湖南省衡陽(yáng)縣某中學(xué)2024屆高考考前沖刺卷（三）數(shù)學(xué)試題

A（1+砌B（9-5心）兀

衡陽(yáng)縣四中2024屆高考考前沖刺卷（三）.2.2

C（96一15）?？隗?/p>

數(shù)學(xué)?8°3

6.在銳角△力中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為AABC的面積，且3s=M一

注意事項(xiàng)：

（b-C）2,則鮑取值范圍為（）

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。A-（域號(hào)）B.（*+8）C,償，蓑）D.償,+8）

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

7.已知數(shù)歹兒冊(cè)}滿(mǎn)足an+i=4a九—12n+4,且%=4,若以=2024,貝=（）

號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。A.253B.506C.1012D.2024

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、8.甲，乙，丙，丁四位師范生分配到A,B,。三所學(xué)校實(shí)習(xí)，若每所學(xué)校至少分到一人，

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。且甲不去A學(xué)校實(shí)習(xí)，則不同的分配方案的種數(shù)是（）

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。A.48B.36C.24D.12

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）

第I卷（選擇題）

9.函數(shù)（（%）=Asin（3%+口）（4,co,@是常數(shù)，且A＞0,0）＞0）的部分圖象如圖所示,

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

下列結(jié)論正確的是（）

1.已知集合4={%|-1工XV5},^={xeN|y=log3（x-2）},則4nB=（）

A.{-1,2,3,4}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}

2.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|iz|=1（i為虛數(shù)單位），則|z-4+3i|的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

3.如圖，在△力BC中，設(shè)荏=匕芯=3,而=2沆，荏=4前，則同=（）

A./（0）=1B.在區(qū)間［七,。］上單調(diào)遞增

C.將/Xx）的圖象向左平移看個(gè)單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)D./（X）=-/（|+%）

10.已知函數(shù)7'。）滿(mǎn)足//。）+2X/'0：）=?,/'（2）=?,貝1卜＞0時(shí)，（）

A.x=2為/'（X）的極值點(diǎn)B.x=1為/f（x）導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)

c*f8

C.---aH——?bD.

1515-|a+QC.x=2為爐/。）的極大值點(diǎn)D.x=2為好/（x）的極小值點(diǎn)

4.已知函數(shù)/(%)=3%,若a=f(log36),b=/(logslO'c=f(|),則()11.已知數(shù)列{%；}的通項(xiàng)公式為a”=/p其前n項(xiàng)和為S”，數(shù)列{*}與數(shù)列{乎冊(cè)冊(cè)+口的前

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<an項(xiàng)和分別為時(shí),B，則（）

5,將一塊棱長(zhǎng)為1的正方體木料，打磨成兩個(gè)球體藝術(shù)品，則兩個(gè)球體的體積之和的最大A.22±1＜；B.存在m使得

值為（）

C.Sn＜—D.R"26，-5zi

16.(15分)已知等差數(shù)列己”｝的前w項(xiàng)和為％,且5&=452，a=2a+l(neN,).

第n卷(非選擇題)2nn

(1)求數(shù)列｛a*｝的通項(xiàng)公式；

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

(2)求數(shù)列｛a4｝的前n項(xiàng)和立；

12.已知函數(shù)/(%)=In%+%+?在％e[2,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__.

(3)若勾=3吁1,令cn=詈,求數(shù)列&｝的前n項(xiàng)和6

13.已知雙曲線(xiàn)。:《一，=1缶>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為&,尸2，焦距為2c,A,B為C

上的兩點(diǎn)，AB〃F'F?，四邊形&尸2%8的面積為遍(2a+c)b,若△尸2人8的周長(zhǎng)為10a,則C的

離心率為.

14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截

得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面

的直徑被截下的線(xiàn)段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所

圍成的幾何體.如圖1,一個(gè)球面的半徑為R,球冠的高是h,球冠的表面積公式是S=2兀Rh,

與之對(duì)應(yīng)的球缺的體積公式是以二^九爐口氏一份汝口圖？，已知C,0是以48為直徑的圓上的

17.(15分)已知四棱錐P-ABC。的底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，ADAB=60°,PA=

兩點(diǎn)，乙40cS扇形的=2兀，則扇形C。。繞直線(xiàn)48旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體

PC,PB=PD=2V10,M是線(xiàn)段PC上的點(diǎn)，且正二4祈乙

積為一.

