專題14三角形選擇題填空題-三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分項匯編

專題14三角形選擇題、填空題一、單選題1．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點D不重合的動點，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點F、G與點C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】連接CF、CG、AE，證可得，當(dāng)A、E、F、C四點共線時，即得最小值；【詳解】解：如圖，連接CF、CG、AE，∵∴在和中，∵∴∴∴當(dāng)時，最小，∴d1＋d2＋d3的最小值為，故選：C．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，正確構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【解析】【分析】過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故選項A、B都正確；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故選項D正確；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故選項C不正確；故選：C．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，在ABCD中，，，點E在AD上，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】過點B作BF⊥AD于F，由平行四邊形性質(zhì)求得∠A=75°，從而求得∠AEB=180°∠A∠ABE=45°，則△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，設(shè)BF=EF=x，則BD=2x，DF=，DE=DFEF=（1）x，AF=ADDF=BDDF=（2）x，繼而求得AB2=AF2+BF2=（2）2x2+X2=（84）x2，從而求得，再由AB=CD，即可求得答案．【詳解】解：如圖，過點B作BF⊥AD于F，∵ABCD，∴CD=AB，CDAB，∴∠ADC+∠BAD=180°，∵∴∠A=75°，∵∠ABE=60°，∴∠AEB=180°∠A∠ABE=45°，∵BF⊥AD，∴∠BFD=90°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴BF=FE，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=75°，∴∠ADB=30°，設(shè)BF=EF=x，則BD=2x，由勾股定理，得DF=，∴DE=DFEF=（1）x，AF=ADDF=BDDF=（2）x，由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2）2x2+x2=（84）x2，∴∴，∵AB=CD，∴，故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，過點B作BF⊥AD于F，構(gòu)建直角三角形與等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A的坐標(biāo)為，點B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC．若點C的坐標(biāo)為，則m的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】過C作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，根據(jù)將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，可得△ABC是等邊三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，從而，即可解得．【詳解】解：過C作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，如圖所示：∵CD⊥x軸，CE⊥y軸，∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，∴四邊形EODC是矩形，∵將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE?OA＝CD?OA＝1，∴，在Rt△BCD中，，在Rt△AOB中，，∵OB＋BD＝OD＝m，∴，化簡變形得：3m4?22m2?25＝0，解得：或（舍去），∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理，用含m的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長度．5．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，點A在反比例函數(shù)的圖像上，以為一邊作等腰直角三角形，其中∠=90°，，則線段長的最小值是（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【解析】【分析】如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則證明可得設(shè)則可得再利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合完全平方公式的變形可得答案．【詳解】解：如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則設(shè)則而當(dāng)時，則∴的最小值是8，∴的最小值是故選：C．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式的變形應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握“的變形公式”是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇宿遷·中考真題）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【解析】【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)3是腰時，∵3＋3＞5，∴3，3，5能組成三角形，此時等腰三角形的周長為3＋3＋5＝11（cm），當(dāng)5是腰時，∵3＋5＞5，5，5，3能夠組成三角形，此時等腰三角形的周長為5＋5＋3＝13（cm），則三角形的周長為11cm或13cm．故選：D【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，，將以點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點在邊上，交于點．下列結(jié)論：①；②平分；③，其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，進而逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵將以點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，故①正確；，，，，，平分，故②正確；，，，，，，故③正確故選D【點睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為，提供了下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．【詳解】A.．根據(jù)SSS一定符合要求；B.．根據(jù)SAS一定符合要求；C.．不一定符合要求；D.．根據(jù)ASA一定符合要求．故選：C．【點睛】本題考查了三角形全等的判定，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三個判定定理．9．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．