2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之相等關(guān)系與不等關(guān)系

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之相等關(guān)系與不等關(guān)系（2024年7月）

選擇題（共10小題）

1.若實(shí)數(shù)“’6滿足!+?=皿’則"的最小值為（3

A.V2B.2c.2V2D.4

XV

2.若直線—+-=1（a>0,b>0）過點(diǎn)（1,1）,則〃+/?的最小值等于（)

ab

A.2B.3C.4D.5

3.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5町，貝I3x+4y的最小值是（）

2428

A.—B.—C.5D.6

55

11

4.已知％>0,y>0,Ig2x+lg&=lg2,則一+丁的最小值是（）

x3y

A.2B.2V2C.4D.2V3

5.若log4(3〃+4b)=\og2y[ab,則的最小值是()

A.6+2V3B.7+2V3C.6+4百D.7+4百

1119

6,若正數(shù)〃，方滿足一十工=1,-----+7—的最小值為（）

aba-1b-1

A.1B.6C.9D.16

1+1的最小值是（）

7.已知〃>0,Z?>0,Q+Z?=2,貝Uy=

79

A.-B.4c.—D.5

22

8.“1>1”是“l(fā)ogi(x+2)VO”的?()

2

A.充要條件

B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件

!則當(dāng)把取得最大值時(shí),21?2的最大值為（

9.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足7-3孫+4y?-z=0.-+--)

Zxyz

9

A.0B.1C.一D.3

4

10.已知羽yGR,且x>y>0,則()

11

A.--->0B.sinx-siny>0

xy

11

C.（一）（-）yoD.lnx+lny>0

22

二.填空題(共5小題)

11.設(shè)尤>0,y>0,x+2y=5,則竺?”⑴的最小值為

加-----------------

XV

12.若直線一+-=1(〃>0,Z?>0)過點(diǎn)(1,2),則2〃+。的最小值為.

ab

118

13.已知〃>0,b>0,且仍=1,則一+丁+——的最小值為

2a2ba+b-------

a4+4b4+l

14.若〃，bER,ab>0,則--;——的最小值為_______.

ab

1

15.已知〃，&GR,且〃-3。+6=0,則2〃+名的最小值為

三.解答題(共5小題)

16.若無，y,z為實(shí)數(shù)，且x+2y+2z=6,求f+y+z?的最小值.

17.已知關(guān)于x的不等式以+〃|Vb的解集為{x|2VxV4}

(I)求實(shí)數(shù)。，人的值；

(II)求，(+12+，沅的最大值.

18.已知％>0,y>0,且2%+8y-盯=0,求：

(1)xy的最小值；

(2)x+y的最小值.

19.經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛〃J、時(shí))與汽車的平均速度

u(千米/小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為：y=(u>0).

vz2+,3溝v+16"00/

(1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度U為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？(保留分?jǐn)?shù)形式)

(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

b2a2

20.已知a>l,Z?>1,求—+——的最小值.

a-1b-1

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之相等關(guān)系與不等關(guān)系（2024年7月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.若實(shí)數(shù)a,b滿足工+1=y[ab,則ab的最小值為（）

ab

A.V2B.2C.2V2D.4

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】C

12/—1212

【分析】由一+工=/zb,可判斷〃>0,Z?>0,然后利用基礎(chǔ)不等式一+工之2Jr■即可求解次?的最

ababy/ab

小值

【解答】解：：工+：=Vab>

ab

/?>0,

1212

V-+->2——（當(dāng)且僅當(dāng)Z?=2〃時(shí)取等號(hào)），

abyab

?皿2偏,

解可得，ab>2V2,即ab的最小值為2V2,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題

XV

2.若直線一+丁=1（。>0,b>0）過點(diǎn)（1,1）,則〃+/?的最小值等于（）

ab

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】不等式.

【答案】C

1111

【分析】將（1,1）代入直線得：一+7=1,從而。+8=（-+-）（a+b）,利用基本不等式求出即可.

abab

xv

【解答】解：?直線一+—=1（〃>0,&>0）過點(diǎn)（1,1）,

ab

11、

+—=1（〃>0,

ab

所以a+b—(—+—)(a+b之

abab)—2'+a—+b2+2—,=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2=三即a=b=2時(shí)取等號(hào)，

ab

???〃+/?最小值是4,

故選：C.

