江蘇省徐州市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期考前模擬四模試題含解析

PAGE26-江蘇省徐州市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期考前模擬（四模）試題（含解析）一?填空題1.已知集合，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】干脆依據(jù)并集的運(yùn)算計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榧?，所以，故集合中?個(gè)元素，故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的實(shí)部為___________.【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再依據(jù)復(fù)數(shù)的定義求解．【詳解】，所以實(shí)部為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念，駕馭乘法運(yùn)算是解題關(guān)鍵．3.從參與疫情防控學(xué)問競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成果(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如圖所示，則這60名學(xué)生中成果在區(qū)間的人數(shù)為___________.【答案】15【解析】【分析】依據(jù)頻率分布直方圖求出成果在區(qū)間的頻率，然后可得人數(shù)．【詳解】由頻率分布直方圖得，，∴所求人數(shù)為．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，駕馭頻率分布直方圖的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，頻率分布直方圖中全部小矩形面積和為1．即全部頻率之和為1．4.執(zhí)行如圖所示的算法流程圖，則輸出的結(jié)果為___________.【答案】2【解析】【分析】循環(huán)進(jìn)行賦值運(yùn)算，直到退出循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，進(jìn)入循環(huán)：；當(dāng)時(shí)，進(jìn)入循環(huán)：；當(dāng)時(shí)，進(jìn)入循環(huán)：；當(dāng)時(shí)，退出循環(huán)，輸出.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算變量的值，屬于基礎(chǔ)題.5.將一個(gè)質(zhì)地勻稱的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于10的概率為_______．【答案】【解析】【分析】先寫出全部的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)36個(gè)，利用列舉法寫出滿意題意的有3個(gè)，由此能求出滿意題意的概率．【詳解】全部的基本領(lǐng)件可能如下：共有36種，點(diǎn)數(shù)之和大于10的有（5,6），（6,5），（6,6），共3種，所求概率為：P＝.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法、考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則該雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】【分析】由焦點(diǎn)求出，即得，由離心率定義得離心率．【詳解】由題意，．，，，∴離心率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，依據(jù)雙曲線方程求出后由離心率定義可得離心率，本題屬于中檔題．7.已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為___________.【答案】5【解析】【分析】先依據(jù)向量的減法法則計(jì)算，再依據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：由題知，又因?yàn)?，所以，解得：故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查向量的減法運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題.8.已知圓錐側(cè)面綻開圖是一個(gè)半徑為4，面積為的扇形，則該圓錐的體積為___________.【答案】【解析】【分析】由側(cè)面綻開圖求出圓錐底面半徑，再求得圓錐的高，然后可得體積，【詳解】由題意圓錐的母線長(zhǎng)為，扇形弧長(zhǎng)為，則，，圓錐底面半徑為，則，，∴圓錐的高為，所以圓錐體積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐的體積，駕馭圓錐側(cè)面綻開圖與解決問題問題的基本方法．9.已知公差不為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且，，成等比數(shù)列，則的值為___________.【答案】56【解析】【分析】依據(jù)題意，先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，列出方程求出公差，再由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，即，整理得：，解得：或（舍），因此.故答案為：56.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的運(yùn)算，涉及等比中項(xiàng)的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.10.已知函數(shù)，，若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性及角的范圍，可得，由此即可求得的值．【詳解】解：令，解得，即，又，，令，則，，即，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運(yùn)用，涉及了函數(shù)的對(duì)稱性及零點(diǎn)問題，考查轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題．11.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且則的值為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)的解析式及函數(shù)的奇偶性，先求出，然后再求即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)求值，結(jié)合了奇函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)潔題.12.在平面直角坐標(biāo)系中，若圓：與圓：上分別存在點(diǎn)，，使為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)的值為___________.【答案】【解析】【分析】將圓的方程標(biāo)準(zhǔn)化可得圓心半徑，由已知可得，則，數(shù)形結(jié)合得到的坐標(biāo)，計(jì)算即可得解.