導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第28講 三極值點(diǎn)問題與三變量問題（含答案及解析）

第28講三極值點(diǎn)問題與三變量問題【典型例題】例1．已知函數(shù)（其中為常數(shù)）．(1)當(dāng)時，對于任意大于的實(shí)數(shù)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的個極值點(diǎn)為、、，且，求證：．例2．已知函數(shù).(1)求的極值.(2)若，，證明：.例3．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，若，求證：(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值).例4．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)；(2)當(dāng)a，b，時，恒成立，求m的取值范圍．例5．已知函數(shù)．(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)有三個不同的極值點(diǎn)，，，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．例6．已知函數(shù)有三個零點(diǎn)，，．(1)求的取值范圍；(2)證明：；(3)記較大的極值點(diǎn)為，當(dāng)時，證明：．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，，其中a為實(shí)數(shù).(1)若函數(shù)，的圖象在處的切線重合，求a的值；(2)若，設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為.求證：①函數(shù)有兩個零點(diǎn)，（）；②.2．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)設(shè)函數(shù)，若有兩個零點(diǎn)，，且為的唯一極值點(diǎn)，求證：．3．已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)記的零點(diǎn)為（），的極值點(diǎn)為，證明：.4．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值．(2)若有三個極值點(diǎn)，且，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：．5．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)設(shè)有兩個不同的零點(diǎn)，，為其極值點(diǎn)，證明：．6．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，如果函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)若直線與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是，證明成等比數(shù)列．9．已知函數(shù).(1)求和的極值；(2)證明：存在直線，其與曲線和曲線共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.10．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，證明；(2)若存在極值點(diǎn)，且對任意滿足的，都有，求a的取值范圍．11．已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)單調(diào)遞增，求a的最大值；(3)設(shè)是的兩個不同極值點(diǎn)，是的最大零點(diǎn)．證明：．注：是自然對數(shù)的底數(shù)．12．已知函數(shù)，且．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有三個極值點(diǎn)，且，求證：．13．已知函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為(1)討論的單調(diào)性；(2)若有三個不同的極值點(diǎn)，其中①求的取值范圍；②證明：.14．已知函數(shù)，．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn).（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）是的極值點(diǎn)，求證：.15．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的值及函數(shù)的極值；(2)設(shè)有三個不同的零點(diǎn)，，，證明：.16．設(shè)函數(shù)，記的導(dǎo)數(shù)為．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有三個不同的極值點(diǎn)，，，證明：．17．設(shè)函數(shù)，，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)方程在的實(shí)根為，令，若存在，使得，證明．

第28講三極值點(diǎn)問題與三變量問題【典型例題】例1．已知函數(shù)（其中為常數(shù)）．(1)當(dāng)時，對于任意大于的實(shí)數(shù)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的個極值點(diǎn)為、、，且，求證：．【解析】(1)當(dāng)且時，，即成立，令，則，，則.①當(dāng)，，在上是增函數(shù)，即當(dāng)時，，滿足題意；②當(dāng)時，令，解得，，當(dāng)時，，函數(shù)在上是減函數(shù)，此時，不合乎題意.綜上所述，.(2)證明：因?yàn)?，其中且，則，對于函數(shù)，有，因?yàn)椋?dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)有個極值點(diǎn)、、，且，所以，，解得，當(dāng)時，，，所以，，當(dāng)時，，，則，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，則，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，則，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有：、，單調(diào)遞減區(qū)間有：、、，故，當(dāng)時，、是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，即有，消去有，令，其中，則，令可得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，且，且，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋瑒t，即，即，因?yàn)?