考點(diǎn)19 圓的相關(guān)概念與性質(zhì)（精講）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之核心考點(diǎn)精講精練（原卷版）

考點(diǎn)19.圓的相關(guān)概念與性質(zhì)（精講）【命題趨勢(shì)】圓的相關(guān)概念及性質(zhì)在中考數(shù)學(xué)中，小題通?？疾閳A的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形等基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度一般在中檔及以下，而在解答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和相似、三角形函數(shù)、特殊四邊形等結(jié)合出題，難度中等或偏上。在整個(gè)中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在8-10分左右，屬于中考中的中檔考題。所以考生在復(fù)習(xí)這塊考點(diǎn)的時(shí)候，要充分掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)的各個(gè)概念、性質(zhì)以及推論?！局R(shí)清單】1．與圓有關(guān)的概念（☆）1）圓：平面上到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的所有點(diǎn)組成的圖形。2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦，過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦。3）?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，符號(hào)：；小于半圓的弧叫劣弧，大于半圓的弧叫優(yōu)弧。4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。6）弦心距：圓心到弦的距離，叫弦心距。7）同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓；同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。8）在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧，度數(shù)或長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧。2：二圓的相關(guān)性質(zhì)及推理（☆☆☆）1）圓的對(duì)稱(chēng)性（1）圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形。其中直徑所在的直線(xiàn)都是圓的對(duì)稱(chēng)軸；圓心是圓的對(duì)稱(chēng)中心，將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說(shuō)明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。（2）圓是一個(gè)特殊的對(duì)稱(chēng)圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對(duì)稱(chēng)性推出。2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。解題技巧：關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線(xiàn)，一般過(guò)圓心作弦的垂線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形。3）推論1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．3）如圖，可得①AB過(guò)圓心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤?？偨Y(jié)：垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線(xiàn)滿(mǎn)足：（1）過(guò)圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）；（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；（5）平分弦所對(duì)的劣弧。若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，簡(jiǎn)稱(chēng)“知二得三”，解題過(guò)程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理。4）弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。解題技巧：運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化。5）圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。注意：圓的一條?。ㄏ遥┲粚?duì)著一個(gè)圓心角，對(duì)應(yīng)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，但圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)，這兩個(gè)度數(shù)和為180°。6）圓內(nèi)接四邊形：如果四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓。性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。解題技巧：（1）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰保唬?）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角；（3）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過(guò)一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過(guò)兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等?！疽族e(cuò)點(diǎn)歸納】1.求兩條弦間的距離時(shí)要分類(lèi)討論兩條弦與圓心的相對(duì)位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)。2.圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.圓的有關(guān)概念例1：（2023·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．直徑是弦，半圓不是弧 B．相等的圓心角所對(duì)的弧也相等C．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓 D．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸變式1．（2023·江蘇宿遷·九年級(jí)校聯(lián)考期中）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．半圓是弧，弧也是半圓B．長(zhǎng)度相等的弧是等弧C．弦是直徑D．在一個(gè)圓中，直徑是最長(zhǎng)的弦變式2.（2023·福建·?？级＃┥钪薪?jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)椋?/p>

）A．同樣長(zhǎng)度的線(xiàn)段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個(gè)圓所有的直徑都相等C．圓的周長(zhǎng)是直徑的倍D．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形例2：（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過(guò)圓心O的兩條線(xiàn)段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形變式1．（2023上·河北滄州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，由點(diǎn)P引出的為的四條弦，其中最長(zhǎng)的是（

）A． B． C． D．變式2.（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）計(jì)算機(jī)處理任務(wù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)以圓形進(jìn)度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比．下面是同一個(gè)任務(wù)進(jìn)行到不同階段時(shí)進(jìn)度條的示意圖：若圓半徑為1，當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時(shí)，線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度記為d（x）．下列描述正確的是（）

