八年級(jí)期末真題（原卷版）

八年級(jí)上期末真題精選【考題猜想，壓軸60題21個(gè)考點(diǎn)專練】【題型展示】一、利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決面積問(wèn)題（共3小題）二、利用全等三角形的性質(zhì)與判定探究線段間存在關(guān)系（共3小題）三、利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（共3小題）四、坐標(biāo)系與全等三角形綜合（共3小題）五、全等三角形的多結(jié)論問(wèn)題（共3小題）六、利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決最值問(wèn)題（共4小題）七、利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最短距離（共3小題）八、折疊問(wèn)題（共3小題）九、等腰三角形性質(zhì)與判定綜合（共3小題）十、等邊三角形手拉手模型（共3小題）一十一、軸對(duì)稱綜合（共4小題）一十二、勾股定理與折疊問(wèn)題（共2小題）一十三、勾股定理的證明方法（共3小題）一十四、勾股定理的證明方法（共1小題）一十五、利用勾股定理求最短距離（共3小題）一十六、與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題（共4小題）一十七、坐標(biāo)與圖形的規(guī)律探究問(wèn)題（共4小題）一十八、一次函數(shù)與三角形面積綜合（共1小題）一十九、一次函數(shù)與全等三角形（共1小題）二十、一次函數(shù)與等腰三角形（共2小題）二十一、一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（共4小題）一、利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決面積問(wèn)題（共3小題）1．（2023下·北京海淀·八年級(jí)校考期末）（1）探究規(guī)律：已知：如圖，點(diǎn)為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，、的面積分別記為、，平行四邊形的面積記為，試探究與之間的關(guān)系．

（2）解決問(wèn)題：如圖矩形中，，，點(diǎn)、、、分別在、、、上，且，．點(diǎn)為矩形內(nèi)一點(diǎn)，四邊形、四邊形的面積分別記為、，求．

2．（2023下·江蘇淮安·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖①，在中，，．現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止，速度為．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(2)如圖①，當(dāng)時(shí)，的面積等于面積的一半；(3)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好與全等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．3．（2021下·湖北武漢·八年級(jí)武漢一初慧泉中學(xué)校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與平行的直線，交x軸于點(diǎn)B．(1)如圖1，試求的面積；(2)在圖1中，過(guò)的直線與成夾角，試求該直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖2，現(xiàn)有點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在x軸上，N為線段的中點(diǎn)．①試求點(diǎn)N的縱坐標(biāo)y關(guān)于橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫出N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為．二、利用全等三角形的性質(zhì)與判定探究線段間存在關(guān)系（共3小題）4．（2021上·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，再連接，可證，從而把、，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問(wèn)題的方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的角平分線，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

5．（2023下·山西忻州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在學(xué)校活動(dòng)課上，樊老師讓同學(xué)們探究特殊平行四邊形的性質(zhì)，小明和他的小伙伴們準(zhǔn)備了如圖1所示的正方形，連接對(duì)角線，在上取一點(diǎn)P，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)F，且．

(1)如圖1，小明連接了，小伙伴們發(fā)現(xiàn)了與之間存在一定的關(guān)系，其數(shù)量關(guān)系為________，位置關(guān)系為________．(2)如圖2，小明連接了，小伙伴們發(fā)現(xiàn)了和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你幫助小明和小伙伴們探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3．小明將正方形改為菱形，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2023下·重慶南岸·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，P是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），連接，將沿翻折得，記．

