6.3相似圖形-2020-2021學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊課堂幫幫幫（蘇科版）

相似圖形知識點一、相似形 形狀相同的圖形相似形.1. 至少有兩個圖形，圖形的形狀完全一樣，圖形的大小不一定相同；2. 全等形是一種特殊的相似形；3. 相似形與圖形的大小、位置無關(guān)，與角度和方向也無關(guān).例：如圖，已知△ABC的六個元素，其中a、b、c表示三角形三邊的長，則下面甲、乙、丙、丁四個三角形中與△ABC不一定相似的圖形是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答答】A【解析】甲三角形的兩邊AC，BC的夾角不一定等于72度，故與△ABC不一定相似的圖形，故選此選項正確；乙可以利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等得出相似；丙、丁可以利用兩角對應(yīng)相等得出相似；故選A．知識點二、相似多邊形 各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形. 兩個相似多邊形可以用符號“∽”表示，讀作“相似于”，相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫做相似比.1. 相似多邊形的三個條件：①邊數(shù)相同；②對應(yīng)角相等；③對應(yīng)邊成比例；2. 全等多邊形得相似比是1，相似比是1的相似多邊形是全等多邊形；3. 當(dāng)用符號“∽”表示兩個相似圖形時，對應(yīng)點必須寫在對應(yīng)位置.例：下列說法中，不正確的是（）A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的等邊三角形都相似 D．有一個角是100°的兩個等腰三角形相似【答答】A【解析】A、所有的菱形都相似，說法錯誤；B、所有的正方形都相似，說法正確；C、所有的等邊三角形都相似，說法正確；D、有一個角是100°的兩個等腰三角形相似，說法正確；故選A．鞏固練習(xí)一．選擇題1． 若某個直角三角形的兩直角邊之比為2：3，則確定了該三角形的（）A．形狀 B．周長 C．面積 D．斜邊【解答】A【解析】∵直角三角形的兩直角邊之比為2：3，∴雖不能確定兩直角邊的值，但能確定其比值，∴能確定該直角三角形的形狀，故選A．2． 下列圖形中一定是相似形的是（）A．兩個等邊三角形 B．兩個菱形 C．兩個矩形 D．兩個直角三角形【解答】A【解析】∵等邊三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，∴兩個等邊三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的對應(yīng)角不一定相等，矩形的邊不一定對應(yīng)成比例，∴兩個直角三角形、兩個菱形、兩個矩形都不一定是相似形，故選A．3． 將直角三角形的三條邊的長度都擴大同樣的倍數(shù)后得到的三角形（）A．仍是直角三角形 B．一定是銳角三角形 C．可能是鈍角三角形 D．一定是鈍角三角形【解答】A【解析】∵將直角三角形的各邊都縮小或擴大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形的三條邊與原三角形的三條邊對應(yīng)成比例，∴兩三角形相似．又∵原來的三角形是直角三角形，而相似三角形的對應(yīng)角相等，∴得到的三角形仍是直角三角形．故選A．4． 分別畫出下列四組圖形，必是相似三角形的為（）A．兩個直角三角形 B．有一個角為110°的兩個等腰三角形 C．有一個角為55°的兩個等腰三角形 D．兩條邊對應(yīng)成比例，其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形【解答】B【解析】兩個直角三角形不一定相似；因為只有一個直角相等，∴A不一定相似；有有一個角為110°的兩個等腰三角形一定相似；因為110°的角只能是頂角，所以兩個等腰三角形的頂角和底角分別相等，∴B一定相似；一個角為55°的兩個等腰三角形不一定相似；因為55°的角可能是頂角，也可能是底角，∴C不一定相似；兩條邊對應(yīng)成比例，一個對應(yīng)角相等的兩個三角形不一定相似；因為這個對應(yīng)角不一定是夾角；∴D不一定相似；故選B．5． 下列各組圖形中，是相似圖形的是（）A． B． C． D．【解答】D【解析】A．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項不符合題意；B．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項不符合題意；C．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項不符合題意；D．形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，此選項符合題意；故選D．6． 下面四組圖形中，必是相似三角形的為（）A．兩個直角三角形 B．兩條邊對應(yīng)成比例，一個對應(yīng)角相等的兩個三角形 C．有一個角為40°的兩個等腰三角形 D．