2024-2025學年高二數(shù)學選擇性必修第一冊（配湘教版）1.2.3 第2課時 等差數(shù)列的前n項和的性質

第2課時等差數(shù)列的前n項和的性質A級必備知識基礎練1.已知等差數(shù)列{an}的前11項和S11=88,則a2+a10=()A.16 B.17 C.18 D.192.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=10,公差d=-72,則Sn取得最大值時n的值為(A.3 B.4 C.5 D.63.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S5=12,S10=48,則S15=()A.84 B.108 C.144 D.1564.[2024甘肅臨夏高二期中]設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.27 B.45C.81 D.185.(多選題)已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其前n項和為Sn,且滿足a7=3a5,則下列結論正確的是()A.d>0B.a1<0C.當n=5時,Sn最小D.當Sn>0時,n的最小值為86.(多選題)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,下列選項可能是{Sn}的圖象的是()7.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,a10a11<0,若此數(shù)列的前10項和S10=36,前18項和S18=12,則數(shù)列{|an|}的前18項和T18=.

8.[2024甘肅慶陽高二期末]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S2023<0,S2024>0,則當Sn最小時,n的值為.

9.設{an}為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列Snn的前n項和,求TB級關鍵能力提升練10.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=S10,S6=Sk,則k的值是()A.6 B.7C.8 D.911.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若a1=2024,且S20202020-S2A.1×20212 B.2×20212C.3×20212 D.4×2021212.[2024甘肅定西高二階段練習]已知等差數(shù)列{an}共有21項,若奇數(shù)項的和為110,則偶數(shù)項的和為()A.100 B.105C.90 D.9513.(多選題)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差為d,已知a3=12,S12>0,S13<0,則下列結論正確的有()A.a6+a7<0B.a7<0C.d可以取負整數(shù)D.對任意n∈N+,有Sn≤S614.(多選題)已知等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,且前n項和為Sn,若S7=S11,則()A.a10>0B.當n=9時,Sn最大C.S17>0D.S19>015.(2023新高考Ⅰ,7)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,設甲:{an}為等差數(shù)列;乙:Snn為等差數(shù)列,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件16.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,如果a1=-5,an+1=an+2,n∈N+,那么S1,S2,S3,S4中最小的為.

17.在等差數(shù)列{an}中,奇數(shù)項之和為44,偶數(shù)項之和為33,若此數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù),則這個數(shù)列的中間項是第項;若此數(shù)列的項數(shù)為偶數(shù),且公差為-12,則此數(shù)列的項數(shù)為.18.[2024甘肅酒泉敦煌中學高二期中]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=-9,S8=-48.求:(1)數(shù)列{an}的通項公式;(2)Sn的最小值及取得最小值時n的值.C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.(多選題)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=33n-n2,則下列說法正確的是()A.an=34-2nB.S16為Sn的最小值C.|a1|+|a2|+…+|a16|=272D.|a1|+|a2|+…+|a30|=450

