2024年高二數(shù)學(xué)期末考試模擬試題一（含答案新高考地區(qū)）

新高考地區(qū)高二期末考試模擬試題一

第I卷(選擇題)

一、單選題

1.直線Gx+3y+4=0的傾斜角為()

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】A

【分析】求出斜率，進(jìn)而可得傾斜角

V34

【詳解】由直線&+3>+4=0得尸--------X——

33

故直線的斜率為-又傾斜角范圍為［0,180°),

所以傾斜角為150。.

故選：A.

22

2.以橢圓二+2=1的左焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

259

A.y2=16xB.y2=-8xC.y2=-16xD.x2=-16y

【答案】C

【分析】利用橢圓和拋物線的幾何意義求解即可.

22_______

【詳解】由橢圓二+匕=1可得C=^=4,

259

所以左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),

所以以(-4,0)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=T6x,

故選：C.

3.記S“為等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.若電=-1，%+%=2,貝|Sg=()

A.-54B.-18C.18D.36

【答案】C

【分析】首先通過(guò)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算出等差數(shù)列基本量為和d，然后根據(jù)等差數(shù)列前“項(xiàng)和公式求

解E即可.

q+d=-1d=1

【詳解】???。2=-1，a+a=2,,解得

352%+6d=2Q]=-2

9x8

=9aj+—<Z=9x(-2)+36=18.

故選：c

4.已知成等差數(shù)列，-3,4也也，-12成等比數(shù)列，則%（2-2%）等于（）

A.-6B.6C.-12D.-6或6

【答案】A

【分析】根據(jù)等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得公差d和公比9的平方，由此可得4,出,&，代入即可得到結(jié)

果.

【詳解】設(shè)-I,%,外，-構(gòu)成的等差數(shù)列公差為d,-34也也,-12構(gòu)成的等比數(shù)列公比為,

/.d=7；I=-2,q4==4,即/=2,

2

ax=—\+d=—3,a2=-1+Id=—5,b2=—3^=-6,

b],(%—2。])=-6x(—5+6)=—6.

故選：A.

5.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中:

①2”與平行

②）BM與CE垂直

④CN與5M所成角為60°

以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）

F

C.②④D.③④

【答案】C

【分析】根據(jù)展開(kāi)圖還原正方體，設(shè)其棱長(zhǎng)為1,建立空間直角坐標(biāo)系，即可判斷異面直線的位置關(guān)系，計(jì)

算出夾角，以及CE與平面所成角的正弦值，進(jìn)而求出正切值.

【詳解】解：根據(jù)平面展開(kāi)圖，還原正方體，并建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則3(0,0,0),C(1,0,0),M(1,0,1),￡(0,1,1),F(0,0,1),,

①3M與平行，由圖可看出3M與ED不平行，錯(cuò)誤；

②3M與CE垂直，vW=(1,0,1),C￡=(-1,1,1)

，就?近=一1+0+1=0，即3M-LCE,正確；

@CE與平面ABCD所成角的正切值為辛，

由圖可知BF為平面ABCD的一個(gè)法向量，且沛=(0,0,1),

設(shè)CE與平面48。所成的角為6,

\CEBF\lo+o+ll6

貝Usin0=?1|——g-=j=-----=—

|國(guó)網(wǎng)V3.13

cos8=1-1

息

tan0=-y=-=,錯(cuò)誤；

④CN與3/所成角為60°,

設(shè)CN與瓦所成角為

■,-5M=(1,0,1),函=(0,1,1),

CN-BM|0+0+1|_1

cosa=^=^,,___.

CN\\BMV2-V2~2

.e.a=60J正確；

故選：C.

