2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：圖形的旋轉(zhuǎn)（31題）解析版

專題26圖形的旋轉(zhuǎn)（31題）

一、單選題

1.（2024.山東.中考真題）用一個平面截正方體，可以得到以下截面圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心

對稱圖形的是（）

【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正

方形、長方形等等.常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.根據(jù)中心對稱

圖形與軸對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可.把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來

的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互

相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

【詳解】解：A.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意.

故選：D.

2.（2024.廣東深圳?中考真題）下列用七巧板拼成的圖案中，為中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的識別.在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋

轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【詳解】解：選項A、B、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，

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所以不是中心對稱圖形，

選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，

故選：C.

3.（2024.四川成都.中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點尸（1,-4）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（）

A.（-1,-4）B.（—1,4）C.（1,4）D.（1,-4）

【答案】B

【分析】本題考查了求關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo).關(guān)于原點對稱的兩點，則其橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由

點關(guān)于原點對稱的坐標(biāo)特征即可求得對稱點的坐標(biāo).

【詳解】解:點-4）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（T,4）；

故選：B.

4.（2024.吉林?中考真題）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-4,0）,點C的坐標(biāo)為（0,2）.以Q4,OC

為邊作矩形。4BC,若將矩形。鉆C繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形OAB'C',則點8'的坐標(biāo)為（）

?>-

Af--產(chǎn)

彳----C

AOCfx

A.（T-2）B.（T,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到OA=4,OC=2,再

由矩形的性質(zhì)可得AB=OC=2,ZABC=90°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。A，=Q4=4,AB'=AB=2,

ZOAB'=90°,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：???點A的坐標(biāo)為（T,0）,點C的坐標(biāo)為（0,2）,

OA=4,OC=2,

?..四邊形。4BC是矩形，

AAB=OC=2,NABC=90°,

:將矩形。"C繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形OAB'C',

OA!=OA=4,AB'=AB=2,ZOAB'=90°,

：.A?。軸，

???點右的坐標(biāo)為（2,4）,

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故選：c.

5.（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點尸（1,2）關(guān)于原點的對稱點p的坐標(biāo)是（）

A.(1,2)B.C.(1,-2)D.(-1,-2)

【答案】D

【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都變?yōu)橄喾磾?shù)，即可得答案.

【詳解】???點尸（1,2）關(guān)于原點的對稱點為P,

/.P的坐標(biāo)為（-1,-2）,

故選D.

【點睛】本題考查關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，其坐標(biāo)特征為：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都變?yōu)橄喾磾?shù).

6.（2024?四川自貢?中考真題）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在他所著《勾股圓方圖注》中，運(yùn)用弦圖（如圖所示）

巧妙地證明了勾股定理.“趙爽弦圖”曾作為2002年第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽圖案.下列關(guān)于“趙爽弦

圖”說法正確的是（）

B.是中心對稱圖形

C.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形D.既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形

【答案】B

【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義、中心對稱圖形的定義；平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線

兩旁的部分能夠完全重合的圖形，這個圖形就叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。,

如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，即可作答.

是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形

7.（2024.四川內(nèi)江?中考真題）2024年6月5日，是二十四節(jié)氣的芒種，二十四節(jié)氣是中國勞動人民獨創(chuàng)

的文化遺產(chǎn)，能反映季節(jié)的變化，指導(dǎo)農(nóng)事活動.下面四副圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”,

其中是中心對稱圖形的是（）

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【答案】D

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的

圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可.本題主要考

查了中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形的定義.

【詳解】解：A.不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；

B.不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；

C.不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；

D.是中心對稱圖形，故D選項合題意；

故選：D.

