立體幾何進階拓展-多球堆疊相切問題（老師版）

多球堆疊相切問題立體幾何進階拓展 題型一TOC\o"13"\h\z\u求堆積球的高4題型二求堆積球的內(nèi)切球半徑4題型三球的內(nèi)切多球6題型四圓柱的內(nèi)切多球7題型五正方體的內(nèi)切多球8題型六正四面體的內(nèi)切多球?9題型七空隙放球的個數(shù)問題?12 1多球堆疊相切問題，非常重要的一點是連接各球的球心，通過研究球心連接成的1幾何體，就可以繼續(xù)解題了；2正四面體的內(nèi)切球，其半徑為高的12由?AZM~?ANO可知，ONAO=3當(dāng)x∈(0,π2)3求堆積球的高111[填空題][難度:◆◆

]（2024廣東茂名一模T14求堆積球的高111如圖，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人為了實現(xiàn)四個現(xiàn)代化而努力奮斗的真實寫照，被托舉的四個球堆砌兩層放在平臺上，下層3個，上層1個，兩兩相切，若球的半徑都為a，則上層的最高點離平臺的距離為【參考答案】26【答案解析】連接各球的球心，可得到棱長為2a的正四面體，如右圖，我們不難算出，PE=233所以所求的最高點到平臺的距離為GP+2a=211[單選題][難度:◆◆

]（2023浙江嘉興高一下期中T8）11將3個半徑為1的球，四個球兩兩相切，那么上層小球的最高點到桌面的距離是（）A．32+63 B．3+26【參考答案】A【答案解析】連接各球的球心，可得到底面邊長為2，側(cè)棱長為2正三棱柱，我們不難算出，PE=2GP=63，所以最高點到桌面的距離為求堆積球的內(nèi)切球半徑121[填空題][難度:◆◆◆◆

]（2023山東高二下期末改編）求堆積球的內(nèi)切球半徑121把4個半徑為2的球疊為兩層放在桌面上，上層只放一個，下層放三個，四個球兩兩相切，現(xiàn)在放入一個小球在這四個小球所形成的空隙中，則此小球的最大半徑為．【參考答案】6-2【答案解析】連接各球的球心，可得到棱長為4的正四面體，其實這里比較難發(fā)現(xiàn)，這個正四面體的外接球球心就是要放入空隙的那個小球的球心，先算出正四面體的外接球半徑，可得R=6圖，即OE=6，故OK=6-2，11[多選題][難度:◆◆◆◆◆]（2023浙江嘉興高一下期中T8）11如圖，四個半徑為2的實心小球兩兩相切，則（）A．這四個實心小球所形成的空隙內(nèi)可以放入一個半徑為6-B．這四個實心小球所形成的空隙內(nèi)可以放入一個棱長為62-43C．存在一個側(cè)面積為(20-D．這四個實心小球可以放入一個半徑為6【參考答案】BCD【答案解析】我建議這道題目老老實實地看答案解析，把三維視圖看清楚了，然后記住結(jié)論就好，因為很難想象出來這個圖形。首先是A選項，因為條件和前一題是一模一樣的，所以可以放入的球的最大半徑為6-2，而6-D選項，按照前面的思路，先把球心連在一起得到一個棱長為4的正四面體，只要求出這個正四面體外接球的半徑即可，解得為6，所以如右圖OE=6，所以O(shè)M=2+62+6的大球內(nèi)部，D對；考，能放入的最大的正方體應(yīng)該長什么樣，因為A選項不是放了個球嗎，只要求出這個球的內(nèi)接正方體就可以了，半徑為6內(nèi)接正方體可以通過計算得邊長為6方體是可以放進去的，這里你可能會產(chǎn)生疑惑，為什么莫名其妙要算出小球的內(nèi)接正方體，難道這個正方體就是能放入空隙中的最大的正方體嗎，憑什么賭內(nèi)接正方體算出來就是C選項的數(shù)，針對這個疑惑，解答如下，因為本身這個空隙空間就很抽象，我們只能借助特殊的圖形來幫助我們判斷，如放個正四面體、球體，至于這個是不是所有能放入的正方體中最大的一個，特認真也沒辦法保證，但是題目考查的內(nèi)容不可能是如此極限，難到無法想象的地步，所以就要賭內(nèi)接正方體，如果算出來比C選項要小，那就放手別選了，此題抽象程度不是人能做的；D選項，要放圓柱了，我們也是一樣，求出小球的內(nèi)接圓柱就可以了，假設(shè)NM=r，ON=h2，則2π(6-2)21[單選題][難度:◆◆◆◆◆]（2018江西上饒二模T11）21現(xiàn)有兩個半徑為2的小球和兩個半徑為3的小球兩兩相切，若第五個小球和它們都相切，則這個小球的半徑是（）A．611 B．311 C．411【參考答案】A【答案解析】這題很難，沒有好的方法，只能畫出圖來分析計算，如右圖，RD=2，SJ=3，設(shè)第五個小球的半徑為r，球心為T，則TD=r+2，股定理可以分別算出TR=TDTS=TJ2-9在Rt?SRJ中，RJ=21，即r來會方便一點，(r2+4r)2球的內(nèi)切多球131[單選題][難度:◆◆◆◆