6.已知圓（x-lj+r=：的一條切線尸質(zhì)與雙曲線<=l（a>o力>0）有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線C的

離心率的取值范圍是（）

A.[1,73）B.（4,+00）C.（V3,+oo）D.（2,+co）

【答案】D

【分析】由圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得切線斜率左，由此可得切線方程根據(jù)直線與雙曲線交

點(diǎn)個(gè)數(shù)可得2>G,根據(jù)e=、點(diǎn)E可求得離心率的取值范圍.

aVa2

【詳解】錯(cuò)解：

/\_\k\Ji

選B,圓心（1,0）到切線的距離4=沫%=方-解得：k=±V3，

???切線方程為y=±6%；

?.?y=±&與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，百;./=1+與>4.

aa

錯(cuò)因：

求離心率時(shí)忘記開(kāi)方，注意雙曲線中e

正解:

由圓的方程知：圓心（1,0）,半徑;?=1,

則圓心（1,0）到切線的距離d==一，解得:k=+V3,

y/1+k'2

切線方程為y=±V3x；

?.?>=±百》與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，石，.*=11+與>2,

'aya*

即雙曲線C的離心率的取值范圍為（2,+co）.

故選：D.

22

7.已知？是橢圓C：?+與=1上的動(dòng)點(diǎn)，且與C的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，耳，鳥(niǎo)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若

9o

點(diǎn)〃在/耳尸月的平分線上，且礪?癥=0,則10M的取值范圍是（）

A.（0,2）B.（0,2及）C.（0,3-2V2）D.（0,1）

【答案】D

【分析】作出輔助線，得到=求出內(nèi)M的取值范圍，從而求出的取值范圍.

【詳解】如圖，直線耳河與直線即相交于點(diǎn)N,

由于尸M是/耳尸鳥(niǎo)的平分線，且麗.而^=0,BPPM1F.N,

所以三角形與PN是等腰三角形，

所以尸耳=PN,點(diǎn)”為片N中點(diǎn)，

因?yàn)椤槎暗闹悬c(diǎn)，

所以（W是三角形耳&N的中位線，

所以10M=g|BM，

其中內(nèi)時(shí)=|期H尸圖=2|尸耳|一2"=2|尸周一6,

22

因?yàn)镻與C的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，設(shè)尸（見(jiàn)"），則帆e（o,3）,。+2_=1

98

22

貝U|尸片|=^（m+1）+n=’（加+1『+9-：加2=1|OT+9|,

所以|尸耳性（2,4）,又優(yōu)N|>0,

所以|gN|e（O,2）,|。叫=；怩時(shí)€（0,1）

力。W的取值范圍是（0,1）.

故選：D.

8.數(shù)列｛?！埃凉M足。用=，卜也修〃eN*,則數(shù)列｛4｝的前80項(xiàng)和為（）

A.1640B.1680C.2100D.2120

【答案】A

【分析】利用周期性以及等差數(shù)列進(jìn)行求解.

【詳解】設(shè)〃")=2sin丁-1,因?yàn)閟in差的周期為萬(wàn)一二

227

Yljr

所以〃〃)=2$出了-1的周期為7=2.

又了⑴=1,〃2)=-1,所以當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，/(?)=1,

所以當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，/(?)=-1.

又見(jiàn)+1=/(〃)?！?"，所以。2=%+1，%=-&+2=-%+1,

%=%+3=—%+4,于是得到%+出+%+%=6,同理可求出

。5+。6+。7+。8=14,%+%0+%1+%2=22

設(shè)2=&“一3+&“一2+&”.1+g”，則數(shù)列｛4｝是以6為首項(xiàng),8為

公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列｛%｝的前80項(xiàng)和為數(shù)列｛"｝的前20項(xiàng)和

70x19x8

20x6+"=1640.故B,C,D錯(cuò)誤.

2

故選：A.