A

⑴證明：PC1平面BDM；

圖1圖2

(2)點(diǎn)E在直線(xiàn)。M上，求BE與平面A3CD所成角的最大值.

四、解答題(本題共6小題，共70分)

15.(13分)在△ABC中，內(nèi)角4,8,C所對(duì)的邊分別是見(jiàn)瓦c,且cos2B+cos?。一cos2?!=1-

sinBsinC.

(1)求角4

(2)若4D是“4B的角平分線(xiàn)，AD=4V3,A4BC的面積為186，求a的值.

18.(17分)入冬以來(lái)，東北成為全國(guó)旅游和網(wǎng)絡(luò)話(huà)題的“頂流”.南方的小土豆們紛紛北上19.(17分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+i)；a+i)G*0).

體驗(yàn)東北最美的冬天，這個(gè)冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情，還有東北的洗浴中

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

心，擁擠程度堪比春運(yùn)，南方游客直接拉著行李箱進(jìn)入.東北某城市洗浴中心花式寵“且”，

⑵求f(x)的取值范圍；

為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了4和8兩個(gè)套餐服務(wù)，顧客可自由選擇4和B兩個(gè)套餐之一，并

(3)已知不等式2*>(x+l)m對(duì)任意Xe(-1,0)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

在App平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，下表是該洗浴中心在App平臺(tái)10天銷(xiāo)售優(yōu)惠券情況.

日期t12345678910

銷(xiāo)售量y(千張)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

經(jīng)計(jì)算可得：歹=V型i%=2.2,能岫%=118.73,2：>"385.

(1)因?yàn)閮?yōu)惠券購(gòu)買(mǎi)火爆，App平臺(tái)在第10天時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購(gòu)買(mǎi)優(yōu)惠券數(shù)

量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于￡的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果中的數(shù)值用分?jǐn)?shù)表示)；

⑵若購(gòu)買(mǎi)優(yōu)惠券的顧客選擇4套餐的概率為|，選擇B套餐的概率為3并且/套餐可以用一張

優(yōu)惠券，8套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺(tái)累計(jì)銷(xiāo)售優(yōu)惠券為n張的概率為七，求心；

(3)記(2)中所得概率匕的值構(gòu)成數(shù)歹式2｝(九￡?4*).

①求心的最值；

②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列｛an｝,若對(duì)于任意給定的正數(shù)以總存在正整數(shù)M),使得當(dāng)

時(shí)，|冊(cè)-a|V%(a是一個(gè)確定的實(shí)數(shù))，則稱(chēng)數(shù)列｛&｝收斂于a.根據(jù)數(shù)列收斂的定義證

明數(shù)列｛4｝收斂.

22式/一元)(yt-9)_2之1%/［一九后夕ZS-p-

參考公式：b=,a=y—bx.

2屋3-戲2著片-成2

因此logslO<|<log6,而函數(shù)/■(%)=3%在R上單調(diào)遞增，

數(shù)學(xué)答案3

.【答案】

1B所以f(logslO)</(|)</(log36),即b<c<a.

【解析】因?yàn)榱?{x|-l<x<5},5={%6N|x-2>0}={xGN|x>2},

故選:D

所以4CB={3,4}.

5.【答案】B

故選：B.

【解析】要使兩個(gè)球的體積之和最大，則應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)球互相外切，并且分別與正方體的面相

2.【答案】B

切，即應(yīng)有兩個(gè)球球心連線(xiàn)位于正方體的體對(duì)角線(xiàn)上.

【解析】設(shè)z=%+yi,(x,yeR),則

所以iz=i(x4-yi)=xi+yi2=—y+xi,

|iz|=\—y+%i|=J72+(_y)2=J72+y2

又|iz|=1,

所以+y2=1,即/+y2=i,

所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(%,y)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，如圖，設(shè)兩球的圓心分別為01，。2，半徑為丁1，丁2，

|z-4+3i|=|x+yi-4+3i|=-4尸+(y+3'表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(%,y)到點(diǎn)(4,一3)的由已知可得，A4i=l,AC=y[2,

距離，所以，sin乙4c翳=冬

所以|z-4+3”的最小值是J(4一0尸+(-3-0)2-1=4.

則。1。2=q+左，。14=.；工=02c==8二2?

故選：B.

又。144-。1。2+02C=q+左+73(^+r2)=(V3+l)(q4-r2)=V3,

3.【答案】C

所以，心+廠(chǎng)2=福=等，72=等一小

【解析】因?yàn)榻?AC-AB=b-a,BD=2DC,

因?yàn)?<ri<I；0<r<所以2:<<|.

