廣西柳州市重點中學2024-2025學年高考5月模擬考試數(shù)學試題（含解析）

廣西柳州市重點中學2024-2025學年高考5月模擬考試數(shù)學試題試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領域的語音識別、人臉

識別，數(shù)據(jù)分析、機器學習、服務器開發(fā)五個方向展開研究，且每個方向均有研究生學習，其中劉澤同學學習人臉識

別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）

A.480種B.360種C.240種D.120種

2.已知集合加={%]—14尤<5},N={x|國<2},則Mp|N=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{x|0<尤<2}

3.要得到函數(shù)y=6cos2x-sin2x的圖像，只需把函數(shù)y=sin2x-的圖像（）

A.向左平移2IT個單位B.向左平移上個單位

212

C.向右平移點個單位D.向右平移。個單位

4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：c加3）為（）

5.已知集合4={（乂，）|丁=尤2},B={（x,y）|x2+/=1},則A。8的真子集個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.做拋擲一枚骰子的試驗，當出現(xiàn)1點或2點時，就說這次試驗成功，假設骰子是質地均勻的.則在3次這樣的試驗

中成功次數(shù)X的期望為（）

AyB.1C.1D.2

JQ

7.已知x,y^R,則“1＜y”是“一＜1”的（）

y

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.若（近+工）的展開式中二項式系數(shù)和為256,則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為（）

A.85B.84C.57D.56

9.在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測.

甲：我的成績比乙高.

乙：丙的成績比我和甲的都高.

丙：我的成績比乙高.

成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

io.設左＞1,貝！I關于的方程?！螅?+丁2=左2―1所表示的曲線是（）

A.長軸在y軸上的橢圓B.長軸在X軸上的橢圓

c.實軸在y軸上的雙曲線D.實軸在x軸上的雙曲線

11.已知拋物線C:/=4x和點。（2,0）,直線尤=9-2與拋物線C交于不同兩點A,B,直線與拋物線。交于

另一點E.給出以下判斷：

①以助為直徑的圓與拋物線準線相離；

②直線OB與直線OE的斜率乘積為-2；

③設過點A,B,E的圓的圓心坐標為S,切，半徑為廠，則Y—r=4.

其中，所有正確判斷的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

12.已知等差數(shù)列｛4｝中，％=7,4=15,則數(shù)列｛4｝的前10項和4=（）

A.100B.210C.380D.400

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛%,｝中，S“為其前”項和，q=l,anan+i=T,則4=，邑。。=.

14.已知函數(shù)/（x）=-丁+sinx,若/（a）=M,則/（一a）=.

15.函數(shù)/(x)=(a—1)，—3(a>l,aw2)過定點.

16.在一塊土地上種植某種農(nóng)作物，連續(xù)5年的產(chǎn)量(單位：噸)分別為9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.則該農(nóng)作物的年

平均產(chǎn)量是噸.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=l+cosa

17.(12分)在平面直角坐標系中，曲線G的參數(shù)方程為：\.(a為參數(shù))，以。為極點，x軸的正

y=sin。

半軸為極軸建立極坐標系，曲線。2的極坐標方程為：p=26sin?.

(1)求曲線G的極坐標方程和曲線G的直角坐標方程；

⑵若直線/：丁=依(左>0)與曲線G交于。，A兩點，與曲線。2交于。，B兩點,求|。4|+|。同取得最大值時直

線/的直角坐標方程.

x=cosa

18.(12分)在平面直角坐標系九0y中，曲線a的參數(shù)方程為.(。為參數(shù))，將曲線a上每一點的橫坐標

y=sma

變?yōu)樵瓉淼?2倍,縱坐標不變,得到曲線c2,以坐標原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線/：夕=。

7T

與曲線c2交于點P,將射線I繞極點逆時針方向旋轉,交曲線于點Q.

(1)求曲線。2的參數(shù)方程；

(2)求APOQ面積的最大值.