，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即.例2．已知函數(shù).(1)求的極值.(2)若，，證明：.【解析】（1）（1）由題意可得.當(dāng)或時，；當(dāng)時，.所以在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故的極大值為，的極小值為.（2）證明：由（1）可知.設(shè)，，則.設(shè)，則.因?yàn)?，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上恒成?因?yàn)椋?，因?yàn)椋?由（1）可知在上單調(diào)遞增，且，，則，即.例3．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，若，求證：(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值).【解析】（1）由，有∴，而，可知曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）由（1）得，令，則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，而，知當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得極大值.∵，不妨設(shè)，令，則因?yàn)?，所以，即有，∴，即函?shù)在上單調(diào)遞減，而，所以在上恒成立，即在上恒成立，有在上恒成立，又，所以，因?yàn)榍?，而函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，而，所以得證.例4．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)；(2)當(dāng)a，b，時，恒成立，求m的取值范圍．【解析】（1），令，得.當(dāng)時，因?yàn)?，所以，，即函?shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，令，，所以是增函數(shù).，因?yàn)?，所以，所以存在唯一，使得，所?即，；當(dāng)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn).綜上所述，函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)為.（2）當(dāng)時，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，?所以.同理可得所以.所以.當(dāng)時，由（1）可知，在上存在唯一的零點(diǎn)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，取，則，即.同理可得.所以，與已知矛盾.所以的取值范圍是.例5．已知函數(shù)．(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)有三個不同的極值點(diǎn)，，，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式恒成立，即在上恒成立，記，則，得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即在區(qū)間上恒成立，分離變量知：在上恒成立，則，，由前面可知，當(dāng)時，恒成立，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以．（2），設(shè)曲線圖象上任意一點(diǎn)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，將代入得，故切點(diǎn)為，過的切線方程為，所以直線和曲線相切，并且切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)根，，并且，從而當(dāng)時，有三個極值點(diǎn)，，，并且，，，取對數(shù)知：，，即，，則．構(gòu)造，在時恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，從而的解為，綜上所述．例6．已知函數(shù)有三個零點(diǎn)，，．(1)求的取值范圍；(2)證明：；(3)記較大的極值點(diǎn)為，當(dāng)時，證明：．【解析】（1），（i）當(dāng)，，單調(diào)遞減；（ii）當(dāng)，記，，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，，又所以A．當(dāng)，，單調(diào)遞減，至多一個零點(diǎn)，矛盾；B．當(dāng)，,由（ii）知，有兩個零點(diǎn)，記兩零點(diǎn)為，，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，令，則，所以，于是，，且趨近0，趨近，趨近，趨近于是函數(shù)有三零點(diǎn)，綜上符合題意；（2），這等價于，即，由（1）可得，則，令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，則滿足，，要證，等價于證，易知，令，則，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，下面證明，由，即證，即證，即證，即證，令，令，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以原命題得證；（3）記，，記的零點(diǎn)為，在為負(fù)，所以在單調(diào)遞減，記，，于是單調(diào)遞減，令，，這說明，于是有，由對稱性，即證明時，，這等價于在單調(diào)遞增，即，顯然成立．于是恒有，既在單調(diào)遞增，，即，，又，且在單調(diào)遞增，故只需證明：，既，由（2），故只需證，這是成立的．原不等式得證．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，，其中a為實(shí)數(shù).(1)若函數(shù)，的圖象在處的切線重合，求a的值；(2)若，設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為.求證：①函數(shù)有兩個零點(diǎn)，（）；②.【解析】（1）由題意得：，，，故，，，，因?yàn)楹瘮?shù)，的圖象在處的切線重合，故，解得.（2）①，，則，其中，令又，故在上單調(diào)遞減，據(jù)，，故，且當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，由（1）知，，故，所以.下面證明，令，，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，且，，，所以，故存在，使得.綜上所述，在上存在兩個零點(diǎn)，.②要證，即證，因?yàn)槭呛瘮?shù)的零點(diǎn)，故，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，故，所以，，又，所以，即，所以，所以，即，得證.2．