云南省曲靖市某中學2023-2024學年高一年級下冊期末模擬考試數(shù)學試題（含答案解析）

云南省曲靖市富源縣勝境中學2023-2024學年高一下學期期末

模擬考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={%|3%+1<2},5={乂y=—3},則（）

A.'叫'C.1-3，；］D.（-3,+oo）

2.某超市舉行購物抽獎活動，規(guī)定購物消費每滿188元就送一次抽獎機會，中獎的概率為

15%,則下列說法正確的是（）

A.某人抽獎100次，一定能中獎15次B.某人抽獎200次，至少能中獎3次

C.某人抽獎1次，一定不能中獎D.某人抽獎20次，可能1次也沒中獎

4...

3.已知0>0,則加=。+—的最小值為（）

a

A.2B.3C.4D.5

4.下列敘述中，錯誤的是（）

A.數(shù)據(jù)的標準差比較小時，數(shù)據(jù)比較分散

B.樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能不受少數(shù)幾個極端值的影響

C.數(shù)據(jù)的極差反映了數(shù)據(jù)的集中程度

D.任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變

5.在V/8C中，AB=2,AC=3,CosA=-—,貝1JV/8C的面積為（）

3

A.6B.273C.3A/3D.4A/3

6.若函數(shù)/（x）=sinxcos9+cosxsine（0?0??）為偶函數(shù)，則。的取值為

c71_71

A.0B.—C.—D.7i

24

7.已知一個正棱臺（正棱臺的兩底面是兩個相似正多邊形，側(cè)面是全等的等腰梯形）的上、

下底面是邊長分別為4、6的正方形，側(cè)棱長為逐，則該棱臺的表面積為（）

A.72B.82C.92D.112

tana「,

8.已知?！辏?,兀），/?e（0,7i）,sin(cr-/?)=氤則a+”

試卷第1頁，共4頁

115

A.—71B.——兀c.1D.—7i

666

二、多選題

9.當xe（O,l）時，幕函數(shù)y=x"的圖像在直線>=x的上方，貝匹的值可能為（）

A.1B.-2C.41D.3

10.若復數(shù)2=上描（i為虛數(shù)單位），則下列說法中正確的是（）

1+1

A.z的虛部為5iB.z的實部為1

C.z在復平面上對應的點位于第一象限D(zhuǎn).忖=6

11.一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標有1~9這9個數(shù)字（每張卡片上

標1個數(shù)），“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事件A,“從中任意

抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字不超過6”記為事件5,“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)

字大于等于7”記為事件C.則下列說法正確的是（）

A.事件A與事件C是互斥事件B.事件B與事件C是對立事件

C.事件A與事件B相互獨立D.尸（NU3）=尸（4）+尸（3）

三、填空題

12.某高中共有學生1000人，其中高一和高二各有400人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取容

量為25的樣本，那么高二抽取的人數(shù)為.

’2"Tx>3

3已知函數(shù)/'（x）J抽則AWA

14.如圖，在正三棱柱NBC-48G中，M=4,AB=2,則直線/①與直線30所成角的

正切值為

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.已知向量)=(x,2),b=(2,4),c=(2,y),且N〃B，a1c.

(1)求向量2、c；

(2)若萬=23-2,q=b+c,求向量/，于的夾角的正弦值.

16.在V/BC中，。也。分別是內(nèi)角45。的對邊，已知〃2=/+。2+秘.

⑴求A的大??；

13,

(2)右6+。=萬,4=6,求V/6C的面積S.

17.設(shè)函數(shù)〃x)=2#sin]~+x]cosx+(sinv-COST)2-1.

⑴求/(x)的圖象的對稱軸方程和對稱中心的坐標；

(2)求/(力在《，回上的最值.

