江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE19-江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二倍角余弦公式，即可得結(jié)果.【詳解】由二倍角余弦公式可得，.故選：C【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式和特別角的三角函數(shù)值，考查了數(shù)學(xué)運算實力，屬于簡單題目.2.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.【詳解】由得，即，解得或，所以不等式的解集為.故選：B【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3.若從甲，乙，丙，丁4位同學(xué)中選出3名代表參與學(xué)校會議，則甲被選中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意求出全部基本狀況的個數(shù)和滿意要求的基本狀況數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解.【詳解】從甲，乙，丙，丁4位同學(xué)中選出3名代表參與學(xué)校會議，共有甲不參與、乙不參與、丙不參與、丁不參與4種基本狀況，甲被選中的基本狀況有3種，所以甲被選中的概率.故選：D.【點睛】本題考查了列舉法解決古典概型概率問題，考查了運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.4.某校為了了解教科研工作開展?fàn)顩r與老師年齡之間的關(guān)系，將該校不小于35歲的80名老師按年齡分組，分組區(qū)間為[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55），[5，60]，由此得到頻率分布直方圖如圖，則這80名老師中年齡小于45歲的人數(shù)有（）A.45B.46C.48D.50【答案】C【解析】【分析】依據(jù)直方圖求得相應(yīng)頻率，進(jìn)而求得人數(shù).【詳解】這80名老師中年齡小于45歲的頻率為，人數(shù)為（人），故選：C.【點睛】本題考查頻率直方圖中頻率，頻數(shù)的計算，屬基礎(chǔ)題.5.過圓上一點M（－1.2）作圓的切線l，則l的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用切線與切點處的半徑垂直，依據(jù)直線垂直的條件得到切線的斜率，進(jìn)而利用點斜式寫出切線的方程.【詳解】圓的圓心為O(0,0),直線OM的斜率為,所以切線的斜率為,∴直線的方程為,即,故選：B.【點睛】本題考查圓的切線方程的求法，涉及直線的垂直的條件，屬基礎(chǔ)題.6.兩條平行直線與的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將直線方程化為：，再利用兩平行線間的距離公式求解.【詳解】直線方程化為：，所以兩條平行直線與的距離是：.故選：D【點睛】本題主要考查兩平行線間距離的求法，還考查了運算求解的實力，屬于基礎(chǔ)題.7.如圖，在三棱錐S－ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝2，則異面直線SB與AC所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別取、、的中點、、，連接、、、、，由題意結(jié)合平面幾何的學(xué)問可得、、或其補角即為異面直線SB與AC所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點、、，連接、、、、，如圖：由SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4可得，所以，，由中位線的性質(zhì)可得且，且，所以或其補角即為異面直線SB與AC所成角，在中，，所以異面直線SB與AC所成角的余弦值為.故選：A.【點睛】本題考查了余弦定理的應(yīng)用及異面直線夾角的求解，考查了空間思維實力與運算求解實力，屬于中檔題.8.圓的圓心為C，直線l過點(0，3)且與圓C交于A，B兩點，若△ABC的面積為，則滿意條件的直線l的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】分析】求得圓心坐標(biāo)和半徑，依據(jù)面積，利用弦長公式和面積公式求得圓心到直線的距離，利用幾何意義即可判定直線的條數(shù)，留意圓心可能在直線的上方，也可以在直線的下方.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)形式為,圓心,半徑,設(shè)圓心到直線的距離為,則,若△ABC的面積為，解得或.因為點在圓C外，且過點且與圓C交于A，B兩點，的取值范圍是[0,2),或都有意義，又∵圓心可能在直線的上方，也可以在直線的下方，∴滿意條件的直線的條數(shù)為4，故選：D.【點睛】本題考查已知直線與圓的相交三角形的面積，探求直線的條數(shù)，涉及點到直線的距離公式和三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題.二、多項選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求.