【學霸滿分】2023-2024學年九年級數(shù)學下冊重難點專題提優(yōu)訓練（北師大版）專題08 二次函數(shù)的應用之六大考點(原卷版)

專題08二次函數(shù)的應用之六大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用二次函數(shù)解決拱橋問題】 1【考點二利用二次函數(shù)解決銷售問題】 9【考點三利用二次函數(shù)解決投球問題】 18【考點四利用二次函數(shù)解決噴水問題】 26【考點五利用二次函數(shù)解決圖形問題】 34【考點六利用二次函數(shù)解決圖形運動問題】 40【典型例題】【考點一利用二次函數(shù)解決拱橋問題】例題：如圖所示的是一座古橋，橋拱為拋物線型，橋的跨徑為，此時水位在處，在水面以上的橋墩都為，橋拱最高點P離水面．以所在的直線為x軸、所在的直線為y軸建立平面直角坐標系．

(1)求此橋拱所在拋物線的表達式．(2)當水位上漲時，若有一艘船在水面以上部分高，寬，問此船能否通過橋洞？請說明理由．【變式訓練】1．如圖．有一座拋物線形拱橋．在正常水位時橋下水面的寬度為．這時拱高(點到的距離)為．

(1)你能求出在圖()的坐標系中．拋物線的函數(shù)表達式嗎？(2)如果將直角坐標系建成如圖()所示，拋物線的形狀、表達式有變化嗎？請求出()中的解析式．2．圖1所示是一座古橋，橋拱截面為拋物線，如圖2，，是橋墩，橋的跨徑為，此時水位在處，橋拱最高點離水面，在水面以上的橋墩，都為．以所在的直線為軸、所在的直線為軸建立平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為，其中是橋拱截面上一點距橋墩的水平距離，是橋拱截面上一點距水面的距離．

(1)求此橋拱截面所在拋物線的表達式；(2)若橋拱最高點離水面為警戒水位，求警戒水位處水面的寬度．(3)有一艘游船，其左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，此船正對著橋洞在河中航行．當水位上漲時，水面到棚頂?shù)母叨葹椋陉柵飳?，問此船能否通過橋洞？請說明理由．3．懸索橋是特大跨徑橋梁的主要形式之一，它是以通過橋塔懸掛并錨固于兩岸（或橋兩端）的纜索（或鋼鏈）作為上部結構主要承重構件的橋梁，纜索可以近似的看作一條拋物線．如圖1是某懸索橋單側結構圖紙．按照設計，需從纜索垂下49個吊桿，把橋面吊住，這些吊桿等距離的分布在兩個橋塔之間．為了求出吊桿的長度，小明以懸索橋單側結構圖紙的“橋面”為x軸，以主橋中心線為y軸，建立了如圖2所示的坐標系．設纜索形成的拋物線頂點為G，纜索的兩個端點A和D分別固定在橋塔、上，根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)，得圖2中，，．(1)求出拋物線的解析式；(2)求橋塔向左數(shù)第5個吊桿的長度是多少米．4．如圖1所示的是山西晉城景德橋，是繼趙州橋之后我國現(xiàn)存歷史悠久的古代珍貴橋梁之一．橋拱截面可以看作拋物線的一部分（如圖2），在某一時刻，橋拱內的水面寬約20米，橋拱頂點B到水面的距離為4米．(1)如圖2，以該時刻水面為x軸，橋拱與水面的一個交點為原點建立直角坐標系，求橋拱部分拋物線的解析式．(2)直接寫出在距離水面2米處的橋拱寬度為______米．(3)現(xiàn)有兩寬為4米，高3米的小舟，相向而行，恰好同時接近拱橋，問兩小舟能否同時從橋下穿過，并說明理由．5．如圖（1）所示，濮陽濕地公園中，金堤河大橋是一座非常有藝術性造型的大橋．橋身是由兩條拋物線鋼架建造．如圖（2）所示，兩條拋物線有共同的對稱軸，已知，過原點，兩拋物線最高點的距離為．

