專題03解非直角三角形小題(原卷版+解析)

專題03解非直角三角形小題1．如圖，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，則AB的長(zhǎng)是（）A．4 B．3+ C．5 D．2+22．小明和小麗兩人一前一后放風(fēng)箏，結(jié)果風(fēng)箏在空中處糾纏在一起（如示意圖）．若，小麗、小明之間的距離與小麗已用的放風(fēng)箏線的長(zhǎng)度相等，則的正切值是（）A． B． C． D．3．已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為（即cosC=），則AC邊上的中線長(zhǎng)是_____________．4．已知△ABC中，tanB=，BC=6，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為點(diǎn)D，且滿足BD：CD=2：1，則△ABC面積的所有可能值為_(kāi)___________．5．△ABC中，AB=12，AC=，∠B=30°則△ABC的面積是．6．已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，將△ABC沿射線BC方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度到△DEF，頂點(diǎn)A、B、C分別與D、E、F對(duì)應(yīng)，若以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則m的值是_____．7．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30o．以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)30o，點(diǎn)A、C分別落在點(diǎn)A'、C'處，直線AC、A'C'交于點(diǎn)D，那么的值為_(kāi)___________．8．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，則△ABC的面積等于_____．9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，點(diǎn)E在線段AD上，將△ABE沿BE翻折，點(diǎn)A恰巧落在對(duì)角線BD上點(diǎn)P處，那么PD=_____．10．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，則∠ABC的大小為_(kāi)_______度．11．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．則sin∠ACB_______．12．如圖，已知AC=4，求AB和BC的長(zhǎng).13．已知：如圖，在中，，，．求：（1）的面積；（2）的余弦值．14．已知：如圖，在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6.求BC的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）.15．如圖，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的長(zhǎng).16．如圖,在△ABC中，∠B=30°,sinC=,AC=10，求AB的長(zhǎng).17．如圖所示，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=,求：AC的長(zhǎng)．18．）如圖，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）利用此圖形求tan15°的值.19．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝13，BC＝10，求sinA和AB．20．如圖，銳角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面積為27cm2.求tanB的值．21．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=8,∠A=120°,求BC的長(zhǎng).

22．如圖，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14.求BC的長(zhǎng).23．如圖，在△ABC中，sinB=，∠A=105°，AB=2，求△ABC的面積.24．已知直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC為腰，在△ABC外作頂角為30°的等腰三角形ACD，連接BD．請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出△BCD的面積．25．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的長(zhǎng)及tanC的值．26．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=，AD=4．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求tan∠DAE的值．27．如圖，在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=6﹣2．求AB的長(zhǎng)．28．已知：如圖，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2.求BC邊的長(zhǎng).29．如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB∶BC＝2∶5，且S△ABC＝10，求tanC的值．30．已知．在△ABC中，如圖，BC=AC，∠BCA=135°，求tanA的值．專題03解非直角三角形小題1．如圖，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，則AB的長(zhǎng)是（）A．4 B．3+ C．5 D．2+2【答案】C【分析】作CD⊥AB于點(diǎn)D.在Rt△ACD中，求出CD和AD的長(zhǎng)，在Rt△BCD中，求出BD的長(zhǎng)，即可求出AB的長(zhǎng).【詳解】作CD⊥AB于點(diǎn)D.在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=,∴AD=.在Rt△BCD中，∵tanB=，∴BD=2，∴AB=AD+BD=3+2=5.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，如果沒(méi)有直角三角形則作垂線構(gòu)造直角三角形，然后利用直角三角形的邊角關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)還會(huì)用到勾股定理等知識(shí)才能解決問(wèn)題.2．小明和小麗兩人一前一后放風(fēng)箏，結(jié)果風(fēng)箏在空中處糾纏在一起（如示意圖）．若，小麗、小明之間的距離與小麗已用的放風(fēng)箏線的長(zhǎng)度相等，則的正切值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先過(guò)點(diǎn)E作EA⊥MF于點(diǎn)A，得出MN=EN，AE=NA，sin45o=，進(jìn)而將各邊長(zhǎng)用NE表示得出即可.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EA⊥MF于點(diǎn)A，∵∠ENF=45o，小麗、小明之間的距離與小麗已用的放風(fēng)箏線的長(zhǎng)度相等，∴MN=EN，AE=NA，∵sin45o=，∴AE=NE，∴tan∠M====?1，∴∠M的正切值為?1.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.3．已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為（即cosC=），則AC邊上的中線長(zhǎng)是_____________．【答案】或【詳解】解：分兩種情況：①△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1．作△ABC的高AD，BE為AC邊的中線．∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a．∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a，∴BC=BD+CD=a．