1111

【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，求出一+二=1,得到4+6=(-+)(〃+6)是解題的關(guān)鍵.

aba?b

3.若正數(shù)次,y滿足x+3y=5孫，則3x+4y的最小值是()

2428

A.—B.—C.5D.6

55

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】C

3131

【分析】將x+3y=5孫轉(zhuǎn)化成F1=1,然后根據(jù)3x+4y=(―+—)(3x+4y),展開后利用基本不

等式可求出3x+4y的最小值.

31

【解答】解：?正數(shù)x,y滿足x+3y=5孫，?二7+7=1

5%5y

、9,4,12y,3%、13?。112y_3x.

??3x+4y=(+)(3x+4y)=己+己-1—=1--p—>-p-+2二—,-p—=5

,5%5y555x5y5q515y

當(dāng)且僅當(dāng)1不2上V=丁3x時(shí)取等號(hào)，

5%5y

3x+4y25,即3x+4y的最小值是5.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在求解函數(shù)的值域中的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是由已知變形，然后

進(jìn)行“1”的代換，屬于基礎(chǔ)題.

11

4.已知x>0,y>0,lg2x+lgSy=lg2,則以+豆的最小值是()

A.2B.2V2C.4D.2V3

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】C

【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則和基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答】解："：lg2x+lgsy=lg2,：.lg(248吟=lg2,：.2^=2,：.x+3y=l.

,?”>。，y>。，?弓+京=。+3冊+*=2+當(dāng)+京22+2律與=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y=拊

取等號(hào).

故選：C.

【點(diǎn)評】熟練掌握對數(shù)的運(yùn)算法則和基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.若log4(3a+4b)=log2V^F,則a+6的最小值是()

A.6+2百B.7+2V3C.6+4^3D.7+4百

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】D

【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則可得6=碧>0,a>4,再利用基本不等式即可得出

u—4

【解答】解：?.?3〃+4b>0,ab>0,

Z?>0

*.*Iog4(3a+4b)=\og2Vab,

Iog4(3〃+4b)=log4Cab)

3a+4b=ab,〃W4,a>0.b>0

為=言〉0,

??ci4,

3a412

貝ija+b=a+^-r=a+C-)+(-4)+J^+7>2](a-4)?鳥+7=48+7,當(dāng)

a—4a-4=a+3a—+4=a—4fl9a—4

且僅當(dāng)4=4+28取等號(hào).

故選：D,

【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算法則、基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

,1119

6.若正數(shù)a,b滿足一+工=1,—7+二二的最小值為()

aba-1b-1

A.1B.6C.9D.16

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】B

1111

【分析】正數(shù)〃，人滿足一+丁=1,可得〃>1,且人>1；即且b-l>0；由一+「=1變形

abab

1191

為化—7+17為—7+9（。-1）應(yīng)用基本不等式可求最小值.

DTa-1b-1a-1

11

【解答】解：?正數(shù)〃，Z?滿足一+二=1,且Z?>1；

ab

11??cc+b1

一+—=1變形為----=1,ab=a+b,.*.ab-a-b=0,（?-1）（/?-1）=1,.*.a-1=r-r；

abab。一1

191、n

??a-1>0,-----+------=-------+9（4-1）22/——?9（。-1）=6,

（2—16—1Q—1Nd—1

11A

當(dāng)且僅當(dāng)---=9（〃-1）,即4=1土一時(shí)t取"="（由于6Z>1,故取a-5），

a-133

19

.??工+工的最小值為6；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的靈活應(yīng)用問題，應(yīng)用基本不等式。+622屆時(shí)，要注意條件。>0,

且6>0,在a=6時(shí)取“=

14—

7.已知40,Q0,〃+。=2,貝!Jy=：+押最小值是（）

79

A.-B.4C.一D.5

22

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題.

【答案】c

【分析】利用題設(shè)中的等式，把y的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成（F）（-+7）展開后，利用基本不等式求得y的

2ab

最小值.

