2022-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：平面解析幾何（選擇題、填空題）（解析版）

三年真題

4<05平而斛折幾何（這群敢、嫉空座J

目制魯港。絹施留

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1:直線方程與圓的方程2022年全國(guó)II卷、2022年全國(guó)甲卷（文）

2022年全國(guó)乙卷（理）

考點(diǎn)2：直線與圓的位置關(guān)系2024年北京卷、2022年全國(guó)甲卷（理）

2022年天津卷、2022年北京卷近三年高考對(duì)解析幾何小

2023年全國(guó)I卷、2024年北京卷

考點(diǎn)3：圓與圓的位置關(guān)系題的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)

2022年全國(guó)I卷

容、頻率、題型難度均變化

考點(diǎn)4：軌跡方程及標(biāo)準(zhǔn)方程2023年北京卷、2023年天津卷

2024年全國(guó)II卷、2022年天津卷不大，備考時(shí)應(yīng)熟練以下方

2022年全國(guó)甲卷（文）向：

考點(diǎn)5：橢圓的幾何性質(zhì)2022年全國(guó)I卷

2023年全國(guó)甲卷（理）（1）要重視直線方程的求

2023年全國(guó)甲卷（文）法、兩條直線的位置關(guān)系以

考點(diǎn)6：雙曲線的幾何性質(zhì)2022年北京卷

2023年全國(guó)乙卷（理）及點(diǎn)到直線的距離公式這

考點(diǎn)7：拋物線的幾何性質(zhì)2024年北京卷、2024年天津卷三個(gè)考點(diǎn).

2023年全國(guó)乙卷（理）

2023年天津卷、2023年全國(guó)II卷（2）要重視直線與圓相交

2024年全國(guó)II卷、2022年全國(guó)I卷所得弦長(zhǎng)及相切所得切線

考點(diǎn)8：弦長(zhǎng)問題2022年全國(guó)乙卷（理）

2023年全國(guó)甲卷（理）的問題.

考點(diǎn)9：離心率問題2024年全國(guó)I卷、2022年全國(guó)甲卷（文）（3）要重視橢圓、雙曲線、

2023年全國(guó)I卷、2022年浙江卷

2022年全國(guó)乙卷（理）拋物線定義的運(yùn)用、標(biāo)準(zhǔn)方

2024年全國(guó)甲卷（理）程的求法以及簡(jiǎn)單幾何性

2023年全國(guó)I卷、2022年全國(guó)甲卷（理）

質(zhì)，尤其是對(duì)離心率的求

考點(diǎn)10：焦半徑、焦點(diǎn)弦問

2022年全國(guó)II卷、2023年北京卷解，更是高考的熱點(diǎn)問題，

題

因方法多，試題靈活，在各

考點(diǎn)11：范圍與最值問題2022年全國(guó)n卷

2024年全國(guó)甲卷（文）種題型中均有體現(xiàn).

2023年全國(guó)乙卷（文）

考點(diǎn)12：面積問題2024年天津卷、2023年全國(guó)H卷

2023年全國(guó)n卷

考點(diǎn)13：新定義問題2024年全國(guó)I卷

曾窟饗綴。闔滔運(yùn)溫

考點(diǎn)1:直線方程與圓的方程

22

1.（2022年新高考全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題）已知直線/與橢圓：+3=1在第一象限交于A,B兩點(diǎn)，/與x軸,

》軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且|MA|=|NB|,|MN|=2A/5,則/的方程為.

【答案】x+應(yīng)y-2&=0

【解析】［方法一］：弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法

令的中點(diǎn)為E,設(shè)4（芯,乂），B（x2,y2）,利用點(diǎn)差法得到曬=-；，

設(shè)直線超：y=履+根，k<0,m>0,求出V、N的坐標(biāo)，

再根據(jù)|則求出展加，即可得解；

令A(yù)5的中點(diǎn)為E,因?yàn)樗詜ME|=|NE|,

2222

設(shè)B（x2,y^,則工+'=1,叁+”=1,

6363

所以近一立+式一五=0,即瓜一%）（西+々）1（必+%）（%一%）_0

663363

所以竺叫匚奧-J，即左0小38=一;，設(shè)直線.：丫=丘+機(jī)

