專題18全等三角形雙等腰旋轉(zhuǎn)模型-初中數(shù)學(xué)模型與解題方法專題訓(xùn)練

18全等三角形雙等腰旋轉(zhuǎn)模型一、單選題1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，連接BE．當(dāng)AD＝BF時(shí)，∠BEF的度數(shù)是（）

A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°【答案】D【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°．∴∠ACB?∠DCB＝∠DCE?∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∴△ACD≌△BCE．∴∠CBE＝∠A＝45°．∵AD＝BF，∴BE＝BF．∴∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故選：D．2．如圖，和都是等腰直角三角形，，四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與重合B．以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與重合C．沿所在直線折疊后，與重合D．沿所在直線折疊后，與重合【答案】B【詳解】解：A．根據(jù)題意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=，△EAC≌△BAD，旋轉(zhuǎn)角∠EAB=90°，不符合題意；B．因?yàn)槠叫兴倪呅问侵行膶?duì)稱圖形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB應(yīng)該以對(duì)角線的交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，即可與△DAC重合，符合題意；C．根據(jù)題意可∠EAC=135°，∠EAD=360°﹣∠EAC﹣∠CAD=135°，AE=AE，AC=AD，△EAC≌△EAD，不符合題意；D．根據(jù)題意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°﹣∠BAD﹣∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，不符合題意．故選B．3．如圖，，與的平分線相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，為中點(diǎn)，于，．下列說(shuō)法正確的是()①；②；③；④若，則．A．①③④ B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【詳解】①中，∵AB∥CD，∴，∵∠BAC與∠DCA的平分線相交于點(diǎn)G，∴，∵，∴∴AG⊥CG，則①正確；②中，由①得AG⊥CG，∵，，∴根據(jù)等角的余角相等得，∵AG平分，∴，∴，則②正確；③中，根據(jù)三角形的面積公式，∵為中點(diǎn)，∴AF=CF，∵與等底等高，∴，則③正確；④中，根據(jù)題意，得：在四邊形GECH中，，又∵，∴，∵CG平分∠ECH，∴，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，得.∵，∴，∴，∵，∴，∴，則④錯(cuò)誤.故正確的有①②③，故選：C．4．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，連接FG，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BG，CF，則下列結(jié)論：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【詳解】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，又∵AB=AF=AC=AG，∴△CAF≌△GAB（SAS），∴BG=CF，故①正確；∵△FAC≌△BAG，∴∠FCA=∠BGA，又∵BC與AG所交的對(duì)頂角相等，∴BG與FC所交角等于∠GAC，即等于90°，∴BG⊥CF，故②正確；過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，∴∠BAD=∠AFM，又∵AF=AB，∴△AFM≌△BAD（AAS），∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，故③正確，同理△ANG≌△CDA，∴NG=AD，∴FM=NG，∵FM⊥AE，NG⊥AE，∴∠FME=∠ENG=90°，∵∠AEF=∠NEG，∴△FME≌△GNE（AAS）．∴EF=EG．故④正確．故選：D．二、填空題5．如圖，在等邊△ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，連接BD，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，若BC=10，BD=9，則△AED的周長(zhǎng)是．【答案】19【詳解】解：∵將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，∴△BDC≌△BEA，∴BE=BD，∠DBE=60°，AE=CD，∴△DBE是等邊三角形，∴DE=BD=9，∴△AED的周長(zhǎng)=DE+AD+AE=DE+AC=19，故答案為：19．6．兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處，AB＝13，CD＝7．保持紙片AOB不動(dòng)，將紙片COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0α90°），如圖2所示．當(dāng)BD與CD在同一直線上（如圖3）時(shí)，則△ABC的面積為．【答案】30【詳解】解：設(shè)AO與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO＋∠OGB＝90°，∵∠OGB＝∠AGC，∴∠CAO＋∠AGC＝90°，∴∠ACG＝90°，∴CG⊥AC，設(shè)AC＝x，則BD=AC=x，BC=x+7，∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S=，故答案為：30．7．如圖，和都是等腰直角三角形，，，則度．【答案】132【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為132三、解答題8．如圖，在外作兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形，其中，，．連結(jié)交于點(diǎn)．(1)請(qǐng)你找出一對(duì)全等的三角形，并加以證明；(2)直線是否互相垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求證：；【答案】(1)≌，證明見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析【詳解】（1）≌，理由是：∵∴即又∵，∴≌（2），理由是：∵∴∵，∴∴∴（3）作于，于∵≌∴，∴∴∴是的平分線即．9．如圖在△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)（0°<∠ACD<180°），連結(jié)BD和AE：(1)求證：△BCD△ACE;(2)試確定線段BD和AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)詳解【詳解】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD與△ACE中∴△BCD≌△ACE（SAS）；（2）如圖，∵△BCD≌△ACE∴BD=AE，∠DBC=∠EAC∵∠AHO=∠BHC∴∠AHO+∠EAC=∠BHC+∠DBC=90°∴∠AOH=90°∴BD⊥AE10．已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．連接AD，BC，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接OH．（1）如圖1所示，求證：且