]（202球的內(nèi)切多球131水平桌面上放置了4個半徑為2的小球，4個小球的球心構(gòu)成正方形，且相鄰的兩個小球相切，若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為（）A．4 B．22+2 C．23+2【參考答案】C【答案解析】根據(jù)題目的意思，擺成半球形容器內(nèi)壁與四個小球均相切即可，不難發(fā)現(xiàn)，四個球與桌面的切點和四個球的球心之間連線會圍成一個長寬為4，高為2的立方體，而立方體底面的正中心H正是半球形容器的球心，若要半球形容器內(nèi)壁的半徑有最小值，則半徑即為HM=211[填空題][難度:◆◆◆◆

]（2023廣東深圳高一下期中T16）11水平桌面上放置了3個半徑為2的小球，它們兩兩相切，并均與桌面相切．若用一個半球形容器（容器厚度忽略不計）罩住三個小球，則半球形容器的半徑的最小值是．【參考答案】2【答案解析】這題和上一題如出一轍，根據(jù)題目的意思，擺成如右圖的樣子，不難發(fā)現(xiàn)，這次三個球與桌面的切點和三個球的球心之間連線會圍成一個高為2，底面邊長為4的正三棱柱，正三棱柱底面的正中心H正是半球形容器的球心，故所求半徑最小值為HM=221[單選題][難度:◆◆◆◆

]（2015浙江二模T7）21半徑為R的球內(nèi)部裝有4個半徑相同的小球，則小球半徑A．32+3R B．11+3R【參考答案】C【答案解析】擺成如右圖這個形狀，四個小球兩兩相切且與大球相切，此時小球的半徑最大，連接四個小球的球心可得到一個棱長為2r四面體，不難算出其外接球半徑為62rR=OM=62r+r圓柱的內(nèi)切多球141[填空題][難度:◆◆◆◆◆]（2021重慶高一上期末T15）圓柱的內(nèi)切多球141將6個半徑都為1的鋼球完全裝入形狀為圓柱的容器里，分兩層放入，每層3個，下層的3個小球兩兩相切且均與圓柱內(nèi)壁相切，則該圓柱體的高的最小值為．【參考答案】2+【答案解析】首先要想第二層應(yīng)該怎么放，錯誤放法如右圖，第一層放三個球，第二層在三個球的上面放一個球，這樣的話，接下來再放進去的球都會被卡在上面，下不來，正確的擺法應(yīng)該是第二層和第一層平行，第二層的球都座落在第一層相鄰兩個小球的凹陷處，你可能會疑惑，都座落在凹陷處了，第二層的三個小球能保證相互之間是緊貼在一起？答案是必然的，你可以理解為把第一層小球復(fù)制一份放在第二層，然后將第二層繞著圓柱的中軸線轉(zhuǎn)動到使三個小球都位處凹陷處就行了，如右圖所示，上下兩個分別是邊長為2的正三角形，KR=KF設(shè)U和P分別是上下兩個三角形的中心，則UP必垂直于這倆三角形所在的平面，RP=13RP=33，∴SR=KR2-11[填空題][難度:◆◆◆◆◆]（2014山西高二上月考T16）11將八個半徑都為1的球分放兩層放置在一個圓柱內(nèi)，并使得每個球都和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于．【參考答案】2+4【答案解析】這一題其實和上一題方法是一樣的，如右圖，RQ=22ST=2，RU=RW-SV=2-1，定理可得SU=RS221[填空題][難度:◆◆◆◆