k<0,m>0,

（王一尤2）（毛+%）

令％=0得丁=機(jī)，令y=o得％=_二，即M-poj,N（0,〃z）,

k

所以￡一￡

V2k

m

即左xW-=-1，解得后=一41或左=受（舍去），

m222

~2k

又|政V|=2g,BP\MN\=Jm2+（V2m）2=2^/3,解得m=2或機(jī)=—2（舍去）,

所以直線AB:y=-^-x+2,即x+也y-2亞=0；

［方法二］:直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法

由題意知，點(diǎn)E既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，

設(shè)3(%,力)，設(shè)直線AB:y=Ax+俏，k<0,m>0,

則加(_/,0),N(O,m),4-會(huì)3因?yàn)榫W(wǎng)=2后，所以加=6

y=kx+m

聯(lián)立直線AB與橢圓方程得x2y2消掉y得(1+2F)/+赤丘+2療-6=0

—+—=1

［63

其中A=(4江y-4(1+2k2)(2毋-6)>0,玉+馬=~~-―^,

AC+,上「鉆母4Al一2rnkDE/M根、2mkm

??.AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)xE=--，又E「紜,萬(wàn)J,/=一銜

2k

■,-k<0,m>0,...仁孝，又|OE|=一菱>+(g)2=5解得m=2

所以直線AB:y=-4+2,BPx+—25/2'=0

2.(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)設(shè)點(diǎn)M在直線2無(wú)+、-1=。上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在。M上，則

OM的方程為.

【答案】(If+(y+iy=5

【解析】［方法一］:三點(diǎn)共圓

??,點(diǎn)”在直線2x+y-l=0上，

二設(shè)點(diǎn)M為又因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0,1)均在0M上，

???點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R,

J(a-3)~+(1-2a)~=+(-2a)~=R,

cr—6a+9+4a2—4a+l=5a2,解得。=1,

R=下,

?！钡姆匠虨?x-I)?+(y+=5.

故答案為：(x-l)2+(y+l)2=5

［方法二］:圓的幾何性質(zhì)

由題可知，M是以(3,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段垂直平分線y=3x-4與直線2x+y-1=。的交點(diǎn)4,-”.R=如,

?！钡姆匠虨?XT)。+(y+l>=5.

故答案為：(x-l)2+(y+l)2=5

3.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程

為.

【答案】(無(wú)一2)2+(1)2=13或—(1)2=5或"：+.口哼或［一|1+(>一1)2=詈.

【解析】［方法一］:圓的一般方程

依題意設(shè)圓的方程為爐+丫2+。*+&+尸=0,

F=Q但=0

(1)若過(0,0),(4,0),(-1,1),則16+4。+尸=0,解得〃=-4,

1+1-D+E+F=0,=-6

所以圓的方程為無(wú)2+V-4x-6y=0,即(無(wú)一2)2+(>-3)2=13；

"尸=0fF=0

(2)若過(0,0),(4,0),(4,2),貝卜16+40+尸=0,解得＜。=一4,

16+4+4D+2E+尸=0[E=-2.

所以圓的方程為f+/一4x-2y=0,BP(^-2)2+(y-l)2=5；

F=0

F=0

Q

(3)若過(0,0),(4,2),(-1,1),則1+1-。+￡+尸=0解得O=,

16+4+4D+2E+尸=0

?1465

所以圓的方程為f+產(chǎn)|x—/〉=(),即

9

F廠=--1-6

l+l-D+E+F=05

(4)若過(—1,1),(4,0),(4,2),則16+4。+尸=0,解得＜所以圓的方程為

16+4+4D+2E+F=0

E=-2

x-|i+(z)T

2音或

故答案為：(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y_l)2=5或|G7

*+

x-|i+g)j詈

［方法二］:【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心)

設(shè)9(0,0),8(4,0),c(-l,l),￡>(4,2)

(1)若圓過A、B、C三點(diǎn)，圓心在直線x=2,設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a),

則4+/=9+(4-1)=4=3/="+/=屈，所以圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=13；

(2)若圓過4B、O三點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,。)，則4+4=4+(〃—2>=>a=l'="+/=否,所以圓

的方程為(x-2)2+(、-1)2=5；

(3)若圓過4C、。三點(diǎn)，則線段AC的中垂線方程為了=尤+1,線段AD的中垂線方程為y=-2x+5,

聯(lián)立得x==gn廠,所以圓的方程為+。-()2=與

(4)若圓過AaO三點(diǎn)，則線段3D的中垂線方程為>=1,線段2C中垂線方程為y=5x-l,聯(lián)立得

x=|,y=l=「=￡,所以圓的方程為("?|)2+。_1)2=詈

音或

故答案為：(x_2)，(y—3)2=13或(x—2)2+(y—l)2=5或*7

尤一I|+(5嘿

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁;

方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解.