18.共享單車企業(yè)通過在校園、地鐵站點、公交站點、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務區(qū)等提供服務,

完成交通行業(yè)最后一塊“拼圖”，帶動居民使用其他公共交通工具的熱情，與其他公共交通方

式產(chǎn)生協(xié)同效應.共享單車是一種分時租賃模式，也是一種新型綠色環(huán)保共享經(jīng)濟.某城市交

通部門為了調(diào)查該城市共享單車使用的滿意度，隨機選取了200人就該城市共享單車的使用

滿意度進行問卷調(diào)查，并將問卷中的這200人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)分成5組：

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](滿意度評分值均在[50,100]內(nèi))，制成如圖所示的

頻率分直方圖.

(1)求。的值，并求出滿意度評分值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代

表)；

試卷第3頁，共4頁

(2)用分層抽樣的方法在滿意度評分值在［80,90),［90,100］內(nèi)的抽出6人，再從這6人中隨機

抽取2人進行座談，求抽到的2人滿意度評分值均在［80,90)內(nèi)的概率.

19.在四棱錐/BCD中，平面比4D_L平面A8CD,底面48co為矩形，AB=2,

AM=AD=3,MD-372>E、尸分別為線段3C、A/D上一點，且CE=1,DF=42.

(1)證明:AMLBD；

(2)證明:EF//平面MAB,并求三棱錐D-AEF的體積.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BDCAABCDABBC

題號11

答案BC

1.B

【分析】先求得集合48,再根據(jù)交集的定義即可求解.

【詳解】/={X|3X+1<2}=1-8,；18={4>=--3}=[-3,+也），

所以Nc8=

故選：B.

2.D

【分析】中獎的概率為15%,只能說有15%中獎的可能性，但不能確定一定中獎還是不中

獎，分析判斷即可.

【詳解】中獎的概率為15%,與抽的次數(shù)無關(guān)，只是有15%中獎的可能性，

故選：D.

3.C

【分析】利用基本不等式計算可得.

【詳解】因為。>0,所以機=。+322,小4=4（當且僅當。=3,即。=2時取等號）.

a\aa

4

所以機=。+—的最小值為4.

a

故選：C

4.A

【分析】利用樣本數(shù)字特征的基本概念逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】數(shù)據(jù)的標準差比較小時，數(shù)據(jù)比較集中，故A錯誤；

樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能不受少數(shù)幾個極端值的影響，故B正確；

數(shù)據(jù)的極差反映了數(shù)據(jù)的集中程度，故C正確；

任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，故D正確.

故選：A.

5.A

【解析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求sinZ,再運用三角形面積公式計算即得結(jié)果.

答案第1頁，共8頁

【詳解】因為cos/=-g,/e(O"),故sin/=m=浮，

所以VN8C的面積為5=工/2./616苗/=!*2*3*@=6.

223

故選：A.

6.B

【解析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)有〃x)=f(r),化簡得sinxcos。：。對任意x恒成立，所以有

TT

(p=]+kW結(jié)合04。(萬可得出答案.

【詳解】解：因為函數(shù)[(x)=sinxcos9+cosxsino(0V%)為偶函數(shù)，則/(1)=/(-%)

所以sinxcoscp+cosxsin°=sin(-x)coscp+cos(-x)sincp

等價于sinxcos0=0對任意x恒成立，所以cos°=0,

TT

所以夕=]+左乃(左EZ),

-：^<(P<71,所以常數(shù)。的取值為‘jr

故選：B.

【點睛】應用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法

(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；

(2)求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或充分

利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于/(尤)的方程(組)，從而得到/(x)的解析式；

(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)〃幻±/(-的=0得到關(guān)于待求

參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值；

(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間

上的單調(diào)性.

7.C

【分析】先計算棱臺的側(cè)面的高，再計算側(cè)面積和底面積，即可求解.

【詳解】因為正棱臺的上、下底面是邊長分別為4、6的正方形，側(cè)棱長為石，

棱臺的側(cè)面是等腰梯形，所以棱臺側(cè)面的高〃==2,

所以一個側(cè)面積%=；x(4+6)x2=10,

棱臺的上、下底面面積和為S=4?+62=52,

答案第2頁，共8頁

所以該棱臺的表面積為10x4+52=92.

