2025年上海市數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)：立體幾何（Ⅰ）（考點(diǎn)練+模擬練）含詳解

專題11立體幾何（I）（考點(diǎn)練+模擬練）

01上?？键c(diǎn)練

一、填空題

1.（2024?上海黃浦.二模）若一個(gè)圓柱的底面半徑為2,母線長(zhǎng)為3,則此圓柱的側(cè)面積為.

2.（2022?上海黃浦?一模）若圓柱的高、底面半徑均為1,則其表面積為.

3.（23-24高三上?上海浦東新?期末）已知圓錐的母線與底面所成的角為三1T，體積為3兀，則圓錐的底面半徑

為.

4.（22-23高三上?上海浦東新?期末）已知圓錐的側(cè)面積為4兀，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面

半徑是—

5.（21-22高三下?上海閔行?開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)立方體內(nèi)接于一個(gè)球，則該立方體與該球體表面積的比值為.

6.（21-22高三上?上海虹口?期中）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好是一個(gè)半圓，任取圓錐的兩條母線。，b,則a,

6所成角的最大值為.

7.（2023?上海徐匯?二模）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑。4=1,側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為3兀，則此圓錐的

體積為.

8.（2023?上海普陀?一模）設(shè)圓錐的底面中心為。，PB,PC是它的兩條母線，且BC=2,若棱錐O-是正三

棱錐，則該圓錐的側(cè)面積為.

9.（22-23高三下?上海虹口?期中）已知A8是球。的球面上兩點(diǎn)，ZAOB=60,尸為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐

尸-。LB體積的最大值為6,則球。的表面積為.

10.（22-23高三上?上海徐匯?開(kāi)學(xué)考試）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分

別為際和S乙體積分別為《和師.若M=2,則孑=_________.

3乙V乙

11.（22-23高三上?上海寶山?開(kāi)學(xué)考試）如圖VA2C中，ZACB=90°,ZABC=30°,BC=73,在三角形內(nèi)挖去一個(gè)

半圓（圓心。在邊3C上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)交于點(diǎn)N）,則圖中陰影部分繞直線2c旋轉(zhuǎn)一

周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為.

A

12.（22-23高三下?上海?階段練習(xí)）長(zhǎng)方體ABC。-A4GB為不計(jì)容器壁厚度的密封容器，里面盛有體積為丫的

水，已知4?=3,M=2,4）=1,如果將該密封容器任意擺放均不能使水面呈三角形，則V的取值范圍為.

13.（21-22高二上?上海虹口?階段練習(xí)）暫堵、陽(yáng)馬、鱉腌出自中國(guó)古代名著《九章算術(shù).商功》，其中陽(yáng)馬.鱉牌是

我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱呼，取一長(zhǎng)方體，如圖長(zhǎng)方體48。-4瓦￡2,沿平面ABGQ斜切，一分為二，得

到兩個(gè)一模一樣的三棱柱，稱該三棱柱為塹堵.再沿平面切開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)，其中四棱錐

2-ABCD以矩形A8CD為底，棱。Q與底面垂直，稱為陽(yáng)馬，余下的三棱錐2-赤￡是四個(gè)面都是直角三角形

的四面體，稱為鱉腌.已知長(zhǎng)方體中，AB=4,BC=3,的=2,按以上操作得到陽(yáng)馬，則該陽(yáng)

馬的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為.

14.（2024?上海?三模）日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，烘焙店的包裝盒如圖所示，正四棱柱

ABC。-的底面ABCD是正方形，且鉆=3,44,=1.

DGCDC

出EiBi*'48

（A）（B）

店員認(rèn)為在彩繩扎緊的情況下，按照?qǐng)DA中H-E-居的方向捆扎包裝盒會(huì)比按照?qǐng)DB中的

十字捆扎法更節(jié)省彩繩（不考慮打結(jié)處的用繩量和彩繩的寬度）.則圖A比圖8最多節(jié)省的彩繩長(zhǎng)度為.

15.（2024上海虹口.二模）如圖，在直四棱柱48。。-48。|2中，底面43。。為菱形,且/&4。=60.若43=44,=2,

點(diǎn)"為棱CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P在4B上，則線段PAP"的長(zhǎng)度和的最小值為.

16.（2024高三?上海?專題練習(xí)）已知正方體ABC。-A4GR的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)尸在正方形CDRG內(nèi)，則下列正確

命題的序號(hào)是

①若斯=g（2C+皿），則三棱錐的尸-B?Ci的外接球表面積為4兀

②若B、F〃平面A{BD,則BJ不可能垂直CD,

③若C/L平面AC尸，則點(diǎn)尸的位置唯一

④若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-A耳E的體積是三棱錐A-鵬3體積的一半

二、單選題

17.（20-21高三上?上海黃浦?階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（）

A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

C.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐

D.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐

18.（21-22高三下?上海虹口?階段練習(xí)）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是中心角為270。的扇形，且扇形半徑為4,則過(guò)圓

錐頂點(diǎn)的截面的面積的最大值為（）

A.也互B.—C.8D,3幣

39

19.（23-24高二上?上海?期末）若干個(gè)能確定一個(gè)立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的“基本量”.已知長(zhǎng)方體

ABCD-A.B^D,,下列四組量中，不能作為該長(zhǎng)方體的“基本量”的是（）

A.42,4044,的長(zhǎng)度B.A瓦,AC,4,的長(zhǎng)度

C.的長(zhǎng)度D.ABAG，BC的長(zhǎng)度

20.（2021?上海.一模）如圖，在正四棱柱ABCD-ABGA中，底面邊長(zhǎng)4?=2,高4A=4,E為棱的中點(diǎn).設(shè)

ZBAD=a,NBED=。、NB、ED=y,則a、/、/之間的關(guān)系正確的是（）.

