2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接-直線和圓錐曲線的位置關(guān)系（九大題型）

復(fù)習(xí)材料

第16講直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

【題型歸納目錄】

題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系

題型二：橢圓的弦

題型三：橢圓的綜合問題

題型四：直線與雙曲線的位置關(guān)系

題型五：雙曲線的弦

題型六：雙曲線的綜合問題

題型七：直線與拋物線的位置關(guān)系

題型八：拋物線的弦

題型九：拋物線的綜合問題

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：直線與橢圓的位置關(guān)系

平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系

橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任

給一點(diǎn)M(x,y),

22

若點(diǎn)M(x,y)在橢圓上，則有0+2=1(a>6>0)；

ab~

22

若點(diǎn)M(x,y)在橢圓內(nèi)，貝用A+4<1(a>6>0)；

ab

Y22

若點(diǎn)M(x,仍在橢圓外，貝第節(jié)+—V〉l(a〉b>0).

ab

直線與橢圓的位置關(guān)系

22

將直線的方程y=履+6與橢圓的方程t+]=l(a>b>0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y

a"D

的一元二次方程，其判別式為4

①/>0O直線和橢圓相交=直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn))；

②/=00直線和橢圓相切<=>直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；

③/<00直線和橢圓相離=直線和橢圓無公共點(diǎn).

直線與橢圓的相交弦

22

設(shè)直線歹=履+6交橢圓鼻+A=1(a>b>0)于點(diǎn)片(西,必)，鳥(工2，%),兩點(diǎn)，則

ab

IPR1=5(再-％2)2+(弘一%了

復(fù)習(xí)材料

22

=]（再一]2）2[1+（^~~—）]=A/1+A：\xr-x2\

V-x2

同理可得146-媼（心0）

這里區(qū)-X?|,|弘-外I，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：

2

|%]-x21="（X]-x2）-4xtx2

|J1-J21=一4乂%

知識(shí)點(diǎn)三、直線與雙曲線的位置關(guān)系

直線與雙曲線的位置關(guān)系

22

將直線的方程了=丘+加與雙曲線的方程1-4=1（。>0/>0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于X

a"b~

或y的一元二次方程，其判別式為/.

6-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0

若62一力后2=0,即人=±2,直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；

a

若人2-/人2。0,即左W+—,

a

①/>0一直線和雙曲線相交=直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；

②/=0=直線和雙曲線相切=直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；

③/vo0直線和雙曲線相離=直線和雙曲線相離，無公共點(diǎn).

直線與雙曲線的相交弦

22

設(shè)直線y=Ax+冽交雙曲線、■一A=1（a>0,6>0）于點(diǎn)片（國(guó),必）兩點(diǎn)，貝U

ab

IPF?h7（%+%）2+（%-%>

222

=/（x,+X2）[1+（——-）]=yjl+k\x{-x2|

\xx-x2

同理可得|=Jg|必一短（上wo）

這里|X「X2I，I%-%I，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：

2

\xi-x2\=yj（X]+X2）-4X]》2

I71-y2tJ（必+%>-4M為

雙曲線的中點(diǎn)弦問題

遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解.

復(fù)習(xí)材料

在雙曲線j—4r=1（?！?,6>0）中，以尸（%,比）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率左=——3；

a"ba"y0

涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)

化，同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.

解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.

知識(shí)點(diǎn)四、直線與拋物線的位置關(guān)系

直線與拋物線的位置關(guān)系

將直線的方程了=點(diǎn)+機(jī)與拋物線的方程儼=2力m>0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于尤或y的一元二

次方程，其判別式為/.

ky2-2py+2pm=0

若左=0,直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點(diǎn)；

若上片0

①/>0O直線和拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；

②/=0=直線和拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；

③/<00直線和拋物線相離，無公共點(diǎn).

