考點(diǎn)05 反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（原卷版）

考點(diǎn)五反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)整合一、反比例函數(shù)的概念1．反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)．2．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實(shí)數(shù)．二、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．（2）性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大2．反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=-x，對稱中心為原點(diǎn)．3．注意（1）畫反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點(diǎn)，描點(diǎn)越多，圖象越準(zhǔn)確，連線時(shí)，要注意用平滑的曲線連接各點(diǎn)．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標(biāo)軸靠近，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中x≠0且y≠0．（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時(shí)，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減?。瑯?，當(dāng)k<0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．三、反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)法確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個(gè)方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．四、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積2．涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．五、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)．針對時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號來決定.①k值同號，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號，兩個(gè)函數(shù)可能無交點(diǎn)，可能有一個(gè)交點(diǎn)，也可能有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．考向一反比例函數(shù)的定義1．反比例函數(shù)的表達(dá)式中，等號左邊是函數(shù)值y，等號右邊是關(guān)于自變量x的分式，分子是不為零的常數(shù)k，分母不能是多項(xiàng)式，只能是x的一次單項(xiàng)式．2．反比例函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①k≠0；②以分式形式呈現(xiàn)；③在分母中x的指數(shù)為-1典例引領(lǐng)1．下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)與），則的值為（

）A． B．4 C． D．8變式拓展4．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則．5．已知是反比例函數(shù)，則．6．如果點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，那么．7．若是關(guān)于的反比例函數(shù)，則常數(shù)．考向二反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?dāng)k<0時(shí)，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，一般不說兩個(gè)分支經(jīng)過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引領(lǐng)1．我們知道函數(shù)的圖象可以由反比例函數(shù)的圖象左右平移得到，下列關(guān)于的圖象的性質(zhì)：①的圖象可以由的圖象向右平移3個(gè)單位長度得到；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；③的圖象關(guān)于直線對稱；④若，根據(jù)圖象可知，的解集是．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①②④2．如圖，點(diǎn)和點(diǎn)是反比例函數(shù)的一個(gè)分支上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，則下列說法中，不正確的是（

）A．該反比例函數(shù)解析式B．矩形的面積為2C．該反比例函數(shù)的另一個(gè)分支在第三象限，且y隨x的增大而增大D．b的取值范圍是3．點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)隨的增大而減小，則的值可以()A．3 B．2 C．1 D．0變式拓展5．已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．6．當(dāng)反比例函數(shù)的自變量滿足時(shí)，函數(shù)值滿足，則的值為（