A.a=y>6B.y>a>3C.0>y>aD.a>O>y

21.（2021?上海嘉定?一模）在棱長(zhǎng)為2的正方體A3cO-A用GA中，點(diǎn)尸是該正方體棱上一點(diǎn).若滿足

|尸耳+盧。|=加（加＞0）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,則機(jī)的取值范圍是（）

A.[20,4]B.卜,2+2石]

C.[4,4@D.[2+2百,4應(yīng)]

22.（2024.上海徐匯?二模）三棱錐P-ABC各頂點(diǎn)均在半徑為20的球。的表面上，AB=AC=2s/2,ABAC=90,

二面角P-BC-A的大小為45。，則對(duì)以下兩個(gè)命題，判斷正確的是（）

①三棱錐O-ABC的體積為三；②點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為2c兀.

A.①②都是真命題

B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題

D.①②都是假命題

三、解答題

23.（23-24高三上?上海閔行?期中）正四棱錐尸-ABCD中，AB=2,PO=3,其中。為底面中心，M為尸。上靠

近P的三等分點(diǎn).

⑴求證：平面ACP；

⑵求四面體M-ACP的體積.

24.（23-24高三上?上海楊浦?期中）如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A/iCQi的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱A4i±.,BELEC1.

⑴證明：2E_L平面防iCi

⑵若44i=2,AB=1,求四棱錐E-BB1cle的體積.

25.（22-23高三下?上海浦東新?階段練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉席”.現(xiàn)

有“鱉晴'P-ABC,其中平面ABC,ABLBC,過(guò)A分別作網(wǎng),AE，PC,D,E分別為垂足.

（1）求證：四面體尸-ADE也是“鱉膈”；

⑵記“鱉腌”尸-40￡,四棱為A-3CED,“鱉席”尸-A5c的外接球的表面積分別為試比較A+S?與S,的

大小，并說(shuō)明理由.

26.（22-23高二下?上海楊浦?期末）如圖，正四棱柱43co-ABG2的底面邊長(zhǎng)為1，高為2,點(diǎn)/是棱CG上一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與C,a均不重合）.

（1）當(dāng)點(diǎn)〃是棱CG的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線AM,平面4瓶〃；

⑵當(dāng)，A耳時(shí)，求點(diǎn)A到平面AM耳的距離；

（3）當(dāng)平面AB}M將正四棱柱ABCD-^QD,分割成體積之比為1:2的兩個(gè)部分時(shí)，求線段MC的長(zhǎng)度.

27.（23-24高二上.上海普陀.期中）如圖，長(zhǎng)方體中，AB=m,AD=AAt=l,點(diǎn)M是棱CD的

中點(diǎn).

（1）求異面直線與C與AG所成的角的大小;

（2）是否存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得直線AG與平面垂直？并說(shuō)明理由;

A尸

（3）若根=2.設(shè)尸是線段AG上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），滿足亍="求幾的值,使得三棱錐B「CRG與三棱錐B-CDF

/IC-1x

的體積相等.

02上海模擬練

一、填空題

1.（2024?上海?三模）已知圓柱的底面半徑為3cm，側(cè)面積為24?rcm3,則此圓柱的體積為cm3

2.（2023?上海崇明?一模）己知圓錐的母線與底面所成角為45。，高為1,則該圓錐的母線長(zhǎng)為.

3.（2023?上海靜安?一模）有一種空心鋼球，質(zhì)量為140.2g,測(cè)得球的外直徑等于5.0cm,若球壁厚度均勻，則它

的內(nèi)直徑為cm.（鋼的密度是7.9g/cm3,結(jié)果保留一位小數(shù)）.

4.（2024?上海靜安?二模）正四棱錐尸-ABCD底面邊長(zhǎng)為2,高為3,則點(diǎn)A到不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的側(cè)面的距離為.

5.（2024.上海.三模）若四面體ABCD各棱的長(zhǎng)為1或2,且該四面體不是正四面體，其體積V的所有可能的值

為.

6.（2023?上海徐匯?一模）己知一個(gè)棱長(zhǎng)為。的正方體木塊可以在一個(gè)封閉的圓錐形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，若圓錐的底

面半徑為3,母線長(zhǎng)為6,則實(shí)數(shù)。的最大值為一.

7.（2024?上海?三模）如圖，矩形ABCD中，E為的中點(diǎn)，AB=1,BC=2,連接EB,EC,若VBEC繞直線

旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為.