直線與拋物線的相交弦

..Y2

設(shè)直線了=區(qū)+加交拋物線一—=1（a>0/〉0）于點(diǎn)耳（玉,乂），8（工2，%）,兩點(diǎn)，貝！1

ab~

\PA|=J（西一々）2+（為一%）2

同理可得修心|=/七|必一8|（左H0）

這里|再-赴I，1%-%I，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：

IX,-x2|=J（X]+工2）2_4X1X2

I71-J1=J2-4%%

2（弘+y2）

拋物線的焦點(diǎn)弦問題

已知過拋物線/=2px（2〉0）的焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于/、3兩點(diǎn)。

設(shè)）（xi，乃）,5（X2,"），則:

|AB|=X]+X,+?或|48|=二^（。為Z5的傾斜角）

①焦點(diǎn)弦長(zhǎng)sina

②

復(fù)習(xí)材料

P~2

丁，y^2=-P

③②4

③&+L=2'其中MF網(wǎng)做焦半徑,川=西+￡

\FA\\FB\p2

④焦點(diǎn)弦長(zhǎng)最小值為功。根據(jù)|48|=二^-可見，當(dāng)a為工時(shí)，即N2垂直于x軸時(shí)，弦N2的長(zhǎng)

sina2

最短，最短值為“。

【典例例題】

題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系

例1.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）若直線y=x-l與橢圓/+3/=。有且只有一公共點(diǎn)，那么a的值為（）

A.；B.—C.-D.1

234

【答案】C

【解析】因?yàn)榉匠?+3/=。表示的曲線為橢圓，則。＞0,

jy=x-l

將直線%1-1的方程與橢圓的方程聯(lián)立，2。2，可得4、2_6x+3-〃=0,

[x+3y=a

貝1]八=36_4*4*（3_°）=164_12=0,解得。=彳.

故選：C.

例2.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）若直線/被圓Cd+j?=2所截的弦長(zhǎng)不小于2,貝卜與下列曲線一定有公

共點(diǎn)的是（）

,丫2

A.（x-1）+y2=iB.—+/

C.y=x2D.x2-y2=1

【答案】B

【解析】由題意，圓C：X2+J?=2的圓心為（0,0）,半徑為四.

設(shè)直線方程為ax+by+c=0,直線/到圓心（0,0）的距離為“,

由弦長(zhǎng)公式得J爐一屋所以

|q.0+b.0+d

由點(diǎn)到直線的距離公式得,J1<1^c2<a2+b2.

yla2+b2

|a-l+Z)-0+c|\a+c\

對(duì)于選項(xiàng)A,直線/到該圓圓心的距離為

yja2+b2

取b=0,q=c=l,滿足條件,而=2〉1,直線與圓沒有公共點(diǎn)，故A排除;

^a2+b2

復(fù)習(xí)材料

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)b=0時(shí)，對(duì)于直線/有x=--c1<a1,

af

?r211

聯(lián)立橢圓方程得—=所以必有公共點(diǎn)；

a22

當(dāng)6W0時(shí),聯(lián)立直線/與橢圓方程得當(dāng)+la1）x2+4acx+2c2-2b2=0,

A=_4（/+2/）Q。2一2〃）=Sb2c2+8/+16a2b2>0,

所以必有公共點(diǎn)；故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,聯(lián)立直線/與拋物線方程得法2+女+0=0,

若6=0時(shí)，貝IJQWO,有解％=—￡；

a

若bwO時(shí)，A=〃-4bc,取Q=b=c=l,貝!jA<0,方程無解，此時(shí)無公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)6=0時(shí)，對(duì)于直線/有x=~—,c2<a2,

a

聯(lián)立雙曲線方程得/==

a

取c=￡,則直線/：x=-1,與雙曲線不存在公共點(diǎn)，故D排除.

故選：B.

22

例3.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線尸6-1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C:上+七=1僅>0）總有公共點(diǎn)，則橢

圓C的離心率取值范圍是（）

【答案】D

【解析】

因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在x軸上，所以又因?yàn)?>0,所以0<6<2；

易知直線了=依-1過定點(diǎn)（。,-1）且與橢圓總有公共點(diǎn)，所以該定點(diǎn)位于橢圓內(nèi)或橢圓上,

即解之得6?21，所以應(yīng)1,綜上1劭<2,

復(fù)習(xí)材料

故選：D.

例4.（2023?上海浦東新?高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C:|^+《=l,直線

/:（加+2）x-（機(jī)+4萬+2-機(jī)=0（機(jī)eR）,則直線/與橢圓C的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【答案】A

【解析】對(duì)于直線/：（"?+2）x-（〃？+4）y+2—機(jī)=0,整理得比（%—了-1）+2（%—2>+1）=0,

fx-y-1=0fx=3

令；4n，解得

[x-2y+l=01）=2

故直線/過定點(diǎn)N（3,2）.

