華師版八年級(jí)數(shù)學(xué) 14.1勾股定理（學(xué)習(xí)、上課課件）

14.1勾股定理第14章勾股定理14.1.1直角三角形三邊的關(guān)系逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2勾股定理勾股定理的證明知識(shí)點(diǎn)正方形的定義知1－講11.

勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語言：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2＋b2＝c2.知1－講2.

基本思想方法勾股定理把“形”與“數(shù)”有機(jī)地結(jié)合起來，即把直角三角形這個(gè)“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)”結(jié)合起來，它是數(shù)形結(jié)合思想的典范.知1－講特別提醒1.勾股定理揭示的是直角三角形的三邊的平方關(guān)系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.2.利用勾股定理，已知直角三角形的其中任意兩邊可以求出第三邊.3.運(yùn)用勾股定理求解時(shí)，若分不清哪條邊是斜邊，則要分類討論，寫出所有可能的情況，以免漏解或錯(cuò)解.知1－練例1在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知c＝13，a＝12，求b；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b(結(jié)果保留根號(hào)).解題秘方：緊扣“勾股定理的特征”解答.知1－練

知1－練1-1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)若a∶b＝3∶4，c＝75，求a，b；解：設(shè)a＝3x(x>0)，則b＝4x.由勾股定理得a2＋b2＝c2，則(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15.∴a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.知1－練(2)若c－a＝4，b＝16，求a，c.知1－練已知直角三角形兩邊的長分別是6和8，則第三邊的長為_________.例2解題秘方：緊扣“所求第三邊可能是斜邊或直角邊”進(jìn)行分類解答.

知1－練2-1.若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x的值可能有()A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)B知2－講知識(shí)點(diǎn)勾股定理的證明21.

常用證法驗(yàn)證勾股定理的方法有很多，如測量法、幾何證明法等，但最常用的是通過拼圖，構(gòu)造特殊圖形，并根據(jù)拼圖中各部分面積之間的關(guān)系來驗(yàn)證.知2－講特別提醒通過拼圖證明命題的思路：1.圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊、沒有空隙，面積就不會(huì)改變；2.根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式；3.利用等式的性質(zhì)驗(yàn)證結(jié)論成立.即拼出圖形→寫出圖形面積的表達(dá)式→找出等量關(guān)系→恒等變形→證明命題結(jié)論.知2－講2.著名證法舉例方法圖形證明趙爽的“趙爽弦圖”知2－講續(xù)表：方法圖形證明劉徽的“青朱出入圖”設(shè)大正方形的面積為S，則S＝c2.根據(jù)“出入相補(bǔ)，以盈補(bǔ)虛”的原理，有S＝a2＋b2，∴a2＋b2＝c2知2－講方法圖形證明加菲爾德總統(tǒng)拼圖續(xù)表：知2－講方法圖形證明畢達(dá)哥拉斯拼圖續(xù)表：知2－練一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種驗(yàn)證方法.如圖14.1-1，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下后到四邊形AB′C′D′的位置，連結(jié)AC，AC′，CC′，設(shè)AB＝a，BC＝b，AC＝c.請(qǐng)利用四邊形BCC′D′的面積驗(yàn)證勾股定理：a2＋b2＝c2

.例3知2－練解題秘方：緊扣“總體面積等于各部分面積之和”進(jìn)行驗(yàn)證.知2－練

知2－練

整個(gè)圖形的面積等于不重疊、無空隙的各組成部分的面積的和.知2－練方法點(diǎn)撥：通過拼圖，利用求面積來驗(yàn)證，這種方法以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想，以圖形拼補(bǔ)為手段，以各部分面積之間的關(guān)系為依據(jù)而達(dá)到目的.知2－練3-1.如圖，寫出字母所代表的正方形的面積：SA＝______，SB＝________.625144知2－練3-2.(1)觀察圖①、②并填寫下表(圖中每個(gè)小方格的邊長均為1).16A的面積B的面積C的面積圖①圖②9254913知2－練(2)三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系？(3)三個(gè)正方形圍成的一個(gè)直角三角形的三邊長之間存在什么關(guān)系？解：三個(gè)正方形A，B，C的面積之間的關(guān)系為SA＋SB＝SC.三個(gè)正方形圍成的一個(gè)直角三角形的三邊長之間的關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．直角三角形三邊的關(guān)系勾股定理驗(yàn)證拼圖法面積法條件直角三角形結(jié)論三邊平方關(guān)系應(yīng)用幾何應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用14.1勾股定理第14章勾股定理14.1.2直角三角形的判定、反證法逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2勾股定理的逆定理勾股數(shù)反證法知識(shí)點(diǎn)勾股定理的逆定理知1－講11.

勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且邊c所對(duì)的角為直角.知1－講特別提醒●勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一個(gè)依據(jù)，在判定時(shí)不能說“在直角三角形中”“直角邊”“斜邊”，因?yàn)檫€沒有確定是直角三角形.●a2＋b2＝c2只是一種表現(xiàn)形式，滿足a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2的也是直角三角形，只是這時(shí)a或b為斜邊.知1－講2.利用邊的關(guān)系判定直角三角形的步驟(1)“找”：找出三角形三邊中的最長邊；(2)“算”：計(jì)算其他兩邊的平方和與最長邊的平方；(3)“判”：若兩者相等，則這個(gè)三角形是直角三角形，否則不是.知1－講3.拓展當(dāng)兩短邊的平方和大于最長邊的平方時(shí)，該三角形為銳角三角形；當(dāng)兩短邊的平方和小于最長邊的平方時(shí)，該三角形為鈍角三角形.知1－練例1判斷滿足下列條件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；(3)一個(gè)三角形的三邊長a，b，c滿足a∶b∶c＝3∶4∶5.解題秘方：緊扣“直角三角形的定義”和“勾股定理的逆定理”進(jìn)行判斷.知1－練解：(1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝25°，∠C＝65°，∴∠B＝180°－25°－65°＝90°.∴△ABC是直角三角形.(2)在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2，∴△ABC是直角三角形.(3)設(shè)a＝3x，則b＝4x，c＝5x.易得(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.遇比例用參數(shù)法.知1－練方法點(diǎn)撥：判定直角三角形的方法：1.如果已知條件與角度有關(guān)，可求出其中一個(gè)角是直角，或者證明其中一個(gè)角等于已知的直角，得到直角三角形.2.如果已知條件與邊有關(guān)，可通過計(jì)算推導(dǎo)出三角形三邊長的數(shù)量關(guān)系[即a2＋b2＝c2(c為最長邊)]，得到直角三角形.知1－練1-1.有五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成各選項(xiàng)所示的兩個(gè)直角三角形，其中正確的是()C知1－練

D知2－講知識(shí)點(diǎn)勾股數(shù)21.勾股數(shù)能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：(1)三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)；(2)兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方.知2－講2.

判別一組數(shù)是不是勾股數(shù)的一般步驟(1)“看”：看是不是三個(gè)正整數(shù)；(2)“找”：找最大數(shù)；(3)“算”：計(jì)算最大數(shù)的平方與兩個(gè)較小數(shù)的平方和；(4)

“判”：若兩者相等，則這三個(gè)數(shù)是一組勾股數(shù)，否則不是一組勾股數(shù).知2－講特別提醒1.勾股數(shù)有無數(shù)組.2.一組勾股數(shù)中的各數(shù)都乘相同的正整數(shù)可以得到一組新的勾股數(shù)：如3，4，5是勾股數(shù)，則6，8，10和9，12，15也是勾股數(shù)，即如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc(n為正整數(shù))也是一組勾股數(shù).知2－練下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是()A.6，7，8 B.5，8，13C.1.5，2，2.5 D.21，28，35例2解題秘方：緊扣“勾股數(shù)定義中的兩個(gè)條件”進(jìn)行判斷.解：根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2＋b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)，可知D選項(xiàng)成立.D知2－練2-1.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()A.3，4，7B.0.5，1.2，1.3C.6，8，10D.32，42，52C知3－講知識(shí)點(diǎn)反證法31.

定義反證法是一種論證方式，首先假設(shè)命題的結(jié)論的反面是正確的，然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說假設(shè)不成立，原命題得證.知3－講2.反證法證明命題的一般步驟反設(shè)——?dú)w謬——結(jié)論，即：(1)假設(shè)命題的結(jié)論的反面是正確的；(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過演繹推理，推出與基本事實(shí)、已證的定理、定義或已知條件相矛盾；(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題成立.知3－講特別提醒1.若結(jié)論的反面只有一種情況，則反設(shè)單一，只需駁倒這種情況，即可達(dá)到反證的目的.2.若結(jié)論的反面不止一種情況，那么要把各種情況一一駁倒，才能證明原結(jié)論正確.知3－練用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.例3解題秘方：緊扣反證法證明命題的一般步驟進(jìn)行證明.知3－練解：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個(gè)角是直角.證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角.不妨設(shè)∠B＝∠C＝90°.∴∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋90°＋90°＝∠A＋180°>180°.這與“三角形的內(nèi)角和是180°”相矛盾.∴假設(shè)不成立，即一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.知3－練3-1.已知：在△ABC中，AB＝AC.求證：∠B，∠C都是銳角.(用反