8.（2023?上海長(zhǎng)寧?一模）已知AA是圓柱的一條母線，A8是圓柱下底面的直徑，C是圓柱下底面圓周上異于A,

8的兩點(diǎn)，若圓柱的側(cè)面積為4兀，則三棱錐外接球體積的最小值為

9.（2024?上海奉賢.三模）如圖，已知三角形為直角三角形（。為直角），分別連接點(diǎn)8與線段Q4的〃等分

點(diǎn)4，A,I得到〃個(gè)三角形依次為z，?2，…，△“，將。鉆繞看03所在直線旋轉(zhuǎn)一周，記I，的，..

△“旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積依次為K，匕，…，匕，若匕=1,匕=49,則三角形。山旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積

V=.

B

0A\A2An，2An.\A

10.（2023?上海黃浦?三模）已知正方形ABCL）的邊長(zhǎng)是1,將VASC沿對(duì)角線AC折到VAB'C的位置，使（折疊后）

A、B，、C、。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的體積最大，則此三棱錐的表面積為.

H.（2024?上海閔行?二模）已知空間中有2個(gè)相異的點(diǎn)，現(xiàn)每增加一個(gè)點(diǎn)使得其與原有的點(diǎn)連接成盡可能多的等

邊三角形.例如，空間中3個(gè)點(diǎn)最多可連接成1個(gè)等邊三角形，空間中4個(gè)點(diǎn)最多可連接成4個(gè)等邊三角形.當(dāng)增加

到8個(gè)點(diǎn)時(shí)，空間中這8個(gè)點(diǎn)最多可連接成個(gè)等邊三角形.

12.（2023?上海?模擬預(yù)測(cè)）空間內(nèi)存在三點(diǎn)A、B、C,滿足AS=AC=3C=1,在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)（不計(jì)順序），

使得這兩點(diǎn)與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為.

二、單選題

13.（2016?上海浦東新?一模）若軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是S,則圓柱的體積為

A.MSS

B.-C.DZ

2v7171

14.（2022?上海黃浦?二模）如圖，已知P,Q,R分別是正方體ABCD-A耳CQ的棱AB,BC和CR的中點(diǎn)，由點(diǎn)P,Q,R

確定的平面△截該正方體所得截面為（

C.五邊形D.六邊形

15.（2023?上海嘉定?二模）已知一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體，與該正方體每個(gè)面都相切的球半徑記為凡，與該正方體每

條棱都相切的球半徑為此，過(guò)該正方體所有頂點(diǎn)的球半徑為4,則下列關(guān)系正確的是（）

A.4:鳥(niǎo)：7?3=：6：2B.片+&成

C.R；+R；=R；D.R：+R：=R；

16.（2024?上海?三模）已知Q4是圓柱。。1下底面的一條半徑，（9A=1,OO,=10,尸為該圓柱側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，PB

垂直下底面于點(diǎn)8,若PB=ZAOB，則對(duì)于下述結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為橢圓；②動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為2缶；以下

說(shuō)法正確的為（）.

A.①②都正確B.①正確，②錯(cuò)誤

C.①錯(cuò)誤，②正確D.①②都錯(cuò)誤

17.（2024?上海?一模）三棱柱ABC-A4G中，的，平面ABC,且AB=3C=1,抽=2,NA8C=90。,。為CC1中

點(diǎn).

B

⑴求四面體A-ABD的體積：

（2）求平面ABD與ACB,所成銳二面角的余弦值.

18.（2023?上海奉賢?一模）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.如圖，已知四面體尸-ABC

中，P4_L平面ABC,PA=BC=1.

B

（1）若48=1,PC=j3,求證：四面體P-ABC是鱉腌，并求該四面體的體積；

（2）若四面體P-ABC是鱉席，當(dāng)AC=a（a>l）時(shí)，求二面角A-3C-尸的平面角的大小.

19.（2022.上海閔行?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是矩形，P4垂直于平面ABCD,AB=4,

AD=3,PC=V34,點(diǎn)E、M分別在線段A3、PC上，其中E是A3中點(diǎn)，品=4,連接ME.

(1)當(dāng)彳=1時(shí)，證明：直線ME平行于平面PAD；

(2)當(dāng)2=2時(shí)，求三棱錐A/-3CD的體積.

專題11立體幾何（I）（考點(diǎn)練+模擬練）

01上?？键c(diǎn)練

一、填空題

1.（2024?上海黃浦.二模）若一個(gè)圓柱的底面半徑為2,母線長(zhǎng)為3,則此圓柱的側(cè)面積為.

【答案】1271

【分析】將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，得到矩形的兩邊長(zhǎng)，求出面積即可.

【解析】將圓柱的側(cè)面展開(kāi)為矩形，其中矩形的一邊為3,另一邊為2兀'2=4兀，

故側(cè)面積為3x471=12兀.

故答案為：12兀

2.（2022.上海黃浦.一模）若圓柱的高、底面半徑均為1,則其表面積為.

【答案】4萬(wàn)

【分析】根據(jù)圓柱表面積公式求解即可.