所以麗=|前=|(B—占)，而=荏+而=a+|(B—2)=|B+1落2

又兩球的體積之和P=(兀廳+|^2=(兀療+(兀(與@一『J'

又因?yàn)闃?biāo)=4ED,

V=4兀號(hào)-4兀-rj=4兀卜--G)]=8兀Xx(q-

所以笳=工9=--f-b+-a)=--b--a,

當(dāng)學(xué)平時(shí)，有『V0,即函數(shù)卜=(兀療+(兀(等—af在[芽,竽)上單調(diào)遞

所以炭=麗+反=2@_菊_2另一三五=-—a+-b,

3v715151515

減；

故選：C.

當(dāng)F<『1好時(shí)，有廠(chǎng)>0,即函數(shù)1=*；+京(萼-rj在(等中上單調(diào)遞增.

4.【答案】D

當(dāng)『竽時(shí)，等f(wàn)/

【解析】依題意，10836=1+log32>1+log3V3=I，log510=1+log52<1+log5V5=

3所以，-(守)=嗚4?+)(泊3=T-

2'

Ur兀一.C,無(wú),兀7T,-，兀，?兀5兀,一?兀

由——<2%4--<-=>——<2%+-<-=>---<x<一.

2322321212

所以，函數(shù)0=［兀川+171(誓-『1)3的最大值為魚(yú)咨因?yàn)?G［―所以函數(shù)f(%)在［―：,。］上單調(diào)遞增，故B正確；

故選：B.將f(%)的圖象向左平移，個(gè)單位得：y=2sin［2(%+￡)+,=2sin(2x+^),不是偶函數(shù),

6.【答案】A

故C錯(cuò)誤；

【解析】在中，由余弦定理得標(biāo)=力2+-2bccos4且△的面積S=jbcsin/,

因?yàn)?(%+1)=2sin(2x+兀+_2sin(2x+=~fM，故D正確.

由3s=必—(6—得jbcsin/=2bc—2bcos4化簡(jiǎn)得3sinZ+4cos4=4,

c)2,故學(xué)：BD

又4E(0,；),sin2i44-cos2?l=1,聯(lián)立解得sin/=||,cosZ=￡,10.【答案】BD

2

所以b_sinB_sin(A+C)_sinAcosC+cosAsinC_24+7【解析】由題意得，xf'{x)+2x/(x)=則=L-,

csinCsinCsinC25tanC25'

令F(%)=x2f(x)即尸'(%)=亍，

△ABC為銳角三角形，有OVCV：,8=兀一力一0<|,得］-4vCV會(huì)f

所以F(2)=4./(2)=4.9=?,

則有tanOtan信一4)=等=一可得土￡(0,§),所以紀(jì)修考)

由％2尸(%)+2x/(x)=?得，尸(%)=.：(*),

故知：A

7.【答案】B設(shè)。(%)=ex—2F(x),則g'(%)=ex-29'(%)=qX~~=(久，

【解析】因?yàn)轭}+i=4a—12n4-4,所以與+i—4(n4-1)=4(a—4n).

zin所以g(%)在(0,2)上遞減，在(2,+8)上遞增，

因?yàn)?=4,所以%-4x1=0,故{a九一4n}為常數(shù)列，

所以g(%)min=g⑵=0，

所以=4n.由以=4k=2024,解得k=506.

所以g(v)>0,又%>0,

故選：B

所以尸(%)=三警>0,即/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

8.【答案】C

所以/(%)無(wú)極值，故A錯(cuò)誤；

【解析】①若A學(xué)校只有1人去實(shí)習(xí)，則不同的分配方案的種數(shù)是C：C專(zhuān)A］=18,

②若A學(xué)校有2人去實(shí)習(xí)，則不同的分配方案的種數(shù)是=6,對(duì)于B,F(x)=/f(%)的導(dǎo)函數(shù)為尸(%)=亍，

則不同的分配方案的種數(shù)共有18+6=24.所以F〃(%)=出稱(chēng)先，當(dāng)%>1時(shí)，F(xiàn)〃(%)>0,當(dāng)0V%Vl時(shí)，F(xiàn)〃(%)V0,

故選：C.

即P(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

9.【答案】BD

所以％=1為%2f(%)導(dǎo)函數(shù)尸(%)=9的極小值點(diǎn)，故B正確；

【解析】根據(jù)函數(shù)圖象，易知：4=2,9=9+3=?=7=兀=3=2.