在△BCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BC?EC?cosC∴BE=；②△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2．作△ABC的高AD，BE為AC邊的中線．∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a．∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a，∴BC=BD+CD=a．在△BCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BC?EC?cosC∴BE=．綜上可知AC邊上的中線長(zhǎng)是或．4．已知△ABC中，tanB=，BC=6，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為點(diǎn)D，且滿足BD：CD=2：1，則△ABC面積的所有可能值為_(kāi)___________．【答案】8或24．【分析】根據(jù)題意可知，這個(gè)要分情況討論，討論高是在內(nèi)部還是外部，根據(jù)正切值和面積計(jì)算即可．【詳解】解：如圖2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC?AD=×6×=8；如圖2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC?AD=×6×8=24；綜上，△ABC面積的所有可能值為8或24，故答案為8或24．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是要分情況討論．5．△ABC中，AB=12，AC=，∠B=30°則△ABC的面積是．【答案】21或15．【詳解】解：①如圖1，作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，∴AD=AB=6，BD=ABcosB=12×=6，在Rt△ACD中，CD==，∴BC=BD+CD=6+=7，則S△ABC=×BC×AD=×7×6=21；②如圖2，作AD⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由①知，AD=6、BD=6、CD=，則BC=BD﹣CD=5，∴S△ABC=×BC×AD=×5×6=15，故答案為21或15．考點(diǎn)：解直角三角形．6．已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，將△ABC沿射線BC方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度到△DEF，頂點(diǎn)A、B、C分別與D、E、F對(duì)應(yīng)，若以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則m的值是_____．【答案】、5或．【詳解】試題分析：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，如圖所示．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，∴BC=13，sin∠B=，cos∠B=．△ADE為等腰三角形分三種情況：①當(dāng)AB=AE時(shí)，BE=2BM，BM=AB?cos∠B=，此時(shí)m=BE=；②當(dāng)AB=BE時(shí)，m=BE=AB=5；③當(dāng)BE=AE時(shí)，BN=AN=AB=，BE=，此時(shí)m=BE=．故答案為、5或．考點(diǎn)：勾股定理；等腰三角形的判定；平移的性質(zhì)．7．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30o．以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)30o，點(diǎn)A、C分別落在點(diǎn)A'、C'處，直線AC、A'C'交于點(diǎn)D，那么的值為_(kāi)___________．【答案】【詳解】試題解析：分成兩種情況進(jìn)行討論：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí).過(guò)點(diǎn)作，分析可知是等腰三角形,設(shè)則解可得：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)：分析可知是等腰三角形,設(shè)則故答案為或8．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，則△ABC的面積等于_____．【答案】15或10【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D，分AB、AC位于AD異側(cè)和同側(cè)兩種情況，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的長(zhǎng)，繼而就兩種情況分別求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式求解可得．【詳解】解：作AD⊥BC交BC（或BC延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D，①如圖1，當(dāng)AB、AC位于AD異側(cè)時(shí)，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在Rt△ACD中，∵AC=2，∴CD=，則BC=BD+CD=6，∴S△ABC=?BC?AD=×6×5=15；②如圖2，當(dāng)AB、AC在AD的同側(cè)時(shí)，由①知，BD=5，CD=，則BC=BD-CD=4，∴S△ABC=?BC?AD=×4×5=10．綜上，△ABC的面積是15或10，故答案為15或10．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的運(yùn)用、分類討論思想的運(yùn)算及勾股定理．9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，點(diǎn)E在線段AD上，將△ABE沿BE翻折，點(diǎn)A恰巧落在對(duì)角線BD上點(diǎn)P處，那么PD=_____．【答案】12-12【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，則四邊形AFCD為矩形，如圖所示．∵AB=12，DC=7，∴BF=5．又∵cos∠ABC=，∴BC=13，CF==12．∵AD=CF=12，AB=12，∴BD==12．∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，∴BP=BA=12，∴PD=BD﹣BP=12﹣12．故答案為12﹣12．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、直角梯形以及解直角三角形，通過(guò)解直角三角形求出AD、BD的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．10．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，則∠ABC的大小為_(kāi)_______度．【答案】30或150【詳解】如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∵AC=3、cos∠ACB=，∴CD=ACcos∠ACB=3×=，則AD==1，①若點(diǎn)B在AD左側(cè)，∵AB=2、AD=1，∴∠ABC=30°；②若點(diǎn)B在AD右側(cè)，則∠AB′D=30°，∴∠AB′C=150°，故答案為30或150．11．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．則sin∠ACB_______．【答案】【分析】作BD⊥AC,交CA的延長(zhǎng)線于D,由∠BAC＝120°，得到∠BAD=60°,根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到AD=5,BD=5,再根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=5,然后利用正弦的定義求解.【詳解】解：作BD⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于D,如圖,∵∠BAC=120°,∴∠BAD=60°,在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10,∴AD=AB=5,BD=5,∴CD=AC+AD=5+5=10,在Rt△BCD中,BC==5,∴sin∠ACB===.