【解析】根據(jù)題意得到圓柱的高力=1,底面半徑r=1,

則表面積S=2"（r+/z）=4i.

故答案為：4乃

TT

3.（23-24高三上?上海浦東新?期末）已知圓錐的母線與底面所成的角為體積為3元，則圓錐的底面半徑

為.

【答案】G

【分析】

由題意得到圓錐底面半徑與高之間的關(guān)系，再根據(jù)圓錐的體積公式列方程即可求解.

【解析】圓錐的軸截面圖如圖所示：

由題意〃=廠?tan&=V=!兀r％=，^兀/=3兀，解得廠=有，即圓錐的底面半徑為

333

故答案為：V3.

4.（22-23高三上?上海浦東新?期末）已知圓錐的側(cè)面積為4兀，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面

半徑是—

【答案】72

【分析】首先設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線為/,根據(jù)圓錐的側(cè)面積得到/=2血，再根據(jù)圓錐底面圓的周長(zhǎng)即可得

到答案.

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線為/,

因?yàn)閳A錐的側(cè)面積為4兀，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，

所以;兀廠=4兀，解得/=20.

圓錐底面圓的周長(zhǎng)=gx2?ix2a=2“，解得r=0.

故答案為：V2

5.（21-22高三下?上海閔行?開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)立方體內(nèi)接于一個(gè)球，則該立方體與該球體表面積的比值為.

2

【答案】-

71

【分析】由已知，該立方體的體對(duì)角線即該球的直徑，設(shè)立方體棱長(zhǎng)為。，球的半徑為R,求出。與R的關(guān)系，再

求出表面積比值即可.

【解析】設(shè)立方體的棱長(zhǎng)為。，球的半徑為R,

???立方體內(nèi)接于球，,立方體的體對(duì)角線即為球的直徑，，耳=2R,即氏=且〃，

2

2

該立方體的表面積H=6a,該球體的表面積S2=4兀尺2=4兀x|蟲(chóng)|=3兀/，

該立方體與該球體表面積的比值為*=黑=2.

1^23兀47L

2

故答案為：一.

71

6.（21-22高三上?上海虹口?期中）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好是一個(gè)半圓，任取圓錐的兩條母線mb,則〃,

b所成角的最大值為.

【答案】1/60°

【分析】由題意可得圓錐的母線長(zhǎng)R和底面半徑長(zhǎng)r的關(guān)系，可知軸截面是等邊三角形，即可求解.

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R,底面半徑長(zhǎng)為小貝IJ2萬(wàn)廠=寺，解得R=2r,所以圓錐的軸截面是等邊三角形.

任取圓錐的兩條母線。，b,

TT

如圖：當(dāng)a,6為軸截面的兩條母線時(shí)，a,6所成角最大為

故答案為：—■

7.（2023?上海徐匯?二模）如圖所示，圓錐5。的底面圓半徑。4=1,側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為3兀，則此圓錐的

體積為.

【分析】由圓錐側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由勾股定理求出圓錐的高，再由體積公式即可

得出答案.

【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,

所以圓錐側(cè)面的平面展開(kāi)圖的面積為：S=；x27tJ./=3兀，

所以/=3,所以圓錐的高SO=g2-1=20?

故圓錐的體積為：y=L兀xFx20=^2兀.

33

故答案為：）④兀.

3

8.（2023?上海普陀?一模）設(shè)圓錐的底面中心為。，PB,PC是它的兩條母線，且BC=2,若棱錐O-是正三

棱錐，則該圓錐的側(cè)面積為.

【答案】2亞n

【分析】求出圓錐的底面圓的半徑，從而得到圓錐的側(cè)面積.

【解析】由棱錐O-尸3C為正三棱錐，得產(chǎn)B=PC=BC=2,OB=OC=OP,

而尸POLOC,由勾股定理得O2=OC=O尸=0,

即圓錐的底面圓半徑r=夜，母線長(zhǎng)/=2,

則該圓錐的側(cè)面積為無(wú)〃=20元.

p

故答案為：2亞n

9.（22-23高三下?上海虹口?期中）已知A3是球。的球面上兩點(diǎn)，ZAOB=60,尸為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐

尸-。R體積的最大值為6,則球。的表面積為.

【答案】487r

【分析】當(dāng)平面。鉆時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球。的半徑為R,列方程求解即可.

【解析】如圖所示，當(dāng)PO_L平面Q4B時(shí)，三棱錐的體積最大，

設(shè)球0的半徑為R,止匕時(shí)Vp-oM=gxg*RxRxsin60xR=6,

故7?=2指，則球。的表面積為5=4兀代=48兀.

10.（22-23高三上?上海徐匯?開(kāi)學(xué)考試）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分

別為際和S乙體積分別為5和吟.若乎=2,則￥=________.

3乙V乙

【答案】V10

【分析】由題意知甲，乙兩個(gè)圓錐的側(cè)而展開(kāi)圖剛好拼成個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,結(jié)合3=2,即

3乙

可求出外=2遇=1,再利用勾股定理可得兒=行也=2加,由此即可求出答案.