考點(diǎn)2：直線與圓的位置關(guān)系

4.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)若直線y=Mx-3)與雙曲線。-產(chǎn)=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，貝必的一個(gè)取值

為.

【答案】1(或答案不唯一)

【解析】聯(lián)立14)"，化簡(jiǎn)并整理得：(l-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0,

y=女(工一3)

由題意得1-=0或A=(24左2『+4(36/+4)(1-咐=0,

解得改=士;或無(wú)解，即L=土;，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

故答案為：I（或-士，答案不唯一）.

5.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若雙曲線V一二=1（〃＞0）的漸近線與圓Y+y2-4y+3=0相

m

切，則機(jī)=.

【答案】縣

3

丫2Y

【解析】雙曲線9-宗=1（"7＞0）的漸近線為y=±\,即X土磔=0,

不妨取x+my=0,圓/+9-分+3=0,即/+（＞_2『=1,所以圓心為（0,2）,半徑r=1,

依題意圓心（0,2）到漸近線x+my=0的距離d=/生=1,

VI+m

解得〃Z=或加=一（舍去）.

33

故答案為：縣.

3

6.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）若直線x-y+"2=0（〃，＞0）與圓（x-l）2+（y-l）2=3相交所得的弦長(zhǎng)

為加，貝1|加=.

【答案】2

【解析】圓（x-iy+（y-l）2=3的圓心坐標(biāo)為（1,1）,半徑為

h—1+帆]m

圓心到直線X-y+機(jī)=0（機(jī)＞0）的距離為J--y=--

由勾股定理可得3,因?yàn)闄C(jī)＞0,解得m=2.

故答案為：2.

7.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）若直線2x+y-1=。是圓（冗_(dá)〃）2+丁=1的一條對(duì)稱軸，則〃=（）

B.C.1D.-1

2

【答案】A

【解析】由題可知圓心為（。,0），因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即24+0-1=0,解得。=；.

故選:A.

8.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）過點(diǎn)（0廠2）與圓％2+產(chǎn)—4%_1=。相切的兩條直線的夾角為。，則

sincif=()