8.（2024.四川涼山.中考真題）點P（。,-3）關(guān)于原點對稱的點是P（2,6）,則a+b的值是（）

A.1B.-1C.-5D.5

【答案】A

【分析】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征，代數(shù)式求值，根據(jù)關(guān)于原點對稱的點，橫縱坐標(biāo)互為

相反數(shù)可得。=-2,b=3,再代入代數(shù)式計算即可求解，掌握關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???點關(guān)于原點對稱的點是P'（2,6）,

a=-2,b=3,

??a+b=-2+3=1,

故選：A.

9.（2024.山東煙臺.中考真題）下圖是由8個大小相同的小正方體組成的幾何體，若從標(biāo)號為①②③④的

小正方體中取走一個，使新幾何體的左視圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則應(yīng)取走（）

【答案】A

【分析】本題考查幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的畫法是解題的關(guān)鍵.分別畫出各選項得出的左視圖,

再判斷即可.

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【詳解】

,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,故選項A符合題意;

,既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形,故選項B不符合題意;

,既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形,故選項C不符合題意;

,既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形,故選項D不符合題意;

10.（2024?廣東廣州?中考真題）下列圖案中，點。為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影

部分的兩個三角形關(guān)于點。對稱的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了圖形關(guān)于某點對稱，掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.根據(jù)對應(yīng)點連線是否過點

。判斷即可.

【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個三角形關(guān)于點。對稱的是C,

故選：C.

11.（2024?天津?中考真題）如圖，“ABC中，ZB=30,將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到DEC,點4產(chǎn)

的對應(yīng)點分別為RE,延長54交DE于點尸，下列結(jié)論一定正確的是（）

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8

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

【答案】D

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關(guān)性

質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得NBCE=NACD=60。，結(jié)合N8=30,即可得證3尸，CE,再根

據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明兩直線平行，來分析AC〃DE不一定成立；根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運(yùn)算或線段的運(yùn)算

得出A和C選項是錯誤的.

【詳解】解：記所與CE相交于一點〃，如圖所示：

,/ABC中，將.ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到DEC,

：.NBCE=ZACD=60°

"?ZB=30°

.,.在BHC中,ZBHC=180°-ZBCE-ZB=90°

BFLCE

故D選項是正確的，符合題意；

設(shè)NAC"=x。

ZACB=60?！獂°,

ZB=30°

：.ZEDC=ABAC=180°-30°-（60。-x。）=90°+x°

Z.Z.EDC+ZACD=90°+x°+60°=150。+x°

?.?尤。不一定等于30。

/EDC+NACD不一定等于180。

AC〃DE1不一定成立，

故B選項不正確，不符合題意；

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VZACB=60°-x°,ZACD=60°,x。不一定等于0。

Z.NACB=/ACD不一定成立，

故A選項不正確，不符合題意；

,/將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到,DEC,

：.AB=ED=EF+FD

：.BA>EF

故C選項不正確，不符合題意；

故選：D

12.（2024?湖北.中考真題）平面坐標(biāo)系無Oy中，點A的坐標(biāo)為（-4,6）,將線段繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。,

C.(-4,-6)D.(-6,T)

【答案】B

【分析】本題考查坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn).過點A和點A分別作x軸的垂線，證明AC?-Q4'C（AAS）,得到

AC=OB=4,OC=AB=6,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：過點A和點A，分別作x軸的垂線，垂足分別為BC,

丁點A的坐標(biāo)為（Y,6）,

.?.03=4,AB=6,

V將線段0A繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到OA,

AOA=OA,ZAOAr=90°,

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ZAOB=90°-ZA!OC=NCM'C,

..AOB^Q4'C(AAS),

AC=OB=4,OC=AB=6,

...點A，的坐標(biāo)為（6,4）,

故選：B.

13.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）如圖，.ASC中，AB=BC=1,ZC=72°.將ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)

得到△AB'C',點"與點B是對應(yīng)點，點C'與點C是對應(yīng)點.若點C'恰好落在8C邊上，下列結(jié)論：①

[AZ?RR

點8在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是二許②3幺〃BC；③=④瓦=詼.其中正確的結(jié)論是（）

C.①③④D.②④

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得各角的度數(shù)，再逐一判斷各項，即可求解.