二、多選題

9.已知圓C：x2+y2-6x=0,則下述正確的是()

A.圓C截直線小歹="所得的弦長(zhǎng)為3亞

B.過(guò)點(diǎn)(1,1)的圓C的最長(zhǎng)弦所在的直線方程為：2x-y-l=0

C.直線4：x+6y+3=0與圓C相切

D.圓E：(x+以+/=49與圓C相交

【答案】AC

【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)公式可判斷A,根據(jù)圓的性質(zhì)可判斷B,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可判斷C,根據(jù)兩圓的圓心

距可判斷D.

【詳解】由圓C：X2+/-6X=0,可得(X-3)2+/=9,圓心為C(3,0),半徑為3,

所以圓C截直線4：V=x所得的弦長(zhǎng)為2』9=3后，故A正確;

由圓的性質(zhì)可知過(guò)點(diǎn)（1,1）的圓C的最長(zhǎng)弦過(guò)圓心,

1-0

故所在的直線方程即X+2k3=0,故B錯(cuò)誤;

因?yàn)閳A心C（3,0）到直線x+gy+3=0的距離為^^=3,

所以直線4：x+6y+3=0與圓C相切，故C正確；

由圓E：（土+1『+-=49可知圓心石（一1,0）,半徑為7,

所以忸C|=4=7-3,故圓E：（x+l『+/=49與圓C相內(nèi)切，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.己知數(shù)列｛4｝滿足/=鼻，。向=/］（"€"），則下列結(jié)論正確的是（）

A.為等比數(shù)列

0〃一1

B.｛%｝的通項(xiàng)公式為％=直］

C.｛%｝為遞減數(shù)列

D.」一的前〃項(xiàng)和北=2"+1—2-"

【答案】AB

2a,,1、1,1、、

【分析】由可推得——2=彳（一-2）,從而可判斷ABC,由分組求和可判斷D.

2a“+1an+l2an

2a*

【詳解】因?yàn)橐?jiàn)+i=二:（"eN）,由題意顯然見(jiàn)N04+產(chǎn)0,

11+2&11,1、1,1、、

變形得=----=-x—+1,所以-----2=~（----2）,

a

%肛Zn-2an

又因?yàn)?-2=1/0,

ax

所以：-2是以1為首項(xiàng),g為公比的等比數(shù)列，A正確；

,,12"T

因?yàn)?-2=（：嚴(yán)，所以""一2+（J_）"-i-2"+1，B正確；

1a-1

因?yàn)?）1遞減，所以"-2+d）'i遞增，即｛%｝為遞增數(shù)列，C錯(cuò)誤；

因?yàn)樗裕?（；嚴(yán)+2,

%2an2

所以北=（1+；+；+…+擊）+2〃=2-止+2”,所以D錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.過(guò)拋物線C：r=4x的焦點(diǎn)尸作直線交拋物線C于4,2兩點(diǎn)，則（）

A.|/切的最小值為4B.以線段42為直徑的圓與y軸相切

C.=1D.當(dāng)蕭=3而時(shí)，直線48的斜率為±6

\FA\\FB\

【答案】ACD

【分析】設(shè)直線方程為工=處+1并聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線的定義及性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正

誤.

【詳解】由題設(shè)尸。,0）,由焦點(diǎn)廠作直線交拋物線C于48兩點(diǎn)，設(shè)直線方程為x=@+l,

x=ky+1

所以貝1]歹2-4@-4=0,ffi]A=16(^2+l)>0,

y2=4x

2

所以”+%=4左，yAyB=-4,故乙+XB=左("+.%)+2=4左2+2,XAXB=kyAyB+k{yA++1=1,

因?yàn)閨48|=X/+XB+0=4左？+4,故當(dāng)上=0時(shí)|48|min=4,A正確;

以線段為直徑的圓，圓心為（乙產(chǎn)，竺產(chǎn)），即（2左2+1,2肩，半徑為2r+2,

顯然該圓與拋物線準(zhǔn)線x=-l相切，與》軸相交，B錯(cuò)誤；

,1111x.+24左2+4,.