A.1B.—C.—D.—

444

【答案】B

【解析】方法一：因?yàn)闋t+/-?-1=0,即口一2『+/=5,可得圓心C（2,0）,半徑一百,

過點(diǎn)*0,-2）作圓C的切線，切點(diǎn)為A3,

因?yàn)闅wC|二百+（—2）2=272,則|PA|=yl\PC^-r2=6,

可得sinZAPC=￡=?,cosZAPC=/=逅，

2V242V24

貝UsinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x巫x包=姮，

444

cos/APB=cos2/APC=cos2/APC—sin2/APC=［乎［一|乎［=一;<0，

即/APfi為鈍角，

所以sina=sin（兀一NAPB）=sinZAPB=；

法二：圓/+y2-4x-l=0的圓心C（2,0）,半徑廠=百，

過點(diǎn)P（0,-2）作圓C的切線，切點(diǎn)為A,3,連接

可得|尸。|=百+（—2『=20,則|PA|=|PB|=y/\PC\2-r2=6,

因?yàn)閨24「+1尸砰一2歸從歸mcos/APB=|C4「+Q@2一2|C4|.|CB|cosNACB

且/4CR=兀一/APR,則3+3—6cos^APB—5+5—lOcos（兀一^APB^,

即3—cosZAP5=5+5cosZAP5,1^cosZAPB=--<0,

4

即/APB為鈍角,貝（Jcosa=cos（n-ZAPS）=-cosZAPB=,

且a為銳角，所以sina=Jl-cos2a=；

4

方法三：圓爐+/-4丈-1=0的圓心C（2,0）,半徑r=百，

若切線斜率不存在，則切線方程為x=0,則圓心到切點(diǎn)的距離d=2>r,不合題意；

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為>=辰-2,即區(qū)-〉-2=0,

\2k-2\I-

則?L~~=<5,整理得人2+8左+1=0,且△=64—4=60>0

收+1

設(shè)兩切線斜率分別為左，&，則尢+&=-8,kxk2=1,

可得上一周=｛（尢+&）2_4左&=2岳,

所以tana=%-封=&?,即包q=&?,可得cosa=^?,

\+kxk2cosaV15

?2

rn11.22?2SillCC

貝！Jsma+cosa=sma-\---------=11,

15

且tze(0,兀)，則sine＞。，解得sina=

爐+/―2x+6y=0的圓心到直線x—y+2=。的距離為()

A.V2B.2C.3D.372

【答案】D

【解析】由題意得小+/一2尤+6y=0,即(xT)2+(y+3)2=10,

則其圓心坐標(biāo)為。,-3),則圓心到直線x-y+2=0的距離為=3近

故選：D.

考點(diǎn)3：圓與圓的位置關(guān)系

10.(2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)寫出與圓Y+y2=i和5_3)2+(>-4>=16都相切的一條直線的方

程.

【答案】y=3+=5或>=7小-235或4-1

442424

【解析】［方法一］：

顯然直線的斜率不為0,不妨設(shè)直線方程為x+外+c=0,

工曰|c|13+40+cl

于是時(shí)=1，飛==4?

故/=1+〃2①，|3+45+°|=|4。|.于是3+4/?+。=4(?或3+4^+。=7<>,

244

——b7=—

再結(jié)合①解得?或

\c=l

ic=-

所以直線方程有三條，分另I」為x+l=O,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.

(填一條即可)

［方法二］:

設(shè)圓爐+;/=1的圓心。(0,0),半徑為4=1,

圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心C(3,4),半徑々=4,

則|OC|=5=1+g,因此兩圓外切，

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然尤+1=0符合題意；

又由方程(x—+(y—4)z=16和/+9=1相減可得方程3x+4y—5=。,

即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，

又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為4x-3y=0,

4

直線OC與直線x+l=0的交點(diǎn)為

4k--|7

設(shè)過該點(diǎn)的直線為y+g=Mx+l),則|3|解得左=/，

3行」24

從而該切線的方程為7x-2”-25=0.(填一條即可)

［方法三］:

圓4+尸=1的圓心為。(0,0),半徑為1,

圓(x-3)~+(y-4)2=16的圓心0］為(3,4),半徑為4>

兩圓圓心距為斤百=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，

如圖，

當(dāng)切線為/時(shí)，因?yàn)樽詑=§4，所以勺=-13,設(shè)方程為y=-13x+?>0)

d=-11fl=1535

。到/的距離，解得/=],所以/的方程為y=-：x+T，

竹布444

當(dāng)切線為加時(shí)，設(shè)直線方程為履+y+p=o,其中p>。，k<o,

4=1

Jl+32725

由題意■，解得—x-----

伙+4+。|2424

P=一

71+F24

當(dāng)切線為"時(shí)，易知切線方程為x=-1,

35725

故答案為：口二+公或尸五犬-五或

考點(diǎn)4：軌跡方程及標(biāo)準(zhǔn)方程

11.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0),離心率為0,則C的方程

為.

2

【答案】土f-匕V=1

22

【解析】令雙曲線C的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為。力，顯然雙曲線C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在無(wú)軸上，其半焦

距c=2,

由雙曲線C的離心率為血，得(=應(yīng)，解得。=應(yīng)，則人=，7工7=0，

22

所以雙曲線C的方程為土-2=1.

