考點19 圓的相關概念與性質（精講）-2024年中考數(shù)學一輪復習之核心考點精講精練（原卷版）

考點19.圓的相關概念與性質（精講）【命題趨勢】圓的相關概念及性質在中考數(shù)學中，小題通?？疾閳A的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內接四邊形等基礎考點，難度一般在中檔及以下，而在解答題中，圓的基本性質還可以和相似、三角形函數(shù)、特殊四邊形等結合出題，難度中等或偏上。在整個中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在8-10分左右，屬于中考中的中檔考題。所以考生在復習這塊考點的時候，要充分掌握圓的基本性質的各個概念、性質以及推論?！局R清單】1．與圓有關的概念（☆）1）圓：平面上到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的所有點組成的圖形。2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內最長的弦。3）弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧，符號：；小于半圓的弧叫劣弧，大于半圓的弧叫優(yōu)弧。4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角。6）弦心距：圓心到弦的距離，叫弦心距。7）同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓；同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。8）在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧，度數(shù)或長度相等的弧不一定是等弧。2：二圓的相關性質及推理（☆☆☆）1）圓的對稱性（1）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。其中直徑所在的直線都是圓的對稱軸；圓心是圓的對稱中心，將圓繞圓心旋轉任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉不變性。（2）圓是一個特殊的對稱圖形，它的許多性質都可以由它的對稱性推出。2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。解題技巧：關于垂徑定理的計算常與勾股定理相結合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構造直角三角形。3）推論1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?）如圖，可得①AB過圓心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤?？偨Y：垂徑定理及其推論實質是指一條直線滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）；（4）平分弦所對的優(yōu)??；（5）平分弦所對的劣弧。若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應靈活運用該定理。4）弧、弦、圓心角的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等。解題技巧：運用這些相等關系，可以實現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉化。5）圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。注意：圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€圓心角，對應的圓周角有無數(shù)個，但圓周角的度數(shù)只有兩個，這兩個度數(shù)和為180°。6）圓內接四邊形：如果四邊形的四個頂點均在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內接四邊形。這個圓叫做這個四邊形的外接圓。性質：（1）圓內接四邊形對角互補；（2）圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角。解題技巧：（1）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰保唬?）當已知圓的直徑時，常構造直徑所對的圓周角；（3）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質進行轉化。比如圓心角與圓周角間的轉化；同弧或等弧的圓周角間的轉化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉化等。【易錯點歸納】1.求兩條弦間的距離時要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側，兩弦在圓心的異側。2.圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角?！竞诵目键c】核心考點1.圓的有關概念例1：（2023·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）下列說法中正確的是（

）A．直徑是弦，半圓不是弧 B．相等的圓心角所對的弧也相等C．周長相等的兩個圓是等圓 D．圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是它的對稱軸變式1．（2023·江蘇宿遷·九年級校聯(lián)考期中）下列說法中，正確的是（

）A．半圓是弧，弧也是半圓B．長度相等的弧是等弧C．弦是直徑D．在一個圓中，直徑是最長的弦變式2.（2023·福建·?？级＃┥钪薪?jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里去，這是因為（

）A．同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個圓所有的直徑都相等C．圓的周長是直徑的倍D．圓是軸對稱圖形例2：（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形變式1．（2023上·河北滄州·九年級校考期中）如圖，由點P引出的為的四條弦，其中最長的是（

）A． B． C． D．變式2.（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）計算機處理任務時，經(jīng)常會以圓形進度條的形式顯示任務完成的百分比．下面是同一個任務進行到不同階段時進度條的示意圖：若圓半徑為1，當任務完成的百分比為x時，線段MN的長度記為d（x）．下列描述正確的是（）

A． B．當時，C．當時， D．當時，例3：（2023年江蘇省徐州市中考數(shù)學真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關系．(1)若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關系符合“肉倍好”，請畫出內孔．變式1．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍變式2．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學之美．如圖，正方形的面積為2，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的周長為．

例4：（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦半徑，則的度數(shù)為．變式1.（2023·湖南·?？级＃┤鐖D，點A，B，C均在上，若，，則（）