【解答】解：'：a+b=2,

a+b

------=]

2

?'-y-z+^=+7）=3+2+竿2,2=?（當(dāng)且僅當(dāng)方=2”時(shí)等號(hào)成立）

Jab2ab22abzz

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式求最值.注意把握好一定，二正，三相等的原則.

8.“%>1”是“l(fā)ogi（x+2）<0”的（）

2

A.充要條件

B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法；充分條件與必要條件.

【專題】簡易邏輯.

【答案】B

【分析】解"logi(x+2)<0"，求出其充要條件，再和%>1比較，從而求出答案.

2

【解答】解：由“l(fā)ogi(無+2)<0”

2

得：x+2>1,解得：x>-1,

anu

故x>l是logr(x+2)<0”的充分不必要條件,

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了充分必要條件，考察對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題.

■XV212

9.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3孫+4/-z=0.則當(dāng)一取得最大值時(shí)，-+一-一的最大值為()

zxyz

9

A.0B.1C.-D.3

4

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的最值.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】B

【分析】依題意，當(dāng)把取得最大值時(shí)尤=2y,代入所求關(guān)系式/(y)=稱+*-：利用配方法即可求得

zxyz

其最大值.

【解答】解：Vx2-3xy+4y2-z=0,

.".z—x2-3xy+4y2,又無，y,z均為正實(shí)數(shù)，

xyxy11

廠2-=x4V<；——(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=，

A—=2產(chǎn)"2=1X=2y”)

zx-3xy+4y：+芝-32

??吟)皿=1,此時(shí)，x=2y.

，z=7-3孫+4y2=(2y)2-3X2yXy+4y2=2y2,

21211112

A-+-=-+—=-(--1)+1W1,當(dāng)且僅當(dāng)y=l時(shí)取得“=”，滿足題意.

Xyzyyyzy

212

???一+———的最大值為1.

xyz

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查基本不等式，由上取得最大值時(shí)得到x=2y是關(guān)鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題.

z

10.已知x,yGR,且x>y>①則（）

11

A.———>0B.sinx-siny>0

xy

11

C.（-）"-（一）'VOD.lnx+lny>0

22

【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式.

【答案】C

,,1111

【分析】x,yCR,且％>y>0,可得：一V—,sinx與siny的大小關(guān)系不確定，（々尸〈仔尸，仇x+/町與

xy

0的大小關(guān)系不確定，即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：yCR,且x>y>0,則:<1,siiu,與siny的大小關(guān)系不確定，（獷<（獷，即（獷一（3

<0,Inx+lny與0的大小關(guān)系不確定.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

二.填空題（共5小題）

11.設(shè)x>0,y>0,x+2y=5,則竺竺竺工的最小值為4V3.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；定義法；不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用基本不等式求最值.

【解答］解：Vx>0,y>0,x+2y=5,

.?.2xyW（當(dāng)42=竽，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào),

.「25

??孫工和，

(%+l)(2y+l)2xy+x+2y+l2xy+6。(6

質(zhì)=4xy=2J盯+超

同

由基本不等式有:

2.+5刃2月居=473；

當(dāng)且僅當(dāng)2巧;=擊時(shí)，

%=3_p.X=2

即：孫=3,x+2y=5時(shí)，即:,y=1或3時(shí)；等號(hào)成立,

，二2

故生等為的最小值為《百；

故答案為：4V3

【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題.

XV

12.若直線一+—=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為8

ab

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】將(1,2)代入直線方程，求得工+：=1,利用“1”代換，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求

ab

得2a+b的最小值.

Xv12

【解答】解：直線一+:=1(〃>0,Z?>0)過點(diǎn)(1,2),則一+I=1,

abab

由2a+6=(2a+b)X(-+-)=2+第+1+2=4+竽+”4+2隹=4+4=8,

abbabayba

當(dāng)且僅當(dāng)竽=2即。=2,6=4時(shí)，取等號(hào)，

ba

：.2a+b的最小值為8,

故答案為：8.

【點(diǎn)評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查"1"代換，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

118

13.已知a>0,b>0,且ab=l,則一+一+---的最小值為4

2a2ba+b-----

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由/+/+羽=箸+羽=胃+工’利用基本不等式即可求出?