22

r2v2

故答案為：—-^-=1

22

22

12.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F.過F?向一

ab2

條漸近線作垂線，垂足為尸.若|尸耳|=2,直線2耳的斜率為手，則雙曲線的方程為（）

【答案】D

A

因?yàn)椤叮℅。），不妨設(shè)漸近線方程為y=即樂-歿=0,

所以怛g|=/2=史=6,

7a+bc

所以6=2.

ppbh

設(shè)/尸。g=e,則tane=_^=HH='，所以|。青=。，所以耳卜C.

ab2

因?yàn)?必=；c?%，所以為=,，所以tane="L=工=2,所以號(hào)=:，

因?yàn)槎?-c,0),

ab

”…7cab2aaV2

所以kpR=-=-Y=~~227=-T=~T

〃ci+ca+Q+4Q+24

---\-c

所以夜（〃+2）=4a,解得°=點(diǎn),

22

所以雙曲線的方程為土-匕=1

故選：D

13.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）已知拋物線y2=4&x,片,鳥分別是雙曲線￡-=1（。>0/>0）的左、

ab

右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)月，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A,若/￡工4=（,則雙曲線的標(biāo)

準(zhǔn)方程為（）

【答案】C

【解析】拋物線V=4區(qū)的準(zhǔn)線方程為x=-5則c=5則與（一如,0）、凡（6,0卜

b

-x—

不妨設(shè)點(diǎn)A為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立a，可得＜be，即點(diǎn)A1,

因?yàn)?耳，耳鳥且N居與A=?，則△耳F2A為等腰直角三角形,

且|曲卜閨回，即生=2c,可得2=2,

aa

2

所以，C=6,解得6=2,因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為Y一乙=1.

c2=a2+b2C=A/54

故選：c.

221

14.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知橢圓c：=r+[v=l（a>6>0）的離心率為：，4，4分別為

ab3

C的左、右頂點(diǎn)，8為C的上頂點(diǎn).若麗?砥=-1,則C的方程為（）

【答案】B

【解析】因?yàn)殡x心率e=￡

44分別為c的左右頂點(diǎn)，則A（-。,0）,4（。,0）,

B為上頂點(diǎn),所以3（0,6）.

所以麗=(一”,一加,西=(a,一份，因?yàn)楫T=

Q

所以將62=(2代入，解得4=94=8,

故橢圓的方程為X=i.

故選：B.

15.(2024年新課標(biāo)全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題)已知曲線C：x2+y2=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂

線段尸P,P'為垂足，則線段PP的中點(diǎn)M的軌跡方程為()

2222

A.二+匕=1(y>0)B.—+^-=1(y>0)

164168

2222

C.匕+土=1(y>0)D.Wi(y>0)

164168

【答案】A

【解析】設(shè)點(diǎn)「(羽y),則尸(羽一),尸'(乂0),

因?yàn)镸為尸尸'的中點(diǎn)，所以為=2y,即P(x,2y),

又尸在圓f+y2=i6(y>0)上，

所以小巾哈號(hào)

4SO),=2。)，

22

即點(diǎn)M的軌跡方程為白+。=1">0).

164

故選：A

考點(diǎn)5：橢圓的幾何性質(zhì)

22

16.(2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知橢圓C:0+2=l(a>b>O),C的上頂點(diǎn)為4兩個(gè)焦點(diǎn)為K，

ab

F2,離心率為3.過瓦且垂直于A瑪?shù)闹本€與c交于。,E兩點(diǎn)，IOE1=6,則VADE的周長(zhǎng)是.

【答案】13

【解析】；橢圓的離心率為6=上c=：1,；.a=2c,.?.62=/一/=302,...橢圓的方程為

a2

fv2

7■+六=1,即3x?+4y2-12°2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為月，右焦點(diǎn)為F?,如圖所不，?；A居=a,OF2=c,a=2c,

乙明O=1■，二△4￡名為正三角形，?.?過兄且垂直于AF2的直線與C交于DE兩點(diǎn)，DE為線段A瑪?shù)拇?/p>

直平分線，.??直線OE的斜率為坐，斜率倒數(shù)為6，直線DE的方程：代入橢圓方程

3d+4y2-12/=0,整理化簡(jiǎn)得到：13y2-6瘋7-9c2=0,

判別式△=（6A/§C）2+4X13X9C2=62X16XC2,

2x^^-=2x6x4x—=6,

1313

???DE為線段人工的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，AD=DF2,4石=巡，.“4?！甑闹荛L(zhǎng)等于4取汨的周長(zhǎng),

利用橢圓的定義得到△鳥在周長(zhǎng)為

\DF21+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF21+|。耳|+|環(huán)HDR|+|DF2\+\EFX\+\EF2\=2a+2a=4a=13.

