湖北省云學部分重點高中2024-2025學年高二年級上冊9月聯(lián)考數(shù)學試卷（含答案）

2024年湖北云學部分重點高中高二年級9月聯(lián)考

數(shù)學試卷

考試時間：2024年9月11日15：00-17：00時長：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)0+1）（2+機1）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.2）B.（2,+co）C.（一-2）D.（-2,2）

2.平行六面體4BCD—451GA中，。為4G與的交點，設(shè)在而=3,數(shù)=乙用23忑

表示與亍，則（）

--1—1-

A.BO=a-b+—cB.BO=a+—b-c

22

—?1_-_—■1_1-.

C.BO=—ci+b+cD.BO=—ciH—b+c

222

3.被譽為“湖北烏鎮(zhèn)，荊門麗江”的莫愁村，位于湖北省鐘祥市.高高的塔樓，是整個莫愁村最高的建筑，登

樓遠跳，可將全村風景盡收眼底.塔樓的主體為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示，上底面正方形的邊長約為

8米，下底面正方形的邊長約為12米，高約為15米，則塔樓主體的體積（單位：立方米）約為（）

A2400B.1520C.1530D.2410

4.某同學參加學校組織的化學競賽，比賽分為筆試和實驗操作測試，該同學參加這兩項測試的結(jié)果相互不

32

受影響.若該同學在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為一，在實驗操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為一，則該同學在這

43

次測試中僅有一項測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）

7151

A.—B.—C.—D.一

122123

5.已知〃1=（一1,9,1）,〃2=（加，—3,2）,〃3=（°21）,若｛々，叼，%｝不能構(gòu)成空間的一個基底，則加二

A.3B.1C.5D.7

6.設(shè)VZ5C的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為且/+/+必=02,若角。的內(nèi)角平分線c“=2,

則%.瓦的最小值為（）

A8B.4C.16D.12

7.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用工表示紅色骰子的點數(shù)，用V

表示綠色骰子的點數(shù)，用（X,y）表示一次試驗結(jié)果，設(shè)事件E:x+y=8；事件尸：至少有一顆點數(shù)為

5；事件G:x〉4；事件《4.則下列說法正確的是（）

A.事件E與事件F為互斥事件B.事件F與事件G為互斥事件

C.事件￡與事件G相互獨立D.事件G與事件〃相互獨立

8.現(xiàn)有一段底面周長為12兀厘米和高為12厘米的圓柱形水管，48是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管

內(nèi)壁爬行，一只從A點沿上底部圓弧順時針方向爬行兀厘米后再向下爬行3厘米到達尸點，另一只從8沿

下底部圓弧逆時針方向爬行兀厘米后再向上爬行3厘米爬行到達。點，則此時線段尸。長（單位：厘米）

A672B.64>C.6D.12

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)芭,馬，…，%，其平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別記為見力,?！?.由這組數(shù)據(jù)得到新

樣本數(shù)據(jù)%,必,其中％=24-2024（i=1,2,…，其平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別記為

出力242。2,貝(J()

A.%=2%一2024B.b2—bx

C.c2=2clD.d2-2dl

10.設(shè)Ox,0y,Oz是空間內(nèi)正方向兩兩夾角為60。的三條數(shù)軸，向量乙分別與X軸、N軸.Z軸方向同

向的單位向量，若空間向量方滿足萬=xex+ye2+ze3(x,y,zeR),則有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)稱為向量1在

斜60°坐標系。?0z(。為坐標原點)，記作1=(x,y,z),則下列說法正確的有()

A.已知)=(1,2,3),則同=5

B.已知1=(—1,2,1),3=(2,—4,—2),則向量方〃4

C.已知1=(3,-1,2),3=(1,3,0),則=0

D.已知a=(1,0,0),礪=(0,1,0),玩=(0,0,1),則三棱錐O—48C的外接球體積廠="

8

11.在圓錐尸。中，PO為高,4B為底面圓的直徑，圓錐的底面半徑為百，母線長為2,點C為PN的

中點，圓錐底面上點M在以幺。為直徑的圓上(不含4。兩點)，點〃在PN上，且尸當點

A,三棱錐M-PZ。的外接球體積為定值

B.直線C〃與直線P4不可能垂直

C.直線0/與平面所成的角可能為60°

D.AH+HO<2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知3i-1是關(guān)于x的實系數(shù)方程3/+2px+q=0的一個根，則實數(shù)。的值為.