A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，例3：（2023年江蘇省徐州市中考數(shù)學(xué)真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉壁，玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見(jiàn)圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無(wú)刻度的直尺，解決下列問(wèn)題（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫(huà)出內(nèi)孔．變式1．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一枚圓形古錢(qián)幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線(xiàn)之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍變式2．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的面積為2，以它的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的周長(zhǎng)為．

例4：（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦半徑，則的度數(shù)為．變式1.（2023·湖南·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)A，B，C均在上，若，，則（）

A． B． C． D．變式2．（2023年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)，，，均在直線(xiàn)上，點(diǎn)在直線(xiàn)外，則經(jīng)過(guò)其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫(huà)出圓的個(gè)數(shù)為（

）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)例5：（2024上·北京豐臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，連接，．則下面結(jié)論不一定成立的是（

）

A．B．C．D．平分變式1．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，線(xiàn)段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為（）A． B． C． D．變式2．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰中，，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．核心考點(diǎn)2.圓的相關(guān)性質(zhì)及推理例5：（2023·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）下列語(yǔ)句中，正確的是（）①相等的圓周角所對(duì)的弧相等；②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的??；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形．A．①② B．②③ C．②④ D．④變式1.（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)?？计谥校┫铝忻}錯(cuò)誤的有（

）個(gè)A．弧長(zhǎng)相等的兩段弧是等?。籅．過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條??；C．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸；D．如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上．A．1 B．2 C．3 D．4變式2．（2024上·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）有下列命題：①不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；②相等的圓心角所對(duì)的弦相等；③同弧（或等?。┧鶎?duì)的圓心角等于該弧所對(duì)的圓周角的一半；④三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形的內(nèi)心，是三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)；⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．其中真命題的個(gè)數(shù)有個(gè)．例6：（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點(diǎn)，連接，與弦交于點(diǎn)，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm變式1．（2023年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，都是的半徑，交于點(diǎn)D．若，則的長(zhǎng)為（

）．A．5 B．4 C．3 D．2變式2．（2024·四川涼山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）建設(shè)中的“樂(lè)西高速”是樂(lè)山市與西昌市的重要通道，建成后將極大改善區(qū)域內(nèi)交通運(yùn)輸條件，并對(duì)沿途各縣的經(jīng)濟(jì)發(fā)展有極大地促進(jìn)作用，如圖是其中一個(gè)在建隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，若M是⊙O中弦的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)E，且，，則⊙O的半徑為（

）mA．5 B．6.5 C．7.5 D．8例7：（2023·遼寧撫順·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形內(nèi)接，平分，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，，D是弧的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E．若E是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A．5 B．3 C．2 D．1變式2.（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)E，連接，已知．(1)求證：；(2)如果的半徑為5，，求的長(zhǎng)．

例8：（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，半徑互相垂直，點(diǎn)在劣弧上．若，則（

）

A． B． C． D．變式1．（2023年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，A，B，C是上的三點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．變式2．（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點(diǎn)，的半徑為2．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．例9：（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．變式1.（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）某圓形舞臺(tái)，圓心為．，是舞臺(tái)邊緣上兩個(gè)固定位置，由線(xiàn)段及優(yōu)?。c(diǎn)是該弧中點(diǎn)）圍成的區(qū)域是表演區(qū)．如圖1，在處安裝一臺(tái)監(jiān)控器，其監(jiān)控的度為．如圖2，若再加一臺(tái)該型號(hào)的監(jiān)控器，可以監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，則下列方案可行的是（

）

甲：在處放置；乙：在處放置；丙：在處放置A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙變式2．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，是的內(nèi)接三角形，為的直徑，平分，交于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)E在弦上，且，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．例10：（2023年遼寧省營(yíng)口市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．變式1．（2023年廣東省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，，則（

）

A． B． C． D．變式2.（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)度．例11：（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，E為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．變式1.（2023年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，D，C是上的點(diǎn)，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．變式2．（2023年江蘇省淮安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，則的度數(shù)是