故答案為：13.

22

17.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，"，"為橢圓。：\"+卷=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)

3

尸在C上，cos/月尸與=不，貝"。尸|=()

D.至

A,”B.叵

522

【答案】B

71=b2tan/耳尸&=b1tan3,

【解析】方法一:設(shè)/招尸8=2。,0＜。<2,所以S

2

cos6^-sin01—tan63々刀-曰八1

由cosAFPF=cos20=2八，八—,八=二，解得:tan^=—,

X2cos2^+sm201+tan2052

由橢圓方程可知，/=9萬(wàn)=6工2=/一尸=3,

內(nèi)國(guó)x|"=gx26x|yp卜1°

所以，S/相2=-X6x-,解得：%=3,

9

BP^=9x1-1=2,因此|0尸|

222

故選:B.

方法二:因?yàn)閨尸圖十|尸閭=2?=6①，|尸耳尸詞2-2忸制尸閶月工國(guó)圖2,

即陷「+附「_加即明=12②,聯(lián)立①②，

159

解得：阿陀閭=萬(wàn),附「+|「用9=21,

而而=；（西+%）,所以|0尸|=|而|=:所+%],

即匹同訪+即=外珂+2西隹+|河二如…/=浮.

故選：B.

方法三:因?yàn)閨P司+|尸閶=勿=6①,忸居『+忸耳「_2忸耳歸到cosNq%=|型式,

即歸"「+|尸月「一■|歸聞W閶=12②，聯(lián)立①②，解得：四「+仍用2=21,

由中線定理可知，（2|0P|『+|百用2=2（|P/f+|尸閭）=42,易知陽(yáng)局=2百，解得：\OP\=^~.

故選：B.

18.（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)片,瑞為橢圓C:[+y2=i的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，若

希?朗=0,貝||尸耳HPE|=（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【解析】方法一：因?yàn)槲?班=0,所以/兩居=90。，

從而2附=62121145。=1=9歸居|.歸閭，所以|尸耳H尸引=2.

故選：B.

方法二：

因?yàn)镻4?/5=0,所以/尸用工=90。，由橢圓方程可知，c?=5—l=4=>c=2,

所以|P耳「+|尸國(guó)2=]耳閭2=42=16,又歸耳|+|p閭=2°=2若，平方得:

|「制尸閶2+2|尸耳||尸閶=16+2|尸耳|歸我=20,所以1MHp閶=2.

故選：B.

考點(diǎn)6：雙曲線的幾何性質(zhì)

19.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知雙曲線/+工=1的漸近線方程為y=土Bx,則m=_______

m3

【答案】-3

22

【解析】對(duì)于雙曲線產(chǎn)+工r=1,所以租<0,即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一r工=1,

m-m

則。=1,b=Q,又雙曲線產(chǎn)+反=1的漸近線方程為y=±立尤，

m3

所以幺=走，即」==且，解得〃?=一3；

b3yj-m3

故答案為：-3

20.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)48為雙曲線犬-卷=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段

A8中點(diǎn)的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【答案】D

【解析】設(shè)4(斗》),8(々,%)，則AB的中點(diǎn)加(±

M+y2

可得KB=生二&，上=三七

Xl—X2/

F

2

M

-

9一

因?yàn)樵陔p曲線上，則V2

292-

所以原5?左二C—圣=9.

演-x2

對(duì)于選項(xiàng)A：可得左=1,您5=9,則AB:y=9%—8,

y=9x-S

2

聯(lián)立方程，2V，消去V得72/—2X72X+73=0,

x--=1

19

此時(shí)A=(—2X72)2—4X72X73=—288<0,

所以直線A3與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

995

對(duì)于選項(xiàng)B：可得左=—2,%=—5,WM3:y=-耳%—萬(wàn),

f95

y=——x——

22

聯(lián)立方程(2，消去>得45尤2+2x45元+61=0,

此時(shí)△=(2x45『一4x45x61=—4x45xl6<0,

所以直線A8與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：可得左=3,左鉆=3,則AB:y=3%

由雙曲線方程可得。=1力=3,則=為雙曲線的漸近線，

所以直線A5與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

997

對(duì)于選項(xiàng)D：k=^,kAB=—,則4氏>=^%-1

f97

y=-x——

44

聯(lián)立方程｛2，消去V得63Y+126x—193=0,

xy=l

I9

此時(shí)A=1262+4X63X193>0,故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；

故選：D.