13.已知向量滿足同=2,網(wǎng)=1,2+2否=(2后,1),則cos,,B=.

2_12_2

14.V48C的內(nèi)角4民。的對邊分別為8c,若瓜isinC-a-b一。,且V4SC的面積為

F(a+b+c)，則2a+6的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分,

共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.V48c的內(nèi)角的對邊分別為“。，己知(2。一6)1；052-。(：058=0

(1)求A；

(2)若點M在8c上，且滿足麗=標，幺四=2,求V48C面積的最大值.

16.某地區(qū)有小學生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識問答，

現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學生，對其成績進行統(tǒng)計分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖所

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該地區(qū)所有學生中知識問答成績的平均數(shù)和眾數(shù)；

(2)成績位列前10%的學生平臺會生成“防溺水達人”優(yōu)秀證書，試估計獲得“防溺水達人”的成績至少為多

少分；

(3)已知落在[60,70)內(nèi)的平均成績?yōu)?7,方差是9,落在[60,80)內(nèi)的平均成績是73,方差是29,求落

在[70,80)內(nèi)的平均成績和方差.

(附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：m,xx,sl，n,x2,s}.記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均

數(shù)為刃，則總體樣本方差$2=一"一"+國—刃)[+/-+刃)[)

m+nL'7Jm+n\_\'J

17.如圖，在長方體4BCD—48]G2中，4。=力4=1，4s=2,點￡在棱48上移動.

ac

AEB

(1)當點E在棱48的中點時，求平面QEC與平面所成的夾角的余弦值;

(2)當NE為何值時，直線4。與平面AEC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

18.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石頭、布”游戲(剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀)，規(guī)定每局中：①三人出現(xiàn)

同一種手勢，每人各得1分；②三人出現(xiàn)兩種手勢，贏者得2分，輸者負1分；③三人出現(xiàn)三種手勢均得

0分.當有人累計得3分及以上時，游戲結(jié)束，得分最高者獲勝，已知三人之間及每局游戲互不受影響.

(1)求甲在一局中得2分的概率右；

(2)求游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率巴；

(3)求游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率鳥.

19.在空間直角坐標系。-孫z中，己知向量力=(a,6,c),點6(%J。,Z。),若直線以方為方向向量且經(jīng)過

點兄，則直線的標準式方程可表示為二}=三包(%彳0)；若平面々以方為法向量且經(jīng)過

abc

點兄，則平面a的點法式方程表示為a(x-Xo)+6(y-%))+c(z-Zo)=O.

x-1y-2zi-

(1)已知直線的標準式方程為T=一方=彳，平面內(nèi)的點法式方程可表示為+2+5=0,

1—A/32

求直線與平面4所成角的余弦值；

(2)已知平面%的點法式方程可表示為2x+3y+2-2=0,平面外一點尸(1,2,1),點尸到平面a2的距

離；

(3)(i)若集合M=Kx,y,z)||x|+|y|V2,|z|Wl},記集合M中所有點構(gòu)成的幾何體為,求幾何體的

體積；

(ii)若集合N={(x,j,z)||x|+|v|<2,回+|z|<2,目+|x|<2}.記集合N中所有點構(gòu)成的幾何體為T,

求幾何體T相鄰兩個面(有公共棱)所成二面角的大小.

答案解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.B

2.D

3.B

4.C

5.B

6.A.

7.D.

8.A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.ACD

10.AB

11.AD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.p=3.

13.—##0.125

8

14.6+272

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，

共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【答案】解：(1)利用正弦定理、三角恒等變換，結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍、特殊角的三角函數(shù)值

求解即可；

V[1c-b\cosZ-acosB=0,

由正弦定理得(2sinC-sin8)cosN-sinZcos8=0,

/.2sinCcosA-(sinBcosA+cos5sin/)=0,

/.2sinCcosA-sin(4+5)=0,

/.2sinCcosA=sinC,

/CG(0,71),

/.sinCw0,

,1

?.cosA=—,

2

?/24G(0,7i),

A71

A——.

3

【小問2詳解】利用向量的線性運算、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式即可求解.

■.■BM=MC，

——?1—.-.

:.AM=-(AB+AC),

-----?21?2----?->2

:.AM=~(AB+2ABAC+AC),

又AM=2,

.?.4=1(c2+62+26c-cosy),

:A6=c2+b2+bc>2bc+bc=3bc，

：.bc<—,當且僅當6=c=逋時，等號成立，

33

:\/ABC的面積S=—hesin^<—x—x^-=

22323

即YABC面積的最大值為述.