(1)如圖1，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，用含的式子表示；(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，①如圖2，若平分交于點(diǎn)，猜想之間存在的等量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；②若，請(qǐng)直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆⒗萌热切蔚男再|(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（共3小題）7．（2022下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A（0，2），C（2，0）．(1)如圖一，E是OC邊的中點(diǎn)，將△AOE沿AE翻折后得到△AEF，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G，求CG的長(zhǎng)；(2)如圖二，∠AOC的角平分線交AD于點(diǎn)B，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接CF，求∠ACF的大小；(3)如圖三，M，N分別是邊CD和對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AN=CM，則OM+ON的最小值=____________．（直接寫出結(jié)果）8．（2022下·江蘇泰州·八年級(jí)校考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD，DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，A，D關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)分別為M，N，連接MN．(1)如圖，當(dāng)E在邊AD上且DE＝2時(shí)，求∠AEM的度數(shù)．(2)當(dāng)N在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，求DE的長(zhǎng)，并判斷直線MN與直線BD的位置關(guān)系，說(shuō)明理由．(3)當(dāng)直線MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求DE的長(zhǎng)．9．（2022下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4．(1)將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P處（如圖1），折痕AO與邊BC交于點(diǎn)O，連AP、OP、OA．求線段CO的長(zhǎng)；(2)在（1）的條件下，連BP（如圖2）．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN＝PM，連MN交PB于點(diǎn)F，作MEBP于點(diǎn)E．試問(wèn)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．四、坐標(biāo)系與全等三角形綜合（共3小題）10．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，．為y軸上一點(diǎn)，P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)①連接，若的面積為面積的，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______；②若射線平分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)恰好落在x軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．（直接寫出所有答案）11．（2022上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，AB＝EC，BE＝CD，連接AE、DE．判斷△AED的形狀，并說(shuō)明理由；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（5，1），點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，若△ABC是等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)C是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段CA繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至線段CB，連接BO、BA，則BO+BA的最小值是．12．（2022上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且AB＝4，OB＝3．(1)試判斷△AOB的形狀，并說(shuō)明理由．(2)點(diǎn)P是線段OA上一點(diǎn)，且PB－PA＝1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)C、點(diǎn)D分別為線段OB、BA上的動(dòng)點(diǎn)，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．五、全等三角形的多結(jié)論問(wèn)題（共3小題）13．（2023下·山東威海·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為4．連接其對(duì)角線，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．①；②的面積為；③；以上三個(gè)選項(xiàng)正確的是（

）

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②14．（2022上·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在線段AO上，以CD為邊作等邊三角形CDE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于CD兩側(cè)，連接OE，BE．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③；④直線．其中結(jié)論正確的是（

）A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④15．（2023上·河北張家口·八年級(jí)張家口市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，點(diǎn)為三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，度，，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn)，且．甲、乙、丙三位同學(xué)有如下判斷：甲：度；乙：四邊形的面積是不變的；丙：當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最小值．其中正確的是（

）A．只有丙正確 B．只有甲、乙正確 C．只有乙、丙正確 D．甲、乙、丙都正確六、利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決最值問(wèn)題（共4小題）16．（2022上·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．(1)求證：∠ACB＝∠ACD；(2)過(guò)點(diǎn)E作ME∥AB，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．①連接PE，交AM于點(diǎn)N，證明AM垂直平分PE；②點(diǎn)O是直線AE上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MO+PO的值最小時(shí)，證明點(diǎn)O與點(diǎn)E重合．17．（2021上·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在等邊中，為上一點(diǎn)，，且．(1)如圖1，若點(diǎn)在邊上，求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)在內(nèi)，連接，為的中點(diǎn)，連接，，求證：；(3)如圖3，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，．若的值最小時(shí)，的度數(shù)為______（直接寫出結(jié)果）．18．（2022上·重慶云陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在銳角△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AD上一點(diǎn)，且DE＝CD，連接BE．(1)如圖1，若∠DBE＝30°，BE＝6，AE＝4，求△ACD的面積；(2)如圖2，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，連接AF，若∠DBE＝∠CAD＝∠AFE，求證AF＝2CD；(3)如圖3，若∠DBE＝∠CAD，M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM并繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AN，連接DN，EN．當(dāng)DN長(zhǎng)度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ABE與∠DNE所滿足的等量關(guān)系19．（2022上·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，為等邊三角形，D為AC右側(cè)一點(diǎn)，且，連接BD交AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)F．(1)若，，求AD；(2)證明：；(3)如圖2，若，G為BC中點(diǎn)，連接AG，M為AG上一動(dòng)點(diǎn)，連接CM，將CM繞著M點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到MN，連接AN，CN，當(dāng)AN最小時(shí)，直接寫出的面積．七、利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最短距離（共3小題）20．（2021下·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）古希臘有一個(gè)著名的“將軍飲馬問(wèn)題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)A，B．他總是先去A營(yíng)，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營(yíng)．他時(shí)常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題．如圖2，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′與直線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的位置．證明：如圖3，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連結(jié)AC′，BC，B′C′，∵直線l是點(diǎn)B，B′的對(duì)稱軸，點(diǎn)C，C′在l上，∴CB=_________，C′B=_________，∴AC+CB=AC+CB′=_________．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最?。締?wèn)題實(shí)際上是利用軸對(duì)稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中C在AB′與l的交點(diǎn)上，即A，C，B′三點(diǎn)共線）．本問(wèn)題可歸納為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”的問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．拓展應(yīng)用：如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，點(diǎn)P是BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D5中畫出PC+PM的值最小時(shí)P的位置．（可用三角尺）21．（2022上·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）問(wèn)題情境：老師在黑板上出了這樣一道題：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，在直線上是否存在點(diǎn)，使得的值最小？小明的解法如下：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．問(wèn)題提出：(1)如圖，等腰的直角邊長(zhǎng)為4，E是斜邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．問(wèn)題解決：(2)如圖，為了解決A，B兩村的村民飲用水問(wèn)題，A，B兩村計(jì)劃在一水渠上建造一個(gè)蓄水池，從蓄水池處向A，B兩村引水，A，B兩村到河邊的距離分別為千米，千米，千米．若蓄水池往兩村鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米15000元，請(qǐng)你在水渠上選擇蓄水池的位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，并求出最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用．22．（2022上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，P為內(nèi)一定點(diǎn)，M、N分別是射線OA、OB上的點(diǎn)，（1）當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，在圖中畫出（保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，已知，求的度數(shù)．