【詳解】解：如圖，過點OC作OD⊥AB于點D，∵∠AOB=2×=60°，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，∴OD=，∴陰影部分的面積為，故選：B．【點睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．10．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EA＝4，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，AE＝4，∴EB＝EA＝4，∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，故選：C．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．11．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖,P為AB上任意一點,分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則為（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，從而即可．【詳解】∵四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，∴AP=CP，PF=PB，，∴，∴∠AFP=∠CBP，又∵，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇鹽城·中考真題）將一副三角板按如圖方式重疊，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接利用一副三角板的內(nèi)角度數(shù)，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：如圖所示：由題意可得，∠2＝30°，∠3＝45°則∠1＝∠2+∠3＝45°+30°＝75°．故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正確利用三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平行四邊形中，將沿著所在的直線翻折得到，交于點，連接，若，，，則的長是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)、翻折不變性可得△AEC為等腰直角三角形，根據(jù)已知條件可得CE得長，進而得出ED的長，再根據(jù)勾股定理可得出；【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠ACB′=45°，∴△AEC為等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AEB′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，∴∵在Rt△DEC中，，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DEB′中，EB′=DE=1∴=故選：B【點睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．14．（2021·江蘇無錫·中考真題）在中，，，，點P是所在平面內(nèi)一點，則取得最小值時，下列結(jié)論正確的是（

）A．點P是三邊垂直平分線的交點 B．點P是三條內(nèi)角平分線的交點C．點P是三條高的交點 D．點P是三條中線的交點【答案】D【解析】【分析】以點A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則=，可得P(2，)時，最小，進而即可得到答案．【詳解】以點A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，設(shè)P(x，y)，則===，∴當(dāng)x=2，y=時，即：P(2，)時，最小，∵由待定系數(shù)法可知：AB邊上中線所在直線表達式為：，AC邊上中線所在直線表達式為：，又∵P(2，)滿足AB邊上中線所在直線表達式和AC邊上中線所在直線表達式，∴點P是三條中線的交點，故選D．【點睛】本題主要考查三角形中線的交點，兩點間的距離公式，建立合適的坐標(biāo)系，把幾何問題化為代數(shù)問題，是解題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇鹽城·中考真題）工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個角．如圖，在的兩邊、上分別在取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點、重合，這時過角尺頂點的射線就是的平分線．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定條件判斷即可．【詳解】解：由題意可知在中∴(SSS)∴∴就是的平分線故選：D【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的判定、熟練掌握全等三角形的判定是關(guān)鍵．16．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，把直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)交x軸于點C，則線段長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)表達式求出點A和點B坐標(biāo)，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長，過點C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出BD，得到關(guān)于x的方程，解之即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，令x=0，則y=，令y=0，則x=，則A（，0），B（0，），則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，過點C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，∴AC==x，∵旋轉(zhuǎn)，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故選A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運算，知識點較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造特殊三角形．17．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有3個．故共有3個點，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．18．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°∠CBD∠CDB=360°80°=280°，故選D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．19．（2020·江蘇徐州·中考真題）若一個三角形的兩邊長分別為3、6，則它的第三邊的長可能是（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定第三邊的范圍，進而從選項中選出符合題意的項即可．【詳解】解：設(shè)這個三角形的第三邊的長為，一個三角形的兩邊長分別為3、6，．即．故選：C．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系．20．（2020·江蘇宿遷·中考真題）在△ABC中，AB=1，BC=，下列選項中，可以作為AC長度的是（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊，可以得到AC的長度可以取得的數(shù)值的取值范圍，從而可以解答本題．