導數(shù)壓軸專題突破-第06講 妙用洛必達法則（含答案及解析）

第06講妙用洛必達法則【典型例題】例1．已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．例2．設函數(shù)，其中．（1）時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（3）若，成立，求的取值范圍．例3．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在點，（1）處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)的值；（2）若關于的方程有唯一的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【同步練習】1．設函數(shù)，（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當時，求的取值范圍．2．設函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（2）若，成立，求的取值范圍．3．已知函數(shù)，，若對于任意恒成立，求的取值集合．4．設函數(shù)，，，其中是的導函數(shù)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．5．若不等式對于恒成立，求的取值范圍．6．設函數(shù)．設當時，，求的取值范圍．

第06講妙用洛必達法則【典型例題】例1．已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1）的定義域為，，令，則所以當時，；當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時，（1），即在上單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間為，無減區(qū)間．（2）對任意，不等式恒成立等價于對任意，恒成立．當，對任意，不等式恒成立等價于對任意，恒成立．記，則，記，則，所以在單調(diào)遞減，又（1），所以，時，，即，所以在單調(diào)遞減．所以，綜上所述，的取值范圍是．例2．設函數(shù)，其中．（1）時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（3）若，成立，求的取值范圍．【解析】解：（1）當時，切點為，則，所以，切線方程為，即，所以切線方程為：；（2）由題意可知，函數(shù)的定義域為，則，令，，①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點，②當時，△，當時，△，，，所以在上單調(diào)遞增，無極值點，當時，△，設方程的兩個根，，，且，，此時，因為，，，，所以，因為，，時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，，時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)有兩個極值點，當時，△，設方程的兩個根，，，且，，此時，因為，所以，所以，時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當，時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)有一個極值點，綜上可知，當時，函數(shù)有一個極值點；當時，函數(shù)無極值點；當時，函數(shù)有兩個極值點；（3）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以時，，符合題意，當時，，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，所以時，，符合題意，當時，由，得，所以時，函數(shù)單調(diào)遞減，因為，所以時，時，不符合題意，當時，設，因為時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，即，可得，當時，，此時，不合題意，綜上，的取值范圍為，．例3．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在點，（1）處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)的值；（2）若關于的方程有唯一的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），在點，（1）處的切線的斜率（1），又（1），切線的方程為，即，由經(jīng)過點，可得．（2）證明：易知為方程的根，由題只需說明當和時原方程均沒有實數(shù)解即可．①當時，若，顯然有，而恒成立，此時方程顯然無解，若，，，令，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，從而，，此時方程也無解．若，由，記，則，設，則有恒成立，恒成立，故令在上遞增，在上遞減（1），可知原方程也無解，由上面的分析可知時，，方程均無解．②當時，若，顯然有，而恒成立，此時方程顯然無解，若，和①中的分析同理可知此時方程也無解．若，由，記，則，由①中的分析知，故在恒成立，從而在上單調(diào)遞增，當時，，如果，即，則，要使方程無解，只需，即有如果，即，此時，，方程一定有解，不滿足．由上面的分析知時，，方程均無解，綜合①②可知，當且僅當時，方程有唯一解，的取值范圍為．【同步練習】1．設函數(shù)，（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當時，求的取值范圍．【解析】（1）時，，．當時，；當時，．故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加．（2）當時，，對于任意實數(shù)，恒成立；當時，等價于，令，則，令，則，，所以在上為增函數(shù)，，所以在上為增函數(shù)，，所以，在上為增函數(shù)．而，，由洛必達法則知，，故．綜上得的取值范圍為．2．設函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；（2）若，成立，求的取值范圍．【解析】（1），定義域為，當時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點．設，當時，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知的根的個數(shù)就是函數(shù)極值點的個數(shù)．若，即時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點．若，即或，而當時此時方程在只有一個實數(shù)根，此時函數(shù)只有一個極值點；當時方程在都有兩個不相等的實數(shù)根，此時函數(shù)有兩個極值點；綜上可知當時的極值點個數(shù)為0；當時的極值點個數(shù)為1；當時，的極值點個數(shù)為2．（2）函數(shù)，，都有成立，即恒成立，設，則，設，則，所以和時，，所以在對應區(qū)間遞減，時，，所以在對應區(qū)間遞增，因為，，，所以和時，，所以在與上遞增．當時，，所以，由的單調(diào)性得，；當時，，恒成立；當時，，所以，由的單調(diào)性得，所以，綜上，3．已知函數(shù)，，若對于任意恒成立，求的取值集合．【解析】恒成立，即．當時顯然成立，即．當時，，令，則，令，則，所以遞增，所以，所以在上恒成立．所以在上遞增，根據(jù)洛必達法則得，，所以．同理，當時，．綜上所述，的取值集合為．4．設函數(shù)，，，其中是的導函數(shù)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】已知恒成立，即恒成立．當時，為任意實數(shù)，均有不等式恒成立．當時，不等式變形為恒成立．令，則，再令，則．因為，所以，所以在上遞增，從而有．進而有，所以在上遞增．當時，有，，由洛必達法則得，所以當時，．所以恒成立，則．綜上，實數(shù)的取值范圍為．5．若不等式對于恒成立，求的取值范圍．【解析】當時，原不等式等價于．記，則．記，則．因為，，所以在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，且．因此在上單調(diào)遞減，且，故，因此在上單調(diào)遞減．由洛必達法則有即當時，，即有．故時，不等式對于恒成立．6．設函數(shù)．設當時，，求的取值范圍．【解析】應用洛必達法則和