八、折疊問(wèn)題（共3小題）23．（2021上·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角三角形紙片中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD(1)求△AED的周長(zhǎng)；(2)過(guò)點(diǎn)C作△ABC的高，并求出這個(gè)高長(zhǎng)．24．（2022上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）操作：第一步：如圖1，對(duì)折長(zhǎng)方形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開．第二步：如圖2，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的N處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN．連結(jié)AN，易知△ABN的形狀是．論證：如圖3，若延長(zhǎng)MN交BC于點(diǎn)P，試判定△BMP的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2021上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，將三角形紙片ABC，沿AE折疊，使點(diǎn)B落在BC上的F點(diǎn)處；展開后，再沿BD折疊，使點(diǎn)A恰好仍落在BC上的F點(diǎn)處（如圖2），連接DF．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）若△CDF為直角三角形，且∠CFD=90°，求∠C的度數(shù)；（3）若△CDF為等腰三角形，求∠C的度數(shù)．九、等腰三角形性質(zhì)與判定綜合（共3小題）26．（2021上·湖南張家界·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，為直線上一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，，設(shè)，，(1)如圖1，若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，，，則；．(2)如圖2，若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，則，之間有什么關(guān)系式？說(shuō)明理由．(3)探究：當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上，（或在線段的延長(zhǎng)線上）時(shí)，是否存在不同于（2）中的，之間的關(guān)系式？若存在，請(qǐng)直接寫出這個(gè)關(guān)系式．27．（2022上·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【了解概念】定義：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則稱這個(gè)三角形為“唯美三角形”，這條中線叫這條邊的“唯美線”．【理解運(yùn)用】（1）如圖1，為“唯美三角形”，為邊的“唯美線”，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；【拓展提升】（2）在中，，E為外一點(diǎn)，連接，若和均為“唯美三角形”，且和分別為這兩個(gè)三角形邊的“唯美線”．①如圖2，若點(diǎn)在直線異側(cè)，連接，求的度數(shù)；②若點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到的距離．