故選:C.

8.D

【分析】利用正弦函數(shù)的和差公式與三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系得到關(guān)于sinecos/?,cosasin￡的

方程組，進而結(jié)合三角函數(shù)的正負情況求得〃的取值范圍，再次利用正弦函數(shù)的和差公

式求得sin(c+/)的值，由此得到夕+分的值.

T.

【詳解】因為sin(a-￡)=:所以sinacos0-cosasin6=一,

sinccsin8

又因為----=-5,即tana=-5tan夕，貝-----二一5x--------,故sinacos/?+5cosasin，=0,

tan/3cosacos0

?。

3sinacos//=§5

sinacosB-cosasin3=—八”

聯(lián)立4,解得v

?

sinacos0+5cosasin/7=0coscirsinpc=-—1

因為a￡（0,7i）,/3G（0,7i）,所以sina>0,sin/?〉0,

Xsinacos>0=—>0,coscrsinp=--<0,所以cosa<0,cos/?>0,

88

，兀\n，八兀\rn【兀n3兀

所以a'e，兀J,0,-I,則a<a+尸<5,

因為sin（a+￡）=sinacos0+cosasin

882

兀

所以a+〃=￥5.

6

故選：D.

9.AB

【分析】由題意，轉(zhuǎn)化為當0〈尤<1時，x">x恒成立，解不等式即可.

【詳解】解：由題意，轉(zhuǎn)化為當0<x<l時，x">x恒成立，

兩邊取對數(shù)得algx>lgx,

由0<x<l得lgx<0,

??q<1,

故選：AB.

10.BC

【分析】根據(jù)乘方的周期性以及復數(shù)除法法則化簡復數(shù)，再判斷選項即可.

【詳解】因為復數(shù)2=9=言=—9=1+51,

答案第3頁，共8頁

對于A,B,z的虛部為5,實部為1,故A錯誤，B正確;

對于C,z=l+5i,所以z在復平面上對應的點為(1,5),位于第一象限，故C正確；

對于D,忖=Jl+25=yj26,D錯誤.

故選：BC.

II.BC

【分析】根據(jù)古典概型的概率的計算公式，分別算出事件4B.C的概率，然后再根據(jù)互

斥事件、對立事件、相互獨立事件及概率的運算性質(zhì)即可判斷出答案.

【詳解】樣本空間為。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},/={2,5,8},8={1,2,3,4,5,6},C={7,8,9}.

因為/cC={8},所以事件A與事件C不是互斥事件，故A錯誤;

因為8口。={1,2,3,4,5,6,8,9},8八。=0,所以事件B與事件C為對立事件，故B正確；

因為P(/B)=|,P(/)=|=g,P(B)=g=g,所以P(/8)=尸(N)尸(0,即事件A與事件8

相互獨立，故C正確；

7

因為所以尸(4口8戶尸(/)+尸(3),故D錯誤.

故選：BC.

12.10

【分析】根據(jù)分層抽樣的特點：按比例抽樣，即所占比例不變.

【詳解】高二人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例為40就0=21,高二抽取的人數(shù)為25x：2=10

故答案為：10.

13.8

【分析】先計算出〃2)=4,進而得到了(〃2))="4)=8.

【詳解】因為/'(x)h

log2（3f+4）,x<3

所以/'（2）=log2（3x4+4）=4,

所以/(〃2))=〃4)=24T=8.

故答案為：8

答案第4頁，共8頁

14.叵/回

77

【分析】根據(jù)給定條件，作出直線4B與直線耳。所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即

可求解.

