2024-2025學(xué)年黑龍江省綏化市高二年級上冊開學(xué)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省綏化市高二上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)檢測試卷

一、單選題

1設(shè)向量1=(12,加)，B=(2m,6),若則加=()

A.-6B.0C.6D.±6

1i

2.已知z=」，則目=()

A.2B.V2C.3D.V3

3.已知向量a=(2,加)，b=+1,-1),若則m的值為()

A.2B.1C.-1D.-2

4.如圖，已知正三棱柱4sl=、匯/瓦河為4G的中點(diǎn)，則與8G所成

1D.-------v_z.\-J.

4410

5.已知一組數(shù)據(jù)為2,5,7,8,9,12,則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為()

A.9B.8.5C.8D.7

6.已知復(fù)數(shù)z滿足式1—i)=3+5i,則復(fù)數(shù)z=()

A.4+4iB.4-4i

C.-l+4iD.-l-4i

JT

7.在V4BC中，角48,C的對邊分別為a,“c.已知。=4,b=5,C=§,貝|c=()

A.V61B.V21C.276D.V19

8.若正三棱柱的所有棱長均為。，且其側(cè)面積為12,則此三棱柱外接球的表面積是()

8284

A.-7TB.——71C.371D.—71

333

二、多選題

9.若復(fù)數(shù)z=G-i，則下列說法正確的是（）

A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限B.z的虛部為—i

C.z2=4-2V3iD.z的共輒復(fù)數(shù)］二百+i

10.在空間中，己知a,6是兩條不同的直線，a,尸是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中正確

的是（）

A.若a//6,且，a-La,b±J3,則a//，

B.若aJ■夕，且a//a,b//〃，則:

C.若a與6相交，且b1/3,則a與尸相交

IIc

口.若。，力且a//a，b11B，則

11.已知圓錐的底面半徑為1,其母線長是2,則下列說法正確的是（）

2兀

A.圓錐的高是右B.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為彳

C.圓錐的表面積是3兀D.圓錐的體積是久況

3

三、填空題

12.在V/8C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=JL8=45°,C=75°,

貝！16=.

13.已知球的半徑為3,則該球的表面積等于,則該球的體積等于

14.某校高一年級有1200名學(xué)生，高二年級有1000名學(xué)生，高三年級有800名學(xué)生，現(xiàn)要從

該校全體學(xué)生中抽取100人進(jìn)行視力檢查，應(yīng)從高一年級抽取人

四、解答題

15.已知向量3滿足1|=0忖=2,且（4+5卜（4一2很）=2.

（1）求向量￡,b的夾角；

（2）求,a+可.

16.己知V45C內(nèi)角4B,C的對邊分別為“c,設(shè)（sin5—sinC『=sin2Z—sinSsinC.

(1)求A；

(2)若6+C=4Q4BC的面積為立，求a的值.

2

17.某公司為了解員工對食堂的滿意程度，隨機(jī)抽取了200名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員

工對食堂的滿意程度進(jìn)行打分，所得分?jǐn)?shù)均在[40,100]內(nèi)，現(xiàn)將所得數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求。的值，并估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)

值代表)；

(2)求這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)(精確到0.1)；

(3)現(xiàn)從[70,80),[80,90),[90,100]這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取24

人，求[70,80)這組中抽取的人數(shù).

18.如圖,在正方體4SCD—431aoi中,

(1)求證：平面4瓦。。；

(2)求證：4cH

19.在正三棱柱ABC-4與G中，E為棱的中點(diǎn)，如圖所示.

(1)求證：48//平面/EC1；

(2)若二面角C-ZE-G的大小為60°，求直線NC和平面所成角的正弦值

2024-2025學(xué)年黑龍江省綏化市高二上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)檢測試卷

一、單選題

1,設(shè)向量1=(12,加)，b=(2m,6),若彳〃3,則加=()

A.-6B.0C.6D.±6

【正確答案】D

【分析】直接利用平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解加值.