【解析】由題意知甲，乙兩個(gè)圓錐的側(cè)而展開(kāi)圖剛好拼成個(gè)圓，

設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,

甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為小々高分別為4,

S21

由,=2,則2兀弓=2TCX3X—=4兀，2兀弓=2TIX3X—=2兀,

解得a=2,馬=1,

由勾股定理得\=6kl=272,

V:跖力

所以e=M,

乙］叫:”2

故答案為：回.

11.（22-23高三上?上海寶山?開(kāi)學(xué)考試）如圖VABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,BC=73,在三角形內(nèi)挖去一個(gè)

半圓（圓心。在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C,M交BC于點(diǎn)N）,則圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一

周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為.

【答案】空兀

27

【分析】由題意可知，所得的幾何體是從一個(gè)圓錐中挖去一個(gè)球，用圓錐的體積減去球的體積.

【解析】連接QAOM,

因?yàn)榘雸A與AC、AB分別相切于點(diǎn)CM交5c于點(diǎn)N,ZACB=90°,ZABC=30°,BC=^,

所以NC4O=NBAO=30。，AC=BCtan30°=^x—=1,

3

OC=ACtan300=lx@=烏

33

所以圖中陰影部分繞直線5。旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

14.

-7rAC92BC——71OC3

33

=—^-l2x^3-—

33127

故答案為：哼兀

12.（22-23高三下?上海?階段練習(xí)）長(zhǎng)方體A3cO-A瓦G。為不計(jì)容器壁厚度的密封容器，里面盛有體積為V的

水，已知4?=3,M=2,AD=1,如果將該密封容器任意擺放均不能使水面呈三角形，則V的取值范圍為

【答案】（1,5）

【分析】分別計(jì)算水量較少和水量較多時(shí)，水面呈三角形時(shí)的水的體積，然后可得答案.

【解析】水量較少，水面恰好為長(zhǎng)方體的截面AC用時(shí)，V=1X!ABBCBB1=I；

水量較多，水面恰好為長(zhǎng)方體的截面AC用時(shí)，V=3X2X1-|X|ABJBCJBB1=5;

因?yàn)樵撁芊馊萜魅我鈹[放均不能使水面呈三角形，所以V的取值范圍為。,5）.

故答案為：（1,5）.

13.（21-22高二上?上海虹口?階段練習(xí)）暫堵、陽(yáng)馬、鱉腌出自中國(guó)古代名著《九章算術(shù).商功》,其中陽(yáng)馬.鱉牌是

我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱呼，取一長(zhǎng)方體，如圖長(zhǎng)方體4BCD-A4GQ,沿平面ABGQ斜切，一分為二，得

到兩個(gè)一模一樣的三棱柱，稱該三棱柱為塹堵.再沿平面28c切開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)，其中四棱錐

Q-ABCD以矩形ABCO為底，棱2。與底面垂直，稱為陽(yáng)馬，余下的三棱錐2cq是四個(gè)面都是直角三角形

的四面體，稱為鱉席.已知長(zhǎng)方體ABC。-A瓦G2中，AB=4,BC=3,M=2,按以上操作得到陽(yáng)馬，則該陽(yáng)

馬的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為.

【答案】V29

【分析】根據(jù)題設(shè)所描述陽(yáng)馬的特征，應(yīng)用勾股定理求各棱長(zhǎng)，即可知最長(zhǎng)棱長(zhǎng).

【解析】由題設(shè)結(jié)合題圖，由陽(yáng)馬的結(jié)構(gòu)特征可知：各棱長(zhǎng)為

AD=BC=3,AB=DC=4,DDX=2,AD,=而,=26明=曬，

最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為BDX=A/29.

故答案為：729.

14.（2024.上海.三模）日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，烘焙店的包裝盒如圖所示，正四棱柱

ABC。-ASG2的底面ABC。是正方形，且AB=3,M=1.

(A)(B)

店員認(rèn)為在彩繩扎緊的情況下，按照?qǐng)DA中H-E-弓-瑪-F-G-G「a-H的方向捆扎包裝盒會(huì)比按照?qǐng)DB中的

十字捆扎法更節(jié)省彩繩（不考慮打結(jié)處的用繩量和彩繩的寬度）.則圖A比圖8最多節(jié)省的彩繩長(zhǎng)度為

【答案】16-8垃

【解析】對(duì)于圖（A）,沿彩繩展開(kāi)正四棱柱，則彩繩長(zhǎng)度的最小值為8點(diǎn)；

對(duì)于圖（B）,彩繩長(zhǎng)度的最小值為4x（3+1）=16,

因?yàn)?6>8虛，所以圖A比圖B最多節(jié)省的彩繩長(zhǎng)度16-8夜.

故答案為：16-8VL

15.（2024?上海虹口?二模）如圖,在直四棱柱ABCD-中，底面為菱形,且NBAD=60.若AB="=2,

點(diǎn)M為棱CG的中點(diǎn)，點(diǎn)P在43上，則線段PAPM的長(zhǎng)度和的最小值為.

