北京市東城區(qū)第十一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題含解析

北京市東城區(qū)第十一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種2．設(shè)，，則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件3．某中學(xué)高一年級(jí)有200名學(xué)生，高二年級(jí)有260名學(xué)生，高三年級(jí)有340名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生完成作業(yè)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本，則高二年級(jí)抽取的人數(shù)為（）A.10 B.13C.17 D.264．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A.1 B.2C.4 D.85．設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.6．已知是拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且的坐標(biāo)為，則的最小值是A. B.C. D.7．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比為q，前n項(xiàng)和為，滿足，且是與的等差中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C D.8．若球的半徑為，一個(gè)截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（）A. B.C. D.9．以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（）A. B.C. D.10．已知三棱錐，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且，用表示，則等于()A. B.C. D.11．過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.12．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（）A.4 B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.14．已知兩點(diǎn)和則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.15．若等比數(shù)列滿足，則的前n項(xiàng)和____________16．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是，在該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于的概率是_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA與QB的斜率分別為，，且，那么直線l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱(chēng)此直線y＝kx＋b為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，.（1）證明函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）證明和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.19．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，（1）求，；（2）已知，，試比較，的大小20．（12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線l與橢圓C相切于點(diǎn)Q，且直線l斜率大于0，過(guò)線段PQ的中點(diǎn)R作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B不在y軸上），連結(jié)PA，PB，分別與橢圓交于點(diǎn)M，N，試判斷直線MN的斜率是否為定值；若是，請(qǐng)求出該定值21．（12分）某廠A車(chē)間為了確定合理的工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了五次試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如下：加工零件的個(gè)數(shù)x12345加工的時(shí)間y（小時(shí)）1.52.43.23.94.5（1）在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）求出y關(guān)于x的回歸方程；（3）試預(yù)測(cè)加工9個(gè)零件需要多少時(shí)間？參考公式：，22．（10分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)M滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線C上，設(shè)雙曲線C的左支上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，點(diǎn)，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點(diǎn)B．證明：動(dòng)直線PB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個(gè)區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B2、C【解析】不能推出，反過(guò)來(lái)，若則成立，故為必要不充分條件.3、B【解析】計(jì)算出抽樣比可得答案.【詳解】該校高中學(xué)生共有名，所以高二年級(jí)抽取的人數(shù)名.故選：B.4、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由題中條件，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，由，得，所以，因此.故選：C.5、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C6、C【解析】由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角∴當(dāng)最小時(shí)，最小，則當(dāng)和拋物線相切時(shí)，最小設(shè)切點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為.∴，則.∴，∴故選C點(diǎn)睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問(wèn)題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類(lèi)問(wèn)題一定要注意點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，這樣可利用三角形相似，直角三角形中的銳角三角函數(shù)或是平行線段比例關(guān)系可求得距離弦長(zhǎng)以及相關(guān)的最值等問(wèn)題.7、D【解析】根據(jù)題意求得，即可判斷AB，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可判斷C；再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可判斷D.【詳解】解：因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，又因是與的等差中項(xiàng)，所以，即，解得或（舍去），故B錯(cuò)誤；所以，故A錯(cuò)誤；所以，故C錯(cuò)誤；所以，故D正確.故選：D.8、C【解析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離【詳解】由截面圓的面積為可知，截面圓的半徑為，則球心到截面圓心的距離為故選：C【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面9、B【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線的a，b，c，再求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線方程為，故選：B.10、D【解析】連接，利用，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】連接，如下圖.故選：D.11、B【解析】求出直線l的斜率，再借助垂直關(guān)系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B12、A【解析】寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，，利用橢圓的定義、結(jié)合余弦定理、已知條件，可得，解得，從而可得結(jié)果【詳解】橢圓，可得，設(shè)，，可得，化簡(jiǎn)可得：，，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.14、【解析】根據(jù)的中點(diǎn)是圓心，是半徑，即可寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)楹?，故可得中點(diǎn)為，又，故所求圓的半徑為，則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.故答案為：.15、##【解析】由已知及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到首項(xiàng)和公比，再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，得，解得，所以.故答案為：16、【解析】先求出正方形的面積，然后求出動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離所表示的平面區(qū)域的面積,最后根據(jù)幾何概型計(jì)算公式求出概率.【詳解】正方形的面積為，如下圖所示：陰影部分的面積為:，在正方形內(nèi)，陰影外面部分的面積為，則在該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于的概率是.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的計(jì)算公式，正確求出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）恒過(guò)點(diǎn)【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，再根據(jù)的取值范圍，得到，再根據(jù)離心率求出、，最后根據(jù)，求出，即可得解；（2）設(shè)、，表示出、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而得到，再將、代入計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，又，所以、，因?yàn)椋?，所以橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)、，依題意可得、，所以、，聯(lián)立得，則即，所以、，因?yàn)?，所以，即，由得，即，所以，即，，整理得，所以，即，即，解得或，?dāng)時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，故舍去，所以，則直線恒過(guò)點(diǎn)；18、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出在上的單調(diào)性；（2）設(shè)和之間的隔離直線為y＝kx＋b，由題設(shè)條件得出對(duì)任意恒成立，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞增【小問(wèn)2詳解】設(shè)和之間的隔離直線為y＝kx＋b則對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立由對(duì)任意恒成立，得當(dāng)時(shí)，則有符合題意；當(dāng)時(shí)，則有對(duì)任意恒成立的對(duì)稱(chēng)軸為又的對(duì)稱(chēng)軸為即故和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在解決問(wèn)題一時(shí)，求了一階導(dǎo)得不了函數(shù)的單調(diào)性，再次求導(dǎo)得，進(jìn)而得出在恒成立，得在上的單調(diào)性.19、（1），；（2）.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，由已知列式計(jì)算得解.(2)由(1)的結(jié)論，用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，用裂項(xiàng)相消法求出，再比較大小作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，，整理得：，解得，所以，.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，，，則，用數(shù)學(xué)歸納法證明，，①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊>右邊，即原不等式成立，②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則，即時(shí)，原不等式成立，綜合①②知，，成立，因此，，即，所以.20、（1）（2）是，【解析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積列出等式即可求解；（2）設(shè)出相關(guān)直線與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，直線與橢圓聯(lián)立，點(diǎn)的坐標(biāo)配合斜率公式化簡(jiǎn)，再運(yùn)用韋達(dá)理化簡(jiǎn)可證明.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)切線PQ的方程為，，，，，由，消去y得①，則，解得或（舍去），將代入①得，，解得，則，所以，又R為PQ中點(diǎn)，則，因?yàn)镻A，PB斜率都存在，不妨設(shè)，，由①可得，所以，，同理，，則，又R，A，B三點(diǎn)共線，則，化簡(jiǎn)得，所以.21、（1）圖見(jiàn)解析；（2）；（3）小時(shí).【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可.（2）由表格中的數(shù)據(jù)代入公式算出，再求，即可得到方程；（3）中將自變量為9代入回歸方程可得需用時(shí)間.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】由表中數(shù)據(jù)得：，，，，由x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)公式知：，，∴回歸直線方程為：【小問(wèn)3詳解】將代入回歸直線方程得，，∴預(yù)測(cè)加工9個(gè)零件需要小時(shí)22、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求得的值得雙曲線方程；（2）確定垂直于軸，設(shè)直線BP的方程為，設(shè)，，則，直線方程代入雙曲線方程，由相交求得范圍，由韋達(dá)定理，利用N、B、Q三點(diǎn)共線