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高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省周口市4校2024屆高三下學期高考押題卷一(5月聯(lián)考)數(shù)學試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知,,則()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為,,所以.故選:B.2.已知復數(shù),i為虛數(shù)單位,則的虛部為()A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗,因此復數(shù)的虛部為.故選:D.3.已知雙曲線的焦距與其虛軸長之比為3:2,則的離心率為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知,,則,設,則,所以,故的離心率為.故選:C.4.設為等差數(shù)列的前項和,已知,,則()A.12 B.14 C.16 D.18〖答案〗B〖解析〗由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,,,,,,成等差數(shù)列,且,,可知首項為4,公差為2,所以.故選:B.5.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2,面積為的扇形,則該圓錐的外接球的面積為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為,由題意可知,,解得,設圓錐的底面圓半徑為,則,所以,則該圓錐的高為,設該圓錐的外接球的半徑為,由球的性質(zhì)可知,,解得,所以該圓錐的外接球的面積為.故選:C.6.2024年春節(jié)檔賀歲片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《熊出沒·逆轉(zhuǎn)時空》異?;鸨?,甲、乙等5人去觀看這三部電影,每人只觀看其中一部,甲、乙不觀看同一部電影,則選擇觀看的方法有()A.243種 B.162種 C.72種 D.36種〖答案〗B〖解析〗先安排甲、乙兩人,有種方法,再安排其余3人,每人有3種安排方法,故共有(種)方法.故選:B.7.已知中,,,AD為BC上的高,垂足為,點為AB上一點,且,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示,由題意可知,,,,故,因為,所以,則.故選:A.8.已知函數(shù)的定義域為,,當時,,則()A.B.為奇函數(shù)C.D.在上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗取時,,解得,A錯誤;令,則,所以,所以不是奇函數(shù),關于點對稱,B錯誤;由上知,所以,C錯誤;對于任意正實數(shù),,,則,當時,,即,所以,所以在上單調(diào)遞增,D正確.故選:D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得3分,有選錯的得0分.9.設為互不重合的兩個平面,m,n為互不重合的兩條直線,則下列命題正確的是()A.若,,,則B.若m,n為異面直線,且,,,,則C.若m,n與所成的角相等,則D.若,,,則〖答案〗ABD〖解析〗對于A,由,得,又,所以,故A正確;對于B,在空間取一點,過點分別作,,則與確定一個平面,由,,得,,所以,同理,所以,故B正確;對于C,當m,n相交,且與都平行時,m,n與所成的角相等,此時與不平行,故C錯誤;對于D,由,可知,在上取一點,過在內(nèi)作一直線,使得,則,過在內(nèi)作一直線,使得,則,顯然,則,故D正確.故選:ABD.10.已知函數(shù)的圖象如圖所示,點,在曲線上,若,則()A. B.C.的圖象關于點12,0對稱 D.在上單調(diào)遞減〖答案〗AC〖解析〗由圖可知,由,解得(負值舍去),所以,解得,A正確;則,將點代入得,,即,由于在的增區(qū)間上,且,所以,B錯誤;因為,令,,解得,,取,則關于點12,0對稱,C正確;令,,解得,,取,則在上單調(diào)遞減,D錯誤.故選:AC.11.已知拋物線的焦點為,過點的動直線與交于M,N兩點,則下列說法正確的是()A.B.若,則C.為定值D.鈍角三角形〖答案〗BCD〖解析〗由題意可知,,所以,則,其準線方程為.對于A,設過點的動直線的方程為,代入得,,,設Mx1,y1,N則,當且僅當時等號成立,A錯誤;對于B,由得,,解得,所以,B正確;對于C,為定值,C正確;對于D,,所以為鈍角,D正確.