(1)求拋物線的解析式；(2)①求主橋長為多少米？②過點與軸平行的直線為河面的水平線，，若要在與水面的交點、處建造兩個橋墩，其中一個橋墩到岸邊（軸）的距離是多少米？（說明：題中個單位長為米）【考點二利用二次函數(shù)解決銷售問題】例題：某商場以元/千克的價格購進一批產(chǎn)品進行銷售，經(jīng)過市場調查，日銷售量（千克）是銷售價格（元/千克）的一次函數(shù)，部分數(shù)據(jù)如表：銷售價格x（元/千克）日銷售量（千克）(1)請求出與之間的函數(shù)表達式．(2)求日銷售利潤為元時的銷售價格．(3)若商場每售出千克產(chǎn)品需另行支出元的人工費用，求商場日獲利潤的最大值．【變式訓練】1．小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)，每月銷售的數(shù)量y（件）是售價x（元/件）的一次函數(shù)，其對應關系如表：x/（元/件）22253035…y/件280250200150…在銷售過程中銷售單價不低于成本價，物價局規(guī)定每件商品的利潤不得高于成本價的，(1)請求出y關于x的函數(shù)關系式．(2)設小明每月獲得利潤為w（元），求售價定為多少元/件時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是多少？2．第十四屆中國長江三峽國際旅游節(jié)于2023年9月16日在宜昌開幕，長江的微笑精靈－江豚是宜昌生態(tài)文明的“形象代言人”，此次旅游節(jié)吉祥物“豚寶”（如圖1）成為了大眾喜愛的、帶得走的文創(chuàng)產(chǎn)品．某商店銷售“豚寶”的公仔毛線玩具，進價為30元/件，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)：該商品的月銷售量（件）與銷售價（元/件）之間的關系如圖2所示．(1)求關于的函數(shù)表達式；(2)由于某種原因，該商品進價提高了元/件，物價部門規(guī)定該玩具售價不得超過40元/件，該商品在今后的銷售中，月銷售量與銷售價仍然滿足（1）中的函數(shù)關系，若該商品的月銷售最大利潤是2400元，求的值．3．某專賣店專營某產(chǎn)品，根據(jù)總部要求市場銷售單價在25元到45元之間．專賣店在銷售該產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)：銷售該產(chǎn)品的成本（單位：元）與銷售件數(shù)（單位：件）成正比例．同時每天的銷售件數(shù)與銷售價格（單位：元件）之間滿足一次函數(shù)關系．如表記錄了該專賣店某4天銷售產(chǎn)品的一些數(shù)據(jù)．銷售價格（單位：元件）25303238銷售件數(shù)（單位：件）35302822銷售成本（單位：元）210180168132(1)直接寫出與之間的函數(shù)關系式；(2)若一天的銷售利潤為，當銷售價格為多少時，最大？最大值是多少？(3)該專賣店以每件返現(xiàn)元的辦法促銷，發(fā)現(xiàn)在銷售規(guī)律不變的情況下，當元件時，一天可獲得的利潤為600元，求的值．4．第十九屆亞運會在杭州隆重舉辦，政府鼓勵全民加強體育鍛煉，李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件50元的乒乓球拍．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數(shù)：．(1)設月利潤為W（元），求W關于x的函數(shù)表達式．(2)銷售單價定為每件多少元時，所得月利潤最大？最大月利潤為多少元？(3)若物價部門規(guī)定這種乒乓球拍的銷售單價不得超過75元，李明想使獲得的月利潤不低于3000元，求銷售單價x的取值范圍．5．某汽車店銷售A，兩種型號的轎車，具體信息如下表：每輛進價（萬元）每輛售價（萬元）每季度銷量（輛）AB（注：廠家要求店每季度型轎車的銷量是A型轎車銷量的2倍．）根據(jù)以上信息解答下列問題：(1)用含的代數(shù)式表示；(2)今年第三季度該店銷售A，兩種型號轎車的利潤恰好相同（利潤不為0），試求的值；(3)該店第四季度銷售這兩種轎車能否獲得萬元的利潤？若能，求出；若不能，請說明理由．6.（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）某超市以30元/千克的價格收購一批農產(chǎn)品進行銷售，為了得到日銷售量（千克）與銷售價格（元/千克）之間的關系、經(jīng)過市場調查獲得部分數(shù)據(jù)如下表：銷售價格（元/千克）3035404550日銷售量（千克）604530150(1)請直接寫出與之間的函數(shù)關系式______；(2)超市應該如何確定這批農產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？(3)超市每銷售1千克這種農產(chǎn)品需支出元（）的相關費用，當時，農經(jīng)公司的日獲利的最大值為243元，求的值．【考點三利用二次函數(shù)解決投球問題】例題：（2023春·山東東營·八年級東營市實驗中學?？计谥校S實心球是中考體育考試項目之一．如圖1是一名男生擲實心球情境，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度與水平距離之間的函數(shù)關系如圖2所示．擲出時，起點處高度為．當水平距離為時，實心球行進至最高點處．