+=則點(diǎn)/（3,2）在橢圓C的內(nèi)部，

所以直線/與橢圓C相交.

故選：A.

22

例5.（2023?黑龍江綏化?高二海倫市第一中學(xué)?？计谥校┲本€/：辦+了-a+1=0與橢圓/+；=1的位置關(guān)

系是（）

A.相交B.相切C.相離D.相切或相交

【答案】A

【解析】方法1：

ax+y—a+l=0,即：a{x—V)+y+\-0,

.?.直線/恒過定點(diǎn)"(1,T),

22

又：橢圓二+匕=1

32

?m

32

定點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，

二直線/與橢圓相交.

方法2：

，32一(3tz2+2)x2-6a(a-l)x+3(a2-2a-1)=0

ax+y-a+l=0

復(fù)習(xí)材料

，A=36/（a-1）2-12（3/+2）（/-2a-1）=48/+48a+24=48（a+；>+12>0恒成立，

二直線/與橢圓相交.

故選：A.

題型二：橢圓的弦

22

例6.（2023?新疆烏魯木齊?高二烏市八中?？奸_學(xué)考試）過橢圓C：土+匕=1的右焦點(diǎn)且傾斜角為￡的直

623

線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為

【答案】必金屈

55

22

【解析】由橢圓C：土+匕=1,可得右焦點(diǎn)尸（2,0）.

62

設(shè)此直線與橢圓相交于點(diǎn)/（XQ1）,8（%2，%）-

直線方程為：y=V3（x-2）.

y=V3（x-2）

聯(lián)立

x2+3y2=6

可得5，_18X+15=0,

二…卷…3

:.\AB

5

故答案為:孚

r2

例7.（2023?內(nèi)蒙古包頭?高二包頭市第六中學(xué)校考期末）已知橢圓G、+/=l的左焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸且傾

斜角為3的直線/與橢圓C相交于4B兩點(diǎn)、,貝.

【答案】晅

3

22

【解析】已知橢圓G土+/=1,a=2,b=l,貝！J/=Q?一〃=2—1=1,

2

所以橢圓的左焦點(diǎn)為廠（-1,0）,

7T7T

因?yàn)橹本€/傾斜角為7,所以直線/的斜率尢=tan%=L則直線/的方程為yL

y=x+l

2

聯(lián)立x2」消去歹，整理得3工2+4%=0,

12）

復(fù)習(xí)材料

44啦

解得玉=0,X2|力同=J1+左2|X—%2|=V1+I-x0-

33

故答案為：謹(jǐn).

3

例8.（2023?上海徐匯?高二上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）/3是過橢圓1+^=1右焦點(diǎn)名的弦，則弦

2516

長(zhǎng)|/目的最小值為

32

【答案】y/6.4

【解析】由題可知，區(qū)的坐標(biāo)為（3,0）,

若直線48的斜率為零，易知|/3|=2X5=10；

若直線48的斜率不為零，設(shè)其為x=叼+3,聯(lián)立橢圓方程1+^=1,

2516

可得：（16/+25）/+96加y-256=0,顯然A>0,

設(shè)45兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（花,%）,仁,%）,

96m256

貝5+%=-，"％=一

16加2+2516m2+25

96mV256x4

xJ(必+%『―=V1+W2

則|/邳=J1+/16m2+25J16m2+25

2J1+加2m2+11

=160x7?+mx=160x=160x

16m2+2516m2+2516+二一

m+1

因?yàn)槌?。，則療+mKe(O,9],16+Ke(16,25],反心

m+1

160x-----]——e

r,10L即當(dāng)直線/B的斜率不為零時(shí),

16+^—|第ey,10

m+1

綜上所述，Mey,10,故弦長(zhǎng)的最小值為學(xué).

32

故答案為：y.

22

例9.（2023?上海金山?高二上海市金山中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓］+己~=1,斜率為1的直線/過點(diǎn)其左焦

點(diǎn)耳，且與橢圓交于A、8兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|/3=.