■Ennl118a+b8a+b8

【解答】斛：〃>02>0,且次?=1,貝U丁+~+=-+==―+>2?—TT=%

2a2ba+b2aba+b2a+bN2a+b

,b8

當(dāng)且僅當(dāng)----=----,即a=2+W,b=2—W或a=2—W，/?=2+V3取等號(hào)，

2a+b

故答案為：4

【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

a4+4D4+l

14.若a,Z?GR,ab>0,則的最小值為4.

ab

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；不等式.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】【方法一】兩次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等號(hào)成立的條件是什么.

111

【方法二】將-T拆成一三+一工，利用均值不等式求出最小值.

ab2ab2ab

【解答】解：【解法一】a,bER,ab>0,

a4+4b4+l2y/a4-4b4+l

：.-------------->------------------

abab

2

_4a2b+1

一ab

a4=4b4

當(dāng)且僅當(dāng)4a6$

2b2

即

???上式的最小值為4.

【解法二】a,b￡R,ab>0,

a4+4b4+la34b3114a34b311

--------------——+------+------+------>4—?------?-------------=4

abba2ab2ab—Ja2ab2ab

a4=4b4

當(dāng)且僅當(dāng)4a6$

.?.上式的最小值為4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是中檔題.

11

15.已知a,bER,且a-36+6=0,則2。+吃的最小值為一

8b

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】化簡所求表達(dá)式，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：a,b&R,且a-3b+6=0,

可得：3b—a+6,

則2。+』=2。+表=2。+宓22三11

1

當(dāng)且僅當(dāng)2。=向.即。=-3時(shí)取等號(hào).

1

函數(shù)的最小值為：--

4

m1

故答案為：二.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，也可以利用換元法，求解函數(shù)的最值.考查

計(jì)算能力.

三.解答題(共5小題)

16.若x,y,z為實(shí)數(shù)，J!Lx+2y+2z=6,求/+y2+z2的最小值.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；推理和證明；不等式.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)柯西不等式進(jìn)行證明即可.

【解答】解：由柯西不等式得(12+22+22)2(x+2y+2z)2,

x+2y+2z=6,x~+y^+z^^4

是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)無=■!，尸[,z=1,

122553

：.x1+y2+z2的最小值為4

【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的證明，利用柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵.，

17.已知關(guān)于x的不等式|x+a|<b的解集為{x[2<x<4}

(I)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(II)求Vat+12+A/玩的最大值.

【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(I)由不等式的解集可得裙的方程組，解方程組可得；

(II)原式=〃—3t+12+V?=-t+”,由柯西不等式可得最大值.

【解答】解：(I)關(guān)于x的不等式|尤+°|<6可化為-b-a1x〈b-a,

又?.?原不等式的解集為{x[2<x<4},

(II)由(I)可得5/at+12+y/bt=V—3t+12+Vt

=V3V4^t+Vt<J[(V3)2+l2][(V4^t)2+(Vt)2]

=2=4—t+t—4,

V4-tVt

當(dāng)且僅當(dāng)一^=不即r=l時(shí)取等號(hào)，

V31

所求最大值為4

【點(diǎn)評】本題考查不等關(guān)系與不等式，涉及柯西不等式求最值，屬基礎(chǔ)題.

18.已知無>0,y>0,且2x+8y-孫=0,求：

(1)町的最小值；

(2)x+y的最小值.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)利用基本不等式構(gòu)建不等式即可得出；

2o

(2)由2x+8y=孫，變形得一+-=1,利用“乘1法”和基本不等式即可得出.

yx

【解答】解：(1)Vx>0,y>0,2x+8y-孫=0,

xy=2x+8y22jl6%y,

Axy^64.當(dāng)且僅當(dāng)％=4y=16時(shí)取等號(hào).

故xy的最小值為64.

28

(2)由2x+8y=w得：一+-=1,

yx

又x>0,y>0,

，x+y=(x+yA(|+1)=10+華+1K10+2岸噂=18.當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=12時(shí)取等號(hào).

故x+y的最小值為18.

【點(diǎn)評】熟練掌握“乘1法”和變形利用基本不等式是解題的關(guān)鍵.