【詳解】∵在△ABC中，AB=1，BC=，∴﹣1＜AC＜+1，∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，∴AC的長度可以是2，故選項A正確，選項B、C、D不正確；故選：A．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及無理數(shù)的估算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用三角形三邊關(guān)系解答．21．（2020·江蘇南通·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A． B．2 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即可．【詳解】解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵點D為BC中點，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當(dāng)直線l⊥AC時，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為．故選：A．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．22．（2020·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點為中點，．則線段的長為：（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】因為菱形的對角線互相垂直且平分，從而有，，，又因為H為BC中點，借助直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可作答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形∴，，∴△BOC是直角三角形∴∴BC=5∵H為BC中點∴故最后答案為．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，其中知道菱形的性質(zhì)，對角線互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵．23．（2020·江蘇淮安·中考真題）如圖，點、、在圓上，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先由圓周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵在圓O中，∠ACB=54o，∴∠AOB=2∠ACB=108o，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA==36o，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，會用等邊對等角求角的度數(shù)是解答的關(guān)鍵．24．（2020·江蘇無錫·中考真題）如圖，在四邊形中，，，，把沿著翻折得到，若，則線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知，易求得，延長交于，可得，則，再過點作，設(shè)，則，，，在中，根據(jù)，代入數(shù)值，即可求解．【詳解】解：如圖∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，延長交于，∴，則，，過點作，設(shè)，則，，

∴，∴在中，，即，解得：，∴．故選B．【點睛】本題目考查三角形的綜合，涉及的知識點有銳角三角函數(shù)、折疊等，熟練掌握三角形的有關(guān)性質(zhì)，正確設(shè)出未知數(shù)是順利解題的關(guān)鍵．25．（2020·江蘇無錫·中考真題）如圖，等邊的邊長為3，點在邊上，，線段在邊上運動，，有下列結(jié)論：①與可能相等；②與可能相似；③四邊形面積的最大值為；④四邊形周長的最小值為．其中，正確結(jié)論的序號為（

）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【答案】D【解析】【分析】①通過分析圖形，由線段在邊上運動，可得出，即可判斷出與不可能相等；②假設(shè)與相似，設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)得出的值，再與的取值范圍進行比較，即可判斷相似是否成立；③過P作PE⊥BC于E，過F作DF⊥AB于F，利用函數(shù)求四邊形面積的最大值，設(shè)，可表示出，，可用函數(shù)表示出，，再根據(jù)，依據(jù)，即可得到四邊形面積的最大值；④作點D關(guān)于直線的對稱點D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，此時四邊形P′CDQ′的周長為：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．【詳解】解：①∵線段在邊上運動，，∴,∴與不可能相等，則①錯誤；②設(shè)，∵，，∴，即，假設(shè)與相似，∵∠A=∠B=60°，∴，即，從而得到，解得或（經(jīng)檢驗是原方程的根），又，∴解得的或符合題意，即與可能相似，則②正確；③如圖，過P作PE⊥BC于E，過D作DF⊥AB于F，設(shè)，由，，得，即，∴，∵∠B=60°，∴，∵，∠A=60°，∴,則，，∴四邊形面積為：,又∵，∴當(dāng)時，四邊形面積最大，最大值為：，即四邊形面積最大值為，則③正確；④如圖，作點D關(guān)于直線的對稱點D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，此時四邊形P′CDQ′的周長為：，其值最小，∴D1Q′=DQ′=D2P′，，且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB=120°，∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，∴，在Rt△AD2C中，由勾股定理可得，，∴四邊形P′CDQ′的周長為：，則④錯誤，所以可得②③正確，故選：D．【點睛】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、利用函數(shù)求最值、動點變化問題等知識．解題關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過用函數(shù)求最值、作對稱點求最短距離，即可得解．二、填空題26．（2022·江蘇鹽城·中考真題）《莊子?天下篇》記載“一尺之錘，日取其半，萬世不竭．”如圖，直線與軸交于點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，以此類推，令，，，，若對任意大于1的整數(shù)恒成立，則的最小值為___________．【答案】2【解析】【分析】先由直線與軸的夾角是45°，得出，，…都是等腰直角三角形，，，，…，得出點的橫坐標(biāo)為1，得到當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，，點的橫坐標(biāo)，當(dāng)時，，得出點的坐標(biāo)為，以此類推，最后得出結(jié)果．【詳解】解：直線與軸的夾角是45°，，，…都是等腰直角三角形，，，，…點的坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，，點的橫坐標(biāo)，當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，，……以此類推，得，，，，……，，，的最小值為2．【點睛】本題考查了此題考查一次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，探究以幾何圖形為背景的問題時，一是要破解幾何圖形之間的關(guān)系，二是實現(xiàn)線段長度和點的坐標(biāo)的正確轉(zhuǎn)換，三是觀察分析所得數(shù)據(jù)并找出數(shù)據(jù)之間的規(guī)律．27．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，、是的弦，過點A的切線交的延長線于點，若，則___________°．