19.(12分)已知均為正實數(shù)，函數(shù)/(x)=x+5+x-'+*的最小值為1.證明：

(1)a2+Z?2+4c2>9s

(2)—+^-+^-<1.

ab2bclac

20.(12分)在AABC,角A、B、。所對的邊分別為。、b>c,已知cos3+(cosA—2sinA)cosC=0.

(1)求cos。的值；

(2)若Q=6，AC邊上的中線BM=姮，求AABC的面積.

2

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=lux—a—+(〃—辦—+〃+￡R).

(1)若a=0,試討論/(x)的單調性;

(2)若0<a<2,b=l,實數(shù)為方程/(x)=fn-ax2的兩不等實根，求證：一+—>4-2a.

x1x2

一

22.(10分)在極坐標系中,曲線C的極坐標方程為夕=<+

(1)求曲線C與極軸所在直線圍成圖形的面積;

(2)設曲線C與曲線Psin9=g交于A,B兩點,求

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

將人臉識別方向的人數(shù)分成：有2人、有1人兩種情況進行分類討論，結合捆綁計算出不同的分配方法數(shù).

【詳解】

當人臉識別方向有2人時，有團=120種，當人臉識別方向有1人時，有禺=240種，.??共有360種.

故選：B

本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.

2.A

【解析】

考慮既屬于"又屬于N的集合，即得.

【詳解】

N=［x\-2<x<2^,:.MryN={x\-l<x<2}.

故選：A

本題考查集合的交運算，屬于基礎題.

3.A

【解析】

運用輔助角公式將兩個函數(shù)公式進行變形得>=-2sin^2x-1]以及y=2sin12x—g],按四個選項分別對

y=2sin12x—W］變形，整理后與y=-25皿12%一三］對比,

從而可選出正確答案.

【詳解】

解：

y=^3cos2x-sin2x=2cos2x-sin2x=2sinr-2x]=-2sin12x-g1

-f)-

y=sin2x-V3cos2X=2—sin2x----cos2x=2sin2%

(22J

(71(兀、=-2sin^2%-^.

對于A：可得y=2sin2lx+—l-y=2sinl2x-y+1

故選:A.

本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換，考查了輔助角公式.本題的易錯點有兩個，一個是混淆了已知函數(shù)和目標函數(shù);二是

在平移時，忘記乘了自變量前的系數(shù).

4.D

【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.

【詳解】

如圖，該幾何體為正方體去掉三棱錐用-4￡E,

1122

所以該幾何體的體積為：V一,

V^rA\DB\C^LDJ—-/Aij.2B5]C-|DL/|,~ZBJ|―-A,CE=2X2X2——Qx-r\x2x2xl=Q

故選：D

本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.

5.C

【解析】

求出An§的元素，再確定其真子集個數(shù).

【詳解】

小2非-2出6-2

2x=------x=--------------

y=x22

由＜22，解得或＜4口8中有兩個元素，因此它的真子集有3個.

U+/=1A/5-IV5-1

故選：C.

本題考查集合的子集個數(shù)問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數(shù)，解題關鍵是對集合元素的認識，本題中集合

A,8都是曲線上的點集.

6.C

【解析】

每一次成功的概率為二=三=』，二服從二項分布，計算得到答案.

§3

【詳解】

每一次成功的概率為二=；=』，二服從二項分布，故二［二：=；xS=j.

故選：二

本題考查了二項分布求數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.

7.D

【解析】

XX

不能得到一＜i,一＜1成立也不能推出xvy,即可得到答案.

【詳解】

因為x,y^R,

、1%C1

當時，不妨取x=—I,y=—，—=2＞lf

2y

故時，一＜i不成乂，

y

當一＜1時，不妨取x=2,y=—I,則xvy不成立，

y

綜上可知，“1＜丁”是"一＜「’的既不充分也不必要條件，

y

故選：D

本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.

8.A

【解析】

先求九，再確定展開式中的有理項，最后求系數(shù)之和.

【詳解】

解：］近的展開式中二項式系數(shù)和為256

故2"=256，?=8

8-r8-4r

Tr+l==禺…

要求展開式中的有理項，則r=2,5,8

則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為：C；+C；+C：=85

故選：A

考查二項式的二項式系數(shù)及展開式中有理項系數(shù)的確定，基礎題.