由?f1I/O?=7-17=7~~77i7=1，故C正確；

|FA||FB|xA+lxB+1xAxB+xA+xB+\4k+4

[\—x=3x-3

由萬(wàn)=3而，即（1一乙,一外）二3（乙一1,九），故|"J,

則3小?4,可得/q或

所以

當(dāng)出=1時(shí)，顯然左=麗不合題意；當(dāng)演=；時(shí)，如圖知：2《，一專(zhuān)），g卡）,

8

所以直線的斜率為左=傘=6,根據(jù)對(duì)稱性易知：左=-6也滿足，D正確.

O

3

12.已知正方體/3C。-4月。。1中，48=4P為正方體表面及內(nèi)部一點(diǎn)，且萬(wàn)=x^+y而，其中

xe[0,1],”[0,1],則（）

2

A.當(dāng)％=]時(shí)，三棱錐尸-BG。的體積為定值

B.當(dāng)y=g時(shí)，直線2。與/尸所成角正弦值的最小值為千

C.當(dāng)x+y=l時(shí)，尸4+P。的最小值為2遍

D.當(dāng)2x+〉=l時(shí)，不存在點(diǎn)尸，使得平面P8C1平面尸8cl

【答案】AD

【分析】根據(jù)正方體建立合適的空間直角坐標(biāo)系，選項(xiàng)A,B,D按照空間向量的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可判斷;

選項(xiàng)C根據(jù)軌跡問(wèn)題，確定距離和的最小值，按幾何分析即可計(jì)算判斷.

【詳解】解：根據(jù)正方體，如圖，以A為原點(diǎn)，國(guó),3,陰為三%z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則4（0,0,0）,8（4,0,0）,C（4,4,0）,￡＞（0,4,0）,4（0,0,4）,耳（4,0,4）,G（4,4,4）,。（0,4,4）,

由于后=xAB+yADt,所以⑸,力,z?）=x（4,0,0）+y（0,4,4）=（4x,4翦4y）,即尸（4x,4y,4v）

選項(xiàng)A：當(dāng)x=g時(shí)，所以p11,4y,4。，則麗=]-24%4（|,又麗=（-4,4,0）,南=（0,4,4）,

4C=（4,4,-4）

則近.麗=（4,4,-4＞（-4,4,0）=-16+16+0=0,而%=（4,4,-4）?（0,4,4）=0+16-16=0,

___IDO_A-T\------F16jv_16jpr—

即4c是平面的法向量，則點(diǎn)尸到平面BCQ的距離為巴二___________=生色為定值，故

麗I-473"9

三棱錐尸的體積為定值，故A正確;

選項(xiàng)B：當(dāng)〉=；時(shí)，點(diǎn)尸（4x,2,2）,所以萬(wàn)=（4x,2,2）,麗=（-4,4,0）,

|存?麗|_|-16x+8|_|-2x+l|

貝小os萬(wàn)聞則

網(wǎng).郎V16x2+8x472V8X2+4

2t112

“2，+9=卡一廠兄

9

其中t+?一2￡[4,8],,設(shè)直線AD與/P所成角為。0,；則

cosOe0,1,即Me,正弦值sin夕的取值范圍為乎,1,故直線與/P所成角正弦值的最小值

為也，故B錯(cuò)誤；

2

選項(xiàng)C：當(dāng)x+y=l時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡在線段BA上,

將面8，/與面8DQ鋪平展開(kāi)，P4+P。最小值為4。長(zhǎng)度，

sinAA{D[B=4Q=2x4x如二^,故C錯(cuò)誤;