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形,中等難度,構(gòu)造直角三角形,在直角三角形中利用邊長(zhǎng)表示出正弦值是解題關(guān)鍵.三、解答題12．如圖，已知AC=4，求AB和BC的長(zhǎng).【答案】【分析】作CD⊥AB于點(diǎn)D，由∠A＝30°，知∠ACD＝60°，再利用三角函數(shù)即可求解.【詳解】解：作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴∠ACD＝90°－∠A＝60°，，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝45°，∴，∴13．已知：如圖，在中，，，．求：（1）的面積；（2）的余弦值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先作AH⊥BC，再利用∠B=60°，AB=6，求出BH=3，AH=3，即可求出答案；（2）利用Rt△ACH中，AH=，CH=5，求出AC進(jìn)而求出∠C的余弦值．【詳解】分（1）作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，∴BH=3，AH=3，∴S△ABC=×8×3=12，（2）∵BC=8，BH=3，∴CH=5．在Rt△ACH中，∵AH=3，CH=5，∴AC=2．∴cosC=．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知構(gòu)建直角三角形得出是解題關(guān)鍵．14．已知：如圖，在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6.求BC的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）.【答案】+.【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，分別在Rt△ABD和Rt△ADC中求得BD、CD的長(zhǎng)，則BC=BD+DC，由此其值就可以得到了．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠B=45°，AB=6，∴在Rt△ADB中，BD=AD=ABsin45°=6×=3，∵∠C=60°，∴在Rt△ACD中，CD=，∴BC=BD+CD=3．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，求一般三角形的邊常用的方法就是作高，從而把一般三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中進(jìn)行求解．15．如圖，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的長(zhǎng).【答案】2+2【詳解】試題分析：本題注意考查的就是利用三角函數(shù)解直角三角形，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，然后分別根據(jù)Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的長(zhǎng)度，從而得出AB的長(zhǎng)度.試題解析：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，∴CD=AC=×4=2，∴AD=，在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，∴CD=DB=2，∴AB=AD+DB=2+2．16．如圖,在△ABC中，∠B=30°,sinC=,AC=10，求AB的長(zhǎng).【答案】AB=16.【詳解】試題分析：過(guò)A作BC的垂線，構(gòu)造兩個(gè)特殊直角三角形，Rt△ADC中，根據(jù)三角函數(shù)定義，求出AD,在Rt△ADB,∠B=30°，最后再求AB的長(zhǎng).試題解析：作AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D，在Rt△ADC中，sinC=,AC=10，AD=AC·sinC=8,在Rt△ADB中，∠B=30°,AB==16.17．如圖所示，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=,求：AC的長(zhǎng)．【答案】2【分析】如圖，過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D點(diǎn)，把一般三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后分別在兩個(gè)直角三角形中利用三角函數(shù)，即可求出AC的長(zhǎng)度．【詳解】過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D點(diǎn)；在直角三角形ABD中，∠B=45°，AB=，∴AD=AB?sin∠B=1，在直角三角形ADC中，∠C=30°，∴AC=2AD=2．故答案為：2．18．）如圖，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）利用此圖形求tan15°的值.【答案】（1）16-2；（2）2-【詳解】試題分析：（1）過(guò)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由含30°的直角三角形性質(zhì)得AD=AC=2，由三角函數(shù)求出CD=2，在Rt△ABD中，由三角函數(shù)求出BD=16，即可得出結(jié)果；（2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=AC，連接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=即可得出結(jié)果．試題解析：（1）過(guò)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖1所示：在Rt△ADC中，AC=4，∵∠C=150°，∴∠ACD=30°，∴AD=AC=2，CD=AC?cos30°=4×=2，在Rt△ABD中，tanB=，∴BD=16，∴BC=BD-CD=16-2；（2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=AC，連接AM，如圖2所示：∵∠ACB=150°，∴∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、含30°的直角三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角函數(shù)運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝13，BC＝10，求sinA和AB．【答案】sinA=；AB=【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D，于是得到∠BDC=∠ADC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BD=CD=BC=，根據(jù)勾股定理得到AD=，即可得到結(jié)論．【詳解】過(guò)C作CD⊥AB于D，∴∠BDC=∠ADC=90°，∵∠B=45°，∴BD=CD=BC×=BC=，∴AD=，∴sinA=，AB=AD+BD=+=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握特殊角度的銳角三角函數(shù)值以及三角函數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．20．如圖，銳角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面積為27cm2.求tanB的值．【答案】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由三角形的面積公式求出AH的長(zhǎng)，再由勾股定理求出BH的長(zhǎng)，最后由銳角三角函數(shù)的定義即可解答．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵∴∴AH=6，∵AB=10，∴∴21．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=8,∠A=120°,求BC的長(zhǎng).