9.A

【解析】

利用逐一驗證的方法進行求解.

【詳解】

若甲預測正確，則乙、丙預測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲，乙，丙；若乙

預測正確，則丙預測也正確，不符合題意；若丙預測正確，則甲必預測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙

比甲，乙成績都高，即乙預測正確，不符合題意，故選A.

本題將數(shù)學知識與時政結合，主要考查推理判斷能力.題目有一定難度，注重了基礎知識、邏輯推理能力的考查.

10.C

【解析】

22

根據(jù)條件，方程（1—左）/+_/=左2—1.即，------=1,結合雙曲線的標準方程的特征判斷曲線的類型.

'7k2-lk+1

【詳解】

解:"：k>l,：.l+k>0,F-l>0,

22

方程。一左）￡+/=/一1,即黃1=1，表示實軸在y軸上的雙曲線，

故選c

22

本題考查雙曲線的標準方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為-4--------=1是關鍵.

k2-lk+1

11.D

【解析】

對于①，利用拋物線的定義，利用4=4±莊=”也也>些=7?可判斷；

222

對于②，設直線。石的方程為％=磔+2,與拋物線聯(lián)立，用坐標表示直線08與直線OE的斜率乘積，即可判斷;

對于③，將彳="-2代入拋物線c的方程可得，以為=8,從而，%=-%，利用韋達定理可得

|BE|2=16m4+48m2+32,再由「=|的『若］，可用m表示嚴，線段助的中垂線與x軸的交點（即圓心

N）橫坐標為2"/+4,可得a,即可判斷.

【詳解】

如圖，設R為拋物線C的焦點，以線段3E為直徑的圓為“，則圓心M為線段BE的中點.

設6,E到準線的距離分別為4，4，的半徑為R，點”到準線的距離為d,

顯然3,E，尸三點不共線，

則公勺=^^＞中=心所以①正確.

222

由題意可設直線DE的方程為x=my+2,

代入拋物線。的方程，有丁―4年-8=0.

設點3,E的坐標分別為（七,%）,（兀2，%），

則%+%=4根，%%=—8.

所以王/=（沖1+2）（my2+2）=/+2Mx+%）+4=4.

則直線08與直線OE的斜率乘積為"=-2.所以②正確.

xxx2

將龍=9-2代入拋物線C的方程可得，力為=8,從而，以=-乂?根據(jù)拋物線的對稱性可知，

A，E兩點關于％軸對稱，所以過點A，B,E的圓的圓心N在％軸上.

由上，有％+%=4根，%+%2=4〃,+4,

則|BE『=（玉+左2）一一4九1尤2+（%+%）--4%%=16m4+48m2+32.

所以，線段班的中垂線與x軸的交點（即圓心N）橫坐標為2〃/+4，所以口=2m2+4.

于是，/=|削|2=12-2+4—%；/]+4m4+12m2+8,

42

代入%]+x2=4〃/+4,%+為=4根，得廠之=4m+16m+12，

所以小一嚴=Q療+盯_(4“+16m2+12)=4.

所以③正確.

故選：D

本題考查了拋物線的性質綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.

12.B

【解析】

設｛4｝公差為d,由已知可得。3,進而求出｛4｝的通項公式，即可求解.

【詳解】

設｛a”｝公差為d,%=7,%=15,

a3="=11,d=%一4=4,

/?°10x(3+39)…

an=4fi—1,Si。=-----------=210.

故選：B.

本題考查等差數(shù)列的基本量計算以及前九項和，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.83x2100-3(寫為2Kxl+2皿一3也得分)

【解析】

x

由6=1,得，/=2.當〃22時，an_xan=T-,所以手=2,所以｛4｝的奇數(shù)項是以1為首項，以2

an-\

為公比的等比數(shù)列；其偶數(shù)項是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列.則q=2x2。=8,

lx(l-2100)2x(l-2100)^IOI[.yoo.

邑00=———+———=921OO+29-3=3x2-3.

14.-M

【解析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)/(九)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的性質求解即可.