]（2014山西高二上月考T16）21底面半徑為1的圓柱形容器里放有四個半徑為底層兩球與容器底面相切，現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則容器中水高為．【參考答案】1+【答案解析】把球心連接起來，可以得到一個邊長為1的正四面體，要求出水的高度，就要求出如右圖SR的長度，即該正四面體的對棱之間的距離，在直角三角形SRD中，SD=32，求出SR=22，所以水的高度為正方體的內(nèi)切多球151[填空題][難度:◆◆◆

]（2013貴州高三月考T16正方體的內(nèi)切多球151球O是棱長為2的正方體的內(nèi)切球（與正方體的各個面均相切），現(xiàn)在要在正方體內(nèi)放置一個小球O'，使球O'與正方體的三個面及球O均相切，則球O'的半徑為．【參考答案】2-【答案解析】如右圖，把球心連接之后，整個大正方體的體對角線由三個部分組成，邊長為1的正方體的體對角線、兩球心的距離、邊長為2-3，根據(jù)題目已知條件，我們知道如右圖KG=3，所以AG-KG=23-3=3ZK=r+1，故3r+r+1=311[單選題][難度:◆◆◆◆

]（2021河南高三上開學(xué)考T11）11設(shè)一正方體內(nèi)部有兩個球O1和O2，已知球O1與正方體的三個面相切，球O2與正方體的六個面均相切，球O1與球O2也相切，設(shè)球O1，O2的半徑分別為r2，r2A．3-2 B．2-3 C．【參考答案】B【答案解析】這題背景和上一題只能說是一模一樣，所以我就不作圖了，也不做解釋了，若正方體邊長為2a，則r2=a所以r21[單選題][難度:◆◆◆◆

]（2020重慶二診T12）21兩球O1和O2在棱長為2的正方體ABCD-A1點A的正方體的三個面相切，球O2與過點C1的正方體的三個面相切，則球O1和O面積之和的最小值為（）A．3(2-3)π B．4(2-3)π【參考答案】C【答案解析】設(shè)球O1和O2的半徑分別為r1和rO1A=3r1，即r1+rr22)≥8πr131[填空題][難度:◆◆◆◆

]（2022湖南師大附中高一下期中T16）31在棱長為42交于某一頂點的三個面相切，另有一個半徑為R相切，并與正方體盒蓋相切，無論怎樣翻轉(zhuǎn)盒子，五球相切不松動，則小球半徑的最大值為；大球體積的最小值為．【參考答案】2；125【答案解析】如果小球半徑要最大，那就如右圖所示，小球之間相鄰小球是相切的，所以小球的半徑為2球心連起來可得到一個正四棱錐，設(shè)大球半徑為R，則WG=R+2，WB=42-R-2(R+2)2=4+(3正四面體的內(nèi)切多球161[填空題][難度:◆◆◆◆

]（2023江蘇連云港高一期末T8正四面體的內(nèi)切多球161已知正四面體的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個內(nèi)切球O1，然后再放入一個球O2，使得球O2與球O1及正四面體的三個側(cè)面都相切，則球O2的體積為．【參考答案】6π【答案解析】我們要記住一個結(jié)論，就是正四面體的內(nèi)切球半徑為高的14，由于正四面體棱長為12，我們可以計算出高為以內(nèi)切球O1的半徑為6可以理解為內(nèi)切球O14×26=611[單選題][難度:◆◆◆◆

