山東省煙臺(tái)市福山第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE17-福山第一中學(xué)2024-2025學(xué)年其次學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.雙曲線和有（）A.相同焦點(diǎn) B.相同漸近線 C.相同頂點(diǎn) D.相等的離心率【答案】A【解析】【分析】對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，由此可得出結(jié)論.【詳解】解：對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，它們具有相同焦點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2.已知是雙曲線：上的一點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，，所以==，解得，故選A.考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；向量數(shù)量積坐標(biāo)表示；一元二次不等式解法.3.平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)滿意，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件知，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線右支，從而寫出軌跡的方程即可.【詳解】解：由可知，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線右支，，，，.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結(jié)合和的離心率之積為，即可得的關(guān)系，進(jìn)而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡(jiǎn)可得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)應(yīng)用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.5.已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長(zhǎng)為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；雙曲線的幾何性質(zhì).6.在橢圓內(nèi)，通過點(diǎn)，且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】試題分析：設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)分別為，則，又，兩式相減化簡(jiǎn)得，即以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線的斜率為，由直線的點(diǎn)斜式方程可得，即，故選A.考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系.7.已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)為,且,弦過點(diǎn),則的周長(zhǎng)為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得橢圓的a，b，c，由橢圓的定義可得△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，計(jì)算即可得到所求值．【詳解】由題意可得橢圓+=1的b=5，c=4，a==，由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的周長(zhǎng)的求法，留意運(yùn)用橢圓的定義和方程，定義法解題是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8.已知點(diǎn)在橢圓上，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，的中點(diǎn)在軸上，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，設(shè)P，且，所以=，選A.【點(diǎn)睛】若，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．9.設(shè)P，Q分別是圓和橢圓上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出橢圓上的點(diǎn)與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點(diǎn)間的最大距離.【詳解】圓的圓心為M(0,6)，半徑為，設(shè)，則，即，∴當(dāng)時(shí)，，故的最大值為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與圓的綜合，圓外隨意一點(diǎn)到圓的最大距離是這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑之和，依據(jù)圓外點(diǎn)在橢圓上，即可列出橢圓上一點(diǎn)到圓心的距離的解析式，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得橢圓上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大值.10.設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率是（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】試題分析：雙曲線的漸近線為，到一條漸近線的距離，則，在中，，則，設(shè)的傾斜角為，則，，在中，，在中，，而，代入化簡(jiǎn)可得到，因此離心率考點(diǎn)：雙曲線的離心率；11.由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中，．由右橢圓的焦點(diǎn)和左橢圓的焦點(diǎn)，確定叫做“果圓”的焦點(diǎn)三角形，若“果圓”的焦點(diǎn)為直角三角形．則右橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)“果圓”關(guān)于軸對(duì)稱，可得是以為底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立關(guān)于，，之間的關(guān)系式，求出結(jié)果.【詳解】解：連接，，依據(jù)“果圓”關(guān)于軸對(duì)稱，可得是以為底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分別是橢圓和的半焦距，，即.，.即，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，屬于中檔題.12.如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別是在其次、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形為矩形，則的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由橢圓與雙曲線的定義可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a為雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng))，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四邊形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)．二、填空題13.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且，，則該橢圓的離心率為．【答案】【解析】試題分析：在中，，，設(shè)，則.考點(diǎn)：橢圓的定義.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題的考點(diǎn)是橢圓定義的考查，即的等式關(guān)系和幾何意義.由給定的條件可知三角形不僅是直角三角形，也可以得到其中一個(gè)銳角，由此可用來表示直角三角形的三個(gè)邊，再依據(jù)橢圓的定義便可建立等式關(guān)系，求得橢圓的離心率.橢圓中探討的關(guān)系不僅選擇填空會(huì)考有時(shí)解答題也會(huì)出，它是探討橢圓基礎(chǔ).14.已知的頂點(diǎn)，分別為雙曲線左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在雙曲線上，則的值等于__________．【答案】【解析】【分析】由題意得,，再利用正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】解：由題意得,，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，結(jié)合了正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.15.已知雙曲線，的焦點(diǎn)分別在軸，軸上，漸近線方程為，離心率分別為，．則的最小值為___________．【答案】【解析】分析】依據(jù)雙曲線的漸近線方程和離心率的關(guān)系可得，，再利用基本不等式求解即可.【詳解】解：由漸近線方程為可知，，,，，.第一次取等號(hào)的條件為，即，其次次取等號(hào)條件為，即.的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和基本性質(zhì)，離心率的求法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.16.已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】試題分析：橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，依據(jù)橢圓的定義，，∴，由三角形的性質(zhì)，知，當(dāng)是延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故所求最大值為．考點(diǎn)：橢圓的定義，三角形的性質(zhì)．三、解答題17.已知、分別是橢圓左、右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為，若．求此橢圓的方程;直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為求直線的方程．【答案】；.【解析】【分析】由已知條件得，由此求出橢圓方程；設(shè)，，再結(jié)合弦的中點(diǎn)為，求直線的方程.【詳解】由題意得，所以，所以．設(shè)，，，兩點(diǎn)在橢圓上，，，弦的中點(diǎn)為，，，，直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程和直線方程的求法，屬于中檔題.18.已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上的點(diǎn)到，的距離之和為，求橢圓的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；若、是關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，是上隨意一點(diǎn)，直線，的斜率都存在，記為，，求證：與之積為定值．【答案】，焦點(diǎn)，；證明見解析.【解析】【分析】先依據(jù)點(diǎn)到到，的距離之和求得，再把點(diǎn)代入橢圓方程求得，則可得，進(jìn)而求得橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式分別表示出和的斜率，求得二者乘積的表達(dá)式，把式子代入結(jié)果為常數(shù)，原式得證.【詳解】解：橢圓的焦點(diǎn)在軸上，由橢圓上點(diǎn)到到，的距離之和為，得，即.點(diǎn)在橢圓上，，得，則.橢圓的方程為，焦點(diǎn)為，.設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，其中.設(shè)點(diǎn)，由，，可得，將和代入，得.故與之積為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，直線斜率求法，屬于中檔題.19.已知圓圓心為，定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；若點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，且，求的面積．【答案】；.【解析】【分析】由已知，故，即點(diǎn)軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，依據(jù)，，得出橢圓方程；由知，又因?yàn)?，得出，進(jìn)而求出，算出面積即可.詳解】由已知，故點(diǎn)軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)其方程為則即，又，故．點(diǎn)的軌跡的方程為：．由知.又.有，．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓得方程求法，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.20.如圖所示，橢圓，、，為橢圓的左、右頂點(diǎn)．設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，證明:當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值與最大值．若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．若直線與中所述橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是左、右頂點(diǎn)），且滿意，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】見解析；；見解析，.【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，令，由點(diǎn)在橢圓上，得，則，代入式子，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和的取值范圍，求出函數(shù)的最值以及對(duì)應(yīng)的的取值，即可求證；由已知與，得，，解得，，再由求出，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；假設(shè)存在滿意條件的直線，設(shè)，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程進(jìn)行整理，化簡(jiǎn)出一元二次方程，再利用韋達(dá)定理列出方程組，依據(jù)題意得,代入列出關(guān)于的方程，進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，令．由點(diǎn)在橢圓上，得，則，代入，得，其對(duì)稱軸方程為，由