【答案】35【解析】【分析】連接并延長，交于點，連接，首先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)為的切線，可得，可得，再根據(jù)圓周角定理即可求得．【詳解】解：如圖，連接并延長，交于點，連接．為的直徑，，，為的切線，，，，．故答案為：35．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．28．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在四邊形中，，平分．若，，則______．【答案】【解析】【分析】過點作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．【詳解】解：過點作的垂線交于，，四邊形為矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．29．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，，．在中，，，．用一條始終繃直的彈性染色線連接，從起始位置（點與點重合）平移至終止位置（點與點重合），且斜邊始終在線段上，則的外部被染色的區(qū)域面積是______．【答案】28【解析】【分析】過點作的垂線交于，同時在圖上標(biāo)出如圖，需要知道的是的被染色的區(qū)域面積是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四邊形的判定及性質(zhì)，求出相應(yīng)邊長，即可求解．【詳解】解：過點作的垂線交于，同時在圖上標(biāo)出如下圖：，，，，在中，，，．，，，四邊形為平行四邊形，，，解得：，

，，，

，，，同理可證：，

，，，的外部被染色的區(qū)域面積為，故答案為：28．【點睛】本題考查了直角三角形，相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求梯形的面積．30．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在上，且與點A，B不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_________°．【答案】32【解析】【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出∠O=64°．再根據(jù)圓周角的定理，求解即可．【詳解】解：連接OA，∵PA與⊙O相切于點A，∴∠PAO=90°，∴∠O=90°∠P，∵∠P=26°，∴∠O=64°，∴∠C=∠O=32°．故答案為：32．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確利用切線的定理，作出輔助線，求出∠O的度數(shù)．31．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，將一個邊長為的正方形活動框架（邊框粗細忽略不計）扭動成四邊形，對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達到時才會斷裂．若，則橡皮筋_____斷裂（填“會”或“不會”，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】不會【解析】【分析】設(shè)扭動后對角線的交點為，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出扭動后的四邊形為菱形，利用菱形的性質(zhì)及條件，得出為等邊三角形，利用勾股定理算出，從而得到，再比較即可判斷．【詳解】解：設(shè)扭動后對角線的交點為，如下圖：，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，得出扭動后的四邊形四邊相等為菱形，，為等邊三角形，，，，根據(jù)菱形的對角線的性質(zhì)：，，不會斷裂，故答案為：不會．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是要掌握菱形的判定及性質(zhì)．32．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是______．【答案】1【解析】【分析】連接、，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接、，，，，即，解得：，故答案為：1．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．33．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，是中線的中點．若的面積是1，則的面積是______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)的面積的面積，的面積的面積計算出各部分三角形的面積．【詳解】解：是邊上的中線，為的中點，根據(jù)等底同高可知，的面積的面積，的面積的面積的面積，故答案為：2．【點睛】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用三角形的中線平分三角形面積進行計算．34．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖上，O為內(nèi)心，過點O的直線分別與AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，則線段CD的長為__________.【答案】2或##或2【解析】【分析】分析判斷出符合題意的DE的情況，并求解即可；【詳解】解：①如圖，作，，連接OB，則OD⊥AC，∵，∴∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴，同理，，∴DE=CD+BE，∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴∴②如圖，作，由①知，，，∵∴∴∴∴∵∴∴故答案為：2或．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，根據(jù)題意正確分析出符合題意的情況并應(yīng)用性質(zhì)定理進行求解是解題的關(guān)鍵．35．（2022·江蘇無錫·中考真題）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．【答案】

80

##【解析】【分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個點在同一個圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時，即當(dāng)CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設(shè)BF與AC相交于點H，如圖：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個點在同一個圓上，∵點D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時，即當(dāng)CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時線段AF長度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°90°60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，過點F作FG⊥DE于點G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AEFE=4，故答案為：80；4．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．36．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點E是CD的中點，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點H、G，則BG＝________．【答案】1【解析】【分析】連接AG，EG，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得AG=EG，由點E是CD的中點，得CE=4，設(shè)BG=x，則CG=8x，由勾股定理，可得出（8x）2+42=82+x2，求解即可．