28．（2021上·浙江杭州·八年級(jí)杭州市采荷中學(xué)校考期中）如圖，中，，現(xiàn)有兩點(diǎn)、分別從點(diǎn)、點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的速度為，點(diǎn)的速度為，當(dāng)點(diǎn)第一次到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(1)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)幾秒后，，兩點(diǎn)重合？(2)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到直角三角形？十、等邊三角形手拉手模型（共3小題）29．（2019上·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐：(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．請(qǐng)寫出的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)類比探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE．填空：①的度數(shù)為_______；②線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________，并說(shuō)明理由．(3)拓展延伸；在（2）的條件下，若，求四邊形ABEC的面積．30．（2020下·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）探究等邊三角形“手拉手”問(wèn)題．（1）如圖1，已如△ABC，△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在線段BC上，且不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合，連接CE，試判斷CE與BA的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC＝60°，試說(shuō)明點(diǎn)B，點(diǎn)D，點(diǎn)E在同一直線上；（3）如圖3，已知點(diǎn)E在ABC外，并且與點(diǎn)B位于線段AC的異側(cè)，連接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜測(cè)線段BE、AE、CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．31．（2020上·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．（將所有正確的序號(hào)填在橫線上）．【延伸應(yīng)用】（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．一十一、軸對(duì)稱綜合（共4小題）32．（2020上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，四邊形中，，，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線將四邊形分成兩部分，直線與所成的角設(shè)為，將四邊形的直角沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處（如圖1）．（1）若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則_______，_______；（2）若折疊后點(diǎn)恰為的中點(diǎn)（如圖2），則的度數(shù)為_________．（3）在（2）的條件下，求證：．33．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，．用直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），并回答問(wèn)題：(1)在邊上作點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到邊的距離相等；(2)在射線上作點(diǎn)E，使得點(diǎn)E到點(diǎn)A、點(diǎn)C的距離相等；(3)若點(diǎn)P是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，在圖中作出符合要求的點(diǎn)P，的最小值是．34．（2021上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABCD．（1）在邊BC上找一點(diǎn)P，使得AP+PD的值最小，在圖①中畫出點(diǎn)P；（2）請(qǐng)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)，完成下列作圖（不要求寫作法，保留作圖痕跡）：①在線段AC上找一點(diǎn)M，使得BM＝CM，請(qǐng)?jiān)趫D②中作出點(diǎn)M；②若AB與CD不平行，且AB＝CD，請(qǐng)?jiān)诰€段AC上找一點(diǎn)N，使得△ABN和△CDN的面積相等，請(qǐng)?jiān)趫D③中作出點(diǎn)N．35．（2020·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，直線過(guò)，、關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)分別為，請(qǐng)利用直尺（無(wú)刻度）和圓規(guī)按下列要求作圖．（l）當(dāng)與重合時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)位置，并求出的值；（2）當(dāng)都落在軸上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出直線，并求出的值．一十二、勾股定理與折疊問(wèn)題（共2小題）36．（2020上·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將沿著折疊以后點(diǎn)正好落在邊上的點(diǎn)處．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)，時(shí)，①求線段的長(zhǎng)；②求線段的長(zhǎng)．37．（2023上·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，把沿直線折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合．(1)若，則的度數(shù)為；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)為，，求的面積用含、的代數(shù)式表示一十三、勾股定理的證明方法（共3小題）38．（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．