有一個角為100°的兩個等腰三角形【解答】D【解析】兩個直角三角形不一定相似；因為只有一個直角相等，∴A不一定相似；兩條邊對應(yīng)成比例，一個對應(yīng)角相等的兩個三角形不一定相似；因為這個對應(yīng)角不一定是夾角；∴B不一定相似；有一個角為40°的兩個等腰三角形不一定相似；因為40°的角可能是頂角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一個角為100°的兩個等腰三角形一定相似；因為100°的角只能是頂角，所以兩個等腰三角形的頂角和底角分別相等，∴D一定相似；故選D．7． 下列說法正確的是（）A．對應(yīng)邊都成比例的多邊形相似 B．對應(yīng)角都相等的多邊形相似 C．邊數(shù)相同的正多邊形相似 D．矩形都相似【解答】C【解析】A、對應(yīng)邊都成比例的多邊形，屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤；B、對應(yīng)角都相等的多邊形，屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤；C、邊數(shù)相同的正多邊形，形狀相同，但大小不一定相同，故正確；D、矩形屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤．故選C．8． 如圖，八個完全相同的小長方形拼成一個正方形網(wǎng)格，連結(jié)小長方形的頂點所得的四個三角形中是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【解答】D【解析】設(shè)小長方形的長為2，寬為1．則圖①中的三角形的三邊長分別為：2，22，25，圖②中的三角形的三邊長分別為：2，13，5，圖③中的三角形的三邊長分別為：2，25，42圖④中的三角形的邊長分別為：5，10，5，只有①④的三角形的三邊成比例，故選D．9． 下列四組圖形中，相似圖形為（）A． B． C． D．【解答】B【解析】A．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項不符合題意；B．形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，此選項符合題意；C．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項不符合題意；D．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項不符合題意；故選B．10．將圖形甲通過放大得到圖形乙，那么在圖形甲與圖形乙的對應(yīng)量中，沒有被放大的是（）A．邊的長度 B．圖形的周長 C．圖形的面積 D．角的度數(shù)【解答】D【解析】將圖形甲通過放大得到圖形乙沒有被放大的是角的度數(shù)，故選D．11．下列圖形中，與圖相似的是（）A． B． C． D．【解答】D【解析】觀察圖形知該圖象于D相似，故D符合，故選D．12．下列說法中正確的是（）①在兩個邊數(shù)相同的多邊形中，如果各對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形相似；②兩個矩形有一組鄰邊對應(yīng)成比例，這兩個矩形相似；③有一個角對應(yīng)相等的平行四邊形都相似；④有一個角對應(yīng)相等的菱形都相似．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】D【解析】①雖然各對應(yīng)邊成比例，但是各對應(yīng)角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的對應(yīng)邊都成比例，但是它們不一定相似；②兩個矩形有一組鄰邊對應(yīng)成比例，就可以得出四條邊對應(yīng)成比例，并且它們的角都是90°，所以這兩個矩形相似；③有一個角對應(yīng)相等的平行四邊形的對應(yīng)邊不一定成比例，所以不一定相似；④有一個角對應(yīng)相等就可以得出菱形的其他角對應(yīng)相等，并且菱形的對應(yīng)邊是成比例的，所以相似．故選D．二．填空題13．如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個相似三角形△ABC和△DEF，則∠BAC的度數(shù)為．【解答】135°．【解析】∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°．故答案為135°．14．已知兩個三角形是相似形，其中一個三角形的兩個角分別為25°、55°，則另一個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為．【解答】100°【解析】∵一個三角形的兩個角分別為25°、55°，∴第三個角，即最大角為180°﹣（25°+55°）＝100°，∵兩個三角形相似，∴另一個三角形的最大內(nèi)角度數(shù)為100°，故答案為100°．15．如圖，E、P、F分別是AB、AC、AD的中點，則四邊形AEPF與四邊形ABCD（填“是”或“不是”）位似圖形．