【詳解】解：連接AG，EG，如圖，∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，∵正方形ABCD的邊長為8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，∵點E是CD的中點，∴CE=4，設(shè)BG=x，則CG=8x，由勾股定理，得EG2=CG2+CE2=（8x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，∴（8x）2+42=82+x2，解得：x=1，故答案為：1．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理及其運用是解題的關(guān)鍵．37．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，分別以A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，過M，N兩點作直線，與BC交于點E，與AD交于點F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長為______．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)作圖可得，且平分，設(shè)與的交點為，證明四邊形為菱形，根據(jù)平行線分線段成比例可得為的中線，然后勾股定理求得，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得的長，進而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點為，根據(jù)作圖可得，且平分，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，四邊形是平行四邊形，垂直平分，，四邊形是菱形，，，，，為的中點，中，，，，，四邊形AECF的周長為．故答案為：．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線分線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．38．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中．動點M從點A出發(fā)，沿邊AD向點D勻速運動，動點N從點B出發(fā)，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN．動點M，N同時出發(fā)，點M運動的速度為，點N運動的速度為，且．當(dāng)點N到達點C時，M，N兩點同時停止運動．在運動過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形．若在某一時刻，點B的對應(yīng)點恰好在CD的中點重合，則的值為______．【答案】【解析】【分析】在矩形ABCD中，設(shè)，運動時間為，得到，利用翻折及中點性質(zhì)，在中利用勾股定理得到，然后利用得到，在根據(jù)判定的得到，從而代值求解即可．【詳解】解：如圖所示：在矩形ABCD中，設(shè)，運動時間為，，在運動過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形，，若在某一時刻，點B的對應(yīng)點恰好在CD的中點重合，，在中，，則，，,,,,，，，則，，即，在和中，，，即，，故答案為：．【點睛】本題屬于矩形背景下的動點問題，涉及到矩形的性質(zhì)、對稱性質(zhì)、中點性質(zhì)、兩個三角形相似的判定與性質(zhì)、勾股定理及兩個三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定，求出相應(yīng)線段長是解決問題的關(guān)鍵．39．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點M在邊AF上，且AM=2．若經(jīng)過點M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長是_____．【答案】【解析】【分析】如圖，連接AD，CF，交于點O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對稱圖形可得：由正六邊形是中心對稱圖形可得：可得直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，再利用直角三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，連接AD，CF，交于點O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對稱圖形可得：由正六邊形是中心對稱圖形可得：∴直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，由正六邊形的性質(zhì)可得：為等邊三角形，而故答案為：【點睛】本題考查的是正多邊形與圓的知識，掌握“正六邊形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形”是解本題的關(guān)鍵．40．（2022·江蘇蘇州·中考真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為______．【答案】6【解析】【分析】分類討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，底邊BC=3∴AB=AC當(dāng)AB=AC=2BC時，△ABC是“倍長三角形”；當(dāng)BC=2AB=2AC時，AB+AC=BC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時A、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意；所以當(dāng)?shù)妊鰽BC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為6．故答案為6．【點睛】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關(guān)系，涉及分類討論思想，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，靈活運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．41．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在矩形中，=6，=8，點、分別是邊、的中點，某一時刻，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒2個單位長度的速度向點勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒1個單位長度的速度向點勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，連接，過點作的垂線，垂足為．在這一運動過程中，點所經(jīng)過的路徑長是_____．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意知EF在運動中始終與MN交于點Q，且點H在以BQ為直徑的上運動，運動路徑長為的長，求出BQ及的圓角，運用弧長公式進行計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵點、分別是邊、的中點，連接MN，則四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，根據(jù)題意知EF在運動中始終與MN交于點Q，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∴∴當(dāng)點E與點A重合時，則NF=，∴BF=BN+NF=4+2=6，∴AB=BF=6∴是等腰直角三角形，∴∵BP⊥AF，∴由題意得，點H在以BQ為直徑的上運動，運動路徑長為長，取BQ中點O，連接PO，NO，∴∠PON=90°，又∴，∴，∴的長為=故答案為：【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及弧長等知識，判斷出點H運動的路徑長為長是解答本題的關(guān)鍵．