(1)求y關于x的函數(shù)表達式；(2)根據(jù)中考體育考試評分標準（男生版），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于時，即可得滿分10分．該男生在此項考試中能否得滿分，請說明理由．【變式訓練】1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）小紅為了研究拋出的彈跳球落在斜面上反彈后的距離．如圖，用計算機編程模擬顯示，當彈跳球以某種特定的角度和初速度從坐標為的點處拋出后，彈跳球的運動軌跡是拋物線，其最高點的坐標為．彈跳球落到傾斜角為的斜面上反彈后，彈跳球的運動軌跡是拋物線，且開口大小和方向均不變，但最大高度只是拋物線的．

(1)求拋物線的解析式；(2)若斜面被坐標平面截得的截圖與軸的交點的坐標為，求拋物線的對稱軸．2．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學借此情境編制了一道數(shù)學題，請解答這道題．如圖，在平面直角坐標系中，一個單位長度代表1m長．嘉嘉在點處將沙包（看成點）拋出，并運動路線為拋物線的一部分，淇淇恰在點處接住，然后跳起將沙包回傳，其運動路線為拋物線的一部分．

(1)寫出的最高點坐標，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x軸上方的高度上，且到點A水平距離不超過的范圍內可以接到沙包，求符合條件的n的整數(shù)值．3．（2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數(shù)據(jù)：水平距離x/豎直高度y/(1)在平面直角坐標系中，描出表格中各組數(shù)值所對應的點，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；

(2)①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是__________，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________；②求滿足條件的拋物線解析式；(3)技術分析：如果只上下調整擊球高度，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓練．如圖②．乒乓球臺長為274，球網(wǎng)高為15.25．現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球離度的值約為1.27．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．4．（2023·河南信陽·?？既＃嵭那蚴侵锌俭w育項目之一．在擲實心球時，實心球被擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分，已知小軍在一次擲實心球訓練中，第一次投擲時出手點距地面1.8m，實心球運動至最高點時距地面3.4m，距出手點的水平距離為4m．設實心球擲出后距地面的豎直高度為y（m），實心球距出手點的水平距離為x（m）．如圖，以水平方向為x軸，出手點所在豎直方向為y軸建立平面直角坐標系．