【詳解】

因為函數(shù)/(x)=-x3+sinx,其定義域為R,

所以其定義域關于原點對稱,

X/(-x)=-(-x)3+sin(-x)=-(x3+sin=-/(%),

所以函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，因為〃a)=M,

所以/(—a)=—

故答案為:TW

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質；考查運算求解能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關鍵;屬于中

檔題、?？碱}型.

15.(0,-2)

【解析】

令％=0,/(0)=1-3=-2,與參數(shù)無關，即可得到定點.

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)的性質，可得x=0,函數(shù)值與參數(shù)無關，

所有f(x)=(a-1廠—3過定點(0,-2).

故答案為：(0,-2)

此題考查函數(shù)的定點問題，關鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關，熟記常見函數(shù)的定點可以節(jié)省解題時間.

16.10

【解析】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算即得.

【詳解】

-9.4+9.7+9.8+10.3+10.8，八

由題得,x=--------------------------------=10.

5

故答案為：10

本題考查求平均數(shù)，是基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)曲線￡:p=2cose,曲線：必+b—百『=3.(2)y=gx.

【解析】

%=1+cosax二『cos?！?/p>

(1)用〈和V,八消去參數(shù)a即得q的極坐標方程；將P=20sin。兩邊同時乘以「，然后由

y=sinay二夕sin”

1

p=x2+y2,y=psin。解得直角坐標方程.

(2)過極點的直線的參數(shù)方程為6=。,0＜。＜會,夕?R,代入到G：o=2cos6和。2：2=2Gsin。中，表示出

|OA|+|OB|即可求解.

【詳解】

%=1+cosax=pcosOpcosd—l=costz

解：由V和Vy=〃sing'得,

y=sina夕sin。=sin。

(pcos。-1)2+(psing)2=1,化簡得。=2cos。

故C\：Q=2cos。

將夕=2石sin。兩邊同時乘以夕，得夕2=2j^Qsin。

因為22=尤2+》2,丁=2sin。，所以％2+丁2-2百丁=。

得。2的直角坐標方程02：必+b—GJ=3.

(2)設直線/的極坐標方程6={0＜°?夕€可

0—(0

由1，得|Q4|=2cos°,

p-2cos。

9=9r

由〈r,得|QB|=26sin0

夕=2,3cos。

故10A|+10B\=2cos(p+2+sin0=4sin

當°=?時，|OA|+|。同取得最大值

jr

此時直線的極坐標方程為：6=

其直角坐標方程為：y=瓜.

考查直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程的互相轉化以及應用圓的極坐標方程中夕的幾何意義求距離的的最大值方

法；中檔題.

x=^2cosa（a為參數(shù)）；（2）YZ

18.(1)]

y=sma2

【解析】

（1）根據(jù)伸縮變換結合曲線G的參數(shù)方程可得出曲線C2的參數(shù)方程;

（2）將曲線G的方程化為普通方程，然后化為極坐標方程，設點P的極坐標為（2,0），點Q的極坐標為22，。+叁

將這兩點的極坐標代入橢圓C的極坐標方程，得出A2和Pi關于。的表達式，然后利用三角恒等變換思想即可求出

APOQ面積的最大值.

【詳解】

x=cosa

（1）由于曲線G的參數(shù)方程為《.為參數(shù)），

y=siner

將曲線G上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼暮蟊叮v坐標不變，得到曲線。2,

則曲線的參數(shù)方程為I"—C0Sa（a為參數(shù)）；

y=sina

（2）將曲線。2的參數(shù)方程化為普通方程得;+_/=1,

化為極坐標方程得C°S-e+2sin2。=1,即夕2=―2,

21+sin0

設點P的極坐標為（月,。），點。的極坐標為\p2，（p*

2_2

7乙

將這兩點的極坐標代入橢圓C的極坐標方程得「「言而,.2(萬、1+COS2(P,

l+sin2U+-I”

???AP。。的面積為

c_1_12________]

2*-2X^

1+sin>)(1+cos>)^/2+sin20cos2(p

1_V2

當sin2。=0時，APOQ的面積取到最大值

V2

本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的互化，考查了伸縮變換,同時也考查了利用極坐標方程求解三角形面積

的最值問題，要熟悉極坐標方程所適用的基本類型，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

19.(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)運用絕對值不等式的性質，注意等號成立的條件，即可求得最小值，再運用柯西不等式，即可得到最小值.