42．（2022·江蘇揚州·中考真題）在中，，分別為的對邊，若，則的值為__________．【答案】【解析】【詳解】解：如圖所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案為：．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念及勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．在中，，，．43．（2022·江蘇揚州·中考真題）將一副直角三角板如圖放置，已知，，，則________°．【答案】105【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等即可求解．【詳解】，，，∵∠E=60°，∴∠F=30°，故答案為：105【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．44．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，是⊙的直徑，是⊙的切線，為切點，連接，與⊙交于點，連接．若，則_________．【答案】49【解析】【分析】利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求得∠B=∠AOD=41°，根據(jù)AC是⊙O的切線得到∠BAC=90°，即可求出答案．【詳解】解：∵∠AOD=82°，∴∠B=∠AOD=41°，∵AC為圓的切線，A為切點，∴∠BAC=90°，∴∠C=90°41°=49°故答案為49．【點睛】此題考查圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，直角三角形兩銳角互余，正確理解圓周角定理及切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．45．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，．利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；作射線交于點．若，則的長為_________．【答案】【解析】【分析】如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到，從而求出HM，CM的長，進而求出BM的長，即可利用勾股定理求出BH的長．【詳解】解：如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出CH的長是解題的關(guān)鍵．46．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點、、都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，則_________．【答案】【解析】【分析】如圖所示，過點C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的長，從而利用勾股定理求出AC的長，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點C作CE⊥AB于E，由題意得，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求正弦值，勾股定理與網(wǎng)格問題正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．47．（2021·江蘇宿遷·中考真題）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是___________尺．【答案】12【解析】【分析】我們可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知的長為10尺，則尺，設(shè)蘆葦長尺，表示出水深A(yù)B，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．【詳解】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長尺，則水深尺，∵尺，∴尺，在中，，解得，即蘆葦長13尺，水深為12尺，故答案為：12．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．48．（2021·江蘇淮安·中考真題）一個三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數(shù)，則第三邊的長是___．【答案】4【解析】【分析】利用三角形三邊關(guān)系定理，先確定第三邊的范圍，再根據(jù)第三邊是偶數(shù)這一條件，求得第三邊的值．【詳解】解：設(shè)第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，4﹣1＜a＜4＋1，即3＜a＜5，又∵第三邊的長是偶數(shù)，∴a為4．故答案為：4．【點睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，掌握第三邊滿足：大于已知兩邊的差，且小于已知兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵．49．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點A，B，C，O在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，直線l經(jīng)過點C，O，將ABC沿l平移得到MNO，M是A的對應(yīng)點，再將這兩個三角形沿l翻折，P，Q分別是A，M的對應(yīng)點．已知網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都等于1，則PQ的長為__．【答案】【解析】【分析】連接PQ，AM，根據(jù)PQ＝AM即可解答．【詳解】解：連接PQ，AM，由圖形變換可知：PQ＝AM，由勾股定理得：AM＝，∴PQ＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理等知識，明確翻折前后對應(yīng)線段相等是解題的關(guān)鍵．50．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（8，5），⊙A與x軸相切，點P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點B．若∠APB＝30°，則點P的坐標(biāo)為___．【答案】．【解析】【分析】連接AB，作AD⊥x軸，AC⊥y軸，根據(jù)題意和30°直角三角形的性質(zhì)求出AP的長度，然后由圓和矩形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出OC的長度，即可求出點P的坐標(biāo)．【詳解】如下圖所示，連接AB，作AD⊥x軸，AC⊥y軸，∵PB與⊙A相切于點B∴AB⊥PB，∵∠APB＝30°，AB⊥PB，∴PA=2AB=．∵∴四邊形ACOD是矩形，點A的坐標(biāo)為（8，5），所以AC=OD=8，CO=AD=5，在中，．如圖，當(dāng)點P在C點上方時，∴，∴點P的坐標(biāo)為．【點睛】此題考查了勾股定理，30°角直角三角形的性質(zhì)和矩形等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．51．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為___________海里（結(jié)果保留根號）．【答案】．【解析】【分析】先作PC⊥AB于點C，然后利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：如圖，作PC⊥AB于點C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案為：．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決問題，解決的方法就是作高線．52．