的不等式恒成立，只需，即，可得；綜上，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題設(shè)易知上，只需在上恒有即可.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.4【解析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差d，進(jìn)而寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，再求目標(biāo)式的最小值.【詳解】由題設(shè)，，則，整理得，又，解得，故，，所以，故當(dāng)時(shí)目標(biāo)式有最小值為.故答案為：14、（1）眾數(shù)；平均數(shù)，中位數(shù).（2）.【解析】（1）按“眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.【小問1詳解】眾數(shù)取頻率分布直方圖中最高矩形對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)75；平均數(shù)；因?yàn)椋灾形粩?shù)在區(qū)間上，且中位數(shù)【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分別有4個(gè)和2個(gè)，從6個(gè)樣本選2個(gè)共有個(gè)結(jié)果，記事件A=“調(diào)查對(duì)象來自不同分組”，結(jié)果有所以.15、或【解析】首先判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，再設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫出切線方程.【詳解】由題設(shè)，，故在圓外，根據(jù)圓及，知：過作圓O的切線斜率一定存在，∴可設(shè)切線為，聯(lián)立圓的方程，整理得，∴，解得或.∴切線方程為或.故答案為：或.16、【解析】首先求得點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合結(jié)合直線方程求解點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.【詳解】點(diǎn)A(1,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1，－3)，如圖所示，連接A′B并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，即為所求直線A′B的方程是y＋3＝(x－1)，即.令y＝0，得x＝13則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的應(yīng)用，最值問題的求解，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）存在【解析】（1）由已知可得∥，再由線面平行的判定可得∥平面，再由線面平行的性質(zhì)可得∥，再由線面平行的判定可得結(jié)論，（2）由已知條件可證得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因?yàn)?所以，所以∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，因?yàn)槠矫?，且平面面，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，【小?詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椤鱌DC是等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD，且平面面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，由已知得，則，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，則所以，整理得，解得（舍去），或，所以18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率及通徑長(zhǎng)求出橢圓方程；（2）分直線AB斜率存在和斜率不存在兩種情況得到的范圍，進(jìn)而得到答案.【小問1詳解】當(dāng)軸時(shí)，取代入橢圓方程得：，得，所以，又，解得，，所以橢圓方程為【小問2詳解】由，記，當(dāng)軸時(shí)，由（1）知：，所以，當(dāng)AB斜率為k時(shí)，直線AB為，，消去y得，所以，，所以，綜上，的范圍是.19、（1）證明見解析；（2），.【解析】（1）證明出，即可證得結(jié)論成立；（2）由（1）的結(jié)論并確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法可求得.【小問1詳解】證明：因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，且，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列.【小問2詳解】解：由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，，因此，.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）先證明，，利用判定定理證明平面，從而得到；（2）設(shè)，利用等體積法，由由，解出a.【詳解】（1）證明：由題意可知平面，平面∴∵所對(duì)為半圓直徑∴∴和是平面內(nèi)兩條相交直線∴平面平面∴（2）設(shè)，因?yàn)?，且所以，設(shè)，在等腰直角三角形中，取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,則，取BC1的中點(diǎn)為P，連結(jié)DP，∵，∴，又為的中點(diǎn)，∴,∴，即的高為∴，∵，且∴平面，∵平面，且即到平面的距離為1，而由，即解得：，即.【點(diǎn)睛】立體幾何解答題(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)第二問是計(jì)算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離）.如果求體積，常用的方法有：(1)直接法；(2)等體積法；(3)補(bǔ)形法；(4)向量法.21、（1）（2）①證明見解析；②直線過定點(diǎn)；【解析】（1）依題意得到方程