41264對(duì)于C,x3f'{x}=ez—2F(x)=g(x),

由f(石)=-2=2sin+0)=-2=@='+2k兀，kEZ.

由上可知g(O在(0,2)上遞減，在(2,+8)上遞增，

所以f(%)=2sin卜％+；+2左兀)=2sin卜％+；),kEZ.所以x=2為爐廣。)的極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD.

因?yàn)?(0)=2sing=E，故A錯(cuò)誤;

11.【答案】ACD

4y=2+]36

【解析】對(duì)A，由%=總可得%+i=舟，所以答1=幸13.【答案】|/1.5

rl4n+1-3-4n+1-3

殘§,13Un4一3

；-4:一3<3故A正確,【解析】不妨設(shè)4(%0,丫0)(%0>0,y0>0),則駕--駕=妨

對(duì)B,a=*—用"3n=中一3n,V3(2a4-c)b=|(2x04-2c)y0=(x04-c)J像-1)b,解得％0=2a,

Uaan+1=nn+1所以|AB|=4a,又△J4B的周長(zhǎng)為10a，所以嗎川+在用=6a,

^nn+1=(4n-3)(4-3)3\4-3—4-3.

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，正引=|Fi川,所以典稱(chēng)+J川=6a,

所以及號(hào)(含一套)+1(&-&)+…+1(含_=IO_?故B

根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，|FM]—在川=2a,解得|Fi川=4a,

錯(cuò)誤,

根據(jù)勾股定理，|Fi川2=(2a+c)2+(gb)2,即(3。-2c)(5a+2c)=0,

對(duì)C,由于心3時(shí),41>9=4二3>昔4一,

所以3a—2c=0,即e=-=

故時(shí)=七<亙尢"=2六，所以%=的+。2+…+朝〈1+卷+卷X嗎竽D=葛+a2

34故答案為：|

舒一會(huì))<髀%￡+呆”16標(biāo)一5加二一3吁6層+5”審

14.【答案】16島

6n24-2n,

【解析】因?yàn)橐?0c=乙BOD=泉所以4DOC=7t-2x^=p

2

對(duì)D,1己6=-6n2+2n,Pn+1—4=————?-”4-。-6(n+l)+2(n+1)4-

設(shè)圓的半徑為R,又S扇形co。=[X：R2=2兀，解得R=26(負(fù)值舍去),

6n2—2n,

故Pn+i-4二4n+i-12n-4,根據(jù)指數(shù)哥的性質(zhì)可知4n+i>12n+4,過(guò)點(diǎn)C作CE14B交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作DF14B交于點(diǎn)汽

n+1

當(dāng)且僅當(dāng)九=1取等號(hào)，故Pn+i—%=4-12n-4>0Pn+1>Pn,只有九=1取等號(hào),AA

故2>Pn_i>&>P3>P22Pi=0,故D正確，

故選：ACD

12.【答案】(一8,3]

【解析】r(x)=l+i-^=^^,x>0,

7XX2X2

因?yàn)楹瘮?shù)/■(%)=Inx+x+?在％E[2,+8)上單調(diào)遞增，則CE=OCsing=3,OE=OCcos^=V3,

所以尸(%)>。在％G[2,+8)上恒成立，即％2+%—2a>0在％G[2,+8)上恒成立，所以4E=R-0E=g,同理可得DF=3,OF=BF=V3,

分離參數(shù)可得a工子，即(0)，

將扇形CO。繞直線(xiàn)48旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑R=28的球中上下截去兩個(gè)球缺所

令g(%)=子，

剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐，

2

則g(%)=|(%+0-｝在(一|,+8)上單調(diào)遞增，其中球缺的高九=遮，圓錐的高瓦=遮，底面半徑丁=3,

因?yàn)閄>2,所以g(x)min=g(2)=3,則其中一個(gè)球缺的體積匕=|TC/I2(37?—h)=|TTx(V3)2(3X2遮—V3)=5V3TI,

所以aV3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,3].

圓錐的體積彩="x32xb=38兀，球的體積匕==[兀x(2V3)3=32V3TT,所以

故答案為：(-oo,3].

所以〃=3-黃『

幾何體的體積U=V3-2V1-2V2=16V3n.