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，在中，，，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交延長線于點D，過點C作，交于點，連接BE，則的值為___________．【答案】．【解析】【分析】連接AE，過作AF⊥AB，延長EC交AF于點F，過E作EG⊥BC于點G，設(shè)AC=BC=a，求出AF=CF=，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的長即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接AE，過作AF⊥AB，延長EC交AF于點F，過E作EG⊥BC于點G，如圖，設(shè)AC=BC=a，∵∴，∴，∵∴∵∴∴∴設(shè)CE=x，則FE=在Rt△AFE中，∴解得，，（不符合題意，舍去）∴∵∴∴∴在Rt△BGE中，∴∴故答案為：．【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理與圓的基本概念等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．53．（2021·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，點D、E分別在、上，．若，則________．【答案】100【解析】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A=80°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出，即可．【詳解】解：∵，∴∠A=180°40°60°=80°，∵，∴180°80°=100°．故答案是100．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，是解題的關(guān)鍵．54．（2021·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，，，，點E在線段上，且，D是線段上的一點，連接，將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，當(dāng)點G恰好落在線段上時，________．【答案】【解析】【分析】過點F作FM⊥AC于點M，由折疊的性質(zhì)得FG=，∠EFG=，EF=AE=1，再證明，得，，進而即可求解．【詳解】解：過點F作FM⊥AC于點M，∵將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，當(dāng)點G恰好落在線段上，∴FG=，∠EFG=，EF=AE=1，∴EG=，∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，∴，∴，∴=，，∴AM=AE+EM=，∴．故答案是：．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造”母子相似三角形“是解題的關(guān)鍵．55．（2021·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在矩形中，，，、分別是邊、上一點，，將沿翻折得，連接，當(dāng)________時，是以為腰的等腰三角形．【答案】或【解析】【分析】對是以為腰的等腰三角形分類討論，當(dāng)時，設(shè)，可得到，再根據(jù)折疊可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程計算即可；當(dāng)時，過A作AH垂直于于點H，然后根據(jù)折疊可得到，在結(jié)合，利用互余性質(zhì)可得到，然后證得△ABE≌△AHE，進而得到，然后再利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到，然后在根據(jù)數(shù)量關(guān)系得到．【詳解】解：當(dāng)時，設(shè)，則，∵沿翻折得，∴，在Rt△ABE中由勾股定理可得：即，解得：；當(dāng)時，如圖所示，過A作AH垂直于于點H，∵AH⊥，，∴，∵，∴，∵沿翻折得，∴，∴，在△ABE和△AHE中，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴，∴，∴∵，∴，∴，綜上所述，，故答案為：【點睛】本題主要考查等腰三角形性質(zhì)，勾股定理和折疊性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論等腰三角形的腰，然后結(jié)合勾股定理計算即可．56．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，在四邊形中，．設(shè)，則______（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【解析】【分析】由等腰的性質(zhì)可得：∠ADB=，∠BDC=，兩角相加即可得到結(jié)論．【詳解】解：在△ABD中，AB=BD∴∠A=∠ADB=在△BCD中，BC=BD∴∠C=∠BDC=∵∴====故答案為：．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，分別求出∠ADB=，∠BDC=是解答本題的關(guān)鍵．57．（2021·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，點B、C在上，邊AB、AC分別交于D、E兩點﹐點B是的中點，則∠ABE=__________．【答案】【解析】【分析】如圖，連接先證明再證明利用三角形的外角可得：再利用直角三角形中兩銳角互余可得：再解方程可得答案．【詳解】解：如圖，連接是的中點，故答案為：【點睛】本題考查的是圓周角定理，三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，掌握圓周角定理的含義是解題的關(guān)鍵．58．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，是的中線，點F在上，延長交于點D．若，則______．【答案】【解析】【分析】連接ED，由是的中線，得到，，由，得到，設(shè)，由面積的等量關(guān)系解得，最后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)解得，據(jù)此解題即可．【詳解】解：連接ED是的中線，，設(shè)，與是等高三角形，，故答案為：．【點睛】本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．59．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖．在中，，．若，則______．【答案】54°【解析】【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠AEF，再根據(jù)三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)即可．【詳解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°∠A∠C=54°．故答案為：54°．【點睛】本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．60．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，點E在上，且平分，若，，則的面積為________．【答案】50【解析】【分析】過點E作EF⊥BC，垂足為F，利用直角三角形的性質(zhì)求出EF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四邊形的面積公式計算即可．【詳解】解：過點E作EF⊥BC，垂足為F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=BE=5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10，∴四邊形ABCD的面積===50，故答案為：50．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，知識點較多，但難度不大，圖形特征比較明顯，作出輔助線構(gòu)造直角三角形求出EF的長是解題的關(guān)鍵．