全選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）9.在4件產(chǎn)品中，有一等品2件，二等品1件（一等品與二等品都是正品），次品1件，現(xiàn)從中任取2件，則下列說法正確的是（）A.兩件都是一等品的概率是B.兩件中有1件是次品的概率是C.兩件都是正品的概率是D.兩件中至少有1件是一等品的概率是【答案】BD【解析】【分析】由題意給產(chǎn)品編號，列出全部基本狀況，逐項列出滿意要求的狀況，由古典概型概率公式逐項推斷即可得解.【詳解】由題意設(shè)一等品編號為、，二等品編號為，次品編號為，從中任取2件的基本狀況有：、、、、、，共6種；對于A，兩件都是一等品的基本狀況有，共1種，故兩件都是一等品的概率，故A錯誤；對于B，兩件中有1件是次品的基本狀況有、、，共3種，故兩件中有1件是次品的概率，故B正確；對于C，兩件都是正品的基本狀況有、、，共3種，故兩件都是正品的概率，故C錯誤；對于D，兩件中至少有1件是一等品的基本狀況有、、、、，共5種，故兩件中至少有1件是一等品的概率，故D正確.故選：BD.【點睛】本題考查了列舉法解決古典概型概率問題，考查了運算求解實力，列出基本狀況是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.10.關(guān)于異面直線a，b，下列四個命題正確的有（）A.過直線a有且僅有一個平面β，使b⊥βB.過直線a有且僅有一個平面β，使b//βC.在空間存在平面β，使a//β，b//βD.在空間不存在平面β，使a⊥β，b⊥β【答案】BCD【解析】【分析】由題意結(jié)合線面垂直的性質(zhì)可推斷A；由線面平行的判定、性質(zhì)可推斷B；由異面直線的概念結(jié)合選項B即可推斷C；由線面垂直的性質(zhì)可推斷D；即可得解.【詳解】對于A，若直線a，b不垂直，則不存在平面β，使b⊥β，故A錯誤；對于B，存在直線c滿意c//b，且與a相交，此時直線c與a確定的平面β，滿意b//β；假設(shè)過直線a還存在另一平面滿意，則平面上存在一個異于a的直線滿意，則，因為直線a為平面、β的交線，所以，，不合題意；所以過直線a有且僅有一個平面β，使b//β，故B正確；對于C，由B可知，在空間存在平面β，使a//β，b//β，故C正確；對于D，若a⊥β，b⊥β，則，與題意不符，所以在空間不存在平面β，使a⊥β，b⊥β，故D正確.故選：BCD.【點睛】本題考查了線線、線面位置關(guān)系的推斷，考查了空間思維實力與邏輯推理實力，屬于基礎(chǔ)題.11.正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M，N，若線段MN的最小值為，則（）A.正方體的外接球的表面積為12π B.正方體的內(nèi)切球的體積為C.正方體的棱長為1 D.線段MN的最大值為【答案】AD【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長為，由線段MN的最小值為求出，依據(jù)球的性質(zhì)逐一推斷每個選項即可.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，則其外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為，正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M，N，由于兩球球心相同，可得MN的最小值為，解得，故C錯誤；所以外接球的半徑為，表面積為，故A正確；內(nèi)切球的半徑為1，體積為，故B錯誤；MN的最大值為，故D正確；故選：AD.【點睛】本題考查正方體的外接球與內(nèi)切球，正確求出正方體的外接球與內(nèi)切球的半徑是關(guān)鍵，考查了學(xué)生的空間想象實力，屬于中檔題.12.瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB＝AC＝4，點B(－1，3)，點C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓M上點到直線的最小距離為2B.圓M上點到直線的最大距離為3C.若點（x，y）在圓M上，則的最小值是D.圓與圓M有公共點，則a的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】由題意結(jié)合“歐拉線”概念可得△ABC的“歐拉線”即為線段BC的垂直平分線，結(jié)合直線方程的學(xué)問可得線段BC的垂直平分線的方程，由直線與圓相切可得圓M的方程；由圓心到直線的距離可推斷A、B；令，由直線與圓相切可得z的最值，即可推斷C；由圓與圓的位置關(guān)系即可推斷D；即可得解.【詳解】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在線段BC的垂直平分線上，即△ABC的“歐拉線”即為線段BC的垂直平分線，由點B(－1,3)，點C(4,－2)可得線段BC的中點為，且直線的BC的斜率，所以線段BC的垂直平分線的斜率，所以線段BC的垂直平分線的方程為即，又圓M：的圓心為，半徑為，所以點到直線的距離為，所以圓M：，對于A、B，圓M的圓心到直線的距離，所以圓上的點到直線的最小距離為，最大距離為，故A正確，B錯誤；對于C，令即，當(dāng)直線與圓M相切時，圓心到直線的距離為，解得或，則的最小值是，故C正確；對于D，圓圓心為，半徑為，若該圓與圓M有公共點，則即，解得，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查了直線方程的求解及直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了運算求解實力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上）13.