19.經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度

U（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：y=2—"n（u>0）.

vz+3v+1600

（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度U為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？（保留分?jǐn)?shù)形式）

（2）若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】應(yīng)用題；不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)基本不等式性質(zhì)可知y=2/2%八八=產(chǎn)?<鬻，進(jìn)而求得>的最大值.根

■uz+3u+16003+（v+i^JU）83"

據(jù)等號(hào)成立的條件求得此時(shí)的平均速度.

（2）在該時(shí)間段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)時(shí)，解不等式即可求出v的范圍.

【解答】解：⑴依題意，尸再黯而=蕭蛔三鬻,

當(dāng)且僅當(dāng)丫=陪，即n=4。時(shí)，上式等號(hào)成立，

**?ymax—^00（千輛/時(shí)）.

03

920

當(dāng)口=4。姓/〃時(shí)'車流量最大,最大車流量約為運(yùn)千輛/時(shí);

⑵由條件得總小>10,

整理得v2-89v+1600<0,

即（V-25）（V-64）<0,

解得25cp<64,

所以，如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，

則汽車的平均速度應(yīng)大于25km/h且小于64km/h.

【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用.要特別留意等號(hào)取得的條件.

b2a2

20.已知a>l,b>l,求——+——的最小值.

a-1b-1

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式.

【答案】見試題解答內(nèi)容

22

bay

【分析】根據(jù)a>lfb>l即可得出---+4（a—1）>4b,--+4（力—1）>4a,兩式相加便可求出

b2a2

工+武的最小值.

【解答】解：b>l,

：.a-1>0,b-1>0,

b2a2

-----+4(。—1)>4b,---+4(Z?-1)>4a,

b2a2

兩式相加：---+4(a—1)+------+4(b—1)>4h+4a,

a—1o—l

b2a2

-----+------>8,

a-1b-1

b2a2

當(dāng)且僅當(dāng)---=4(a—1),且:—=4(b—1)時(shí)成立，

Cl—1D—1

b2a2

即a=b=2時(shí)，---+----取得最小值8.

a-1b-1

【點(diǎn)評】考查基本不等式a+b22而，a>0,b>0,以及基本不等式在求最值中的應(yīng)用，注意等號(hào)

成立的條件.

考點(diǎn)卡片

1.充分條件與必要條件

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、判斷：當(dāng)命題“若p則為真時(shí)，可表示為pnq,稱p為q的充分條件，q是p的必要條件.事實(shí)上，

與“p今等價(jià)的逆否命題是臺(tái)「p”.它的意義是：若q不成立，則0一定不成立.這就是說，q對

于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件.例如：p：x>2；q：x>0.顯然xCp,則xCg.等價(jià)于xCg,

則xip一定成立.

2、充要條件：如果既有“pnq”，又有“q=p”,則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是0成立的

充要條件，記作“poq”.p與q互為充要條件.

【解題方法點(diǎn)撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一

不可.證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)

生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若pnq為真命題且qnp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若p0q為假命題且q0P為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若p=q為真命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若p=q為假命題且q=p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題g所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q

的關(guān)系.

【命題方向】

充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)

容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣.

2.不等關(guān)系與不等式

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

一48

不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對于相等關(guān)系來說的，比如:與一就是相等關(guān)系.而

24

不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個(gè)式子，比方說a-b

>0就是不等式.

不等式定理

①對任意的a,b,有a>b^a-b>0；a=b=>a-b=0；a〈b=a-b<0,這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù).

②如果a>b,那么b<a；如果a<b,那么b>a.

③如果〃>b,且/?〉c,那么a>c；如果〃>/?,那么〃+c>Z?+c.

推論：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.

④如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果c<0,那么ac<bc.

【命題方向】

例1：解不等式：sinxN

1

解：*.*sinx>?

TT57T

「?2fcir+z2^ir+(ZcZ),

o6

1-TT577"

?,?不等式sinx>和解集為{x|2冊+'<xW2E+芥，依Z}.

這個(gè)題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點(diǎn)，這

個(gè)題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個(gè)周期的，然后加上所以周期就是最后的解.