【詳解】在正三棱柱NBC-44c中，連接8G交片c于。點，取4c的中點R連接OF,

顯然。是2G的中點，則。尸〃48,N8Q9是4臺與2c所成的角或其補角,

2222

在AOB］尸中，BF=C,OB}==1A/4+2=75,OF==|^4+2=75,

2222

(V5)+(V5)-(V3)7八Jl-cosZBtOF同

cosZB.OF='=—,tanNBQF=、-------!——=~-,

2XV5XV510cosZBtOF7

所以直線48與直線8c所成角的正切值為YU.

7

故答案為：叵

【分析】（1）根據(jù)題意，由向量平行于垂直的坐標表示代入計算，即可求解；

（2）根據(jù)題意，分別求得方力的坐標，結(jié)合向量的夾角公式代入計算，即可求解.

【詳解】（1）因為）=（x,2）,月=（2,4）,3=（2,了），且3〃不，ale,

所以4尤一4=0,a-c=2x+2y=0,

所以x=l,V=T,

所以）=（1,2）,3=（2,-1）；

（2）設(shè)向量/，于的夾角的大小為6.

答案第5頁，共8頁

由題意可得，j5=2^-5=(4,8)-(1,2)=(3,6),q=b+c=(4,3),

3x4+6x32石

所以sin9=71-cos20=——

3氐55

n.25V3

【分析】（1）結(jié)合題中等式利用余弦定理解出答案；

（2）利用等式變形可計算出be=」25,再根據(jù)三角形面積公式計算的結(jié)果;

4

【詳解】（1）由/=62+。2+力0,

有Z72+-=-be.

▽/b2+c2-a21

cos/i---------------——,

2bc2

因為/e（O,無），所以心小

（2）由〃+c?+be=36,有（6+。）2—be=36,

一,口1697“25

可得----be=36,得ZRZ7?c=——

44

丫/5。的面積為5=工6°411/1=工'交乂蟲=^^.

24216

ku

~2+~6,

⑵/(尤)1mli=-2+百，/(x)max=2V3.

【分析】（1）利用三角恒等變換化簡/（無），再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得答案；

（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值.

【詳角軍】（1）|3/（x）=2>/3cos2x-2sinA：cosx=V3cos2x+V-3-sin2x=2co$2X-H-

令21+弓=版,左EZ,解得x=-1+g,左￡Z,

所以/（無）的對稱軸方程為尤=q+eZ,

*兀，兀，r/口kit7T,

2%H----kllH----，左￡Z,x=----1—，左￡Z,

6226

答案第6頁，共8頁

可得函數(shù)/(X)圖象的對稱中心的坐標為+左eZ;

,..兀5兀――>兀兀11兀

(2)因為工￡—,所以，

120J0|_30_

令2x+B=7t,解得X=W，

612

所以/(無)在上單調(diào)遞減，在(各,言［上單調(diào)遞增，

|_lz12J1126」

所以，仆焉=/信)=-2+瓜

/{j|"j=2cosg+石=6+1,/(|^=2COS詈■田=23,故/(無濡、=26.

18.(1)a=0.020,平均數(shù)75.5,中位數(shù)75

⑵|

【分析】(1)根據(jù)頻率和為1求。；以每組區(qū)間中點值為代表，結(jié)合加權(quán)平均數(shù)求平均數(shù)的

估計值；根據(jù)中位數(shù)的左右兩側(cè)頻率和均為0.5,運算求解.

(2)利用分層抽樣可得在區(qū)間［80,90)應抽取4人，在區(qū)間［90,100］應抽取2人，再利用古

典概型求解即可.

【詳解】(1)由題意知(0.005+0.025+0.040+。+00.010卜10=1,解得a=0.020.

滿意度評分值的平均數(shù)了=55x0.05+65x0.25+75x0.4+85x0.2+95x0.1=75.5；

設(shè)滿意度評分值的中位數(shù)為x,所以土渣x0.4=0.2,解得15,即滿意度評分值的中位數(shù)

為75.

(2)滿意度評分值在［80,90)內(nèi)的有200x0.2=40(人)，滿意度評分值在［90,100］內(nèi)的有

200x0.1=20(人)，

「

抽取的