V3333

選項(xiàng)D：當(dāng)2x+y=l時(shí)，貝！]歹=1一2%,所以尸（4%,4-8幾4一8x）

設(shè)平面P8C的法向量為方=（%，4?）,

n-BC=O〔(4-8x)4=0/、

則—="/cA°,所以訪=2x-l,0,x-l

n-BP=O[(4x-4)q+(4-8x)4+(4-8x)q=0

設(shè)平面尸與G的法向量為成=(%也,。2)，

萬(wàn)?西=01(4-8x)2=。/、

則n“二2所以麗=2無(wú),0,無(wú)一1

萬(wàn).4尸=0[(4X-4)6Z2+(4-8X)/J2+(-8X)C2=0

若平面PBCI平面尸4G，貝。萬(wàn)?麗=(2X-1,0,X-1>(2X,0,X-1)=5X2-4X+1=0,

A=16-20=-4<0,故方程無(wú)解，即不存在點(diǎn)尸，使得平面尸BC1平面尸8|G，故D正確.

故選：AD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題

13.記S,為等比數(shù)列a｝的前"項(xiàng)和.若邑=4,5=6,貝監(jiān)6=.

【答案】￡##7.5

【分析】利用等比數(shù)列求和公式列方程求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝公比為9,

41

當(dāng)g時(shí)，4「,彳q=i

導(dǎo)，

4=8

Ii-q

企心JO_i5

,0---8*1]6.2

故答案為：—

14.設(shè)廠為拋物線必=4x的焦點(diǎn),42,c為該拋物線上不同的三點(diǎn)，若點(diǎn)尸是V/3C的重心，則

\AF\+\BF\+|CF|=__________.

【答案】6

【分析】由尸點(diǎn)為三角形的重心，用重心坐標(biāo)公式可得三點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，再利用拋物線的定義即可求得

M司+忸司+|。川的值.

【詳解】因?yàn)槭瑸閽佄锞€/=4x的焦點(diǎn)，則網(wǎng)1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,設(shè)/(占,%),8U,%),。(%,%),如

圖所示，

因?yàn)槭瑸槿切蔚闹匦模瑒t重心坐標(biāo)為(網(wǎng)即弋+也=1,所以%+%+退=3,

33。

因?yàn)?2,C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，分別過(guò)42,C作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為為E,2G,則由拋物線的

定義可得,

\AF\=\AE\=xx+i,\BF\=\BD\=x2+1,|CF|=|CG|=x3+1,所以|//|+忸同+|。/|=再+迎+退+3=6.

故答案為：6

【點(diǎn)睛】在拋物線中與焦半徑有關(guān)的題目，都可以利用定義轉(zhuǎn)換為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.

15.過(guò)雙曲線二-4=l(a>0,6>0)的左焦點(diǎn)為-60)作圓了2+y=屋的切線，切點(diǎn)為￡,延長(zhǎng)FE交拋物線

ab

儼=4cx于點(diǎn)尸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OE=^{OF+OP\則雙曲線的離心率為.

【答案】趙上1

2

【分析】由向量的運(yùn)算法則知E是尸尸中點(diǎn)，由此得|。刊=|?？?。，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合,

因此利用中位線性得|PG|=2a,從而由拋物線的可表示出尸的點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得縱坐標(biāo)，作軸，垂

足為H,在△OW中由勾股定理得出的方程，變形后可求得離心率e.

【詳解】如圖，雙曲線的右焦點(diǎn)G也是拋物線的焦點(diǎn)，OE=^(OF+OP),則E是尸尸中點(diǎn)，

又。是FG中點(diǎn)，所以O(shè)E//PG,|PG卜2|0同=2°,

設(shè)尸(x,y),

過(guò)尸作拋物線的準(zhǔn)線的垂線尸〃，〃■是垂足，]Jl!||PM=x+c=|PG|=2a,x=2a-c,

尸在拋物線上，所以/=4xc=4x(2a-c),

￡是切點(diǎn)，OELFP,所以|。尸|=|。可=/

作軸，垂足為a,

由|尸/邪+\OH[=|OP|2得(2a-c)2+4c(2a-c)=c2,整理得4c2-4ac-4a2=0,

所以e2-e-l=0,e=叱后(負(fù)值舍去).

