滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué) 15.4 角的平分線（學(xué)習(xí)、上課課件）

15.4角的平分線第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2作已知角的平分線過一點(diǎn)作已知直線的垂線角平分線的性質(zhì)角平分線性質(zhì)定理的逆定理(角平分線的判定)三角形的角平分線的性質(zhì)(拓展點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)作已知角的平分線知1－講11.角的平分線的作法(1)折疊法：將已知角折疊，使角的兩邊重合，折痕就是角的平分線所在的直線.(2)度量法：用量角器度量已知角的度數(shù)，并除以2，再用量角器畫出這個(gè)角的平分線.(3)尺規(guī)作圖法：保留作圖痕跡，并指出結(jié)論.知1－講

知1－講

知1－練例1

解題秘方：利用尺規(guī)作圖作兩次角平分線，可得原角的四分之一角.知1－練

知1－練1-1.[期末·池州]如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°.

(1)尺規(guī)作圖：作△ABC的角平分線CD，與AB交于點(diǎn)D；(不要求寫作法，保留作圖痕跡)解：如圖，線段CD即為所求.知1－練(2)求∠ACB和∠ADC的度數(shù).解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－60°－40°＝80°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝40°，∴∠ADC＝180°－60°－40°＝80°.知2－講知識(shí)點(diǎn)過一點(diǎn)作已知直線的垂線21.

過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線已知：直線l與直線l上一點(diǎn)A，如圖15.4-3.求作：直線AB，使AB⊥l于點(diǎn)A.知2－講

知2－講2.過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線已知：直線l與直線外一點(diǎn)A，如圖15.4-4.求作：直線AB，使AB⊥l于點(diǎn)B.過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，其作法類似于線段垂直平分線的尺規(guī)作圖法.知2－講

知2－講

知2－練

例2知2－練解題秘方：根據(jù)作圖可知BD＝BC，BF⊥CD，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求角度即可.知2－練答案：A

知2－練2-1.如圖，已知直線l及直線外一點(diǎn)P，觀察圖中的尺規(guī)作圖痕跡，則下列結(jié)論不一定成立的是_____.(填序號(hào))①PQ為直線l的垂線；②CA＝CB；③PO＝QO；④∠APO＝∠BPO.③知2－練2-2.如圖，已知直角三角形的一條直角邊m和斜邊n，求作此直角三角形.(要求:寫出已知、求作、結(jié)論，并用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法及證明)知2－練解：已知：線段m和n，如圖.求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AB＝n，AC＝m.結(jié)論：如圖所示，Rt△ABC即為所求作的三角形.知3－講知識(shí)點(diǎn)角平分線的性質(zhì)31.

性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)的兩個(gè)必要條件：(1)點(diǎn)在角平分線上；(2)這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離即點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長度.兩者缺一不可.知3－講2.

幾何語言如圖15.4-6，∵

OC平分∠AOB，P為OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，∴PD＝PE.知3－講特別提醒◆角平分線的性質(zhì)是由兩個(gè)條件(角平分線，垂線)得到一個(gè)結(jié)論(線段相等).◆利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等時(shí)，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”而不是“垂直于角平分線的線段”.知3－練如圖15.4-7，∠AOB＝30°，OE平分∠AOB，EF∥OB，EC⊥OB于點(diǎn)C.若EC＝

6，則OF的長是()A.6B.9C.3D.12例3知3－練解題秘方：作垂線，緊扣角平分線的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解.知3－練解：如圖15.4-7，作EG⊥OA于G.∵OE平分∠AOB，∠AOB＝30°，EC⊥OB，∴∠AOE＝∠BOE＝15°，EG＝CE＝6.∵EF∥OB，∴∠EFG＝∠AOB＝30°.∴

EF＝2EG＝12.∵∠EFG＝∠AOE＋∠FEO，∴∠OEF＝15°＝∠AOE，∴OF＝EF＝12.答案：D知3－練3-1.[期末·滁州]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若DB∶DC＝3∶2，S△ADC＝16，AB＝12，則CD的長為()A.4B.3C.8D.6A知4－講知識(shí)點(diǎn)角平分線性質(zhì)定理的逆定理(角平分線的判定)41.

判定定理

角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.知4－講2.幾何語言如圖15.4-8，∵點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD＝PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.知4－講3.

角平分線的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系(1)如圖15.4-8，都與距離有關(guān)：即條件PD⊥OA，PE⊥OB都具備；(2)點(diǎn)在角的平分線上(角的內(nèi)部的)點(diǎn)到角兩邊的距離相等.知4－講特別提醒1.使用該判定定理的前提是這個(gè)點(diǎn)必須在角的內(nèi)部.2.角平分線的判定是由兩個(gè)條件(垂線，線段相等)得到一個(gè)結(jié)論(角平分線).3.角平分線的判定定理是證明兩角相等的重要依據(jù)，它比利用三角形全等證兩角相等更方便快捷.知4－練如圖15.4-9，BE＝CF，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE交于點(diǎn)D.求證：AD平分∠BAC.例4解題秘方：利用角平分線的判定定理證明角平分線時(shí)，緊扣點(diǎn)在角的內(nèi)部且點(diǎn)到角兩邊的距離相等進(jìn)行證明.

知4－練知4－練方法點(diǎn)撥：等線段證角平分線法：要證某線是角的平分線，只需從要證的線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，再證明垂線段相等即可.這樣把證角平分線的問題轉(zhuǎn)化為證垂線段相等的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.知4－練4-1.[期末·淮南]如圖，∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACM的平分線相交于點(diǎn)D，連接AD.求證：AD是△ABC的外角∠CAN的平分線.知4－練證明：過D作DE⊥BN于E，DF⊥AC于F，DG⊥BM于G.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACM，∴DE＝DG，DF＝DG，∴DE＝DF.又∵DE⊥AN，DF⊥AC，∴AD是△ABC的外角∠CAN的平分線.知5－講知識(shí)點(diǎn)三角形的角平分線的性質(zhì)(拓展點(diǎn))51.性質(zhì)定理三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.這一點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心.知5－講2.幾何語言如圖15.4-10，在△ABC中，AD，BM，CN

分別是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分線，AD，BM，CN交于一點(diǎn)O，且點(diǎn)O到三邊BC，AB，AC的距離(OE，OG，OF的長)相等，即OE＝OG＝OF.知5－講要點(diǎn)解讀三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是三角形三條角平分線的交點(diǎn).知5－練如圖15.4-11，在△ABC中，點(diǎn)O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，AB＋BC＋AC＝30.過O作OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝3，求△ABC的面積.解題秘方：緊扣三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是內(nèi)心到三邊的距離相等.例5

知5－練知5－練5-1.如圖，有一塊三角形的空地ABC.其三邊長AB，AC，BC分別為30m，40m，50m.現(xiàn)要把它分成面積比為3∶4∶5的三部分種植三種不同的花，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，并簡要說明理由.知5－練解：方案如圖.分別作∠ABC和∠ACB