）A． B．或2 C．或 D．2或二、填空題7．在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．三、解答題8．小明在實(shí)驗(yàn)課上做了一個(gè)試驗(yàn)．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個(gè)物體，在右邊托盤（可左右移動(dòng)）中放置一個(gè)裝水的容器，容器的質(zhì)量為．在容器中加入一定質(zhì)量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤與點(diǎn)的距離，記錄容器中加入的水的質(zhì)量，得到下表：托盤與點(diǎn)的距離3025201510容器與水的總質(zhì)量1012152030加入的水的質(zhì)量57101525把上表中的與各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出這些點(diǎn)，并用光滑的曲線連接起來，得到如圖所示的關(guān)于的函數(shù)圖象．(1)請?jiān)谠撈矫嬷苯亲鴺?biāo)系中作出關(guān)于的函數(shù)圖象；(2)觀察函數(shù)圖象，并結(jié)合表中的數(shù)據(jù)：①猜測與之間的函數(shù)關(guān)系，并求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；②求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；③當(dāng)時(shí)，隨的增大而______（填“增大”或“減小”），隨的增大而______（填“增大”或“減小”），的圖象可以由的圖象向______（填“上”或“下”）平移得到．(3)若在容器中加入的水的質(zhì)量滿足，求托盤與點(diǎn)的距離的取值范圍．考向三反比例函數(shù)解析式的確定1．反比例函數(shù)的解析式（k≠0）中，只有一個(gè)待定系數(shù)k，確定了k值，也就確定了反比例函數(shù)，因此要確定反比例函數(shù)的解析式，只需給出一對x，y的對應(yīng)值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入中即可．2．確定點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式，求出y的值，若所求值等于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)在圖象上；若所求值不等于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)不在圖象上．（2）把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相乘，若乘積等于k，則點(diǎn)在圖象上，若乘積不等于k，則點(diǎn)不在圖象上．典例引領(lǐng)1．如圖，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，將該函數(shù)圖像向上平移3個(gè)單位長度得到一條新的曲線，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為．若圖中陰影部分的面積為9，則的值為．2．如圖，矩形的邊與y軸平行，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，反比例函數(shù)的圖象同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A與點(diǎn)C，則k的值為．3．如圖，正方形的頂點(diǎn)A，B在x軸上，點(diǎn)，正方形的對稱中心為點(diǎn)M．已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)M，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為．4．如圖所示，設(shè)C為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且長方形的面積為5，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為．變式拓展5．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且函數(shù)圖象過第一象限的兩點(diǎn)，，若，則，的取值范圍為．6．已知是關(guān)于的反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為．7．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖，矩形的點(diǎn)，在軸正半軸上，是的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)．若，，，則的值為．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，連接，過A點(diǎn)作雙曲線交線段于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B、C重合），已知，若，則a的取值范圍是．考向四反比例函數(shù)中k的幾何意義三角形的面積與k的關(guān)系（1）因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中的k有正負(fù)之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面積時(shí)，都應(yīng)加上絕對值符號．（2）若三角形的面積為|k|，滿足條件的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為原點(diǎn)，反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)及過此點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線的垂足．典例引領(lǐng)1．如圖，反比例函數(shù)圖象過第二象限內(nèi)一點(diǎn)P，過點(diǎn)P的直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，若，則k的值為（）A． B．6 C． D．10二、填空題2．如圖，面積為的的斜邊在軸上，，反比例函數(shù)圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)，則的值為．3．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)作軸，點(diǎn)在軸正半軸上，若的面積為，則的值為．變式拓展4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為的正方形的兩條鄰邊，分別在軸正半軸和軸正半軸上，點(diǎn)為正方形的中心，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)且交邊于點(diǎn)，連接，．（1）用含的代數(shù)式表示的值為（2）若，則的值為三、解答題5．已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與另一個(gè)正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．若四邊形的面積為24，求點(diǎn)的坐標(biāo)．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形的底邊在軸的正半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，延長交軸于點(diǎn)，若，的面積為，求的值．7．經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，且的面積為5．(1)求和的値；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值的取值范圍．考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合的主要題型：（1）利用k值與圖象的位置的關(guān)系，綜合確定系數(shù)符號或圖象位置；（2）已知直線與雙曲線表達(dá)式求交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達(dá)式；（4）應(yīng)用函數(shù)圖象性質(zhì)比較一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值的大小等．解題時(shí)，一定要靈活運(yùn)用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識(shí)，并結(jié)合圖象分析、解答問題．典例引領(lǐng)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，與直線交于點(diǎn)E．

（1）若，，則；（2）若，則b與k的數(shù)量關(guān)系是．2．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，若，則的值為．二、解答題3．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接，求的面積；(3)請結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集．4．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括，兩點(diǎn)），過點(diǎn)作軸交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．變式拓展5．已知點(diǎn)是一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)觀察圖象，直接寫出不等式的解集．6．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，求的面積．7．如圖，在等腰中，，，D為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B處停止．連接、，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的面積為y．(1)直接寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)請?jiān)趫D2中畫出函數(shù)y的圖像，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)圖2中已經(jīng)畫出在第一象限的圖像，根據(jù)函數(shù)圖像，直接寫出當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍（保留一位小數(shù)）．8．如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)．已知，．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)請結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)，時(shí)自變量x的取值范圍．9．如圖1，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．(1)求a，k的值．(2)利用圖像信息，直接寫出不等式的解集(3)如圖2，直線過點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖像交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．連接，求的面積．10．如圖，一次函數(shù)與反