2

故答案為：匕且

16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD-4片GA中，。為正方形N2CD的中心，尸為棱上的中點(diǎn)則正

方體表面到P點(diǎn)距離為2的軌跡的總長(zhǎng)度為

【答案】g+可萬(wàn)

【分析】確定點(diǎn)P為球心，半徑為2的球在正方體每個(gè)面上的截面圖形，求出軌跡的長(zhǎng)度即可.

【詳解】如下圖所示，在側(cè)面上，

G

4B】

AHB

設(shè)以點(diǎn)尸為球心，半徑為2的球分別交/8、4耳于點(diǎn)打、G,則尸G=2=24尸，

TTTT7T

所以，NAHP=N4GP=—,從而/4PH=/&PG=—,故4GPH=-,

633

故在平面上的軌跡是以P為圓心，2為半徑，圓心角為2的一段圓弧，同理可得在平面上的

TT

軌跡是以尸為圓心，2為半徑，圓心角為§的一段圓弧，

設(shè)以尸為球心，2為半徑的球截平面/3CD所得圓的半徑為「，

貝"=6-/尸2=也<AB=AD，

JT

故以尸為球心，2為半徑的球在平面/BCD上的軌跡是以百為半徑，圓心角為,的一段圓弧，同理可得以尸

—7T

為球心，2為半徑的球在平面上的軌跡是以6為半徑，圓心角為，的一段圓弧，

以尸為球心，2為半徑的球與平面BCG4相切，

因此，軌跡的總長(zhǎng)度為

故答案為：+gj%.

四、解答題

17.在①3q+%+%,②S3=13這兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.

已知等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，%=3,且電，%+1，%+3成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)％和公差4；

⑵已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S,,…,，求S”.（注如果選擇兩個(gè)條件并分別作答,

只按第一個(gè)解答計(jì)分.）

【答案】（1）%=1,2

3"-1

⑵S“=

2

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比中項(xiàng)公式得到關(guān)于q,d的方程組，解之即可求得所求;

(2)選擇①，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得9,從而由等比數(shù)列前，項(xiàng)和公式求得司；

選擇②，利用前〃項(xiàng)和的定義得到42+4-12=0,解之得9,進(jìn)而可求得S),.

【詳解】(1)依題意，設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝的公差為d(">0),

因?yàn)椤?=3,且a2M3+1，%+3成等比數(shù)列,

所以《q++d2="3人3(%+4"3)'解得"\a=｝=2\或「［。］一=4(舍去),

所以〃〃=1+2(〃-1)=2〃-1,

故q=l,d=2.

(2)選擇①：

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列也J的公比為,何>0),因?yàn)橐?q也=%+電+生，所以々=10=1+3+5=9,

又4=。/,即夕2=9,所以q=3或q=-3(舍去),

所以S”=

\-q~2

選擇②：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列也｝的公比為夕(9>0),因?yàn)?=%=1,5=4+如+32=13,

即q2+g_]2=0,可得0=3或q=-4（舍去）,

q〃3〃一1

所以S”=

1—q2

18.如圖,直三棱柱力5C-中，AC=BC=BAB=AA=2,M為棱48的中點(diǎn)，N是4。的中

占

《

(1)證明：MN〃平面BCG。；

(2)求直線4c與平面B\MN所成角的正弦值.

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】（1）作出輔助線，證明出CM,ME,2初兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平

面2CG用的法向量碗=（2,1,0）,從而得到痂，嬴進(jìn)而證明出〃平面8CC4；

（2）求出平面用的法向量，從而利用空間向量求解線面角的正弦值.