【詳解】1.向量1=(12,加)，3=(2加,6),若方〃3，

則12x6=2冽2,解得加=±6.

故選：D.

1i

2.已知z==，則忖=()

A.2B.72C.3D.V3

【正確答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得z,進(jìn)而可得目.

所以目="+(-1『=V2>

故選：B.

3.已知向量a=(2,加)，b=(m+l,-l),若則m的值為()

A.2B.1C.-1D.-2

【正確答案】D

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程等于零求解，可得結(jié)論.

【詳解】根據(jù)題意知a=(2,加)，S=(w+1,-1),al.b>

則a%=(2,?(加+=2加+2-加=0,解之可得加=-2

故選：D

4.如圖，已知正三棱柱NBC—4與。],/用=為4G的中點(diǎn)，則與8。所成

V6V5

~TTo

【正確答案】B

【分析】取ZC的中點(diǎn)。，則N8G。（或其補(bǔ)角）為異面直線與3。所成角，解三角

形即可求解.

【詳解】如圖，取ZC的中點(diǎn)。，連接。G、BD,易知

所以異面直線與3。所成角就是直線DG與直線8。所成的角，即N8G。（或其補(bǔ)角）,

由題意可知正三棱柱4BC-481G的所有棱長都相等，

可設(shè)三棱柱的棱長都為2,則=忸Z）|=G,忸G|=2C，

因?yàn)殁頒『+B葉，所以AADG為直角三角形，

\DQ\VTO

所以COS/BC[D=1----r=--------

忸Gl4

即異面直線AM與BJ所成角的余弦值為叵.

4

故選.B

5.已知一組數(shù)據(jù)為2,5,7,8,9,12,則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為()

A.9B.8.5C.8D.7

【正確答案】A

【分析】利用百分位數(shù)的求解公式即可求解.

【詳解】因?yàn)?x80%=4.8,

所以這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是第5個(gè)數(shù)，即為9.

故選：A.

6.已知復(fù)數(shù)z滿足亍(1—i)=3+5i,則復(fù)數(shù)z=()

A.4+4iB.4-4i

C.-l+4iD.-l-4i

【正確答案】D

【分析】由已知等式化簡求出三，從而可求出復(fù)數(shù)z.

3+5i(3+5i)(l+i)-2+8i

=-1+4i,

【詳解】因?yàn)樨?1-i-(l-i)(l+i)~

所以z=—1—4i.

故選：D.

TT

7.在V4BC中，角48,C的對邊分別為a,4c.已知。=4,b=5,C=§,則。=()

A.V61B.V21C.276D.V19

【正確答案】B

【分析】利用余弦定理計(jì)算可得.

【詳解】由余弦定理可得。=—2abcosC={42+52—2x4x5x；=夜1.

故選：B

8,若正三棱柱的所有棱長均為。，且其側(cè)面積為12,則此三棱柱外接球的表面積是（)

8284

A.一兀B.——71C.3兀D.—7C

333

【正確答案】B

【分析】根據(jù)三棱柱側(cè)面積公式求出。，確定球心的位置，如圖構(gòu)造直角三角形，由勾股定理

求出外接球半徑的平方，再根據(jù)球的表面積公式即可求解.

【詳解】由題意可得，正棱柱的底面是邊長和高都等于。的等邊三角形，側(cè)面積為3a2,

A3a2=12，，a=2,

取三棱柱ABC-481G的兩底面中心。,口,連結(jié),

取。a的中點(diǎn)。，則。為三棱柱外接球的球心，

連結(jié)AD,則AD為三棱柱外接球的半徑.

VABC是邊長為2的正三角形，。是VABC的中心，

B0=-xs/3=^--

33

又：0D=1

2121

：.BD2=OB2+OD2=-.

3

728

???三棱柱外接球的表面積S=4成247TX-=—71.

=33

故選：B.