(1)求第一次擲實心球時運動路線所在拋物線的表達式．(2)若實心球投擲成績（即出手點與著陸點的水平距離）達到12.4m為滿分，請判斷小軍第一次投擲實心球能否得滿分．(3)第二次投擲時，實心球運動的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關系．記小軍第一次投擲時出手點與著陸點的水平距離為，第二次投擲時出手點與著陸點的水平距離為，則______（填“＞”“＜”“＝”）．【考點四利用二次函數(shù)解決噴水問題】例題：（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學校聯(lián)考模擬預測）某公司為城市廣場上一雕塑安裝噴水裝置．噴水口位于雕塑的頂端點B處，距離地面，噴出的水柱軌跡呈拋物線型．據(jù)此建立如圖的平面直角坐標系．若噴出的水柱軌跡上，任意一點與支柱的水平距離x（單位：）與廣場地面的垂直高度為y（單位：）滿足關系式，且點在拋物線上

(1)求該拋物線的表達式；(2)求水柱落地點與雕塑的水平距離；(3)為實現(xiàn)動態(tài)噴水效果，廣場管理處決定對噴水設施做如下設計改進：新噴水軌跡形成的拋物線形為，把水柱噴水的半徑（動態(tài)噴水時，點C到的距離）控制在7到14之間，請?zhí)骄扛慕ê髧娝厮淖畲蟾叨取咀兪接柧殹?．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）一名運動員在高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面的高度與離起跳點A的水平距離之間的函數(shù)關系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為時離水面的距離為．

(1)求y關于x的函數(shù)表達式；(2)求運動員從起跳點到入水點的水平距離的長．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米如圖，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為米，高出噴水口米，灌溉車到綠化帶的距離為米．(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；(2)求下邊緣拋物線與軸交點的坐標；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求的取值范圍．3．（2023·江西撫州·校聯(lián)考三模）如圖①，有一移動灌溉裝置噴出水柱的路徑可近似地看作一條拋物線，該灌溉裝置的噴水頭到水平地面的距離為1米，噴出的拋物線形水柱對稱軸為直線．用該灌溉裝置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（單位：米）與水柱落地處距離噴水頭的距離x（單位：米）之間的函數(shù)關系式為，其圖像如圖②所示．已知坡地所在直線經(jīng)過點．

(1)的值為______；(2)若，求水柱與坡面之間的最大鉛直高度；(3)若點B橫坐標為18，水柱能超過點B，則a的取值范圍為______；(4)若時，到噴水頭水平距離為16米的A處有一棵新種的銀杏樹需要被灌溉，園藝工人將灌溉裝置水平向后移動4米，試判斷灌溉裝置能否灌溉到這棵樹，并說明理由．【考點五利用二次函數(shù)解決圖形問題】例題：（2023·全國·九年級專題練習）2023年南寧市公共資源交易中心明確提出將五象站鐵路樞紐接入地鐵4號線．目前4號線剩余的東段（五象火車站-龍崗站）已經(jīng)在建設中，施工方?jīng)Q定對終點站龍崗站施工區(qū)域中的一條特殊路段進行圍擋施工，先沿著路邊砌了一堵長的磚墻，然后打算用長的鐵皮圍欄靠著墻圍成中間隔有一道鐵皮圍欄（平行于）的長方形施工區(qū)域．

(1)設施工區(qū)域的一邊為，施工區(qū)域的面積為．請求出S與x的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)當圍成的施工區(qū)域面積為時，的長是多少？(3)該特殊路段圍擋區(qū)域的施工成本為400元/，項目方打算撥款120000元用于施工，請你通過計算判斷項目方的撥款能否夠用．【變式訓練】1．（2023春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）某景區(qū)要建一個游樂場（如圖所示），其中分別靠現(xiàn)有墻（墻長為27米，墻足夠長），其余用籬笆圍成．籬笆將游樂場隔成等腰直角和長方形兩部分，并在三處各留2米寬的大門．已知籬笆總長為54米．設的長為x米．(1)則的長為米（用含x的代數(shù)式表達）；(2)當多長時，游樂場的面積為320平方米？(3)直接寫出當為多少米時，游樂場的面積達到最大，最大值為多少平方米？2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構成，其中，，取中點O，過點O作線段的垂直平分線交拋物線于點E，若以