24

【答案】y

復(fù)習(xí)材料

【解析】橢圓方程為『上所以"必員=1,

所以片(-1,0),所以直線/的方程為y=x+l,

y=x+\

消去V并化簡(jiǎn)得7/+8X-8=0,A=64+4X7X8=288>0,

=1

88

設(shè)/(國(guó)，乂)，8(%2，%),所以西+迎=一］,7-

所以阿=行*1一］+4*；后竿

24

故答案為：y

例10.(2023?高二課時(shí)練習(xí))橢圓(+(=1的焦點(diǎn)為耳、F2,過。作直線交橢圓于43兩點(diǎn)，若

△ABF2的面積為20,則直線AB的方程為.

【答案】4x+3y=0或4x-3y=0

【解析】由直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱以及橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，48月。之△/耳。，

過點(diǎn)/作/“垂直于x軸，垂足為77,

則以因6=；?〔取訃|/"|=；xl0xM"|n|/*=4,即點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為±4,

代入橢圓方程解得N的橫坐標(biāo)為±3,

即點(diǎn)/的坐標(biāo)為(3,4)或(-3,4)或(3,-4)或(-3,-4).

因此直線AB的方程為4x+3y=0或4x-3y=0.

故答案為：4%+3歹=0或41-3丁=0

例11.(2023?廣西欽州?高二?？茧A段練習(xí))已知橢圓C：，+，=l(a>6>0)中，.=拒，離心率e=弓.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線y=x+g與橢圓C交于A、8兩點(diǎn)，求|/卻.

復(fù)習(xí)材料

【解析】（1）由題知a=/，e=--—,即a=^c，

a2

又a1=廿,解得6=c=l,

丫2

所以橢圓方程為土+/=1.

2

（2）設(shè)/（x2i）,5（%2，%），

，2_.

了+y=1

聯(lián)立直線與橢圓方程得「],

y=x+—

[2

3

整理得3/+21-5=0,

（3、21

貝iJA=4_4x3x[_5j〉0,x1+x2=,xrx2=--.

所民認(rèn)|力同二J（再一/4+（%一%>=V2X小（X]-%2）2

工也義J（X]+工2）2—4不入2=,

例12.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）橢圓。的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在工軸上，橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（0,1）且長(zhǎng)軸

長(zhǎng)為2后.

⑴求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點(diǎn)”（1,0）且斜率為1的直線/與橢圓。交于4,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)14sl.

22

【解析】⑴由題意設(shè)橢圓C的方程為]+==1（。>6>0）,

因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)（0,1）且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2啦，

所以a=y[?.,b=1,

丫2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y+/=l.

（2）由己知設(shè)直線/的方程為>=x-l,設(shè)月（西,乃）,3（無2，%）.

*

將直線y=x-i代入土+丁=1,

2

得3x2-4x=0,

4

所以石+%2=§，西工2=0，

\AB\=J1+左2J（X]+%）2-4%押2=Vl+12jf—-4x0=.

題型三：橢圓的綜合問題

復(fù)習(xí)材料

例13.(2023?河南洛陽?高二統(tǒng)考期末)已知圓S：/+/+公-20=0,點(diǎn)尸是圓S上的動(dòng)點(diǎn)，7是拋物線

V=8x的焦點(diǎn)，。為尸7的中點(diǎn)，過0作QGLPT交內(nèi)于G,設(shè)點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)過義-2,0)的直線/交曲線。于點(diǎn)M,N,若在曲線C上存在點(diǎn)，，使得四邊形即N為平行四邊形(。

為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線/的方程.

【解析】⑴圓S：x2+/+4x-20=0,即(x+2)~+/=24,

由題意得，5(-2,0),7(2,0),0G是尸T的中垂線,所以|PG|=|GT|,

所以\GS\+|G7|=|GS|+|G尸卜\PS\=2y[6>\ST\=4,

22

所以點(diǎn)G的軌跡是以S,T為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為?+方=l(a>b>0),焦距為2c(c>0),

2a=276a2=6

22

則v2c=4,得〃二2,所以曲線。的方程為土+匕=1.