【詳解】由已知得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，得：圓心，半徑；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，得：圓心，半徑；為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為，即,,又點(diǎn)和點(diǎn)都在圓上，且圓的半徑，只能是圓的直徑，即點(diǎn)只能是圓與軸的交點(diǎn)（0，2），又點(diǎn)在圓上，點(diǎn)只能是圓與軸的交點(diǎn)，在圓中，令，得：，解得：或（舍去），由，得：，，故答案為：-2或2.【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程，考查直線和圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題.13.若的內(nèi)角滿意，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系切化弦得，再運(yùn)用三角恒等變換和正、余弦定理將角轉(zhuǎn)化邊可得，依據(jù)余弦定理和基本不等式可求得的最小值.【詳解】由得，，即，，所以，由正弦定理和余弦定理得：，化簡(jiǎn)得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系，三角恒等變換，正、余弦定理，以及運(yùn)用基本不等式求最值，關(guān)鍵在于運(yùn)用合適的公式將角轉(zhuǎn)化為邊，屬于較難題.14.若函數(shù)，的最大值為，則實(shí)數(shù)的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性求出最值，分、兩類進(jìn)行肯定值運(yùn)算，驗(yàn)證是否滿意函數(shù)，的最大值為即可求得a的范圍從而求出最大值.【詳解】不妨令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù).因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，在處取得最大值，滿意題意；當(dāng)時(shí)，在處取得最大值，不滿意題意.所以，則a的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性及最值、含肯定值函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分類探討思想，屬于較難題.二?解答題15.如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，分別是棱，的中點(diǎn).求證：（1）∥平面；（2）.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）要證明∥平面，只需證明∥即可；（2）要證明，只需證明平面即可.【詳解】（1）在中，，分別是棱，的中點(diǎn)，所以∥.又在三棱柱中，∥，所以∥.又因平面，平面，所以∥平面.（2）因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，，平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所?【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理以及面面垂直的性質(zhì)定理，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力，是一道簡(jiǎn)潔題.16.如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，，且．（1）求；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由余弦定理結(jié)合題意可得，依據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得、，再利用即可得解；（2）由正弦定理可得，進(jìn)而可求得、，利用三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得所以因?yàn)?，是三角形的?nèi)角，所以所以；（2）在中，由正弦定理得，所以，，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理及三角恒等變換的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.17.如圖，某市地鐵施工隊(duì)在自點(diǎn)M向點(diǎn)N直線掘進(jìn)的過程中，因發(fā)覺一地下古城(如圖中正方形所示區(qū)域)而被迫改道.原定的改道安排為：以M點(diǎn)向南，N點(diǎn)向西的交匯點(diǎn)為圓心，為半徑做圓弧，將作為新的線路，但由于弧線施工難度大，于是又確定自點(diǎn)起，改為直道.已知千米，點(diǎn)A到OM，ON的距離分別為千米和1千米，，且千米，記.（1）求的取值范圍；（2）已知弧形線路的造價(jià)與弧長(zhǎng)成正比，比例系數(shù)為3a，直道PN的造價(jià)與長(zhǎng)度的平方成正比，比例系數(shù)為a，當(dāng)θ為多少時(shí)，總造價(jià)最少？【答案】（1）；（2）當(dāng)θ為時(shí)，總造價(jià)最少.【解析】【分析】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，ON所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，依據(jù)題意，求出直線CN的方程，所在圓的方程，聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)，當(dāng)PN過點(diǎn)C時(shí)，求出，結(jié)合圖形，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，得到的長(zhǎng)為，設(shè)，得出，，，用導(dǎo)數(shù)的方法求出其最小值即可.【詳解】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，ON所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以直線CN的方程為，所在圓的方程為，聯(lián)立解得，當(dāng)PN過點(diǎn)C時(shí)，，，所以的取值范圍是.（2）由題意，的長(zhǎng)為，設(shè)，則，所以總造價(jià)，，，所以，令得，，所以，列表如下：↘微小值↗所以當(dāng)時(shí)，有微小值，也是最小值.答：當(dāng)為時(shí)，總造價(jià)最少.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，熟記導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的最值即可，屬于?？碱}型.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)P，連結(jié).記橢圓的離心率為e.