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)設(shè)函數(shù)，若有兩個零點(diǎn)，，且為的唯一極值點(diǎn)，求證：．【解析】（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的極小值為，無極大值.（2），當(dāng)時，在上恒成立，在上遞增，不符合題意.當(dāng)時，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的極小值點(diǎn)為，，要使有兩個零點(diǎn)，則，，則，對于函數(shù)，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，所以在上恒成立.則，所以不妨設(shè)，由，得，令，即，整理得，要證，即證，即證，即證，即證，即證.設(shè)函數(shù)，，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，所以.3．已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)記的零點(diǎn)為（），的極值點(diǎn)為，證明：.【解析】（1）記，①當(dāng)時，取，不符條件；②當(dāng)時，，令，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，則的取值范圍為；（2）∵，令，則，且，令，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，∴，取，則，∴，取，則，記，在中，，∴在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即∵∴從而.4．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值．(2)若有三個極值點(diǎn)，且，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：．【解析】（1）當(dāng)時，，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，所以時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)有極小值為，無極大值；（2）①由，所以，因?yàn)?僅當(dāng)時取等號，于是，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時至多有一個零點(diǎn)，不符合，當(dāng)時，令，得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，注意到，當(dāng)時，，所以，，又，，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，所以，故，則，，因此在內(nèi)恰有一個零點(diǎn)（即在有一個零點(diǎn)），在內(nèi)有一個零點(diǎn)，即，在內(nèi)有一個零點(diǎn)，故有三個零點(diǎn)，則；②證明：由題意知，又注意到，所以，即，當(dāng)時，先證明不等式恒成立，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即當(dāng)時，不等式恒成立．由，可得，因此，兩邊同除以，得，而，故．5．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)設(shè)有兩個不同的零點(diǎn)，，為其極值點(diǎn)，證明：．【解析】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，令，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值，且極小值為；（2）()，，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，則.又函數(shù)在上有2個零點(diǎn)，所以，解得.設(shè)，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，即，所以，又，，兩式相減，得，設(shè)，要證，只需證，即證，即證，令，則，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即在上恒成立，所以.綜上，.6．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，如果函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)若直線與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是，證明成等比數(shù)列．【解析】（1），，若，由，解得；由，解得，于是在上遞增，在遞減，所以是在上唯一的極大值點(diǎn)，不合題設(shè)．若，若，得（?。┊?dāng)時，．；或，在上遞增，在和上遞減故在區(qū)間上在兩個極值點(diǎn)，不合題設(shè)．（ⅱ）當(dāng)時，．；或在上遞增，在和上遞減故在區(qū)間上在兩個極值點(diǎn)，不合題設(shè)．（ⅲ）當(dāng)時，．由；；函數(shù)在區(qū)間遞減，在區(qū)間上遞增，故在上有唯一極小值點(diǎn)．綜上所述，符合題設(shè)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是．方法2：同方法1，若時，在上唯一的極大值點(diǎn)，不合題設(shè)．若時，由上述可知，要使有唯一極小值點(diǎn)，則只需要對恒成立∴對時，遞增∴故綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2）當(dāng)時，則有，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，而，而，如下圖所示：因此曲線的交點(diǎn)只有一個，因此曲線和只有一個交點(diǎn)，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且當(dāng)無限接近時，無限接近0，且，圖像如下圖所示，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且當(dāng)無限接近時，無限接近0，當(dāng)無限接近0時，無限接近，圖像如下圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過曲線和唯一的公共點(diǎn)時，直線與兩條曲線恰好有三個不同的交點(diǎn)如上圖所示，則有，且，①對上式同構(gòu)可得：，∵且函數(shù)在單調(diào)遞增，∴②又∵，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴．③由方程②③可得：，再結(jié)合方程①可得：．所以成等比數(shù)列．7．利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.8．