【詳解】解：：AB=3C,ZC=72°,

:.NBAC=NC=72。，ZABC=180°-2ZC=36°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ZABC=ZABC=36°,ZB'AC=ABAC=72°,ZAC'B'=NC=72°,ZAC'B'=ZADC=72°,

AC=AC,

：.ZAC'C=/C=72°,

ZCAC=36°,

：.NC4c'=NB4C'=36°,

ZB'AB=72°—36°=36°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB'=AB,

ZABB'=ZAB'B=1(180°-36°)=72°,

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B'A

①點3在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是%二=，萬；①說法正確;

lol)5

②..?4'AB=/ABC=36°,AB'A//BC；②說法正確；

③,/ZDC'B=180°-2x72°=36°,

ZDC'B=ZABC=36°,

:.BD=C'D；③說法正確；

④,/ZBB'D=ZABC=36°，ZB'BD=ABAC=72°,

公B'B*ABAC,

.ABB'B

1?777="777??④說法正確;

ACDL)

綜上，①②③④都是正確的,

故選：A.

14.(2024.四川內(nèi)江?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，垂足為點B,將二ABO繞點A逆

時針旋轉(zhuǎn)到VAB"的位置，使點B的對應(yīng)點區(qū)落在直線y=-夕上，再將VAB。繞點Bt逆時針旋轉(zhuǎn)到

4

4瓦。2的位置，使點。I的對應(yīng)點Q也落在直線y=上，如此下去，……，若點B的坐標(biāo)為(0,3),則

點員7的坐標(biāo)為().

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

【答案】C

【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識點.找出點的坐標(biāo)規(guī)律以

及旋轉(zhuǎn)過程中線段長度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

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通過求出點A的坐標(biāo)，AB.0A,。8的長度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點逐步推導(dǎo)出后續(xù)點的位置和坐標(biāo)，然后

結(jié)合圖形求解即可.

【詳解】A8J_y軸，點8的坐標(biāo)為(0,3),

3

OB=3,則點A的縱坐標(biāo)為3,代入y=

4

得：x=T,則點A的坐標(biāo)為(-4,3).

.103=3,AB=4,

OA="+42=5,

由旋轉(zhuǎn)可知，OB=0禺=O2B2=...=3,OA=A=02A=…=5,AB=AB{=AlBi=4與=…=4,

OB】=OA+AB[=4+5=9,用用=3+4+5=12,

/.=B3B5==B35B37=12,

（37-1）

OB37=04=9+'2'x12=225.

設(shè)點島的坐標(biāo)為］。，-j。），

貝IJOB?1=卜+a）=225，

3

解得a=-180或180（舍去），則--。=135,

4

??.點用7的坐標(biāo)為（-180,135）.

故選C.

15.（2024?北京?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,。為對角線的交點.將菱形ABC。繞點。

逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到菱形AB'C'D,兩個菱形的公共點為E,F,G,對八邊形即B'GE歸D'E給出下面

四個結(jié)論：

①該八邊形各邊長都相等；

②該八邊形各內(nèi)角都相等；

③點0到該八邊形各頂點的距離都相等；

④點。到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

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A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【分析】根據(jù)菱形ABCD,ABAD=60°,則NBAO=ZDAO=30°,ZAOD=ZAOB=90°,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)得到點4,。,3',。'一定在對角線4。,50上，且。D=00=05=08',=Q4'=OC=OC',繼而得到

AD'=CD,ZD'AH=ZDC'H=30°,結(jié)合ZD'HA=ZDHC,繼而得到‘AD'H^C'DH,可證DH=DH,

C'H=AH,同理可證?！?8￡',跳7=3'￡3'3=。6,證ABE=C'DH,繼而得到￡>”=5E,得到

DH=BE=D'H=IyE=BF=FB'=B'G=DG,可以判定該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據(jù)角的平