二、多選題

9.若復(fù)數(shù)z=G-i，則下列說法正確的是（）

A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限B.z的虛部為-i

C.z2=4-2V3iD.z的共輾復(fù)數(shù)』=G+i

【正確答案】AD

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷A；求出復(fù)數(shù)的虛部判斷B；求出復(fù)數(shù)的平方判斷C；求出

共鈍復(fù)數(shù)判斷D作答.

【詳解】對于A,復(fù)數(shù)z=0-i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（省1）在第四象限，A正確；

對于B,z的虛部為一1,B錯(cuò)誤；

對于C,z2=（-\/3—i）2=2-2-\/3i>C錯(cuò)誤；

對于D,z的共輾復(fù)數(shù)』=G+i，D正確.

故選：AD

10.在空間中，已知a,6是兩條不同的直線，a,尸是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中正確

的是（）

A.若a//b,且，a.Lab1/3,則a///?

B.若°_1尸，且a//a,blip,則。JL,

C.若a與b相交，且a，。，,則a與相交

IIc

D-若aJ_6，且a//a，b//13,則_L夕

【正確答案】AC

【分析】利用空間線線、線面、面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷即可

【詳解】若a//6,且b，/3,即兩平面的法向量平行，則&//￡成立，故A正確；

若￡，,，且。//0,blip,則a與b互相平行或相交或異面，故B錯(cuò)誤；

若a,6相交，且bl/3,即兩平面的法向量相交，則戊，萬相交成立，故C正確；

若:_L。且a//a,blip,則a與尸平行或相交，故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

此題考查空間線線、線面、面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

11.已知圓錐的底面半徑為1,其母線長是2,則下列說法正確的是（）

2兀

A.圓錐的高是退B.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為飛-

C.圓錐的表面積是3兀D.圓錐的體積是也E

3

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)圓錐及側(cè)面展開圖的性質(zhì)，表面積公式，體積公式求解判斷即可.

【詳解】圓錐的底面半徑為廠=1,其母線長是/=2,

則圓錐的高力=J/2—/=5故A正確；

設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為a,則。/=2口，解得a=兀，故B錯(cuò)誤；

圓錐的表面積是S=兀尸?+兀尸/=3兀，故C正確；

圓錐的體積是「=1兀/%=且，故D錯(cuò)誤.

33

故選：AC.

三、填空題

12.在V48C中，角/,B,。所對的邊分別為a,b,c.若。=百，8=45°,C=75°,

則6=.

【正確答案】V2

【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求/,根據(jù)正弦定理即可求b的值.

【詳解】在V28C中，因?yàn)閍=G，8=45°,C=75°,則/=180°—45。—75。=60。,

V2

由正弦定理4=上，可得：6=四==X3

sirk4sinSsirU

T

故尤.

13.已知球的半徑為3,則該球的表面積等于,則該球的體積等于

【正確答案】①.367r②.367r

【分析】根據(jù)球的表面積公式和體積公式直接求解即可.

【詳解】因?yàn)榍虻陌霃綖?,

所以球的表面積為471x3z=36兀，體積為§兀*33=36限

故36兀，36兀

14.某校高一年級有1200名學(xué)生，高二年級有1000名學(xué)生，高三年級有800名學(xué)生，現(xiàn)要從

該校全體學(xué)生中抽取100人進(jìn)行視力檢查，應(yīng)從高一年級抽取人

【正確答案】40

【分析】高一年級人數(shù)乘以抽樣比即可.

【詳解】由題意，應(yīng)從高一年級抽取的人數(shù)為.100x--------.............=40

1200+1000+800

故40.

四、解答題

15.已知向量刃滿足，卜血網(wǎng)=2,且（a+孫（"23）=2.

（1）求向量￡，b的夾角；

（2）求百+可.