【解答】是【解析】∵E、P、F分別是AB、AC、AD的中點∴△AFP∽△ADC，△APE∽△ACB∴AF；AD＝AP：AC，AP；AC＝AE；AB∴AF：AD＝AP：AC＝AE：AB∴答案填：是．16．在一張由復(fù)印機通過放大復(fù)印出來的紙上，一個面積為2cm2圖案的一條邊由原來的1cm變成3cm，則這次復(fù)印出來的圖案的面積是cm2．【解答】18【解析】∵在一張由復(fù)印機通過放大復(fù)印出來的紙上，一個面積為2cm2圖案的一條邊由原來的1cm變成3cm，∴相似比＝1：3，∴面積比＝（1：3）2＝1：9，∴這次復(fù)印出來的圖案的面積＝2×9＝18（cm2）．故答案為18．17．若一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，則此三角形的周長擴大為原來的倍．【解答】5【解析】∵一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，∴擴大后的三角形與原三角形相似，∵相似三角形的周長的比等于相似比，∴這個三角形的周長擴大為原來的5倍，故答案為5．18．如圖，用放大鏡將圖形放大，應(yīng)屬于哪一種變換：（請選填：對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換）．【解答】相似變換【解析】由一個圖形到另一個圖形，在改變的過程中形狀不變，大小產(chǎn)生變化，屬于相似變化．19．下列圖形中是與相似的．（1）（2）（3）（4）【解答】（1）與（4）【解析】觀察圖形，（1）與（4）形狀相同，這兩個圖形中的斜線都是連接在一條直線上的三個正方形的相對的頂點，并且其中一個頂點是單獨的一個正方形與成一條直線的三個正方形的公共頂點；（3）是成一條直線的三個三角形中兩個正方形的相對頂點的連線；（2）是連接在一條直線上的相對的頂點，并且其中一個頂點是單獨的一個正方形與成一條直線的三個正方形的不是公共頂點的連線．∴圖形中是（1）與（4）相似的．20．如圖，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D為BC邊的中點，BE⊥AD于點E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，則線段EF的長為．【解答】96【解析】過點D作DG∥BF交AC于點G，如右圖所示，∵D為BC邊的中點，BC＝6，∴BD＝3，∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，∴AD=A∵BE⊥AD于點E，交AC于F，∴BE=AB?BD∵AB＝4，BE=125，∠∴AE=4設(shè)DG＝x，則BF＝2x，EF＝2x-12∵EF∥DG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD即165解得，x=30∴EF＝2x-125=故答案為968521．（經(jīng)典題）掛在墻上的中國地圖與課本上的中國地圖相似的圖形．【解答】是【解析】根據(jù)相似圖形的定義知，掛在墻上的中國地圖與課本上的中國地圖形狀相同，只是大小不一定相同，∴它們是相似圖形．22．請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選的第一小題計分．（1）方程x2﹣9x+18＝0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為（2）如圖所示，兩個等邊三角形，兩個矩形，兩個正方形，兩個菱形各成一組，每組中的一個圖形在另一個圖形的內(nèi)部，對應(yīng)平行，且對應(yīng)邊之間的距離都相等，那么兩個圖形不相似的一組是（請?zhí)顚懻_答案的序號）．【解答】（1）15；（2）②【解析】（1）x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，∴x﹣3＝0，x﹣6＝0，∴x1＝3，x2＝6，當(dāng)?shù)妊切蔚娜吺?，3，6時，3+3＝6，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，∴此時不能組成三角形，當(dāng)?shù)妊切蔚娜吺?，6，6時，此時符合三角形的三邊關(guān)系定理，周長是3+6+6＝15，故答案為15．（2）由題意得，①中三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，兩三角形相似；③，④中正方形，菱形四條邊均相等，所以對應(yīng)邊成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而②中矩形四個角相等，但對應(yīng)邊不一定成比例，所以②中矩形不是相似多邊形，故答案為②．三．解答題23．設(shè)四邊形ABCD與四邊形EFGH是相似圖形．且A與E，B與F，C與G，D與H是對應(yīng)點．已知AB＝10．BC＝8，CD＝8，AD＝6，EF＝8，求四邊形EFGH的周長．【解答】25.6【解析】四邊形ABCD的周長＝AB+BC+CD+AD＝10+8+8+6＝32，∵四邊形ABCD與四邊形EEGH是相似圖形，∴四邊形ABCD的周長：四邊形EEGH的周長＝AB：EF，∴四邊形EEGH的周長=824．