分線的性質(zhì)定理，得點0到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，可以判定④正確；根據(jù)題意，得

NEDH=120。,結(jié)合/。'0￡>=90。，ZOIyH=ZODH=60°,得到NO'HD=150。，可判定②該八邊形各

內(nèi)角不相等；判定②錯誤，證D'OH^tDOH,進(jìn)一步可得ODwOH,可判定點。到該八邊形各頂點的

距離都相等錯誤即③錯誤，解答即可.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)，角的平分線性質(zhì)定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】向兩方分別延長80,連接的，

根據(jù)菱形ABC。，ZBAD=60°,則NB4O=ND4O=30。，ZAOD=ZAOB=90°,

菱形ABCD繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到菱形ABCD,

.?.點A',D',8',C'一定在對角線AC,B￡>上，S.OD=OD'=OB=OB',OA=OA=OC=OC,

：.AD'CD,ZD'AH=Z.DCH=30°,

'：ZD'HA=ZDHC,

.AD'H^CDH,

：.DH=DH,C'H=AH,同理可證。'石=323尸=3'尸,3'6=。6,

ZEA'B=NHC'D=30°,A!B=CD,ZA'BE=ZC'DH=120。，

A'BE，CDH,

：.DH=BE,

DH=BE=D'H=D'E=BF=FB'=B'G=DG,

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該八邊形各邊長都相等，

故①正確；

根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點。到該八邊形各邊所在直線的距離都相等,

???④正確；

根據(jù)題意，得NED'H=120。,

ZD'OD=90°,NODH=ZODH=60°,

ZD'HD=150°,

該八邊形各內(nèi)角不相等；

②錯誤，

根據(jù)OD=OD',D'H=DH,OH=OH,

：.D'OH^DOH,

AD'HO=ZDHO=75°,

???ZODH=60°,

故ODwOH,

點。到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤

.?.③錯誤，

故選B.

二、填空題

16.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,tanN8AC=：,BC=2,AD=1,

線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點2為（7。的中點，則的最大值是

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【答案】272+1

【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出BP取最大值時B、

P、M三點的位置關(guān)系.

取AC的中點跖連接PM、BM,利用解三角形求出=20，利用三角形中位線定理

推出=當(dāng)AD在AC下方時，如果8、P、M三點共線，則BP有最大值.

22

【詳解】解：取AC的中點連接PM、BM.

'：ZACB^90°,tanZ.BAC=—,BC-2,

2

=2」=4,

AC=———

tanABAC2

AM=CM=-AC=2,

2

?*-BM=VA/C2+BC2=722+22=2夜，

：尸、M分別是CD、AC的中點,

PM=-AD=-

22

如圖，當(dāng)在AC下方時，如果8、P、M三點共線，則有最大值,

故答案為：2A/2+—.

17.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，直線y=2x+2與x軸、y軸分別相交于點A,B,將AO3繞點A

逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到ACD,則點。的坐標(biāo)為.

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【答案】（-3,1）

【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等，延長DC交y軸

于點E,先求出點A和點8的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明四邊形Q4CE是正方形，進(jìn)而求出。E和0E的

長度即可求解.

【詳解】解：如圖，延長DC交y軸于點E,

y=2x+2中，令x=0,貝l]y=2,令y=2x+2=0,解得％=-1,

A(-1,O),8(0,2),

OA=1,OB=2,

A03繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到ACD,

ZACD=ZAOB=ZOAC=90°,OA=OC=1,OB=CD=2,

四邊形Q4CE是正方形.

CE=OE=OA=1,

：.DE=CD+CE=2+1=3,

..?點。的坐標(biāo)為（-3,1）.

故答案為：（-3,1）.