A． B． C． D．變式2．（2023年江西省中考數(shù)學真題）如圖，點，，，均在直線上，點在直線外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個例5：（2024上·北京豐臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點O為線段的中點，，連接，．則下面結論不一定成立的是（

）

A．B．C．D．平分變式1．（2023上·江蘇無錫·九年級校考階段練習）如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長的最大值為（）A． B． C． D．變式2．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰中，，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點．當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是．核心考點2.圓的相關性質及推理例5：（2023·四川德陽·模擬預測）下列語句中，正確的是（）①相等的圓周角所對的弧相等；②同弧或等弧所對的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的??；④圓內接平行四邊形一定是矩形．A．①② B．②③ C．②④ D．④變式1.（2023上·內蒙古呼和浩特·九年級校考期中）下列命題錯誤的有（

）個A．弧長相等的兩段弧是等??；B．過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條??；C．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；D．如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上．A．1 B．2 C．3 D．4變式2．（2024上·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）有下列命題：①不在同一條直線上的三個點確定一個圓；②相等的圓心角所對的弦相等；③同弧（或等?。┧鶎Φ膱A心角等于該弧所對的圓周角的一半；④三角形內切圓的圓心是三角形的內心，是三邊垂直平分線的交點；⑤圓內接四邊形的對角互補．其中真命題的個數(shù)有個．例6：（2023年陜西省中考數(shù)學試卷（A卷））陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm變式1．（2023年湖北省宜昌市中考數(shù)學真題）如圖，都是的半徑，交于點D．若，則的長為（

）．A．5 B．4 C．3 D．2變式2．（2024·四川涼山·統(tǒng)考模擬預測）建設中的“樂西高速”是樂山市與西昌市的重要通道，建成后將極大改善區(qū)域內交通運輸條件，并對沿途各縣的經(jīng)濟發(fā)展有極大地促進作用，如圖是其中一個在建隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，若M是⊙O中弦的中點，經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，且，，則⊙O的半徑為（

）mA．5 B．6.5 C．7.5 D．8例7：（2023·遼寧撫順·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形內接，平分，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）如圖，是⊙O的直徑，點C為圓上一點，，D是弧的中點，與交于點E．若E是的中點，則的長為（）

A．5 B．3 C．2 D．1變式2.（2023·四川成都·模擬預測）如圖，在中，弦相交于點E，連接，已知．(1)求證：；(2)如果的半徑為5，，求的長．

例8：（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學真題）如圖，在中，半徑互相垂直，點在劣弧上．若，則（

）

A． B． C． D．變式1．（2023年遼寧省阜新市中考數(shù)學真題）如圖，A，B，C是上的三點，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．變式2．（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點，的半徑為2．若，則的長為（

）

A．2 B． C． D．例9：（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學真題）如圖，在中，弦相交于點P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．變式1.（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）某圓形舞臺，圓心為．，是舞臺邊緣上兩個固定位置，由線段及優(yōu)弧（點是該弧中點）圍成的區(qū)域是表演區(qū)．如圖1，在處安裝一臺監(jiān)控器，其監(jiān)控的度為．如圖2，若再加一臺該型號的監(jiān)控器，可以監(jiān)控到表演區(qū)的整個區(qū)域，則下列方案可行的是（

）

甲：在處放置；乙：在處放置；丙：在處放置A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙變式2．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，是的內接三角形，為的直徑，平分，交于點D，連接，點E在弦上，且，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長．例10：（2023年遼寧省營口市中考數(shù)學真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點E，連接，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．變式1．（2023年廣東省中考數(shù)學真題）如圖，是的直徑，，則（

）

A． B． C． D．變式2.（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預測）如圖，是的直徑，點C是的中點，于點E，交于點(1)求證：；(2)若，求的長度．例11：（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學真題）如圖，四邊形內接于，E為BC延長線上一點．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．變式1.（2023年山東省泰安市中考數(shù)學真題）如圖，是的直徑，D，C是上的點，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．變式2．（2023年江蘇省淮安市中考數(shù)學真題）如圖，四邊形是的內接四邊形，是的直徑，，則的度數(shù)是