]（2024貴州新高考協(xié)作體高二入學(xué)考T8）11如圖，O1是正四面體的內(nèi)切球，球O2，O3，O4，O5分別是四個角處與球O1及正四面體的三個側(cè)面都相切的球，則球O1的體積與球O2，O3，O4，O5的體積之和的比為（）A．1：2 B．1：1 C．3：2 D．2：1【參考答案】D【答案解析】這題目和上一題的框架是一致的，正四面體的內(nèi)切球半徑為高的1球O1的半徑是高的14，然后我們又可以將球O3看成其在高為原來的高的正四面體中，所以不難得出球O3的半徑與球O1的半徑之比為1：2，球O2，O4，O5和球O3是一樣的，球O1和球O3的體積之比為8：1，所以題目所求的體積之比為2：1.21[填空題][難度:◆◆◆◆

]（2024江蘇無錫一中高一下期中T14）21如今中國在基建方面世界領(lǐng)先，可謂是逢山開路，遇水架橋．公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一，建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領(lǐng)先，如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體ABCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體ABCD體積為83，則模型中最大球的體積為面積之和為．【參考答案】4π3；【答案解析】模型中的最大球就是內(nèi)切球，正四面體的內(nèi)切球半徑為高的1們這個正四面體的體積為83，我們不難求出正四面體的棱長為26，高為球的半徑為1，體積為4π3，然后我們又可以將中等球看成其在高為原來的高的點的正四面體中，也就是高為2的正四面體中，所以可以知道中等球的半徑為1最小球的半徑為14，因此，九個球的表面積之和為31[多選題][難度:◆◆◆◆◆]（2024河北張家口高考適應(yīng)性測試T11）31如圖所示，有一個棱長為4的正四面體P﹣ABC容器，D是PB的中點，E是CD上的動點，則下列說法正確的是（）A．直線AE與PB所成的角為π2 B．△ABE的周長最小值為C．如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為6D．如果在這個容器中放入4個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為【參考答案】ACD【答案解析】正三棱錐的對棱是相互垂直的，所以PB和AC垂直，又因為PB和DC垂直，所以PB垂直于面ADC，那就必有AE⊥PB，A對；B選項考查的是幾何體的結(jié)構(gòu)特征，我們要會展開，把?ACD沿著CD展開與平面BDC同一個平面內(nèi)，連AB，與CD交于E點，此時AE+EB有最小值，在?ADC中由余弦定理可以求出cos∠ADC=13cos∠ADB=cos(∠ADC+π2)=-sin∠ADC=-弦定理可求出AB=41+63，所以?ABEB錯；C選項意思就是求內(nèi)切球半徑，根據(jù)結(jié)論，R=；D選項，把四個小球擺成如右圖所示，把球心連在一起，會得到一個棱長為2r的小正四面體，不難求出這個小正四面體的高為JP=26所用的的結(jié)論，SJ=3r，所以SZ=4r+11[單選題][難度:◆◆◆◆◆]（2024湖北新高考協(xié)作體模擬卷T8）11一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為4動，則該小球表面永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是（）A．363 B．183 C．723【參考答案】C【答案解析】多的不說了，直接看右圖，AO=3r=3，所以AF=22，正四面體任何一個面小球能碰到的面積都是和等邊?NHF等的面積，MA=23AD=42(原理：面積等于相似比的平方)，即S4×(S空隙放球的個數(shù)問題171[填空題][難度:◆◆◆◆◆]（2017河北高二下月考T空隙放球的個數(shù)問題171在底面半徑為3高為4+23入與球面，圓柱側(cè)面及上底面均相切的小球，則放入小球的個數(shù)最多為個【參考答案】6【答案解析】軸截面如右圖所示，F(xiàn)G=(3+r所以高為4+23解得r=1，所以sin∠KHO=1tan∠KHO=么，直接不就是30°嗎，別急，我這里展示的是做此