16.某地區(qū)有小學生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識問答，

現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學生，對其成績進行統(tǒng)計分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖所

示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該地區(qū)所有學生中知識問答成績的平均數(shù)和眾數(shù)；

(2)成績位列前10%的學生平臺會生成“防溺水達人”優(yōu)秀證書，試估計獲得“防溺水達人”的成績至少為多

少分；

(3)已知落在［60,70)內(nèi)的平均成績?yōu)?7,方差是9,落在［60,80)內(nèi)的平均成績是73,方差是29,求落

在［70,80)內(nèi)的平均成績和方差.

(附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：m,xx,sl-n,x2,sl.記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均

數(shù)為W,則總體樣本方差S2=------S；+(X］-w)~\H-------F+(》2—］)

m+nL'7Jm+n\_'7J

【答案】(1)平均數(shù)為71,眾數(shù)為75.(2)88.(3)平均數(shù)為76,方差為12.

解：(1)在頻率分布直方圖中，平均數(shù)等于每組的組中值乘以每組的頻率之和；眾數(shù)是最高矩形橫坐標的

中點，據(jù)此求解.一至六組的頻率分別為0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,

平均數(shù)=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71.

由圖可知，眾數(shù)為75.以樣本估計總體，該地區(qū)所有學生中知識問答成績的平均數(shù)為71分，眾數(shù)為75分.

(2)依題意可知題目所求是第90%分位數(shù)，先判斷第90%分位數(shù)落在哪個區(qū)間再求解即可；前4組的頻率

之和為0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,前5組的頻率之和為0.70+0.25=0.95>0.90,第90%

分位數(shù)落在第5組，設(shè)為x,貝10.70+(x—80)x0.025=0.90,解得x=88.“防溺水達人”的成績至少為88

分.

(3)先求出每組的比例，再根據(jù)分層隨機抽樣的平均數(shù)及方差求解即可.［60,70)的頻率為0.15,［70,80)

的頻率為0.30,所以［60,70)的頻率與［60,80)的頻率之比為匕=:，「0,80)的頻率與［60,80)

V/?J.JIVz.JxxJ

Q30?——

的頻率之比為——------,設(shè)［70,80)內(nèi)的平均成績和方差分別為x,sf,依題意有

0?15I0.3032

I2————1I-2r0~\

73=-X67+-XX,解得X2=76,29=—x［9+(67—73)2］+—x1(6-73),解得s；=12,所

33233L5+7」

以［70,80)內(nèi)的平均成績?yōu)?6,方差為12.

17.如圖，在長方體4BCQ—中，2。=幺4=1,48=2,點￡在棱48上移動.

ac

AEB

(1)當點￡在棱48的中點時，求平面QEC與平面所成的夾角的余弦值；

(2)當NE為何值時，直線4。與平面AEC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

【答案】(1)旦(2)當NE=2時，直線4。與平面所成角的正弦值最小，最小值為巫

65

解：(1)以。為坐標原點，DC,所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，求得平面。］￡C的一

個法向量，平面。C2的一個法向量，利用向量法可求平面AEC與平面。C。所成的夾角的余弦值；

以。為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

當點￡在棱46的中點時，則A(0,0,1),￡(1,1,0),C(0,2,0),Z>(0,0,0),A(l,0,0),

則函=(-1,-1,1),EC=(-1,1,0),DA=(1,0,0),

設(shè)平面REC的一個法向量為J=(X，NZ)，

―-?

ri'ED.=-x—y-hz=0

則〈一.，令x=l,則y=l,z=2,

nEC=-x+y=0

所以平面AS。的一個法向量為［二(1,1,2)，

又平面。cn的一個法向量為方3=(i,o,o),

DA^\_1_V6

所以COS04,萬=T—II-------,，

pH同Vl+l+4xl6

所以平面D.EC與平面DCD］所成的夾角的余弦值為國；

6

【小問2詳解】設(shè)4￡=7%，可求得平面。［EC的一個法向量，直線的方向向量石，利用向量法可得

sin^="?—可求正弦值的最小值?