【分析】取AG的中點(diǎn)N,連接MN、AN、BM、RC,首先證明43//MN,即可從、B、M、N四點(diǎn)共面,

連接A?,求出乙4,2加=90°,將AA即繞A/翻折，使得平面ABA1與平面ABMN共面，連接AM交于

點(diǎn)P,最后利用余弦定理計(jì)算可得.

【解析】取2G的中點(diǎn)N,連接MN、AN、BM、RC,

因?yàn)辄c(diǎn)M為棱CG的中點(diǎn)，所以MN//DQ,又AA〃3C且AR=BC,

所以AQCB為平行四邊形，所以4B//RC，

所以AB//MV,即A1、B、M、N四點(diǎn)共面，連接A"，AG，

則”=萬(wàn)壽=2&,BM=M=#)，

因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且/A4O=60,所以/ADC=120,

所以AG=V22+22-2X2X2COS120°=273,

所以AM=J(2&j+E=A/13，

所以432+8^2=4河2,即所以NABM=90°,

將△ABA繞AB翻折，使得平面ABA1與平面A8MV共面，連接AM交A出于點(diǎn)尸，

則

又NABM=135°,

在.ABM中AM?=AB?+BM2-2AB-BMcosZABM,

2(歷、

即A/=2?+(君卜2x2x6x--=9+2質(zhì)，

I27

所以AA/=也+2河，

即線段24、的長(zhǎng)度和的最小值為,9+2版.

故答案為：也+2回

16.（2024高三?上海?專題練習(xí)）已知正方體42。-A4GR的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)尸在正方形內(nèi)，則下列正確

命題的序號(hào)是

@^BF=1（BC+BD1）,則三棱錐的歹-與CQ的外接球表面積為47r

②若B、F〃平面AXBD,則不可能垂直CD,

③若GP，平面AC尸，則點(diǎn)尸的位置唯一

④若點(diǎn)E為中點(diǎn)，則三棱錐A-A與E的體積是三棱錐A-FA.B體積的一半

【答案】③④

【分析】

首先建立空間直角坐標(biāo)系，并利用向量方法求外接球的球心和半徑，即可判斷①；利用線面垂直的向量公式，以及

線線垂直的向量公式，即可判斷②；利用向量法，求解垂直關(guān)系，即可判斷③；利用等體積轉(zhuǎn)化，比較底面積和高

的關(guān)系，即可判斷④.

【解析】

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系：

則4（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,D（0,0,0）,4（2,0,2）,4（2,2,2）,￡（0,2,2）,〃（0,0,2）,

由于動(dòng)點(diǎn)尸在正方形CD2G內(nèi)，可設(shè)廠（0,根,〃），其中0<加<2,0<〃<2,

對(duì)于命題①選項(xiàng)，由于圻'=；（BC+2〃），則F為C2的中點(diǎn)，此時(shí)*0,1,1）,

設(shè)三棱錐的F-B.CQ的外接球的球心為O（x,y,z）,

x2+(y-2)Z+z2=(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2

'\oc=OBt

則［oc

=OFgp<x2+(y-2)2+z2=x2+(y-l)2+(z-l)2

「ocOG|#+(y—2)2+z2=/+(y—2p+(z-2)2

X=1

解得：y=2,所以0(121),

z=1

則三棱錐的尸-qcq的外接球的半徑為R=|oc|=0,

所以三棱錐的尸-B.CQ的外接球表面積為4小胃=4%X（血）2=8無(wú)，故命題①不正確；

對(duì)于命題②選項(xiàng)，設(shè)平面4即的法向量為元=Q,y,z）,43=（0,2,-2）,BD=（-2-2,0）,

則〈ccc，令y=i，得無(wú)=T,Z=I,故

\-2x-2y=

而4尸=（—2,加一2,〃—2）,若耳尸〃平面A]BD,則3尸〃=0,

則2+ni—2+〃—2=0,Bpm+n=2,所以尸（。，^^一⑴,

此時(shí)BXF=,而CR=（0,-2,2）,

所以4尸.CD]=—2*0—2x（〃z—2）—〃z*2=Ym+4,

當(dāng)相=1時(shí)，-4,71+4=0,止匕時(shí)鳥(niǎo)尸?S=0,則耳故命題②不正確；

對(duì)于命題③選項(xiàng)，若平面ACF,則

由于G尸=(0,%-2,"-2),4。=(-2,2,-2),CF=(0,m-2,,

f2x(m-2)-2(n-2)=0[m=l[m=2

人J[m-2)2+n-2)=0解得:（舍去），

此時(shí)尸（0,1,1）,即點(diǎn)歹的位置唯一，使得GF，平面ACF,故命題③正確;

對(duì)于命題④選項(xiàng)，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，由正方體可知BCL平面AAB百，

三棱錐A-A用E的體積為：匕1電=/心用=gS"期?四,

由于歹在正方形CDRG內(nèi)，則尸到平面AAB為BC,

三棱錐A-嗎B體積為：匕個(gè)產(chǎn)LAAB=；工&京BC,

而$△為做—SjAB'EB=^BC,所以匕匕一F\B，

所以三棱錐A-ABIE的體積是三棱錐A-E41g體積的一半，故命題④正確.