(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中空白部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是_______；(2)將圖1中兩個(gè)陰影的長(zhǎng)方形沿著對(duì)角線切開，則可以得到四個(gè)全等的直角三角形，其中兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，將這四個(gè)直角三角形拼成如圖2所示的大正方形時(shí)，中間空白圖形是邊長(zhǎng)為的正方形．試通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算中間正方形的面積，并探究之間滿足怎樣的等量關(guān)系．(3)應(yīng)用：已知直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為6和8，求這個(gè)直角三角形斜邊上的高．39．（2023上·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐：小明制作了2張如圖①的紙片，其中四邊形、均為正方形，他把其中的一張紙片沿對(duì)稱軸把它剪開，然后把對(duì)稱軸一側(cè)的部分，沿翻折，再繞著的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣就形成了如圖②的圖形．(1)在圖②中，請(qǐng)先判斷與的數(shù)量關(guān)系，再說(shuō)明理由．(2)圖①圖形的面積可以表示為______．圖②圖形的面積可以表示為______．從而得數(shù)學(xué)等式：______，化簡(jiǎn)證得定理______．(3)在圖②中，，，連接，求圖②中的長(zhǎng)．一十四、勾股定理的證明方法（共1小題）40．（2023上·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算圖1的面積，把圖1看作一個(gè)大正方形，它的面積是，如果把圖1看作是由2個(gè)長(zhǎng)方形和2個(gè)小正方形組成的，它的面積為，由此得到：．(1)如圖2，正方形是由四個(gè)邊長(zhǎng)分別是a，b的長(zhǎng)方形和中間一個(gè)小正方形組成的，用不同的方法對(duì)圖2的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______（用a，b表示）(2)已知：兩數(shù)x，y滿足，，求的值．(3)如圖3，正方形的邊長(zhǎng)是c，它由四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別是a，b的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成的，對(duì)圖3的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______．（用a，b，c表示，結(jié)果化到最簡(jiǎn)）一十五、利用勾股定理求最短距離（共3小題）41．（2022上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體的小杯子放置在桌面上，，；(1)一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿小杯子外表面爬到點(diǎn)，求螞蟻怎樣走最短，最短路程是多少？(2)為了怕杯子落入灰塵又方便使用，現(xiàn)在需要給杯子蓋上蓋子，并把一雙筷子放進(jìn)杯子里，請(qǐng)問(wèn)，筷子的最大長(zhǎng)度是多少？42．（2022下·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為5和3，某一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的最短路線長(zhǎng)是________；（2）如圖2，在棱長(zhǎng)分別為5，3，11的長(zhǎng)方體模型中，若設(shè)定動(dòng)點(diǎn)P從頂點(diǎn)以1個(gè)單位/秒的速度在長(zhǎng)方體的外部沿向下勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從頂點(diǎn)A出發(fā)在長(zhǎng)方體外部側(cè)面上勻速運(yùn)動(dòng)，若要使動(dòng)點(diǎn)Q在第5秒時(shí)恰好攔截到動(dòng)點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)Q的速度至少應(yīng)設(shè)定為多少？43．（2022下·重慶九龍坡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖有一個(gè)四級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺(tái)階表面8個(gè)矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級(jí)臺(tái)階的高為多少分米？(2)A和C是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，臺(tái)階角落點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到臺(tái)階頂端點(diǎn)C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為多少分米？一十六、與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題（共4小題）44．（2023下·江西南昌·七年級(jí)南昌二中?？计谀┯^察表格，回答問(wèn)題：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①已知，則；②已知，若，用含m的代數(shù)式表示b，則b＝；(3)試比較與a的大?。?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．45．（2023下·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫出第6個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：________；（用含有n的等式表示），并說(shuō)明理由．46．（2020上·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)與算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律：a0.00010.011100100000.01x110100(1)填空:x=_______.(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:①已知≈1.414，則________，_______；②=0.274，記的整數(shù)部分為，則=___________47．（2022下·浙江衢州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們?cè)谛W(xué)階段已經(jīng)知道，個(gè)位上是5的兩位數(shù)的平方運(yùn)算的規(guī)律．現(xiàn)我們從中學(xué)的角度進(jìn)一步研究此規(guī)律：(1)探究規(guī)律：，，，____________，……(2)猜想規(guī)律：____________（表示十位上數(shù)字是，個(gè)位上數(shù)字是5的兩位數(shù)，表示此兩位數(shù)的平方）．(3)推理規(guī)律：一十七、坐標(biāo)與圖形的規(guī)律探究問(wèn)題（共4小題）48．（2022上·安徽淮北·八年級(jí)校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，某點(diǎn)按向下、向右、向上、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，其運(yùn)動(dòng)路線如圖所示，根據(jù)圖形規(guī)律，解決下列問(wèn)題．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．(2)直接寫出點(diǎn)到點(diǎn)的距離：___________．49．（2022上·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，所有正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)，且各邊與x軸或y軸平行，從內(nèi)到外，它們的邊長(zhǎng)依次為2、4、6、…，頂點(diǎn)依次用、、、、…表示．(1)請(qǐng)直接寫出、、、的坐標(biāo)；(2)根據(jù)規(guī)律，求出的坐標(biāo)；50．（2021上·山東青島·九年級(jí)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)A從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向按半圓形弧線不斷向前運(yùn)動(dòng)，其移動(dòng)路線如圖所示，其中半圓的半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，按照這個(gè)規(guī)律解決下列問(wèn)題：寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的位置在_____________填“x軸上方”“x軸下方”或“x軸上”；試寫出點(diǎn)的坐標(biāo)是正整數(shù)．51．（2018上·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如下圖所示，在直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成，第二次將變換成，第三次將變換成，已知，，，，，，．（1）觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規(guī)律，按此規(guī)律再將變換成，則的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為．（2）可以發(fā)現(xiàn)變換過(guò)程中……的縱坐標(biāo)均為．（3）按照上述規(guī)律將△OAB進(jìn)行n次變換得到，則可知的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為．（4）線段的長(zhǎng)度為．一十八、一次函數(shù)與三角形面積綜合（共1小題）52．（2022上·浙江寧波·八年級(jí)校考期末）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)D，直線與x軸交于點(diǎn)A，且經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．

(1)求k、b和m的值；(2)求的面積．53．（2023上·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)．過(guò)作于點(diǎn)，則，我們稱這種全等模型為“k型全等”．【遷移應(yīng)用】已知：直線的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．

(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，在第一象限構(gòu)造等腰直角，；①直接寫出，；②求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)如圖3，當(dāng)k的取值變化，點(diǎn)A隨之在x軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在y軸左側(cè)過(guò)點(diǎn)B作，并且，連接，問(wèn)的面積是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】(3)如圖4，在平