18.（2024?吉林長春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板A3C按如圖所示的方式擺放，邊43與直線/重

合，A3=12cm.現(xiàn)將該三角板繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點C'落在直線/上，則點A經(jīng)過的路徑

長至少為cm.（結(jié)果保留萬）

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A

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/ABC=/A'3c=60。,即N/的=120°,再根據(jù)點A經(jīng)過的路徑長至少為以B為圓心,

以為半徑的圓弧的長即可解答.

【詳解】解：：將該三角板繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點C'落在直線/上,

ZABC=ZABC=60°,即NA'54=120°,

120°?萬?1020萬

.?.點A經(jīng)過的路徑長至少為

180°3

故答案為：弩

19.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在ABC中，NACB=90。，AC=BC=2&，點。是AC的中點,

連接8。，將BCD繞點B旋轉(zhuǎn),得到一班下.連接CP,當(dāng)CF〃AB時，CF=

【答案】2+76/76+2

【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)的綜合，掌

握等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AS,CD,BD,3尸的值，作3GLCF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得BCG是

等腰直角三角形，可求出CG,3G的長，在直角3FG中，根據(jù)勾股定理可求出PG的長度，由此即可求

解.

【詳解】解：：在4ABe中，ZACB=90°,AC=BC=2插,

ZG4S=ZCBA=45°,AB=-JiAC=4，

:點。是AC的中點,

第15頁共49頁

：.AD=CD=-AC=y/2,

2

在RtBCD中，BD=y]CD2+BC2=+倒勾2=M,

,-,將BCD繞點B旋轉(zhuǎn)得到一BEF,

.BCD^BEF,

：?BD=BF=屈,EF=CD=6，BC=BE=2也,

如圖所示，過BGLCF于點G,

,/CF//AB,

：.NFCB=NCBA=45。,

.8CG是等腰直角三角形，且BC=20，

?，.CG=BG=—BC=—x2-j2=2,

22

在RfBFG中,FG=《BF?-BG?=《回￥-2?=&,

CF=CG+FG=2+y/6,

故答案為：2+屈.

20.（2024?江蘇蘇州?中考真題）直線4：y=xT與無軸交于點A,將直線4繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15。，得到直線

12,則直線乙對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是.

【答案】y=島-6

【分析】根據(jù)題意可求得4與坐標(biāo)軸的交點A和點8,可得ZOAB=NOBA=45°,結(jié)合旋轉(zhuǎn)得到ZOAC=60°,

則/。04=30。，求得OC=6，即得點C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線4的解析式.

【詳解】解：依題意畫出旋轉(zhuǎn)前的函數(shù)圖象4和旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象4,如圖所示：

第16頁共49頁

設(shè)4與y軸的交點為點5,

令1=0,得》=-1；令y=。，即％=1,

.?.4(1,0),5(0,-1),

：.OA=1,03=1,

即ZOAB=ZOBA=45°

???直線4繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15。，得到直線4,

AZ（MC=60°,ZOCA=30°,

OC=OAxtan60°=&OA=色,

則點C（0,--），

設(shè)直線4的解析式為、=履+6,則

0=k+bk=>/3

<n，解得'i—>

-<3=b[Z?=-V3

那么，直線〃的解析式為y=

故答案為：y=A/SX-A/3.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點、直線的旋轉(zhuǎn)、解直角三角形以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)

解析式，解題的關(guān)鍵是找到旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的直角邊長.

三、解答題

21.(2024?廣東廣州?中考真題)如圖，Rt/XABC中,?B90?.

(1)尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線2。(保留作圖痕跡，不寫作法);

第17頁共49頁

⑵在（1）所作的圖中，將中線3。繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到。0,連接A￡）,CD.求證：四邊形A3CD

是矩形.

【答案】（1）作圖見解析

（2）證明見解析

【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);

（1）作出線段AC的垂直平分線EE交AC于點。，連接3。，則線段8。即為所求；

（2）先證明四邊形71BCD為平行四邊形，再結(jié)合矩形的判定可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，線段8。即為所求；

:由作圖可得：AO=CO,由旋轉(zhuǎn)可得：BO=DO,

四邊形ABCD為平行四邊形，

"?ZABC=90°,

四邊形A5CD為矩形.