考點(diǎn)7：拋物線的幾何性質(zhì)

21.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）拋物線丁=16工的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】（4,0）

【解析】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=16x,所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）.

故答案為：（4,0）.

22.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）圓。-1）2+必=25的圓心與拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)/重合，A為兩

曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線”的距離為.

4

【答案】y/0.8

【解析】圓5-1）2+丁=25的圓心為尸（1,0）,故點(diǎn)=1即。=2,

由+'-25可得了2+2彳-24=0,故x=4或x=-6（舍），

y=4x

故A（4,±4）,故直線叱:〉=±和-1）即4-31-4=0或4了+3>一4=0,

故原點(diǎn)到直線AF的距離為dM=~,

55

4

故答案為：—

23.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知點(diǎn)A（l,6）在拋物線C丁=2〃元上，則A到。的準(zhǔn)線的

距離為.

9

【答案】I

【解析】由題意可得：(?『=20xl,貝lj2P=5,拋物線的方程為V=5x,

準(zhǔn)線方程為x=-g,點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為1-目]=[

4I4J4

9

故答案為：—.

4

24.(2023年天津高考數(shù)學(xué)真題)已知過原點(diǎn)。的一條直線，與圓C:(%+2)2+y2=3相切，且，與拋物線

22=2夕穴°>0)交于點(diǎn)。,2兩點(diǎn)，若|。"=8,則。=.

【答案】6

【解析】易知圓(》+2)2+/=3和曲線;/=2px關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為y=依，k>0,

\2k\廣

所以解r得：k=6由

解得：P=6.

所以|0尸|="=8,

3

當(dāng)％=-括時(shí)，同理可得.

故答案為：6.

25.(多選題)(2024年新課標(biāo)全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題)拋物線C：丁=4尤的準(zhǔn)線為/,尸為C上的動(dòng)點(diǎn)，過尸

作OA:/+(y-4)2=l的一條切線，。為切點(diǎn)，過尸作/的垂線，垂足為8,貝U()

A./與。A相切

B.當(dāng)尸，A,8三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|=VB

C.當(dāng)|依|=2時(shí)，PALAB

D.滿足1叢目尸切的點(diǎn)尸有且僅有2個(gè)

【答案】ABD

【解析】A選項(xiàng)，拋物線/=4x的準(zhǔn)線為％=-1,

。人的圓心(。,4)到直線4-1的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線/和。A相切，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，P,A,8三點(diǎn)共線時(shí)，即則尸的縱坐標(biāo)為=4,

由第=4xp,得到辱=4,故尸(4,4),

此時(shí)切線長(zhǎng)|PQ|=J|PA/一/=一仔=厲,B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，當(dāng)伊4=2時(shí)，xp=l,此時(shí)第=4x?=4,故尸(1,2)或P(l,-2),

4-24-2

當(dāng)尸(1,2)時(shí)，A(0,4),B(-l,2),kpA=『=—2,=

0—1

不滿足七Au,=T;

當(dāng)P(l,-2)時(shí)，A(0,4),B(-l,2),k=^~^=-6,^=-^-=6,

PA0—10—(—1)

不滿足kPAkAB=-1；

于是上4LAB不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化

根據(jù)拋物線的定義，|尸目=|尸耳，這里尸(1,0),

于是|R4|=|PB|時(shí)尸點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成1PAi=|尸司時(shí)尸點(diǎn)的存在性問題,

A(0,4),F(l,0),AF中點(diǎn)］1，2］，AF中垂線的斜率為-4=1，

【2)kAF4

于是AF的中垂線方程為：y=^—,與拋物線V=4x聯(lián)立可得y2_i6y+30=0,

O

A=162-4X30=136>0,WAF的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

即存在兩個(gè)尸點(diǎn)，使得|以|=|正耳，D選項(xiàng)正確.

方法二：(設(shè)點(diǎn)直接求解)

設(shè)尸由尸5取可得B(-lj),