2024-2025學年高二數學選擇性必修第一冊（配湘教版）1.2.1 第2課時 等差數列的性質

第2課時等差數列的性質A級必備知識基礎練1.[2024甘肅白銀高二期末]在等差數列{an}中,a2+a4=9-a6,則a3+a5=()A.6 B.8C.9 D.122.[2024甘肅武威高二期中]在等差數列{an}中,a4+a6+a8+a10=22,則a1+a13的值為()A.-11 B.11C.22 D.333.[2024甘肅白銀高二階段練習]等差數列{an}的公差為d,當首項a1與d變化時,a2+a10+a21是一個定值,則下列各項中一定為定值的是()A.a10 B.a11C.a12 D.a134.《周髀算經》中有這樣一個問題:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣,自冬至日起,其日影長依次成等差數列,立春當日日影長為9.5尺,立夏當日日影長為2.5尺,則春分當日日影長為()A.4.5尺 B.5尺 C.5.5尺 D.6尺5.已知等差數列{an}的公差為d,若a1+a2+a3=9,a2+a4=8,則d=,a1=.

6.已知公差為正整數的等差數列{an}滿足下列兩個條件:①a3+a5+a7=93;②滿足an>100的n的最小值是15.試求公差d和首項a1的值.B級關鍵能力提升練7.在等差數列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=40,則a7-12a8的值為(A.4 B.6C.8 D.108.在等差數列{an}中,a1+a5+a7+a9+a13=100,a6-a2=12,則a1=()A.1 B.2C.3 D.49.在等差數列{an}中,若a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,則a4+a10等于()A.45 B.50C.75 D.6010.(多選題)已知等差數列{an}的公差d>0,且滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則下列各式一定成立的有()A.a1+a101>0 B.a2+a100=0C.a3+a100≤0 D.a51=011.(多選題)《九章算術》是我國古代的數學名著,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等.問各得幾何?”其意思為:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得錢數依次成等差數列.問五人各得多少錢?”關于這個問題,下列說法正確的是()A.甲得錢是戊得錢的2倍B.乙得錢比丁得錢多12C.甲、丙得錢的和是乙得錢的2倍D.丁、戊得錢的和比甲得錢多1312.已知數列{an}是等差數列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a13+a14=77,則公差d=.

13.已知等差數列{an}是遞增數列,且a1=1,a3a5=91,則{an}的通項公式為,滿足am+am+1+am+2+…+am+5=123的正整數m=.

14.已知{an}是等差數列,且滿足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66,求數列{an}的通項公式.15.設數列{an}是等差數列,ap=q,aq=p(p≠q),試求ap+q.C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.我國古代數學名著《孫子算經》載有一道數學問題:“今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩二,七七數之剩二,問物幾何?”根據這一數學思想,所有被3除余2的整數從小到大組成數列{an},所有被5除余2的正整數從小到大組成數列{bn},把數列{an}與{bn}的公共項從小到大排列得到數列{cn},則下列說法正確的是()A.a1+b2=c2 B.b8-a2=c4C.b22=c8 D.a6b2=c9

第2課時等差數列的性質1.A因為數列{an}為等差數列,且a2+a4=9-a6,由等差數列的性質,得a2+a4+a6=3a4=9,即a4=3,所以a3+a5=2a4=6.故選A.2.B由等差數列的性質可知a4+a10=a6+a8=a1+a13,而a4+a6+a8+a10=22,所以2(a1+a13)=22,即a1+a13=11.故選B.3.B因為an=a1+(n-1)d,n∈N+,而a2+a10+a21=(a1+d)+(a1+9d)+(a1+20d)=3a1+30d=3(a1+10d)=3a11,所以a11一定為定值.故選B.4.D設十二節(jié)氣自冬至起的日影長構成的等差數列為{an},則立春當日日影長為a4=9.5,立夏當日日影長為a10=2.5,所以春分當日日影長為a7=12(a4+a10)=6.故選D5.12∵a1+a2+a3=9,且a1+a3=2a2,∴a2=3.∵a2+a4=2a3=8,∴a3=4,∴d=a3-a2=4-3=1,∴a1=a2-d=3-1=2.6.解因為a3+a5+a7=93,所以3a5=93,所以a5=31,所以an=a5+(n-5)d=31+(n-5)d.解不等式31+(n-5)d>100,得n>69d+5因為n的最小值是15,所以14≤69d+5<所以6910<d≤23又因為d為正整數,所以d=7,a1=a5-4d=3.7.A∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=40,∴a6=8.∴a7-12a8=12(2a7-a8)=12(a6+a8-a8)=12a8.B設等差數列{an}的公差為d,∵a1+a5+a7+a9+a13=100,∴5a7=100,∴a7=20.∵a6-a2=4d,且a6-a2=12,∴4d=12,∴d=3.∴a7=a1+6d=20,∴a1=2,故選B.9.B因為在等差數列{an}中,a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,所以a2=323,a12=1183,所以a4+a10=a2+a12=50,故選10.BD∵等差數列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B,D正確,A錯誤.又a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C錯誤.故選BD.11.AC依題意,設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,則a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d.∵a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1,d=-16,∴a-2d=1-2×-16=43,a-d=1--16=76,a+d=1+-16=56,a+2d=1+2×-16=23∴甲得43錢,乙得76錢,丙得1錢,丁得56錢,戊得23錢.則甲得錢是戊得錢的2倍,乙得錢比丁得錢多76-56=1甲、丙得錢的和是乙得錢的43+176=2倍,丁、戊得錢的和比甲得錢多56+23-43=112.23∵a4+a7+a10=3a7=17,∴a7=17∵a4+a5+a6+…+a13+a14=11a9=77,∴a9=7,∴公差d=a913.an=3n-25設{an}的公差為d(d>0).由條件可得a3a5=(1+2d)(1+4d)=91,解得d=3或d=-154(舍去因此an=1+(n-1)×3=3n-2.am+am+1+am+2+…+am+5=3(am+am+5)=3×[3m-2+3×(m+5)-2]=18m+33=123,解得m=5.14.解∵{an}是等差數列,且a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=6.∵a∴a2+當a2=11,a4=1時,∴an=a1+(n-1)d=16+(n-1)·(-5)=-5n+21.當a2=1,a4=11時,∴an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9.綜上,an=-5n+21或an=5n-9.15.解設數列{an}的公差為d,∵ap=aq+(p-q)d,∴d=ap-a從而ap+q=ap+qd=q+q×(-1)=0,∴ap+q=0.16.C根據題意,數列{an}是首項為2,公差為3的等差數列,an=2+3(n-1)=3n-1;數列{bn}是首項為2,公差為5的等差數列,bn=2+5(n-1)=5n-3.把數列{an}與{bn}的公共項從小到大排列得到數列{cn},故數列{cn}是首項為2,公差為15的等差數列,cn=2+15(n-1)=15n-13.a1+b2=2