22.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，矩形紙片的長為4,寬為3,矩形內(nèi)已用虛線畫出網(wǎng)格線，每個小

正方形的邊長均為1,小正方形的頂點稱為格點,現(xiàn)沿著網(wǎng)格線對矩形紙片進(jìn)行剪裁，使其分成兩塊紙片.請

在下列備用圖中，用實線畫出符合相應(yīng)要求的剪裁線.

注：①剪裁過程中，在格點處剪裁方向可發(fā)生改變但仍須沿著網(wǎng)格線剪裁；

②在各種剪法中，若剪裁線通過旋轉(zhuǎn)、平移或翻折后能完全重合則視為同一情況.

【答案】見解析

【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等圖形的定義與性質(zhì)，同時考查了學(xué)生實際的動手操作能力，根據(jù)

第18頁共49頁

全等圖形的性質(zhì)分別畫出符合題意的圖形即可.

,AC=3C,。為直線8C上任意一點,

連接AO.將線段AD繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得線段即，連接BE.

圖1圖2

【嘗試發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,當(dāng)點。在線段上時，線段BE與C￡＞的數(shù)量關(guān)系為；

【類比探究】

(2)當(dāng)點。在線段BC的延長線上時，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段BE與。的數(shù)量關(guān)系并證明;

【聯(lián)系拓廣】

(3)若AC=8C=1,CD=2,請直接寫出sin/ECO的值.

【答案】(1)BE=yf2CD;(2)BE=y/2CD，補(bǔ)圖及證明見解析；(3)sin/EC。=2叵或sin/ECD=2叵

135

【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握一線三垂直全等模型是解題的關(guān)鍵.

(1)過點E作延長線于點/,利用一線三垂直全等模型證明八^^△;砌E,再證明=

即可；

(2)同(1)中方法證明△ACC^AZWE,再證明=即可；

(3)分兩種情況討論：過點E作EMLCB延長線于點M,求出EM,CE即可.

【詳解】解：(1)如圖，過點E作延長線于點

第19頁共49頁

由旋轉(zhuǎn)得AD=DE,ZADE=90°,

：.ZADC+NEDM=90°,

NACB=90。，

AZACD=ZDMEfZADC+NOW=90。，

???ZCAD=ZEDMf

：.^ACD^ADME,

；.CD=EM,AC=DM,

,:AC=BC,

：.BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD,

9

：EM±CBf

?*-BE=4iEM=&CD，

故答案為：BE=?CD:

(2)補(bǔ)全圖形如圖：

過點￡作￡加，3c交3c于點M,

由旋轉(zhuǎn)得=ZADE=90°,

：.ZADC+ZEDM=90°,

???ZACB=90°,

AZACD=ZDME,ZADC-^ZCAD=90°,

：.ZCAD=ZEDM,

：.AACD^ADME,

；,CD=EM,AC=DM,

9：AC=BC,

：.BM=BC-CM=DM-CM=CD,

:?BM=EM,

第20頁共49頁

,/EMVCB,

BE=-J1EM=亞CD;

(3)如圖，當(dāng)。在CB的延長線上時，過點E作項于點連接CE,

由⑵得￡>Af=AC=l,EM=CD=2,

：.CM=CD+DM=3,

CE=yJCM2+EM2=A/13，

22A/13

sinZEC￡>=—

CE而一13

當(dāng)。在2C的延長線上時，過點E作于點如圖，連接CE,

同理可得：Z^ACE^ADME,

：.DM=AC=1,ME=CD=2,

：.CM=2-1=1,

,,CE=>/22+12=也,

EM_2_2y[5

sinZECD=

~CE~45~~T

綜上：sinNECD=或sinZECD=

135

24.(2024.甘肅臨夏?中考真題)根據(jù)背景素材，探索解決問題.