（2）將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3所示位置時(shí)，線段OH與AD又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個(gè)圖形證明你的結(jié)論【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.【詳解】（1）證明：如圖1中，∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，在△AOD與△BOC中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴BC=AD∵H是BC中點(diǎn)，∴OH=BC=AD．∵△AOD≌△BOC∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，

∵點(diǎn)H為線段BC的中點(diǎn)，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠ADO+∠BOH=90°，∴OH⊥AD；

（2）解：結(jié)論：OH⊥AD，OH=AD證明：如圖2中，延長(zhǎng)OH到E，使得HE=OH，連接BE，易證△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=OE=AD．

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．如圖3中，結(jié)論不變．延長(zhǎng)OH到E，使得HE=OH，連接BE，延長(zhǎng)EO交AD于G．易證△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=OE=AD．由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOG=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD．11．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角頂點(diǎn)O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．（1）如圖1，當(dāng)C、D分別在OA、OB上時(shí)，AC與BD的數(shù)量關(guān)系是ACBD（填“>”“<”或“=”）AC與BD的位置關(guān)系是ACBD（填“∥”或“⊥”）；（2）將Rt△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D在OA上，如圖2，連接AC，BD，求證：AC=BD；（3）現(xiàn)將Rt△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，如圖3，連接AC，BD，猜想AC與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）=；⊥；（2）見(jiàn)解析；（3）AC=BD且AC⊥BD；證明見(jiàn)解析【詳解】解：（1）∵OA=OB，OC=OD∴OAOC=OBOD，∴AC=BD．∵∠AOB=∠COD=90°，∴AO⊥BO，∵C、D分別在OA、OB上，∴AC⊥BD；（2）在△OCA和△ODB中，，∴△OCA≌△ODB，∴AC=BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．理由：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，∴∠AOC=∠BOD，在△OCA和△ODB中，，∴△OCA≌△ODB，∴AC=BD，∠BDO=∠ACO，∵∠ACO+∠CFO=90°，∠CFO=∠DFE，∴∠BDO+∠DFE=90°，∴∠DEF=180°90°=90°，∴AC⊥BD．12．（）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，與是等邊三角形，且點(diǎn)，，在同一直線上，連接，求的度數(shù)，并確定線段與的數(shù)量關(guān)系．（）拓展探究：如圖②，與都是等腰直角三角形，，且點(diǎn)，，在同一直線上，于點(diǎn)，連接，求的度數(shù)，并確定線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）的度數(shù)為，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）．【詳解】解：（）因?yàn)楹途鶠榈冗吶切危?，，，，所以，即．在和中，，所以≌，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，，在同一直線上，所以，所以，所以．綜上可得，的度數(shù)為，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是．（）因?yàn)楹途鶠榈妊苯侨切危?，，，，所以，即．在和中，，所以≌，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，，在同一直線上，所以，所以，所以．因?yàn)?，，，易證，所以．13．在中，在直線上，且．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且點(diǎn)在線段上時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）成立，證明見(jiàn)解析．【詳解】如圖1，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則，，連接，=45°，，為直角三角形，，又，，在和中，，，，即；如圖2，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，為直角三角形，，又，，在和中，，，．14．已知ABC與DAE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°．求證：（1）ABE≌ACD；（2）DC⊥BE．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解【詳解】（1）ABC與DAE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，在ABE和ACD中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴ABE≌ACD（SAS）；（2）設(shè)DC與AE交于F，由ABE≌ACD，∴∠ADC=∠AEB，∵∠DAF=90o，∵∠AFD=∠EFC，∴∠ADF+∠AFD=∠CFE+∠FEC=90o（即∠FEC=∠AEB），∴∠FCE=180o∠CFE∠FEC=180o90o=90o，∴DC⊥BE．15．在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與、重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則______度．（2）設(shè)，．①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）90；（2）①，理由見(jiàn)解析；②，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案為：90；（2）①．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；②當(dāng)點(diǎn)在射線的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，．理由如下：∵，∴，在△ABD與△ACE中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，即．16．[發(fā)現(xiàn)]：（1）如圖1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，求證：AH=BC．[拓展]：（2）如圖2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)D、B、C在同一條直線上，AH為△ABC中BC邊上的高，連接CE．則∠DCE的度數(shù)為_(kāi)_______，同時(shí)猜想線段AH、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．[應(yīng)用]：（3）在圖3、圖4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，請(qǐng)求出點(diǎn)A到BP的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠DCE的度數(shù)為90°，CE+2AH=CD，理由見(jiàn)解析；（3）或．【詳解】解：發(fā)現(xiàn)：（1）證明：∵AH⊥BC，∠BAC=90°，∴∠AHC=90°=∠BAC．∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°．∴∠CAH=∠B，在△ABH和△CAH中，，∴△ABH≌△CAH．（AAS）．∴BH=AH，AH=CH．∴AH=BC．拓展：∠DCE的度數(shù)為90°，線段AH、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+2AH=CD，理由如下：∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠EAC，∵AD=AE，AB=AC，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD=135°，∴∠DCE=90°；∵D、B、C三點(diǎn)共線，∴DB+BC=CD，∵DB=CE，AH=BC，∴CE+2AH=CD．應(yīng)用：點(diǎn)A到BP的距離為：或．理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BP于點(diǎn)H，連接AP，作∠PAD=90°，交BP于點(diǎn)D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1，∴DP=BPBD=61=5，∵AH⊥DP，∴AH=DP=；如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BP于點(diǎn)H，作∠PAD=90°，交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BAC=90°，∠BPC=90°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ACP=∠ABD，∵AB=AC，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1∴DP=BP+BD=6+1=7．∵AH⊥DP，∴AH=DP=．綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為：或．17．如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結(jié)AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD還存在（1）中的關(guān)系嗎？請(qǐng)寫出結(jié)論并說(shuō)明理由．（3）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖③），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明見(jiàn)解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，證明見(jiàn)解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【詳解】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90o，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，

∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90o，∴AC⊥BD；（2）存在，證明：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F，交AO于點(diǎn)G．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO，∴∠AFG=∠BOG=90o，∴AC⊥BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．證明：BD交AC于點(diǎn)H，AO于M，∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMH=∠BMO，∴∠AHM=∠BOH=90o，∴AC⊥BD．

．18．已知：如圖1，AOB和COD都是等邊三角形．（1）求證：①AC＝BD；②∠APB＝60°；（2）如圖2，在AOB和COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，則AC與BD間的等量關(guān)系為，∠APB的大小為【答案】（1）①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析；（2）AC＝BD，α【詳解】證明：（1）①∵△AOB和△COD都是等邊三角形，∴OA=OB，OC=OD，∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，②設(shè)AC與BO交于E，∵△AOC≌△BOD，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AEO=∠BEP，∴∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，∴∠APB＝∠AOB＝60°．（2）AC=BD，∠APB=α，理由如下：∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，設(shè)AC與BO交于E，∵∠AEO=∠BEP，∴∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=α，故答案為AC=BD，α．19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請(qǐng)你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請(qǐng)你直接寫出△ADE的面積．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見(jiàn)解析；（3）72或2【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如圖2中，結(jié)論：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如圖3中，結(jié)論：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB12×12＝72．如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB2×2＝2．20．如圖，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)，，，點(diǎn)E在外，．(1)的度數(shù)為_(kāi)______________；(2)小華說(shuō)是等腰三角形，小明說(shuō)是等邊三角形，___________的說(shuō)法更準(zhǔn)確，并說(shuō)明理由；(3)連接，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)小明，理由見(jiàn)解析；(3)5【詳解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等邊三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，

，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB=∠ADC

，∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．（2）解：小明的說(shuō)法更準(zhǔn)確，理由如下：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB=BE．∵∠ABE=60°，∴△ABE是等邊三角形．（3）解：連接DE，如圖所示，∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，∴∠EDC=30°，∴．∵△ABD≌△EBC，∴．21．如圖①，，，，相交于點(diǎn)M，連接．