72(2-?)2+10

設(shè)AE=m,則。i(0,0,1),E(l,m,0),C(0,2,0),D(0,0,0)，4(1,0,1),

則=(-1,-m,1),EC=(-1,2-m,0),(0<m<2),=(1,0,1),

設(shè)平面Q|EC的一個法向量為J=（%，NZ），

ri'ED,=—x—my+z=0

則〈_.',令>=1,則x=2-加,z=2,

nEC=-x+(2—m)y-0

所以平面D]EC的一個法向量為〃=(2-加,1,2),

設(shè)直線A0與平面DXEC所成的角為。,

.八IngD4I12-m+214-m

則sm8==ii?/,=

22

\n\iDAx|J(2-m)+1+4x71+1J2(2-m)+10

令4一加=1￡[2,4],

當/=2時，sin。取得最小值，最小值為巫.

5

18.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石頭、布”游戲（剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀），規(guī)定每局中：①三人出現(xiàn)

同一種手勢，每人各得1分；②三人出現(xiàn)兩種手勢，贏者得2分，輸者負1分；③三人出現(xiàn)三種手勢均得

0分.當有人累計得3分及以上時，游戲結(jié)束，得分最高者獲勝，已知三人之間及每局游戲互不受影響.

（1）求甲在一局中得2分的概率片；

（2）求游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率P2；

（3）求游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率片.

【答案】（1）4

解：（1）根據(jù)題意可畫出樹狀圖，得到甲得2分情況有9種，從而可求解;

畫出的樹狀圖，如圖:

剪刀石頭布剪刀石頭布剪刀石頭布

剪刀石頭布剪刀石頭布剪刀石頭布

剪刀石頭布

剪刀石頭布剪刀石頭布剪刀石頭布

所以每局中共有27種情況，其中甲在一局中得2分的情況有（出手勢順序按甲乙丙）：

（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、

（石頭、石頭、剪刀）、（石頭、剪刀、石頭）、（石頭、剪刀、剪刀）、

（布、布、石頭）、（布、石頭、布）、（布、石頭、石頭）、

91

一共有9種情況，所以甲在一局中得2分的概率耳=.

273

（2）游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，

則第一局乙丙得負一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第

二局乙丙得負1分，然后求出每種情況的概率從而可求解；

游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：

①第一局甲得2分，第二局甲得1分：

則乙第一局得負1分，第二局得1分；則丙第一局得負1分，第二局得1分；

由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：

第一局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、

第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）

,331_

此時概率為=—種情況，

272781

②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負1分,

則乙第一局得1分，第二局得負1分；則丙第一局得1分，第二局得負1分；

由（1）中樹狀圖可知滿足情況有:

第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）

第二局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、

......331

此時概率為一x一=—,

272781

綜上所述：游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率R=±+1=g.

2818181

（3）游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束總共有4種情況：①僅1人得3分，②有2人得分為3分，③僅1人得4分,

④有2人分別得4分，然后求出每種情況的概率從而可求解.

游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束總共有4種情況：

2?

①僅1人得3分，記事件為兒貝"尸（2）=而義3=藥；

②有2人得分為3分，記事件為3尸（8）=3x1卷x,x22

27

③僅1人得4分，記事件C：

（3311

一人得4分，另兩人各負2分：3x——X——=——,

（2727）27

一人得4分，一人得負2分，一人得1分：3x——x|——x2|x2

「33、2

一人得4分，另兩人各1分：3x—x——x2,

（2727J27

p（c）=—+—+—=—；

v727272727

（33）1

④有2人分別得4分，記為事件D則尸（0）=3x萬乂藥=藥

22714

綜上所述：游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率6=—+—+—+—=—.

3272727279

19.在空間直角坐標系。-孫z中，己知向量辦=（a,6,c）,點《（/Jo/o）.若直線以方為方向向量且經(jīng)過

點勺，則直線的標準式方程可表示為口^=匕&=04"cwO）；若平面々以力為法向量且經(jīng)過

abc

點P0,則平面a的點法式方程表示為a（x-Xo）+6（y-yo）+c（z-Zo）=O.

（1）已知直線的標準式方程為==三5=3,平面內(nèi)的點法式方程可表示為Gx+y-2+5=0,

1—\32

求直線與平面4所成角的余弦值;

(2)已知平面％的點法式方程可表示為2x+3y+2—2=0,平面外一點尸(1,2,1),點尸到平面%的距

離;

(3)(i)若集合M={(x,y,z)||x|+|y區(qū)2,|z|Wl},記集合M中所有點構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的

體積;

(ii)若集合N={(x,y,z)||x|+小2,卜|+|z|V2,|z|+|x|<2}.記集合N