故答案為：16V371.17.【解析】(1)連結(jié)AC,80交于點(diǎn)。，連P。，

15?【解析】(1)由條件cc/B+cos??—cos2A=1—sinBsinC知由P4=PC,PB=PD=2V10

1—sin2^+1—sin2c—1+sin224=1—sinBsinC,知P。1AC,PO1BD,

此即sinBsinC=sin2B+sin2c—sin2i4,故由正弦定理得be=b2+c2—a2,又ACCBD=0,/.P0_L平面ABC。

再由余弦定理知COSZ=_a2=黑=2，又底面ABC。為菱形，所以

"才2bc2bc2

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,0C,而分別為％,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

且4e(0,7t),所以/=

(2)由484。=乙CAD,Z-ADB+Z-ADC=180°,如圖所示=60°,邊長(zhǎng)為4,則。。=0B=2,0A=0C=28

BDAB

結(jié)合正弦定理得行=錯(cuò)巫=可殍=^=在直角三角形B0P中，28=2/而所以。。=6

sinz.CADsinz.ADC

而80+CD=a,故8。=—,CD=所以點(diǎn)。(0,0,0),P(0,0,6),8(2,0,0),。(一2,0,0),C(0,2V5,0)

b+cb+c

由于188=S4ABe=|4D?BCsmZ-ADB=28asin乙408,故asin乙40B=9.PC=4MC,則M(0，￥，|)

ABsinAADB

所以C=AB==BDsin"DB=^in^ADB=奉=空，故匕+。=18.所以定=(0,2V3,-6),DM=(2,哈J兩=(-2,苧,|),

smZ.ADBsmz.BADsin6--2b+c

而18v5=S^ABC=|besinA=]busing=fbc,故be=72.所以亞?麗=0x2+28X手+(-6)x|=0,

所以M=b2+c2-2bccosA=b2+c2—be=(Z?4-c)2—3bc=182—3x72=108.PC-BM=0%(-2)+2V3X子+(-6)x|=0,

故a=6^/5.

所以麗1詢(xún)，無(wú)1詢(xún)，

16.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛冊(cè)｝的公差為d,則

所以PC1DM,PCIBM,

[4%+6d=4(2%+d)彳曰[的=1

Li+(2n-l)d=2al+2(n—l)d+1'用牛用td=2'又=平面BDM,

所以a九=l+(n—l)x2=2n—1；所以PC_L平面BOM,

(2)由(1)知，%=1,an=2n—1,(2)設(shè)反=疝羽，

所以=%誓=n(i+j-D=2.

n所以反=WM=(2尢子;I,豺)，

(3)因?yàn)閎=3n-1,a=2n—1,所以“=詈=

nnbn3故E(2/1-2,^A,IA),

〃=擊+K+京+…+①’所以麗=(2A-4,手尢豺)

沔=*+,+卷+…++筌②，

平面48co的一個(gè)法向量是記=(0,0,1),

①-②得設(shè)BE與平面CD所成角為仇則

2T-1,22,22n-l_.,Q]2n-l_2n+2

=我+￡+豆+???+傅一丁=l+2x—^-=2—玄

3所以/一|=-1{Pn-l_竟)(九22),又Pi=|~|=

\BE-n\

sinO=|cos(5E,n)|=綱

j(2"4)2+j^aj+d2

\BE\-|n|V13A-16A+16所以｛々-皆是以首項(xiàng)為-總，公比為-|的等比數(shù)列，

故々一合_\.(一|)"即4=1+*「+/(一§”

當(dāng);1=0時(shí)，BEu平面ABC。，0=0；

(3)①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，&="9(一斗="!(1)”>彈調(diào)遞減，最大值為Pz=^；

當(dāng)4WO時(shí)，88\5/88\5/825

當(dāng)也為奇數(shù)時(shí)，4單調(diào)遞增，最小值為Pi=g

Sm―7*-同+16-2^3-竽+翁一zJ；6xG.)2+9一88\5/88\5/85

綜上：數(shù)列弭｝的最大值為弟最小值為a

當(dāng)且僅當(dāng)4=：時(shí)取等號(hào)，

②證明：對(duì)任意￡>0總存在正整數(shù)N。=[log3Q￡)]+1,(其中[幻表示取整函數(shù)),

又ee[o用所以eW

當(dāng)71>[10g|(|￡)]+1時(shí)，|P"-竟|="(-1)"|=II'(1)1<I-⑨喟㈤=

故BE與平面4BCD所成角的最大值為已

所以數(shù)列｛七｝收斂.

19.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)7