61．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，點P、Q分別是AB、A1C1的中點，PQ的最小值等于_____．【答案】【解析】【分析】取的中點，的中點，連接，，，，根據(jù)平移的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：取的中點，的中點，連接，，，，將平移5個單位長度得到△，，，點、分別是、的中點，，，即，的最小值等于，故答案為：．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．62．（2020·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AB的中點，若BC=12，AD=8，則DE的長為_____．【答案】5【解析】【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴∠ADB=90°，∴AB=，∵E為AB的中點，∴DE=AB=5，故答案為：5．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．63．（2020·江蘇南通·中考真題）已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長為10cm，則圓心O到AB的距離為_____cm．【答案】12【解析】【分析】如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理計算OC的長即可．【詳解】解：如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，則AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圓心O到AB的距離為12cm．故答案為：12．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?4．（2020·江蘇徐州·中考真題）在中，若，，則的面積的最大值為______．【答案】9+9【解析】【分析】首先過C作CM⊥AB于M，由弦AB已確定，可得要使△ABC的面積最大，只要CM取最大值即可，即可得當(dāng)CM過圓心O時，CM最大，然后由圓周角定理，證得△AOB是等腰直角三角形，則可求得CM的長，繼而求得答案．【詳解】作△ABC的外接圓⊙O，過C作CM⊥AB于M，∵弦AB已確定，∴要使△ABC的面積最大，只要CM取最大值即可，如圖所示，當(dāng)CM過圓心O時，CM最大，∵CM⊥AB，CM過O，∴AM＝BM（垂徑定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM＝AB＝×6＝3，∴OA＝，∴CM＝OC＋OM＝＋3，∴S△ABC＝AB?CM＝×6×（＋3）＝9+9．故答案為：9+9．【點睛】此題考查了圓周角定理以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意得到當(dāng)CM過圓心O時，CM最大是關(guān)鍵．65．（2020·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點E、F．若是等邊三角形，則_________°．【答案】30【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠B=∠BCF，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠AFC=60°，從而可得∠B.【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF為等邊三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案為：30.【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得到∠B=∠BCF.66．（2020·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，D、E分別是、的中點，連接，在直線和直線上分別取點F、G，連接、．若，且直線與直線互相垂直，則的長為_______．【答案】4或2【解析】【分析】分當(dāng)點F在點D右側(cè)時，當(dāng)點F在點D左側(cè)時，兩種情況，分別畫出圖形，結(jié)合三角函數(shù)，勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：如圖，當(dāng)點F在點D右側(cè)時，過點F作FM∥DG，交直線BC于點M，過點B作BN⊥DE，交直線DE于點N，∵D，E分別是AB和AC中點，AB=，∴DE∥BC，BD=AD=，∠FBM=∠BFD，∴四邊形DGMF為平行四邊形，則DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，∴∠BFM=90°，∴tan∠FBM==tan∠BFD，∴，∵∠ABC=45°=∠BDN，∴△BDN為等腰直角三角形，∴BN=DN=，∴FN=3BN=9，DF=GM=6，∵BF==，∴FM==，∴BM=，∴BG=106=4；當(dāng)點F在點D左側(cè)時，過點B作BN⊥DE，交直線DE于N，過點B作BM∥DG，交直線DE于M，延長FB和DG，交點為H，可知：∠H=∠FBM=90°，四邊形BMDG為平行四邊形，∴BG=MD，BM=DG，∵BF=3DG，∴tan∠BFD=，同理可得：△BDN為等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF=，設(shè)MN=x，則MD=3x，F(xiàn)M=9+x，在Rt△BFM和Rt△BMN中，有，即，解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=NDMN=2.綜上：BG的值為4或2.故答案為：4或2.【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，分清情況.67．（2020·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB、BC于點D、E．②分別以點D、E為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F．③作射線BF交AC于點G．如果，，的面積為18，則的面積為________．【答案】27【解析】【分析】由作圖步驟可知BG為∠ABC的角平分線，過G作GH⊥BC,GM⊥AB，可得GM=GH,然后再結(jié)合已知條件和三角形的面積公式求得GH，最后運用三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：由作圖作法可知：BG為∠ABC的角平分線過G作GH⊥BC,GM⊥AB∴GM=GH∴,故答案為27．【點睛】本題考查了角平分線定理和三角形面積公式的應(yīng)用，通過作法發(fā)現(xiàn)角平分線并靈活應(yīng)用角平分線定理是解答本題的關(guān)鍵．68．（2020·江蘇揚州·中考真題）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面________尺高．【答案】【解析】【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10x）尺，利用勾股定理解題即可．【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+32=（10x）2，解得：；故答案為：．【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．69．（2020·江蘇南京·中考真題）如圖，線段AB、BC的垂直平分線、相交于點，若39°，則=__________．【答案】78【解析】【分析】如圖，利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定義結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠AOG=51∠A，∠COF=51∠C，利用平角的定義得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，計算即可