(1)求證：；(2)用含的式子表示的度數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P，Q，連接，如圖②，判斷的形狀，并證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)為等腰直角三角形．證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖1，，，在和中，，，．（2）解：如圖1，∵，，在中，，=，在中，．（3）解：為等腰直角三角形．證明：如圖2，由（1）得，的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，，∵，，在與中，，，，又，，，∴為等腰直角三角形．22．如圖，在中，為銳角，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊且在的右側(cè)作等腰直角三角形，，.（1）如果，.①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，線段、的位置關(guān)系為_(kāi)__________，數(shù)量關(guān)系為_(kāi)____________②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）如圖3，如果，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．探究：當(dāng)多少度時(shí)，？小明通過(guò)（1）的探究，猜想時(shí)，.他想過(guò)點(diǎn)作的垂線，與的延長(zhǎng)線相交，構(gòu)建圖2的基本圖案，尋找解決此問(wèn)題的方法．小明的想法對(duì)嗎？如不對(duì)寫出你的結(jié)論；如對(duì)按此方法解決問(wèn)題并寫出理由.【答案】（1）①垂直，相等；②都成立；（2）當(dāng)時(shí)，【詳解】解：（1）①CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE=BD．理由：如圖1，∵∠BAD=90°∠DAC，∠CAE=90°∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．又BA=CA，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD．∵∠ACB=∠B=45°，∴∠ECB=45°+45°=90°，即CE⊥BD．故答案為垂直，相等；②都成立∵，∴，∴，在與中，∴，∴，∴，即；（2）當(dāng)時(shí)，（如圖）．理由：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，∵，∴，∴，∴，在與中，∴，∴，∴，即．23．如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上的點(diǎn)．連接AD，BC，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接OH．（1）如圖1，求證：OH＝AD，OH⊥AD；（2）將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，⑴中結(jié)論是否仍成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）成立，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．∴OC＝OD，OA＝OB在△AOD與△BOC中∴△AOD≌△BOC（SAS）∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，∠AOB＝90°∴OH＝HB＝∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，OH＝∵∠OAD＋∠ADO＝90°∴∠ADO＋∠BOH＝90°∴OH⊥AD（2）（1）中結(jié)論成立；如圖，延長(zhǎng)OH到E，使得HE＝OH，連接BE，CE∵CH＝BH∴四邊形BOCE是平行四邊形∴BE＝OC，EB∥OC，OH＝OE∴∠EBO＋∠COB＝180°∵∠COB＋∠BOD＝90°，∠BOD＋∠1＝90°∴∠1＝∠COB∵∠AOD＋∠1＝180°∴∠AOD＝∠EBO∴△BEO≌△ODA∴∠EOB＝∠DAO，OE＝AD∴OH＝AD∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°∴OH⊥AD24．如圖1，已知和都是等邊三角形，且點(diǎn)E在線段AB上．（1）過(guò)點(diǎn)E作交AC于點(diǎn)G，試判斷的形狀并說(shuō)明理由；（2）求證：；（3）如圖2，若點(diǎn)D在射線CA上，且，求證：．【答案】（1）是等邊三角形，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）是等邊三角形，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)E作交AC于點(diǎn)G，是等邊三角形，，，是等邊三角形；（2）和是等邊三角形，，，即，在和中，，，，，；（3）由（2）知，，，，，，，由（2）已證：，，和是等邊三角形，，在中，，在中，，，在和中，，，，．25．如圖，△CAB與△CDE為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，連接AD、BE．（1）如圖1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，則∠DEB的度數(shù)為_(kāi)_______度；（2）如圖2，若A、D、E三點(diǎn)共線，AE與BC交于點(diǎn)F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面積；（3）如圖3，BE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若CD⊥AD，延長(zhǎng)CD與AB交于點(diǎn)N，在BC上有一點(diǎn)M且BM＝CG，連接NM，請(qǐng)猜想CN、NM、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．【答案】（1）27；（2）；（3）BG=MN+CN，證明見(jiàn)解析．【詳解】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∵,∴△ACD≌△BCE∴∠CEB=∠ADC，∠CAD=∠CBE=28°∵∠DCB=10°∴∠ACD=∠ACB∠DCB=90°10°=80°∴∠BCE=80°∴∠CEB=180°∠CBE∠BCE=72°∴∠DEB=∠CEB∠CED=72°45°=27°；故答案為27；（2）過(guò)C作CG⊥DE于點(diǎn)G，如圖，∵△DCE是等腰直角三角形，