62

b2=a2-c2c2=44

(2)由題意知，直線/的斜率不為0,設(shè)/：%=卯-2,"(XQJ,"(和為),設(shè)CM與交于點(diǎn)8(/0，%).

x=ty—2

聯(lián)立尤2/得(/+3)/_郁-2=0,

I62

當(dāng)A>0時(shí)，%，則％"J，="a

LID乙LI，

所以—二備一2二’

(-I?4/\

因?yàn)?是。1中點(diǎn)，所以/一，亍，

V+3r+3)

因?yàn)锳在曲線C—+^=1±,

62

所以【黑［」去］］,

62

復(fù)習(xí)材料

化筒得，廣―2?—15=0,

得〃=5或/=-3（舍），所以/=±^5，

所以直線I的方程為工=±6）；-2,

即x+45y+2=0或x-45y+2=0.

22

例14.（2023?廣西北海?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C：1+q=1（3＞力＞0）上任意一點(diǎn)夕到兩個(gè)焦點(diǎn)的距

ab

離之和為8,且離心率為

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)”（2,1）作直線/交橢圓于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)"為線段的中點(diǎn)，求直線/的方程.

【解析】（1）由橢圓的定義知，2。=8,.,.a=4,

又：橢圓的離心率e=￡=且，；.C=26，

a2

***b2=a1—c1=16-12=4,

橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+片=1.

164

（2）：/（2,1）為橢圓二+廿=1內(nèi)一點(diǎn)，.?.直線/與橢圓必交于A,8兩點(diǎn)，

164

設(shè)/（國(guó),必），當(dāng)再=工2時(shí)，不合題意，故再。入2，

國(guó)+工2二2

???^（2,1）為線段的中點(diǎn)，2，.士+/=：,

必+%7〔必+%=2

22

國(guó)%1

+-

-一1

4

16考

又,：A,B均在橢圓上，；.＜2

-%1

+-

16一1

4

兩式相減，得丘旦+上E=o,即（%+X?乂4-X?）=_（乂+/）（二一力）,

164164

復(fù)習(xí)材料

?4（?-%）二2（必一二2）.必一歹211

一5，即左”=一彳，

16-4'-王一工2乙，

；?直線/的方程為＞_1=_3@_2）,即x+2y_4=0.

22

例15.（2023?四川雅安?高二雅安中學(xué)?？计谥校┮阎獔A。：/+丁=4經(jīng)過橢圓C：2r+==1（。>6>。）

的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)/（。,4）,直線/：>=x+7”與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，且直線的斜率與直線

/N的斜率互為相反數(shù).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求加的值.

【解析】（1）由題意知：橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，

圓。：工2+/=4與工軸交點(diǎn)為（±2,0）,即為橢圓的焦點(diǎn)，

圓。：/+/=4與7軸交點(diǎn)為（0,±2）,即為橢圓的上下頂點(diǎn)，

c=2,6=2,

a1=b2+c2=8,

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（+4=1.

84

y=x+m

⑵設(shè)N（x2,y2）,由｛二廣

=i

得3x2+4mx+2m2-8=0,

4m2m2-8

則mrl再+/=—，演工2=--—

=xx+m

=x2+m

,y.-4,m-4

：.直線AM的斜率瓦=--=1+-------,

$x1

—4m—4

直線NN的斜率&T==一=1+——

x2

16（加T）二0

k[+k?=2+~-——=2+~~

22

x^x22m-82m-8

解得m=l,

故所求加的值為1.

例16.（2023?四川廣安?高二廣安二中校考期中）若橢圓￡:二+A=l,（a>6>0）過拋物線/=4y的焦點(diǎn),

ab

且與雙曲線X2-J?=l有相同的焦點(diǎn).

復(fù)習(xí)材料

(1)求橢圓E的方程；

⑵不過原點(diǎn)。的直線/：V=x+加與橢圓E交于/、8兩點(diǎn)，求V/8。面積的最大值以及此時(shí)直線/的方程.

【解析】⑴拋物線/=4了的焦點(diǎn)為(0,1),所以6=1,

因?yàn)殡p曲線尤2-J?=i的焦點(diǎn)坐標(biāo)為卜后,o),(后,0),

所以/一〃=2則片=3,

丫2

所以橢圓E的方程為土+「=1.