故選：③④

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是正確使用空間向量坐標(biāo)法，解決幾何問(wèn)題，尤其是確定是否存在和唯一性問(wèn)題.

二、單選題

17.（20-21高三上.上海黃浦?階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（）

A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

C.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐

D.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐

【答案】D

【分析】根據(jù)棱柱的幾何特征，可判斷A、B的真假；根據(jù)棱錐的幾何特征可判斷CD的真假.

【解析】解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)面平行，其余各面是相鄰的公共邊都相互平行的平行四邊形的幾何體叫棱柱，所以A、B

錯(cuò)誤；

因?yàn)橛幸粋€(gè)面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.

故選：D.

18.（21-22高三下?上海虹口?階段練習(xí)）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是中心角為270。的扇形，且扇形半徑為4,則過(guò)圓

錐頂點(diǎn)的截面的面積的最大值為（）

A.更GB.—C.8D.3s'

39

【答案】C

【分析】首先判斷圓錐底面半徑，再判斷截面頂角的范圍，即可判斷截面三角形面積的最大值.

377

【解析】由扇形弧長(zhǎng)公式可知，中心角是270。的扇形，所對(duì)的弧長(zhǎng)/=《~x4=6?,

設(shè)圓錐底面半徑為「，貝|2萬(wàn)廠=6萬(wàn)，即r=3,2r=6,

設(shè)過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面三角形的頂角的最大角為。，則COS0=4"°<0，

2x4x4

所以。是鈍角，那么過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面三角形的頂角為直角時(shí)，三角形的面積最大，

最大值S=（x4x4=8.

2

故選：C

19.（23-24高二上.上海.期末）若干個(gè)能確定一個(gè)立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的“基本量”.已知長(zhǎng)方體

ABCD-A4G2,下列四組量中，不能作為該長(zhǎng)方體的“基本量”的是（）

A.4民4。,朋的長(zhǎng)度B.A綜AC,AR的長(zhǎng)度

C.4民網(wǎng)，22的長(zhǎng)度D.4瓦46,2。的長(zhǎng)度

【答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)定義，結(jié)合長(zhǎng)方體的體積公式、已知量判斷長(zhǎng)方體的體積是否可以確定即可.

【解析】如下圖，根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式，只需確定共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)即可，

已知4民4。招的長(zhǎng)度，則體積可定，A滿足;

AB2+BB；=AB；

AB2+BC2=AC2,即可求出A民BC,84,則體積可定，B滿足；

AD2+DD：=BC2+BB：=AD；

由勾股定理及AB,現(xiàn)可求AA，由勾股定理及網(wǎng),2。可求AR,故體積可定，C滿足;

已知無(wú)法求出BC,網(wǎng)，體積不能確定，D不滿足.

故選：D

20.（2021.上海.一模）如圖，在正四棱柱ABCD-ABG2中，底面邊長(zhǎng)4?=2,高4人=4,E為棱的中點(diǎn).設(shè)

ZBAD=a,NBED=8、NB、ED=y,則a、/、/之間的關(guān)系正確的是（）.

A.a=y>0B.y>a>6C.0>y>aD.a>O>y

【答案】B

【分析】求出a、/、7的大小即可求解.

【解析】由題意可得4&山=“.，

-JT

連接HD,則VBDE為等邊三角形，所以NBE￡>=e=§,

連接與。，則耳￡>=萬(wàn)方弄=2#，

BE=DE=A/22+22=2A/2，

取耳。的中點(diǎn)。,

連接EO,則4。=痛，EO=A/8^6=V2,

A/6

所以tanN4EO==G

jrz77

所以=BpZB1ED=y=—,

所以7＞。＞氏

故選：B

21.（2021?上海嘉定?一模）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-4瓦G2中，點(diǎn)p是該正方體棱上一點(diǎn).若滿足

|P8|+|PG|=根（利＞0）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,則m的取值范圍是（）

A.[2^/2,4]B.[4,2+2向

C.[4,4問(wèn)D.[2+2區(qū)4旬

【答案】B

【解析】先求得正方體的8個(gè)頂點(diǎn)到民G兩點(diǎn)的距離之和，進(jìn)而得到得到在棱上的運(yùn)動(dòng)時(shí)優(yōu)的取值范圍，然后再

根據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4取交集即可.

【解析】如圖所示：

因?yàn)轫旤c(diǎn)C,用到B,CX兩點(diǎn)的距離之和分別為

|CB|+|CC；|=4,|4卻+|4G|=4,忸Cj=2-72

所以當(dāng)點(diǎn)尸分別在棱網(wǎng)，8C,CG，BG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，m的取值范圍是[20,4]；

因?yàn)轫旤c(diǎn)A,DX,到8,G兩點(diǎn)的距離之和分別為：

|AB|+|Aq|=2+2招,|RB|+|AG|=2+2后，忸G|=2人,

所以當(dāng)點(diǎn)尸分別在棱CQ,回上運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)的取值范圍是［20,2+26］；

因?yàn)轫旤c(diǎn)A，片,C,。到B,C,兩點(diǎn)的距離之和分別為：

|4同+|4。=4夜，國(guó)叫+國(guó)cj=4,|CB|+|CCj=4,|D@+|r）G卜4夜，

所以當(dāng)點(diǎn)尸分別在棱4月,。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)的取值范圍是［4,4應(yīng)］;

因?yàn)轫旤c(diǎn)A，A，D，2到民G兩點(diǎn)的距離之和分別為：

14同+|A￡|=4夜，\DB\+\DQ\=4y/2,\AB\+\AC1\=2+2^3,\D}B\+\D1C1\=2+2S（3

所以當(dāng)點(diǎn)尸分別在棱A2，，AD,M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，m的取值范圍是［2+2"40］.