已知兩點A（3，2），B（8，12），則直線AB的一般式方程為________【答案】2x－y－4=0【解析】【分析】先求得直線的斜率，然后由點斜式求得直線的方程，并轉(zhuǎn)化為一般式.【詳解】依題意，所以直線的方程為，化簡得.故答案為：【點睛】本小題主要考查由直線上兩點坐標(biāo)求直線方程，屬于基礎(chǔ)題.14.用半圓形紙片卷成一個圓錐筒，該圓錐筒的高為，則半圓形紙片的半徑為________【答案】2【解析】【分析】利用半圓的半徑和弧長，結(jié)合圓錐筒的高列方程，解方程求得半圓形紙片的半徑【詳解】設(shè)半圓的半徑為，則對應(yīng)的弧長為，所以圓錐筒底面半徑為，所以，解得.故答案為：【點睛】本小題主要考查圓錐的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)，用t的代數(shù)式表示cos2x＝________，用t的代數(shù)式表示cos3x＝________【答案】(1).(2).【解析】【分析】第一個空，干脆利用余弦的倍角公式即可得解；其次個空，遇到三倍角，可以看成兩倍加一倍.先利用兩角和的三角函數(shù)公式綻開，再利用二倍角公式做進(jìn)一步化簡，結(jié)合同解三角函數(shù)關(guān)系，最終得到答案.【詳解】,,故答案為：；.【點睛】本題考查兩角和差的三角角函數(shù)公式和二倍角公式的應(yīng)用，涉及同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，且滿意，b＋c＝2，則S的最大值是________【答案】【解析】【分析】結(jié)合余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和基本不等式，先求得，然后求得的最大值.詳解】由余弦定理得，依題意，，，所以，,，由于是三角形的內(nèi)角，所以，所以由解得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.四、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在△ABC中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，若（1）求c的值；（2）求sinC的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）利用三角形的面積公式列方程，解方程求得的值.（2）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得的值.【詳解】（1）在中，，所以，所以；（2）在中，由余弦定理得：所以，所以，在中，由正弦定理得：，所以.【點睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.18.已知.（1）求tanβ：（2）求sin2α.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用求解.（2）利用求解.【詳解】（1），因為，，所以（2），因為，所以.【點睛】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.19.已知函數(shù)（其中a∈R）.（1）當(dāng)a＝－1時，解關(guān)于x的不等式；（2）若的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時，解一元二次不等式求得不等式的解集.（2）化簡不等式，對分成和兩種狀況進(jìn)行分類探討，結(jié)合一元二次不等式恒成立，求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，由得，，所以，所以不等式的解集為；（2）因為解集為，所以在恒成立，當(dāng)時，得，不合題意；當(dāng)時，由在恒成立，得，所以【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立問題，屬于中檔題.20.如圖，在正方體中，為棱的中點．求證：（1）∥平面；（2）平面⊥平面【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)借助題設(shè)條件運用線面平行的判定定理推證；(2)借助題設(shè)運用面面垂直的判定定理推證.【詳解】（1）連交于，連，因為為的中點，為的中點，所以又平面平面，所以平面（2）因為平面，所以于，所以平面，所以同理可證，又于，所以平面，因為，所以平面，又平面，所以平面平面．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：（1）若圓C與x軸相切，求實數(shù)a的值；（2）若M，N為圓C上不同的兩點，過點M，N分別作圓C的切線，若與相交于點P，圓C上異于M，N另有一點Q，滿意，若直線：上存在唯一的一個點T，使得，求實數(shù)a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)圓的一般方程求得圓心和半徑，結(jié)合圓與軸相切求得的值.（2）求得的軌跡方程，結(jié)合直線：上一存在唯一點，使得列方程，解方程求得的值.【詳解】（1）圓的方程可以化為：，所以圓心，半