第21頁共49頁

平面直角坐標(biāo)系中畫一個邊長為2的正六邊形A5cDEF

背

六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經(jīng)典的幾何問題，旨

景

在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個圓分成六等份的問題.這個問題由歐幾里

素

得在其名著《幾何原本》中詳細(xì)闡述.

材1h

已

知

點C與坐標(biāo)原點。重合，點。在x軸的正半軸上且坐標(biāo)為（2,0）

條

件

操①分別以點C,。為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點P；

作②以點尸為圓心，PC長為半徑作圓；

步③以CJ9的長為半徑，在（P上順次截取￡）￡■=￡■尸=R4=AB；

Dx

驟④順次連接￡>E,EF,FA,AB,BC,得到正六邊形ABCDEF.

問題解決

任

務(wù)根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）

任

務(wù)將正六邊形ABCDE/繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。，直接寫出此時點E所在位置的坐標(biāo)：______.

【答案】任務(wù)一：見解析；任務(wù)二：（4,0）

【分析】本題考查尺規(guī)作圖，弧、弦、圓心角的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

任務(wù)一：根據(jù)操作步驟作出P,再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，分另U作出OE=EF=AF=A3=CD,即

得出DE=￡F=E4=AB，最后順次連接即可；

任務(wù)二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知DE'=OD=2,即得出OE=DE+OD=4,即此時點E所在位置的坐標(biāo)為（4,0）.

【詳解】解：任務(wù)一：如圖，正六邊形ABCDEF即為所作；

第22頁共49頁

?*.OE'=DE'+OD=4,

：.甘(4,0).

故答案為：(4,0).

25.(2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與實踐：如圖1,這個圖案是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周

髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”.如

圖2,在3ABe中，NA=90。，將線段2C繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段50,作DE交A8的延長線

于點E.

(1)【觀察感知】如圖2,通過觀察，線段與OE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)【問題解決】如圖3,連接并延長交A3的延長線于點/，若A5=2,AC=6,求一5。歹的面積;

(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交80于點N,則黑=;

oC

2

(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線上找點尸，使tanNBCP=j,請直接寫出線段A尸的長度.

【答案】(1)AB=DE

⑵10

第23頁共49頁

睢

,54Tl8

(4)7或行

【分析】⑴根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/C即=90,CB=BD,進(jìn)而證明一ABC四_￡DB（AAS）,即可求解；

（2）根據(jù)（1）的方法證明.ABC空￡D3（AAS）,進(jìn)而證明DEF^tCAF,求得EF=4,則所=10,然

后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

（3）過點N作于點證明<ASCsMNB得出MN=^BM,證明EMN^-ECA,^BM=x,

54

則ME=8E-BN=6-x,代入比例式，得出尤=言，進(jìn)而即可求解；

（4）當(dāng)尸在B點的左側(cè)時，過點尸作尸3c于點Q,當(dāng)尸在8點的右側(cè)時，過點尸作尸交CB的

延長線于點T,分別解直角三角形，即可求解.

【詳解】（1）解：：將線段3C繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段3￡>,作DELAB交43的延長線于點E.