由幾何直觀可知，點(diǎn)尸在正方體的每一條棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所在的位置與機(jī)的值是一一對(duì)應(yīng)的，

所以當(dāng)|尸3|+|尸端=加（〃?>0）的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4時(shí)，則加的取值范圍是［4,2+2百］,

故選：B

22.（2024?上海徐匯?二模）三棱錐P-ABC各頂點(diǎn)均在半徑為2夜的球。的表面上，AB=AC=272,ABAC=W,

二面角尸-3C-A的大小為451則對(duì)以下兩個(gè)命題，判斷正確的是（）

Q

①三棱錐O-ABC的體積為耳；②點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為2扁.

A.①②都是真命題

B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題

D.①②都是假命題

【答案】A

【分析】根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)可得出二面角，利用直角三角形性質(zhì)判斷7ABe外心。|和APBC外心02的位置，

利用垂直關(guān)系證明2是AO中點(diǎn)，利用體積公式判斷①，根據(jù)02P為定長(zhǎng)判斷尸點(diǎn)軌跡是圓，判斷②.

【解析】由題意知=AC=2A/I,/BAC=90。，故3c=4,

設(shè)VABC外心為。i，則。1為BC的中點(diǎn)，設(shè)△PBC外心為。2，如圖,

則OO]±平面ABC,oo21平面PBC,

3Cu平面ABC,BCu平面PBC,

OOX±BC,OO21BC,

OO.nOQ=O,OO2，。。u平面OOQz，,3C_L平面O。。?，

又因?yàn)锳QLBC,則A。u平面0002，即A,。1，O,。之四點(diǎn)共面，

則BC_L平面。A。，

連接。02，則4。。為二面角P—BC—A的平面角，

「二面角尸—BC—A的大小為45。，.,.乙4。。2=45。，

而AQ_LBC,?A=；BC=2,因?yàn)镺。?，平面尸3C，O02U平面PBC,

故。。2，。02，而qo=Jol—ow=2,則QO=VL

在△4002中，（AQ）2=（AO]）2+（OQ2）2_2Aq。。2cos45=2,

則AQ=VL故。4=20=AQ+OO2，即A。”。三點(diǎn)共線，

且。2是Q4的中點(diǎn)；

則勿-ABC=；XOQ|XSMC=；x2x；x2忘x2?=|,故①是真命題；

2A

又O2P=^OP--（OO2）=/8^2=y/6,

???點(diǎn)P形成的軌跡是以。2為圓心，半徑為指的圓，

二軌跡長(zhǎng)度為2扃，故②真命題.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)空間的位置關(guān)系，推出A，a，。三點(diǎn)共線，及說(shuō)明。2是得中點(diǎn),

從而確定點(diǎn)P形成的軌跡.

三、解答題

23.（23-24高三上.上海閔行.期中）正四棱錐尸-ABCD中，AB=2,PO=3,其中。為底面中心，M為PD上靠

近P的三等分點(diǎn).

⑴求證：3D工平面ACP；

（2）求四面體朋-ACP的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

尾

【分析】（1）連接AC,BD,則AC與8。交于點(diǎn)。，由正四棱錐的性質(zhì)得到AC1BD,POL平面ABCD,則

POVBD,即可得證；

2

（2）首先求出匕?WC，再由M為尸。上靠近尸的三等分點(diǎn)，得到％.A?C=]%.ADC，所以

%—ACP=^P-ADC~^M-ADC=^P-ADC-

【解析】（1）在正四棱錐P-A5CD中。為底面中心，連接AC,BD,

則AC與BD交于點(diǎn)。，且尸平面ABC。，BDu平面ABCD,

所以PO_LBD,又AC尸0=0,AC,POu平面AC尸，所以5。/平面ACP.

(2)因?yàn)锳B=2,PO=3,所以匕.旬。=]PO?Ssc=§x3xgx2x2=2,

2

又M為尸。上靠近P的三等分點(diǎn)，所以％一陋c=§匕?wc，

12

=

則勿-ACP=Vp_ADC~^M-ADCXP-ADC=§

24.（23-24高三上?上海楊浦?期中）如圖,長(zhǎng)方體ABCD-人第1Gpi的底面ABC。是正方形，點(diǎn)￡在棱A4i^BELECr.

⑴證明：8E_L平面EBiCx

⑵若A4i=2,AB=1,求四棱錐E-5&C1c的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】線面垂