3

(2)設(shè)/(士,%),3(%,%)，

(x2,

、、---1-y2=1__

聯(lián)立,3可得4x2+6mx+3m2-3=0?

y=x+m

因?yàn)橹本€/：y=x+加與橢圓上交于4、B兩點(diǎn),

所以A=36m2—16(3/-3)>0解得m2<4,

由韋達(dá)定理可得再+義=-羊,天底=.：一3,

由弦長(zhǎng)公式可得N8=/竽—J",=,712-3m2,

點(diǎn)。到直線/的距離為"=9,

2

所以|=1x^x|m|x^XA/12-3m

=lx7-3(m2-2)2+12<^,

當(dāng)且僅當(dāng)》?=2即機(jī)=±也時(shí)取得等號(hào)，

所以"面積的最大值為今此時(shí)直線/的方程為"士?jī)?nèi)

22

例17.(2023?廣東廣州?高二廣東番禺中學(xué)?？计谀?已知橢圓C:三+方=1(。>6>0)的右焦點(diǎn)尸(后,0),

長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為2.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)B為橢圓C的上頂點(diǎn)，直線/：V=x+〃7(〃zWl)與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,N,若BMLBN,求

直線/的方程.

222

【解析】(1)由題意得，c=V3,：=2,a=b+c,

b

a=2,b=1,

復(fù)習(xí)材料

丫2

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4

(2)依題意，知8(0,1),設(shè)N(%2，%).

,fy=x+m

聯(lián)乂{2A2/消去兒可得5%2+8加X+4加2-4=0.

[x+4/=4

，A=16(5—加之)〉o,gp_^/5<m<V5,加W1,

-8m4m2-4

玉+%2=，/工2=---------?

2

BM-BN=,Xj+m-1)-(x2,x2+m-l)=2xxx2+x2)+(m-1)=0,

...2*±^+(加一1)產(chǎn)+(加7)2=0,

整理，得5m2-2m-3=0,

3

解得加=一1或加=1(舍去).

3

??.直線/的方程為尸x-：

22

例18.(2023?江蘇南京?高二?？茧A段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xQy中，橢圓E：5+冬=1(。>6>0)的左

ab

頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3,離心率為g.

(1)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)斜率為0的直線/經(jīng)過橢圓￡的右焦點(diǎn)，且與橢圓E相交于A,5兩點(diǎn).已知點(diǎn)尸(-3,0),求百.而的

值.

【解析】⑴因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3,所以a+c=3.

又橢圓的離心率是：，所以￡=:,解得。=2,c=l,從而62=/一,2=3.

2a2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程二+二=1.

43

(2)因?yàn)橹本€/的斜率為血,且過右焦點(diǎn)(1,0),所以直線/的方程為了=板?-1).

y=V2(x-l)

聯(lián)立直線/的方程與橢圓方程尤22,

—+—=1

I43

消去丁，得152_16、_4=0,其中△=162+16xll>0.

設(shè)4(石,弘)，2(工2,%)，則玉+%=TT，石%2=~TT.

復(fù)習(xí)材料

因?yàn)槭ㄒ?,0）,所以尸/?必=（石+3,%）?（x2+3,%）=（再+3）（X2+3）+%%

=（再+3）+3）+2（再—1）（工2-

=3再12+（再+12）+11

_125

-7F,

因此莎.麗的值是胃125.

題型四：直線與雙曲線的位置關(guān)系

例19.（2023?黑龍江哈爾濱?高二哈九中?？计谀┮阎本€>二區(qū)-1與雙曲線——/=1沒有公共點(diǎn)，則左

的取值范圍是（）

00

A.（―°°,—1）^（1,+）B.（—1,1）C.卜8,-V^）U（V^,+°°）D.^-A/2,V2j

【答案】C

【解析】聯(lián)立消去7得（1-/）/+2b-2=0,

當(dāng)1-r=0時(shí)，方程有解，即直線y=依-1與雙曲線/-/=1有公共點(diǎn)；

當(dāng)1-公片0時(shí)，A=4A:2+8（1-^2）<0,解得發(fā)〈一行或左>0.

故選：C.

22

例20.（2023?山東聊城?高二?？计谀┲本€>=2x+3與雙曲線C:"g=l（a>0,b>0）相交，有且只有1個(gè)

交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）

A.A/5B.2C.且D.4

2

【答案】A

22

【解析】因?yàn)橹本€y=2x+3與雙曲線c：企一方=1（。>0,6>0）相交，且有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，

22L.