C

\D

,［、—1：ZCBD=90°,

ABE

圖2

.?.ZABC+/DBE=90。,

.\ZA=9Q°f

:.ZABC+ZACB=90,

，/DBE=ZACB,

又ZA=NDEB=90。且CB=RD

:.^ABC^EZ)B(AAS),

DE=AB；

(2)解：ZCBD=90°,

:.ZABC+NDBE=90°,

/.ZA=90°,

.\ZABC+ZACB=9Q,

:./DBE=ZACB,

第24頁共49頁

又ZA=/OE3=90。且CB=3。,

ABC^￡DB（AAS）,

:.DE=AB,BE=AC

AB=2,AC=6

:.DE=2,BE=6

.0.AE=AB+BE=2+6=8,

/DEB+ZA=180°

DE//AC,

DEFs.CAF,

.DE_EF

,AC-E4

.2_EF

EF+8

:.EF=4,

.?.BF=BE+EF=6+4=10,

SBDF=；xl0x2=10；

（3）解：如圖所示，過點N作NMLA尸于點M,

c

?；ZA=ZBMN=9。。,ZACB=900-ZABC=ZNBM

：.ABCS,.MNB

,BN_BMMN

，9lBC~~AC~~ABf

BNBMMN口口…

即nn---=----=----,即MN=—BM,

BC623

又,：MN〃AC

???EMN^.ECA

.ME_MN

??而一就‘

^BM=x,貝（=,

第25頁共49頁

1

乙一九

6-尤3

8一6

54

解得：尤=、■

54

：.BNBM9■

BC~^C~^6~V3

（4）解：如圖所示，當(dāng)尸在8點的左側(cè)時，過點尸作P。，3c于點。

VtanZBCP=-

3

，tanNBCP=^=2

設(shè)PQ=2a,貝l]CQ=3a,

CQ3

XVAC=6,AB=2,ZR4C=90°

sr￡

AtanZABC=——=一=3,BC=A/22+62=2710

AB2

tanZPB2=—=3

BQ

：.BQ=^PQ=^a

BC=CQ+BQ=—a+3a=—a

：.—a=2y/10,

3

解得：

11

2

在Rt^PB。中，PQ=2a,BQ=^a

???*師而=鞏=也血"

7331111

4018

???AP=PB-AB=——2

11TT

如圖所示，當(dāng)尸在3點的右側(cè)時，過點尸作PT,5c交CB的延長線于點T,

第26頁共49頁

D

AB^^PEF

T

?/ZABC=ZPBT,ZA=ZT=90°

NBPT=ZACB

4R1

VtanZACB=——=-

AC3

tanZBPT=—=tanZACB=-

PT3

設(shè)BT=b,則PT=3b,BP=Mb,

PT2

VtanZBCP=——=—,

CT3

?3b_2

**/7+2A/10-3

解得：6=生叵

7

/.BP=Mb=—

7

4054

AP=AB+BP=2+—=—

77

綜上所述，A尸=弓或號.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),

熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

26.（2024?山東?中考真題）一副三角板分別記作一相。和”^砂，其中/ABC=/OEF=90°,ABAC=45°,

/EDF=30°,AC=DE.作3M_LAC于點A/,ENLDF于點、N,如圖1.

第27頁共49頁

D

40

（2）在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C,點A與點。

重合，將圖2中的二繞C按順時針方向旋轉(zhuǎn)a后，延長交直線。歹于點尸.

①當(dāng)a=30°時，如圖3,求證：四邊形CVPM為正方形;

②當(dāng)30。＜o(jì)＜60。時，寫出線段MP,DP,的數(shù)量關(guān)系，并證明；當(dāng)60。＜0＜120。時，直接寫出線段

MP,DP,CD的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）證明見解析

⑵①證明見解析；②當(dāng)30。＜夕＜60。時，線段MP,DP,CD的數(shù)量關(guān)系為“0+W=且；當(dāng)60°＜a＜120。

CD2

時，線段MP,DP,CD的數(shù)量關(guān)系為“尸一“尸=且

CD2

【分析】（1）利用等腰直角三角形與含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）①證明/CVD=90°,ZDCN=90°-30°=60°,可得ZAQV=90。，證明NPMC=N3MC=90。，可得

四邊形PMCN為矩形，結(jié)合BM=EN,即3A/=CN,

而3A1=C做，可得CM=C7V,從而可得結(jié)論；②如圖，當(dāng)30。＜口＜60。時，連接CP,證明,PMCgPNC,

可得PM=PN,結(jié)合ND=30。，可得DP