【詳解】（1）連接CM,因?yàn)?C=8C=6,M為棱48的中點(diǎn)，

所以CMLAB,

過(guò)點(diǎn)“作ME////,

因?yàn)槿庵?BC-4耳。為直三棱柱，

所以人化1平面ABC,

因?yàn)檠?,CWu平面4BC,

所以Affil8M,ME上CM,

故以Af為坐標(biāo)原點(diǎn)，MB,MC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?5=44=2,所以BM=AM=\,

由勾股定理得：CM=<BC：2-BM?=2,

所以4（T0,2）,2（l,0,0）,C（0,2,0），4（l,0,2）,M（0,0,0）,N，；,l,l1,

則疝設(shè)平面BCG用的法向量為五=（°也c）,

in-BC=（a,Z>,c）-（-l,2,0）=-a+2b=0

貝叫一■,、，、，

成/月=（a,6,c〉（O,O,2）=2c=O

解得：c=0,令6=1,則a=2,

故獲=（2,1,0）,

所以加橘=（2,1,0）卜g,1,1]=-1+1=0,

所以而7_L而，ACV2平面BCC4，故MN//平面8CG4；

(2)則詬=(0,2,0)—(—1,0,2)=(1,2,—2),函=(1,0,2),

設(shè)平面的法向量為〃=（xj,z）,

n-MB{=(%//)?(1,0,2)=x+2z=0

H-AW=(x?1y,z)-|--,1,1|=~—x+y+z=0

令z=1,貝Ux=-2,y=-2,

故幾=(—2,—2,1)，

設(shè)直線AC與平面片MN所成角為巴

8

則sin0=

國(guó)卡「Jl+4+4xj4+4+l9

Q

故直線4c與平面B｛MN所成角的正弦值為1.

19.已知數(shù)列｛的｝的前〃項(xiàng)和為M且4S〃=（2〃一1）%+]+1,ai—\.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)“木3

數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為乃7,證明（＜g.

【答案】（1）%=2"-1

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由已知可得4%=（2〃-1”“+「（2"-3”“（心2）,從而智=捐,由此能證明數(shù)列｛的｝是首

項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列｛助｝的通項(xiàng)公式;

7211

（2）由數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式求出〃，再由4=2"2〃-1）〈五三一五，由此利用裂項(xiàng)相消法即可證明

【詳解】（1）因?yàn)?s“=（2〃一1”用+1,所以4S,i=（2"-3”“+1（〃22）.

兩式相減，得包=（2"-1）（+1=（2〃-3）%（"22）,

即（2〃+1”“=（2"一1）%+1

所以當(dāng)時(shí)，智=要3，

2.n—1

在4S〃=（2〃-1）%+1+1中，令〃=1,得4=3,

所以⑸=&.二.吐…幺=即二1.也二m..3.3.i=2〃_i（"N2）

an_xan_2an_3a2ax2〃-32〃-52〃一731

又％=1滿足，所以%=2H-1

所以。,-。"一1=（2??-l）-（2?-3）=2（n>2）,

故數(shù)列｛的｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，且%=2〃-1.

_]_]_2211

所以"(2n-1)?2n(2n-l)2n(2n—2)2n—22n'

13

當(dāng)"=1時(shí)'4=不=1<1,

當(dāng)〃之2時(shí)，北<["；一:+：一：+…+貴一]3_J_3

5一萬(wàn)2,

3

所以

20.如圖，在四棱錐尸中，底面/BCD為直角梯形，CDHAB,ZABC=90°,

AB=2BC=2CD=4,側(cè)面尸，面A8CZ),PA=PD=2.

P

\D

C

AB

(1)求證：PA工BD；

(2)設(shè)平面P4D與平面P8C的交線為/,在/上是否存在點(diǎn)N,使得平面尸CD和平面NCD的夾角的余弦值

為短？若存在，請(qǐng)確定N點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

13

⑵存在點(diǎn)N,N在線段尸〃上，PN=-PM,或者N在線段PM的反向延長(zhǎng)線上，PN=-PM

【分析】(1)根據(jù)已知條件及兩條平行線的性質(zhì)，再利用勾股定理及余弦定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理

及線面垂直的性質(zhì)定理即可求解；

(2)根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面尸CD和平面NCD的法向量，結(jié)