11

例2：當(dāng)次?>0時(shí)，a>b<^>—<—.

ab

1

證明：由次?>0,知一>0.

ab

1111

又曾>兒"豆〉"道即尸了

11

右一,貝卜?abV一?ab

abab

:?d>b.

這個(gè)例題就是上面定理的一個(gè)簡單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯(cuò)的，直接舉個(gè)反例即可,

這種技巧在選擇題上用的最廣.

3.基本不等式及其應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或

等于它們的算術(shù)平均數(shù).公式為：—^―>y]~ab(a20,620),變形為abW(-)?或者a+b^2-/ab.常

常用于求最值和值域.

實(shí)例解析

例1:下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是.

2abX2+242

A：b均為負(fù)數(shù)，則+22.B：,---->2.C：sinxH—：—>4.Z)：ci&R+>(3—a)(l)<0.

b2aVx2+1sinxa

解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、2、D均滿足條件.

對于C選項(xiàng)中sinx#+2,

不滿足“相等”的條件，

再者sinx?可以取到負(fù)值.

故選：C.

A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；8分子其實(shí)可以寫成

?+1+1,然后除以分母就可換成基本不等式.這個(gè)例題告訴我們對于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=3的最值？當(dāng)0〈尤<1時(shí)，如何求y=累的最大值.

解：當(dāng)％=0時(shí)，y=0,

當(dāng)尤00時(shí)'、=品=5'

用基本不等式

若x>0時(shí)，OVyW?，

若x〈0時(shí)，一?WyVO,

綜上得，可以得出—乎工y〈孝，

??.y=士的最值是一字與序.

%乙+244

這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0,沒有明確表示的話就需要討

論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素(函數(shù))相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；

最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果.

【解題方法點(diǎn)撥】

基本不等式的應(yīng)用

1、求最值

例1:求下列函數(shù)的值域.

(I))=3x2+*(2)y=x+^

解:⑴產(chǎn)3x*+圭式小工會(huì)=*.?.值域?yàn)辂悾?

⑵當(dāng)x>0時(shí)，y=x+；小艮=2}

當(dāng)x<0時(shí)，v=x+1=-(-x-J)W-2'/x1=-2

zkXyzk

...值域?yàn)?-00,-21UF2,-MO)

2、利用基本不等式證明不等式

例2：已知a、b、ceIC,且a+b+c=1。求證：j--1|j^--1jj--1j>8

分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)“2”連乘，又

l_i=lz￡=^z￡>^￡,可由此變形入手。

aaaa

有,n+.,.1I,1-々b+c-iJbc?=,,□，1?_2^Jac1._2^/ab

ct\b\ceR,a+b+c=lo-一-1==------2----------。同理一一---->——12--------。

aaaabbcc

上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

；--“LJ"T?跡2叵.4叵=8。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=^時(shí)取等號(hào)。

3、基本不等式與恒成立問題

19,、_,、、一

例3：已知>0且一+—=1,求使不等式％+y之次恒成立的實(shí)數(shù)次的取值范圍。

xy

的人19.x+v9x+9v._10y9x

解：方x+y=左7_x>A0.y>A0--+—=1,------+----------=1.—+——+—

XVkxkykkxky

inQ

/.1-—>2-o.Jt>16,me(-00,16]

kk

4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用

例4：若a>b>LP=Jlga/g瓦Q=：Qga+lg6),&=lg(^^),則RQ.K的大小關(guān)系是

分析：■「a>b>1.*.lga>0,1gb>Q

0=((1ga+lgb)>Jiga」gb=p

R=lg(^^)>lg-fab=<lgab=Q

：.R>Q>P。

【命題方向】

技巧一：湊項(xiàng)

例1：已知求函數(shù)丫=4式-2十一i—的最大值。

4"4x—5

解：S4x-5<0,所以首先要，調(diào)整甯號(hào)，又(4x-2A—!-不是常數(shù)，所以對4x-2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，

4x-5

vx<7，.-.5-4x>0^..j=4x-2+——=一；’5-4'+—-—；+34-2+3=1

44x-5I5-4xJ

當(dāng)且僅當(dāng)5-4X=K。，即x=l時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=l時(shí)，％,=