【答案】8.【詳解】試題分析：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C=30°，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)可求BD的長(zhǎng),根據(jù)三線合一可求BC的長(zhǎng)．解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，∴BD=ABcos30°=8×=4，∴BC=8.22．如圖，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14.求BC的長(zhǎng).【答案】∴BC=6【詳解】試題分析：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，得到Rt△ADC和Rt△BCD，由在Rt△ADC中tanA=，設(shè)CD=3x，AD=4x，則在Rt△BCD中，由∠B=45°，可得BD=CD=3x，結(jié)合AB=14由勾股定理列出方程解得x的值，再在Rt△BCD中，由勾股定理即可求得BC的值.試題解析：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵tanA=，∴，設(shè)CD=3x，則AD=4x，∵∠B=45°，∠BDC=90°，∴BD=CD=3x，∵AD+BD=AB=14，∴4x+3x=14，解得x=2，∴BD=CD=6，∴BC=.點(diǎn)睛：本題是一道利用三角形函數(shù)解非直角三角形的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：通過(guò)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，把原三角形分成Rt△ACD和等腰Rt△BCD，這樣就可利用已知的tanA=、∠B=45°和AB=14在兩個(gè)直角三角形中應(yīng)用銳角三角形函數(shù)的知識(shí)結(jié)合勾股定理解出BC的長(zhǎng)了.23．如圖，在△ABC中，sinB=，∠A=105°，AB=2，求△ABC的面積.【答案】S△ABC=+1.【詳解】試題分析:本題考查利用三角函數(shù)解決非直角三角形,通常我們根據(jù)已知條件,通過(guò)作高構(gòu)造構(gòu)造直角三角形進(jìn)行解決,根據(jù)題意,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,根據(jù)已知條件在Rt△ABD中,利用正弦三角函數(shù)和勾股定理可求出AD,BD,∠BAD=45°,繼而求出∠CAD=60°再在Rt△ADC中,根據(jù)已知條件,利用正切三角函數(shù)求出CD,繼而求出BC,最后根據(jù)三角形面積公式求三角形面積.解:過(guò)A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，易得∠B=45°，又AB=2，∴∠DAB=∠B=45°，AD=BD=2×=，∴∠CAD=105°-45°=60°.在Rt△CAD中，tan∠CAD=，∴CD=AD·tan∠CAD=×tan60°=.∴BC=CD+BD=+.∴S△ABC=·BC·AD=(+)×=+1.24．已知直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC為腰，在△ABC外作頂角為30°的等腰三角形ACD，連接BD．請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出△BCD的面積．【答案】①3②2-3③【分析】分四種情形分別求解即可解決問(wèn)題；【詳解】①當(dāng)CD=CA，∠DCA=30°時(shí)，作DH⊥AC于H．在Rt△ACB中，∵∠CAB=30°，AB=4，∴BC=2，AC=2，∵∠ACD=∠CBA=30°，∴CD∥AB，∴S△BCD=S△ADC=?AC?DH=×2×=3．②當(dāng)AC=AD，∠CAD=30°時(shí)，作DH⊥AC于H．S△BCD=S△ABC+S△ADC﹣S△ABD=×2×2+×2×﹣×4×3=2﹣3③當(dāng)DA=DC，∠ADC=30°時(shí)，作DH⊥AC于H，連接BH．∵DA=DC，DH⊥AC，∴AH=CH=，∵∠DHC=∠ACB=90°，∴DH∥BC，∴S△BCD=S△BCH=×2×=.【點(diǎn)睛】考查作圖-復(fù)雜作圖、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、平行線的判定和性質(zhì)、等高模型等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．25．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的長(zhǎng)及tanC的值．【答案】tanC＝.【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，由∠ABC＝45°，可得BD＝AD＝2，在Rt△ADC中，由勾股定理可得CD，由BC＝BD＋DC，tanC＝即可求解..【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.在Rt△ABD中，∠B＝45°，∵sinB＝，∴AD＝AB·sinB＝4×sin45°＝4×＝2，∴BD＝AD＝2，在Rt△ADC中，AC＝6，由勾股定理，得DC＝＝＝2，∴BC＝BD＋DC＝2＋2，tanC＝＝＝.【點(diǎn)睛】此題考查了解非直角三角形，關(guān)鍵是作垂線構(gòu)造出含有特殊角的直角三角形，利用三角函數(shù)進(jìn)行求解.26．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=，AD=4．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求tan∠DAE的值．【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=4；解Rt△ADB，得出AB=6，根據(jù)勾股定理求出BD=2，然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE-CD，然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．試題解析：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，∴DC=AD=4．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=4，∴AB=∴BD=，∴BC=BD+DC=（2）∵AE是BC邊上的中線，∴CE=BC=，∴D