第2課時等差數(shù)列的前n項和的性質1.A由等差數(shù)列{an}的性質可得a1+a11=a2+a10.由于前11項和S11=88=11(a1+a11)2,因此a1+a11=16,則a22.A∵a1=10,d=-72∴Sn=10n+n(n-1)2×-72=-74∵函數(shù)y=-74x2+474x的圖象的對稱軸為直線x=4714,且圖象開口向下,∴當n=3時,Sn取得最大值.3.B由等差數(shù)列前n項和的性質可知S5,S10-S5,S15-S10成等差數(shù)列.由等差中項性質可知2(S10-S5)=S5+(S15-S10),解得S15=108,故選B.4.B因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,可得2(S6-S3)=S3+S9-S6,即2(36-9)=9+S9-S6,解得S9-S6=45,即a7+a8+a9=45.故選B.5.ABD設等差數(shù)列{an}的公差為d,因為{an}是遞增數(shù)列,所以d>0.因為a7=3a5,所以a5+2d=3a5,所以d=a5,所以a1=a5-4d=-3d<0,故A,B正確;又因為a4=a5-d=d-d=0,所以S3=S4,且為Sn的最小值,故C錯誤;又因為S8=8(a1+a8)2=4(a4+a5)=4a5=4d>0,S7=7(a故選ABD.6.ABC因為Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,所以Sn=an2+bn(a,b為常數(shù),n∈N+),則其對應函數(shù)y=ax2+bx,當x∈N+時的函數(shù)值,函數(shù)的圖象是過原點的一條曲線.當a=0時,該曲線是過原點的直線,如選項C;當a≠0時,該曲線是過原點的拋物線,如選項A,B;選項D中的曲線不過原點,不符合題意.故選ABC.7.60由a1>0,a10a11<0,知d<0,且a10>0,a11<0,所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18=2S10-S18=60.8.1012因為在等差數(shù)列{an}中,S2023=2023(a1+a2023S2024=1012(a1+a2024)=1012(a1012+a1013)>0,所以a1012<0,a1013>0,則當Sn最小時,n=1012.9.解設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則Sn=na1+12n(n-1)d因為S7=7,S15=75,所以7a1所以Sn=n2-5n2,所以數(shù)列Snn是等差數(shù)列,其首項為-2,公差為所以Tn=-2n+n(n-1)210.B由題意可得{an}的公差d≠0.∵等差數(shù)列的前n項和Sn=d2n2+a1-d2n可看作二次函數(shù)y=d2x2+a1-d2x當x∈N+時的函數(shù)值,且S3=S10,∴二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=3+102又S6=Sk,∴6+k2=13211.D因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和,a1=2024,S20202020-S20192019=3,所以數(shù)列Snn是以S11=2024為首項,3為公差的等差數(shù)列,所以S20212021=S11+2020×3=2024+212.A由a1+a3+…+a21=1113.BD因為S12=12a1+12×112·d>0,S13=13a1+13所以2a1+11d>0,a1+6d<0,即a6+a7>0,a7<0,所以a6>0,所以d<0,所以對任意n∈N+,有Sn≤S6.由a3=12得a1=12-2d,聯(lián)立2a1+11d>0,a1+6d<0,解得-247<d<-3,故d不能取負整數(shù).故選BD14.BC由S7=S11,得S11-S7=a8+a9+a10+a11=2(a9+a10)=0,則a9+a10=10.又因為{an}是遞減數(shù)列,所以a9>0,a10<0,故A錯誤,B正確;S17=17(a1+a17)2=17S19=19(a1+a19)2=19a10<15.C(充分性)若{an}為等差數(shù)列,設其首項為a1,公差為d,則Sn=na1+n(n-1)2d,則Snn=a1+n-12d=d2n+a1-d2(必要性)反之,若Snn為等差數(shù)列,設Snn=An+B,A≠0,則Sn=An2+Bn,a1=S1=A+B.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2當n=1時也符合上式,故an=2An-A+B,故{an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件.綜上,甲是乙的充要條件.故選C.16.S3∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=-5,an+1=an+2,n∈N+,∴數(shù)列{an}是首項為-5,公差為2的等差數(shù)列.∴a1=-5,a2=-3,a3=-1,a4=1.∴S1=-5,S2=-8,S3=-9,S4=-8.∴S1,S2,S3,S4中最小的為S3.17.444若此數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù),設項數(shù)為2n-1,則奇數(shù)項之和S1=a1+a3+…+a2n-1=n(a1偶數(shù)項之和S2=a2+a4+a6+…+a2n-2=(n-1)(a2+a2n-2)2=(n-若此數(shù)列的項數(shù)為偶數(shù),設項數(shù)為2n,則S1-S2=nd,所以-11=-12n,所以n=22,故此數(shù)列的項數(shù)為4418.解(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,由a3=-9,S8=-48,得a1+2d=-9,8a1+8×7解得a1=-13,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-15.(2)由(1)知Sn=na1+n(n-1)2d=n2-14n=(n-7)2-49,又n∈N+,所以當n=7時,Sn19.AC數(shù)列{an}的前n項和為Sn=33n-n2.當n=1時,a1=32,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=33n-n2-33(n-1)+(n-1)2=-2n+34,當n=1時,