所以直線y=2x+3與雙曲線c：一方=15>0/>0）的漸近線了=￡工平行，

故，=2,則雙曲線C的離心率6=j+=JL

故選：A

例21.（2023?湖北?高二統(tǒng)考期末）曲線3+?=1與直線：+]=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

復(fù)習(xí)材料

【解析】當(dāng)了20時(shí)，曲線片+初=1的方程為江+仁=1,表示橢圓的上半部分（含與x軸的交點(diǎn)），此

169169

時(shí)曲線與:+1=1的交點(diǎn)為（0,3）,（4,0）,

當(dāng)><0時(shí)，曲線片+5=1的方程為表示雙曲線在x軸下方的部分,

169169

22

其一條漸近線方程為：：+1=0,故直線：+1=1與2-q=1（><0）無交點(diǎn)，

曲線山=1與直線9+5=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

16943

故選：B

22

例22.（2023?河南信陽?高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)尸（U）作直線/與雙曲線5-5=1交于點(diǎn)/,B,若尸恰為

的中點(diǎn)，則直線/的條數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.不能確定

【答案】A

V￡1

【解析】設(shè)直線/：y-l=k（x-l）,由24,

y-l=k（^x-l^

得（2—左—2A:（1—k）x—（1—k）2—4=0,（X）

設(shè)工（西,必），B（x2,y2）,則&+乙=2,；3由三三=i,即"不2=1,得k=2,此時(shí)，?。┦綖?/p>

2-K22-K

2X2-4X+5=0,由于A=（-4）2-4X2X5<0,所以直線/與雙曲線無公共點(diǎn)，這樣的直線不存在.

故選：A

例23.（2023?安徽合肥?高二?？计谀┲本€/：了=左（》-2）與雙曲線C：無2一/=2的左、右兩支各有一個(gè)交

點(diǎn)，則上的取值范圍為（）

A.k<-l^k>lB.-l<k<l

C.—72<k<-\/2D.—1<Ar<1

【答案】D

fy=k（x~2）

【解析】聯(lián)立j：2_；=2，消V得，（l-F）/+4Fx-正一2=0.

因?yàn)橹本€/與雙曲線C的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，

所以方程（1-公濡+4公》-4〃-2=0有一正一負(fù)根，

I-r片0

所以一4/一2，整理得解得一1〈人<1.

--------7~<0

復(fù)習(xí)材料

所以左的取值范圍為T（左<1.

故選：D.

例24.（2023?四川宜賓?高二?？茧A段練習(xí)）若直線，：x+叼-加-2=0與曲線三一/=1有且只有一個(gè)交點(diǎn),

4'

則滿足條件的直線/有（）

A.4條B.3條C.2條D.1條

【答案】C

［解析】直線/：x+叼一加一2=0,即m（y_l）+x_2=0恒過點(diǎn)（2,1）,

又雙曲線的漸近線方程為y=±；x,

則點(diǎn)（2,1）在其中一條漸近線y=gx上，

又直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，

則直線/過點(diǎn)（2,1）且平行于y=或過點(diǎn)（2,1）且與雙曲線的右支相切，

即滿足條件的直線/有2條.

故選：C

題型五：雙曲線的弦

22

例25.（2023?四川樂山?高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線=-匕=1（°>0）的左焦點(diǎn)為片（TO）,過點(diǎn)耳作傾斜角

a6

為150。的直線交雙曲線于48兩點(diǎn).

⑴求。的值；

⑵求|明.

【解析】⑴???耳（-3,0）,,/+6=9,解得"土百，

■.-a>0,;.a=^3-

（2）設(shè)直線方程為尸一當(dāng)卜+3）,

（22

工上=1

聯(lián)立方程<36,整理得5X2-6X-27=0.

J=--^（x+3）

例26.（2023?四川遂寧?高二射洪中學(xué)校考期中）已知雙曲線的焦點(diǎn)為片（TO）,與（3,0）,且該雙曲線過點(diǎn)

P（2,-2俑.

復(fù)習(xí)材料

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過左焦點(diǎn)耳作斜率為2n的弦AB，求的長(zhǎng);

⑶求Vg/3的周長(zhǎng).

2