(2)利用基本不等式即可得到結論，注意等號成立的條件.

【詳解】

(1)由題意a,b,c>。，則函數(shù)

〃、_1111.1.11111

/⑴=?/+廬+審-"+/—―記)卜記=/+后+石’

又函數(shù)/(%)的最小值為1,即一啜+W+42=L

由柯西不等式得(/+Z?2+4c2)^~r+~r+~~^>(l+l+l)2=9,

當且僅當a=b=2c=6時取

故/+/+而29.

112111111

(2)由題意，禾U用基本不等式可得^~+F?，-y\--y>—，fl--——

ababb4cbea4cac

(以上三式當且僅當a=b=2c=6時同時取“=”)

上、「111,

由(1)知，一7—7---7=1,

a2b24c2

八一,211J111)c

所以，將以上二式相加得,+—?---2—+—+--^-=2

abbeac\ab4c)

即---1----1---<1.

ab2bclac

本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎知識，考查運算能力，屬于中檔題.

出

20.(1)cosC=—(2)答案不唯一，見解析

5

【解析】

(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得tanC=2,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系可得cosC的值;

(2)在AABC中，由余弦定理可得尸一48+3=0,解方程分別由三角形面積公式可得答案.

【詳解】

解：(1)在AABC中，因為cos6=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC,

又已知cosB+(cosA-2sinA)cosC=0,

所以sinAsinC-2sinAcosC=0,

因為sinAwO,所以sinC-2cosc=0,于是tanC=2.

所以cosC=".

5

(2)在AABC中，由余弦定理得5M2=502+儂2—2BCOfcosC，

得Z?2—4b+3=o解得匕=1或匕=3,

當b=l時，AABC的面積S=」absinC=l,

2

當3=3時，AABC的面積S=』absinC=3.

2

本題考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面積公式和分類討論思想，屬于中檔題.

21.(1)答案不唯一，具體見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意得/(%),分匕<一1與/?>—1討論即可得到函數(shù)/(%)的單調性；

(2)根據(jù)題意構造函數(shù)g(x),得g(%i)=g(%2)=^，參變分離得a—2=;:

分析不等式'+二->4-2a,即轉化為工?一三<一21n三，設乂再構造函數(shù)g⑺=21n/T+L利用

*1x2x2X[X[X]'/t

導數(shù)得單調性，進而得證.

【詳解】

(1)依題意x>0,當a=0時，r(x)=L—3+1),

X

①當時，/(％)>0恒成立，此時/(X)在定義域上單調遞增；

②當6>-1時，若xef'(x)>0；若xeU^+oo],f'(x)<0；

Ib+1J\b+l)

故此時人無)的單調遞增區(qū)間為(0,Jv1,單調遞減區(qū)間為(丁[,+s].

[b+1))

(2)方法1：由/(%)=帆—or?得Jn%+(a—2)x+2一6=0

令g(x)=lnx+(a_2)x+2,則g。)=g?)=",

clnx9-Inx.

依題意有InXj+Ca-2)引=Inx2+(?-2)x2,即a-2=----=--------,

Xj—%2

要證」-+」->4-2。，只需證受土強>2(2—。)=—'In/Tn、)(不妨設&<龍,),

Xx

x2X1%2i-2

即證土一三<-2In三,

x2西西

x1211

令二=々>1),設g⑺=21n5/+-,則g'(/)=——1--=-(--1)2<0,

tttt

??.g⑺在。,y)單調遞減,即g?)vg⑴=。,從而有」-+二->4—2〃.

巧x2

方法2：由/(%)=m得inx+(a—2)%+2—根=。

令g(%)=lnx+(a—2)x+2,則g(%)=且區(qū))=加，gf(x)=--(2-a)