3兀

【正確答案】（1）—

4

（2）VH）

【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律得出展B=—2,再根據(jù)夾角公式得夾角的余弦值，即可求出

結(jié)果；

（2）根據(jù)條件及（1）中結(jié)果，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

由（之+孫（5-24=2,得到,2_展3-2廬=2，又同=夜|川=2,

所以4—之名―4=2,得到晨B=—2,

_[a，b—2A/2_「[_37i

所以cosa,b=同同=邁=一下-,又以be[O,可，所以點(diǎn)b=彳

【小問2詳解】

由⑴知晨B=—2，又同=0網(wǎng)=2,

所以12萬+B1=4萬2+45?3+石2=16—8+2=10,

所以|25+可=麗.

16.已知V4SC內(nèi)角Z,8,C的對邊分別為a也c,設(shè)（si"-sinC）2=sin2Z-sinSsinC.

（1）求A；

（2）若6+C=4Q4BC的面積為@,求。的值.

2

71

【正確答案】（1）A=-

3

（2）”回

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化進(jìn)行化簡，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；（2）

根據(jù)題意，由三角形的面積公式可得秘=6,結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

原式化簡可得：sin25-2siii5sinC+sin2C=sin2^-sinfisinC，

整理得：sin25+sin2C-sin2?!=sinfisinC，

由正弦定理可得：b2^c2-a2=bcf

722_21-

:.cosA=°C~a因此三角形的內(nèi)角Z='；

2bc23

【小問2詳解】

.。11入G6

?SARC~—bcsix\A——be,———‘

"BC2222

:.be=2,

va1-b1+C1--(b+c)2-3bc=16-6=10，

a=VTo-

17.某公司為了解員工對食堂的滿意程度，隨機(jī)抽取了200名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員

工對食堂的滿意程度進(jìn)行打分，所得分?jǐn)?shù)均在[40,100]內(nèi)，現(xiàn)將所得數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求。的值，并估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)

值代表)；

(2)求這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)(精確到0.1)；

(3)現(xiàn)從[70,80),[80,90),[90,100]這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取24

人，求[70,80)這組中抽取的人數(shù).

【正確答案】(1)a=0.015,x=72.5

(2)72.9(3)14

【分析】(1)根據(jù)小矩形面積和為1得到關(guān)于。的方程，解出。值，再利用頻率分布直方圖中

平均數(shù)公式即可；

(2)首先確定中位數(shù)所在區(qū)間，再設(shè)中位數(shù)為加，列出方程，解出即可；

(3)求出各區(qū)間人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)即可得到答案.

【小問1詳解】

由題意知(0.005+0.010+0.025+0.035+4+0.010)x10=1,

解得a=0.015.

估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)

x=45x0.05+55x0.1+65x0.25+75x0.35+85x0.15+95x0.1,

x=72.5.

【小問2詳解】

[40,70)的頻率為(0.005+0.010+0,025)x10=0.4,

[40,80)的頻率為(0.005+0.010+0.025+0,035)x10=0.75,

所以中位數(shù)落在區(qū)間[70,80),設(shè)中位數(shù)為加，

所以(0.005+0.010+0.025)x10+(加—70)x0.035=0.5,

解得加合72.9,即估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為72.9.

【小問3詳解】

[70,80)的人數(shù):0.035x10x200=70,

[80,90)的人數(shù):0.015x10x200=30,

[90,100]的人數(shù):0.010x10x200=20,

70

所以[70,80)這組中抽取的人數(shù)為.24x——-——=14

70+30+20

18.如圖，在正方體48co中,

(1)求證：48〃平面4瓦。。；

(2)求證.zql^C

【正確答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)正方體的性質(zhì)得到48〃。。，即可得證；

(2)根據(jù)正方體的性質(zhì)得到BQ,用。、ABLBXC,即可證明平面NBCQi,從而

得證.

【小問1詳解】

在正方體ABCD-AXB<CADX中ABHDC,

又28<z平面4片。。，。。匚平面4片。),所以平面4片。)；

【小問2詳解】

連接8G、AD-在正方體48c