如圖所示，小芳用畫正方形的辦法畫出下列一組圖案，你能按規(guī)律繼續(xù)畫下去嗎？想想其中有哪些相似圖形？【解答】見解析【解析】這組圖形的規(guī)律是：后面的圖案比前面的圖案多兩個全等的正方形，且多出的這兩個正方形的邊長等于前面正方形對角線的長．按此規(guī)律可以繼續(xù)畫圖．其中每兩個全等的正方形組成的圖形與后面多出的兩個全等的正方形形成的圖形都是相似的．25．某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組在探究相似多邊形問題時，他們提出了下面兩個觀點：觀點一：將外面大三角形按圖1的方式向內(nèi)縮小，得到新三角形，它們對應(yīng)的邊間距都為1，則新三角形與原三角形相似．觀點二：將鄰邊為6和10的矩形按圖2的方式向內(nèi)縮小，得到新的矩形，它們對應(yīng)的邊間距都為1，則新矩形與原矩形相似．請回答下列問題：（1）你認(rèn)為上述兩個觀點是否正確？請說明理由．（2）如圖3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，將△ABC按圖3的方式向外擴張，得到△DEF，它們對應(yīng)的邊間距都為m，DE＝15，求△DEF的面積．【解答】（1）觀點一正確；觀點二不正確；（2）54【解析】（1）觀點一正確；觀點二不正確．理由：①如圖（1）連接并延長DA，交FC的延長線于點O，∵△ABC和△DEF對應(yīng)的邊的距離都為1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴觀點一正確；②如圖（2）由題意可知，原矩形的鄰邊為6和10，則新矩形鄰邊為4和8，∵64=3∴64∴新矩形于原矩形不相似，∴觀點二不正確；（2）如圖（3），延長DA、EB交于點O，∵A到DE、DF的距離都為1，∴DA是∠FDE的角平分線，同理，EB是∠DEF的角平分線，∴點O是△ABC的內(nèi)心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，過點O作OH⊥DE于點H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴ABDE同理ACDF∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面積為：1226．如圖，四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'相似的圖形，點A與點A′、點B與點B′、點C與點C′、點D與點D′分別是對應(yīng)頂點，已知數(shù)據(jù)如圖所示，求未知邊x、y的長度和角α、β的大?。窘獯稹縳＝6，y＝15，α＝155°，β＝55°【解析】在四邊形ABCD中，∠D＝∠D'＝β＝55°，∠A＝α＝360°﹣55°﹣90°﹣60°＝155°，∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴9x∴x＝6，y＝15．27．已知四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'是相似的圖形，并且點A與點A'、點B與點B'、點C與點C'、點D與點D'分別是對應(yīng)頂點，已知BC＝4，CD＝3.6，A'B'＝3.3，B'C'＝3，∠B＝75°，∠C＝105°，∠D＝95°，求AB，C'D'的長和∠A'的度數(shù)．【解答】AB＝4.4．C′D′＝2.7，∠A′＝85°【解析】在四邊形ABCD中，∠A＝360°﹣75°﹣105°﹣95°＝85°，∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴AB：A′B′＝CD：C′D′＝BC：B′C′＝4：3，∠A′＝∠A＝85°，∵A′B′＝3.3，CD＝3.6，∴AB＝4.4．C′D′＝2.7，28．觀察下列的圖形（a）﹣（g），其中哪些是與圖形（1）、（2）或（3）相似的．與圖形（1）相似的有；（填序號）與圖形（2）相似的有；與圖形（3）相似的有．【解答】見解析【解析】觀察比較圖形，根據(jù)相似形的定義可知：與圖形（1）相似的有a；與圖形（2）相似的有d；與圖形（3）相似的有g(shù)．29．如圖，菱形、矩形與正方形的形狀有差異，我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”．在研究“接近度”時，應(yīng)保證相似圖形的“接近度”相等．（1）設(shè)菱形相鄰兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為m°和n°，將菱形的“接近度”定義為|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一個內(nèi)角為70°，則該菱形的“接近度”等于；②當(dāng)菱形的“接近度”等于時，菱形是正方形．（2）設(shè)矩形相鄰兩條邊長分別是a和b（a≤b），將矩形的“接近度”定義為|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你認(rèn)為這種說法是否合理？若不合理，給出矩形的“接近度”一個合理定義．