證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.9．已知函數(shù).(1)求和的極值；(2)證明：存在直線，其與曲線和曲線共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.【解析】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單增，在單減，所以當(dāng)時，取得極大值，無極小值；當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單增，在單減當(dāng)時，極大值，無極小值；（2）當(dāng)直線過兩個函數(shù)的交點(diǎn)時，滿足題意，設(shè)交點(diǎn)為，設(shè)直線與在A的左邊交點(diǎn)為，與在A的右邊交點(diǎn)為，由（1）知，且，因?yàn)?，所以，又，，且在上遞增，所以，所以，又，所以，又，，且在上遞減，所以，則，所以，即.10．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，證明；(2)若存在極值點(diǎn)，且對任意滿足的，都有，求a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?，設(shè)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，且等號不同時成立，所以；（2）函數(shù)，，若存在極值點(diǎn)，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，不妨設(shè)，若，則；若，由可得，則，所以，即對恒成立，令，則，則，設(shè)，則，，令，，則，，令，則，令，則，當(dāng)時，令，則，設(shè)，所以，所以，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，，符合題意；當(dāng)時，，存在，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，，，不符合題意；所以，由單調(diào)遞增可得.11．已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)單調(diào)遞增，求a的最大值；(3)設(shè)是的兩個不同極值點(diǎn)，是的最大零點(diǎn)．證明：．注：是自然對數(shù)的底數(shù)．【解析】（1）當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增．（2）若函數(shù)單調(diào)遞增，則對任意的恒成立．令，在上，單增，在上，單減，所以，即.所以在恒成立，則在恒成立，令，則，所以時，即遞減，時，即遞增，故，即.綜上，a的最大值是1．（3）由于時，單調(diào)遞增，故當(dāng)有兩個不同極值點(diǎn)時，．此時，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)趨向于0時，趨向于正無窮，，趨向于正無窮時，趨向于正無窮，則存在兩個零點(diǎn)，不妨設(shè)，也即的兩個不同極值點(diǎn)，故先估計，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，所以，所以則于是，由知，，故．只需再證明：．由，趨向于正無窮時，趨向于正無窮，故存在．又是的最大零點(diǎn)，則，得證！12．已知函數(shù)，且．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有三個極值點(diǎn)，且，求證：．【解析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，，，切點(diǎn)為故切線為.（2）由題意知，有三個實(shí)數(shù)跟，則，方程有兩個根，即有兩個交點(diǎn)令，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；作出，的圖象如圖由圖可知，，與的圖象有兩個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，且要證即證即證，則則即，由對數(shù)平均數(shù)表達(dá)式可得故即可證得.13．已知函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為(1)討論的單調(diào)性；(2)若有三個不同的極值點(diǎn)，其中①求的取值范圍；②證明：.【解析】（1）由已知可得，故可得．當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，解得，或，記，，則可知當(dāng)變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增．（2）①由已知，函數(shù)有三個零點(diǎn)，且．由（1）知時，在單調(diào)遞增，不合題意．下面研究的情況．由于，故，因此，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，且，所以．又因?yàn)椋捎?，且，故因此，在恰有一個零點(diǎn)（即在恰有一個零點(diǎn)），在恰有一個零點(diǎn)（即），在恰有一個零點(diǎn)（即在恰有一個零點(diǎn)）．所以，的取值范圍是．②證明：由（i）可知，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．由此可得．故只需證明因?yàn)椋?，由此可得．由（其中），可得，整理得，故，整理得．因此，令，可知，則．令則．令，則，由此可得在單調(diào)遞減，故，可得在單調(diào)遞增，故，所以，因此．14．已知函數(shù)，．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn).（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）是的極值點(diǎn)，求證：.【解析】（1）的定義域是，，可得，又故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）（i）由（1）可知①時，，在單調(diào)遞增，此時至多有一個零點(diǎn)；②時，，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增，要使有兩個零點(diǎn)，需，解得，即，而，，當(dāng)時，令，則，故，，，由零點(diǎn)存在性定理可知，在與上分別存在唯一零點(diǎn)．綜上.（ii）因?yàn)?，，令，由，即，由（i）可知，是的極值點(diǎn)故，即，由，，只需證，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，，故在上單調(diào)遞增，；.15．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的值及函數(shù)的極值；(2)設(shè)有三個不同的零點(diǎn)，，，證明：.【答案】(1)，極大值，極小值；(2)證明見解析.【分析】由