故選:BCD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知一組從小到大排列的數(shù)據(jù):a,2,2,4,4,5,6,b,8,8,若其第70百分位數(shù)等于其極差,則__________.〖答案〗10〖解析〗因為,所以a,2,2,4,4,5,6,b,8,8的第70百分位數(shù)為,其極差為,所以,解得.13.已知,則__________;__________.〖答案〗2〖解析〗由得,,所以;.14.已知點,為圓上一動點,為直線上一點,則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗不妨設x軸上定點使得滿足,Mx1,則,整理得,,又,所以,則,解得,所以,使得,要使最小,則最小,所以B,M,N三點共線,且MN垂直于直線時取得最小值,如圖所示.故的最小值為點B到直線的距離.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記為正項等比數(shù)列的前項和,已知,,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,為數(shù)列的前項和,證明:.(1)解:設等比數(shù)列的公比為,由可知,,則,得,解得(負值舍去),將代入,解得,所以數(shù)列的通項公式為.(2)證明:由(1)得,,則,可得,兩式相減可得,可得.因為,可知數(shù)列為遞增數(shù)列,則;綜上可得.16.甲、乙兩人進行足球射門訓練,設有I、II兩個射門區(qū),約定如下:每人隨機選擇I區(qū)內(nèi)射門或II區(qū)內(nèi)射門,在I區(qū)內(nèi)射門,進球得1分,不進球得0分;在II區(qū)內(nèi)射門,進球得3分,不進球得0分.已知甲每次在I區(qū)內(nèi)射門進球的概率均為,每次在II區(qū)內(nèi)射門進球的概率均為;乙每次在I區(qū)內(nèi)射門進球的概率均為,每次在II區(qū)內(nèi)射門進球的概率均為,且甲、乙兩人射門進球與否互不影響(甲、乙各完成一次射門為一次射門訓練).(1)在一次射門訓練中,求甲、乙都得0分的概率;(2)若3次射門訓練中,表示甲、乙得分相等的射門訓練次數(shù),求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.解:(1)在一次投籃中,甲選擇I區(qū)內(nèi)射門進球得1分的概率為,不進球得0分的概率為;甲選擇II區(qū)內(nèi)射門進球得3分的概率為,不進球得0分的概率為.乙選擇I區(qū)內(nèi)射門進球得1分的概率為,不進球得0分的概率為;乙選擇II區(qū)內(nèi)射門進球得3分的概率為,不進球得0分的概率為故一次射門訓練中,甲、乙都得0分的概率為.(2)依題意可知,的所有可能取值為0,1,2,3,由(1)可知,一次射門訓練中,甲、乙得分相等的概率為,則,所以,,,,故X的分布列為X0123P所以.17.如圖,平行六面體中,底面與平面都是邊長為2的菱形,,側(cè)面的面積為.(1)求平行六面體的體積;(2)求平面與平面的夾角的余弦值.解:(1)連接,,因為底面與平面均為菱形,且,所以與均為等邊三角形,取AB的中點,連接,,則,,則,因為側(cè)面的面積為,所以的面積為,則,所以,則.在中,,則,所以,所以.因為,平面,所以平面,故平行六面體的體積.(2)由(1)可知,兩兩垂直,以為原點,以所在直線分別為軸、軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.則,,,,,,,設平面法向量為m=x1由得取,則.設平面的法向量為,,由得取,則,于是.設平面與平面的夾角為,所以.18.已知橢圓的焦距為2,不經(jīng)過坐標原點且斜率為1的直線與交于P,Q兩點,為線段PQ的中點,直線的斜率為.(1)求橢圓的方程;(2)設,直線PB與的另一個交點為,直線QB與的另一個交點為,其中,均不為橢圓的頂點,證明:直線MN過定點.(1)解:由橢圓的焦距為得,,則.設Px1,y1,Qx2兩式作差得,,所以,即,所以,所以,所以,則,解得,.故橢圓的方程為.(2)證明:由題意可知直線的斜率存在,設直線的方程為,,,則,直線的方程為,將其代入得,,顯然,則,所以,將代入直線的方程,解得,所以,同理得,所以,得,即,整理得,所以,因此直線的方程為,令,即,則,所以直線過定點.19.已知函數(shù).(1)當
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