合向量的夾角與平面尸。和平面NCD的夾角關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)镃D///3,ZABC=90°,

所以/BCD=90。，

因?yàn)?C=CD=2,

所以BD=NBC?+CD。=2血，NCBD=45。,從而NN5D=45。，

因?yàn)?8=4,

所以4D?=AB?+BD?-2AB?BDcosNABD=8,

所以//y+Ap?=/笈，從而

因?yàn)閭?cè)面PAD±面ABCD,側(cè)面PADc面ABCD=AD,ADu面ABCD,

所以M32平面尸4D,

又因?yàn)槭琋u面P4D,

所以尸.

(2)延長(zhǎng)2。和3C交于點(diǎn)連接則/就是直線PM,為V/8C的中位線，

以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系2-盯z,如圖所示，

則尸(1,3,夜)，0(2,2,。)，M(4,0,0),C(2,0,0),

所以麗=(0,2,0),P5=(l,-1,-V2),

設(shè)面PCD的法向量為"=(孫%,句),則

令4=1,則網(wǎng)=0,%=0,取“1=(0,0,1),

設(shè)在/上存在點(diǎn)N,滿足麗=幾聞7(XeR),貝ij

CN=CP+PN=CP+APM=(-1,3,V2)+2(3,-3,-A/2)=(32-1,3(1-2),后(1-2)).

設(shè)平面NCZ)的法向量為〃2=(無(wú)2，%/2),貝I]

一,.

%?CD=02%=°

%?CN=0[(32-1)X2+3(1-2)J2+V2(1-2)Z2=0

令4=32-1,gx2=-V2(l-A),%=0,=(-72(1-2),0,32-1),

設(shè)平面PC。和平面NCD的夾角為0,則

cos0=Icos伍，叫==-j=~=卓,解得2=1^2=-|,

1RH2Ji

'，悶?悶6xjll儲(chǔ)-l(U+3955

13

所以在/上存在點(diǎn)N,N在線段PM上，PN=-PM,或者N在線段PM的反向延長(zhǎng)線上，PN=~PM.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線E:/=2/(p>0)與雙曲線?-：=1的一條漸近線交于O,P兩點(diǎn),

且點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為3.

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/過(guò)點(diǎn)。(4,0),且與拋物線￡交于48兩點(diǎn)(/在x軸上方，且忸。)，若V/03的面積為

1672，求的值.

【答案】(l)/=4x

⑵3+2收

【分析】(1)首先根據(jù)根據(jù)雙曲線漸近線方程求出點(diǎn)P坐標(biāo)，然后將點(diǎn)尸坐標(biāo)代入拋物線方程中求出P值,

即可求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)首先設(shè)/：3=1@-4)(后＞0),工(國(guó),必),B(x2,y2),直線方程與曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出國(guó)+%

與王馬,通過(guò)弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式表示V/08面積，得到方程求出左值.最后通過(guò)求出多與*2的值，

AQ

進(jìn)而求出言.

227

【詳解】(1)因?yàn)?-?勺的漸近線方程為尸±[|X,

又點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為3,所以尸(3,±26)，

代入y2=2px,得p=2,

所以拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=4x.

(2)因?yàn)锳在x軸上方，且|/。|＞忸0],所以/的斜率存在且大于0,

設(shè)/:萬(wàn)后（了一4）（后＞0）,A（xl,y1）,B（x2,y2）.

y2=4x

由V7/八，得左2%2一（8左2+4）%+16左2=0（*），

y=左（工-4）

顯然A＞0,貝！|%+馬=——,Xj-x2=16.

O到直線AB的距離為d=,

J1+左2

2

因?yàn)镾JOB=^AB-d=^l+k-|x,_xj陽(yáng).+—64=2|斗4噂tl

所以《,=；,又%>0,所以k=J

將4=g代入（*）,得-