（1）若，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線PA與PB的斜率之積為，求e的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用以及列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）求得直線的方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線的斜率，依據(jù)直線和的斜率之積列方程，化簡(jiǎn)后求得的值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為2c.由題意，得解得所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)锽，在直線PB上，所以直線PB方程為.解方程組得或所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.因?yàn)橹本€PB的斜率，直線PA的斜率，又因?yàn)橹本€PA和PB的斜率之積為，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以橢圓的離心率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓離心率的求法，屬于難題.19.已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）若存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)隨意的，總有，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）代入的值，求出，，求出切線方程即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為在，恒成立，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可；（3）令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過探討的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定的范圍即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，，所以的取值范圍為.（3）不等式即，令，則，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)增，所以，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由得，列表如下：↘微小值↗令，在上，總有，符合題意，綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類探討思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．20.已知數(shù)列滿意，，，.（1）若，求，的值；（2）證明：對(duì)隨意正實(shí)數(shù)，成等差數(shù)列；（3）若()，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3），.【解析】【分析】（1）分別代入可得；（2）由，再寫一次有，兩式相加后得，從而可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，從而可得證結(jié)論；（3）設(shè)奇數(shù)項(xiàng)所成等差數(shù)列的公差為，偶數(shù)項(xiàng)所成等差數(shù)列的公差為，按在奇偶分類探討寫出，利用不等式關(guān)系得出，從而求得，再按等差數(shù)列的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相加得，，即，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，為等差數(shù)列，設(shè)公差為.所以，所以成等差數(shù)列.（3）設(shè)奇數(shù)項(xiàng)所成等差數(shù)列的公差為，偶數(shù)項(xiàng)所成等差數(shù)列的公差為.①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，則，即，所以，故.②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，則，即，所以，故.綜上可得，.又，所以.所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.【點(diǎn)睛】本題考查的遞推公式，考查證明等差數(shù)列，考查學(xué)生的分類探討思想，運(yùn)算求解實(shí)力，分析問題解決問題的實(shí)力．屬于難題．21.已知矩陣，點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn).（1）求，的值；（2）求矩陣特征值.【答案】（1）；（2）1和4.【解析】【分析】（1）利用矩陣乘法得，列方程組解得；（2）寫出其特征多項(xiàng)式，可解得特征值，【詳解】（1）由條件知，，所以解得（2）由（1）知，，矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，解得或，∴的特征值為1和4.【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的乘法運(yùn)算，考查特征多項(xiàng)式和特征值，屬于基礎(chǔ)題．22.在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).（1）求，兩點(diǎn)間的距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）中，應(yīng)用余弦定理可求得；（2）消去參數(shù)得直線的一般方程，把的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式得距離．【詳解】（1）在中，，，由余弦定理，得.（2）直線的一般方程為，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到直線的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)的應(yīng)用，考查參數(shù)方程與一般方程的互化，考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查點(diǎn)到直線的距離公式與余弦定理．駕馭極坐標(biāo)的意義是解題關(guān)鍵．23.設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）設(shè)，若的最小值為，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)肯定值的性質(zhì)求解．即由得或，解之可得；（2）依據(jù)肯定值的定義分類探討去肯定值符號(hào)后得函數(shù)的單調(diào)性，從而得最小值，由最小值為可求得．【詳解】（1）不等式即，則或，解得或，所以不等式的解集為.（2）∵，∴函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，所以的最小值為，解得.【點(diǎn)睛】本題考查解肯定值不等式，考查求含肯定值的函數(shù)的最值，解題方法一般是依據(jù)肯定值的定義分類探討去肯定值符號(hào)，化為分段函數(shù)后解決問題，假如只有一個(gè)肯定值符號(hào)的不等式還可以利用肯定值性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)