廣東省廣州市番禺中學2024-2025學年高二上學期9月月考數(shù)學試卷

高二數(shù)學9月月考試題一、單選題（每小題5分）1.已知，則（）A. B. C. D.2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.3.函數(shù)是（）A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)4.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，，則（）A.2 B.0 C.60 D.625.已知空間向量，，則在上的投影向量坐標是（）A. B. C. D.6.在正四面體中，過點作平面的垂線，垂足為點，點滿足，則（）A. B.C. D.7.在空間直角坐標系中，若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A B. C.或 D.與斜交8.已知向量，，且平面，平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為（）A.或 B.或1 C.或2 D.二、多選題（每小題6分）9.三棱錐中，平面與平面的法向量分別為，，若，則二面角的大小可能為（）A. B. C. D.10.隨機抽取8位同學對2024年數(shù)學新高考|卷的平均分進行預估，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：97，98，99，100，101，103，104，106，則下列關于該樣本的說法正確的有（）A.均值為101 B.極差為9C.方差為8 D.第60百分位數(shù)為10111.已知空間中三點，，，則（）A.與是共線向量B.與向量方向相同的單位向量坐標是C.與夾角的余弦值是D.在上的投影向量的模為三、填空題（每小題5分）12.已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，當時，，則_______.13.已知向量，，，若，，共面，則_______.14已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是_______.四、解答題（五個大題共77分）15.（本題13分）（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）記的內角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求.（2）若，，求的周長.16（本題15分）某中學根據(jù)學生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“書法”、“詩詞”、“理學”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立.2015年某新生入學，假設他通過考核選拔進入該校的“書法”、“詩詞”、“理學”三個社團的概率依次為、、，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且.（1）求與的值；（2）該校根據(jù)三個社團活動安排情況，對進入“書法”社的同學增加校本選修學分1分，對進入“詩詞”社的同學增加校本選修學分2分，對進入“理學”社的同學增加校本選修學分3分.求該新同學在社團方面獲得校本選修課學分分數(shù)不低于4分的概率.17.（本題15分）如圖，在以，，，，，為頂點的六面體中（其中平面），四邊形是正方形，平面，，且平面平面.（1）設為棱的中點，證明：，，，四點共面；（2）若，求六面體的體積.18.（本題17分）一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去200天的日銷售量（單位：kg），將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間，，，分成5組，得到圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值；并估計該水果店過去200天蘋果日銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）若一次進貨太多，水果不新鮮，進貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能地滿足顧客的需要（在100天中，大約有85天可以滿足顧客的需求）.請問，每天應該進多少水果？（3）在日銷售量為蘋果中用分層抽樣方式隨機抽6個蘋果，再從這6蘋果中隨機抽取2個蘋果，求抽取2個蘋果都來自日銷售量在的概率.19（本題17分）（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）直三棱柱中，，，為的中點，為的中點，為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.

高二數(shù)學9月月考試題參考答案一、單選題（每小題5分共40分）1.A 2.A 3.A4.A【詳解】由題意，所以的周期為4，且關于直線對稱，而，所以.5.B【詳解】因為空間向量，，所以，，，則在上的投影向量坐標是：.6.B【詳解】在正四面體中，因為平面，所以是的中心，連接，則，所以.7.C【解析】由可得，所以或，即可得正確選項.【詳解】直線的方向向量為，平面的法向量為，因為，所以，所以或.8.B【詳解】因為，所以，，，因為平面，平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，所以，化簡得，解得或1.二、多選題（每小題6分共18分）9.BC【詳解】二面角的大小與法向量的夾角相等或互補，二面角的大小可能為或.10.ABD【詳解】A選項，均值為，A正確；B選項，極差為，B正確；C選項，方差為，C錯；D選項，因為，故從小到大，選擇第5個數(shù)作為第60百分位數(shù)，即101.11.BD【詳解】由已知，，，，因此與不共線，A錯；，所以與向量方向相同的單位向量坐標是，B正確；，，，C錯；在上的投影是，所以投影向量的模為，D正確.三、填空題（每小題5分共15分）12.【詳解】令，則，所以.因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，，所以.13.【詳解】由題意得，存在，使得，即，故解得，.14.【詳解】由，得，解得，又，得，解得，所以與夾角為鈍角，實數(shù)的取值范圍為且.四、解答題（五個大題共77分）15.（本題13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.（2）由題設條件和正弦定理，又，，則，進而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，，故的周長為.16.（本題15分）【詳解】（1）依題，解得.（2）由題令該新同學在社團方面獲得本選修課學分的分數(shù)為，獲得本選修課學分分數(shù)不低于4分為事件A，則；；.故.17.（本題15分）【詳解】（1）連接，由四邊形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又為棱的中點，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四點共面；（2）設與交于點，連接，則，又平面，平面，則平面，又因為六面體，則平面平面，又平面，故，則四邊形為矩形，則，且平面，又，故，則.18（本題17分）【詳解】（1）由直方圖可得，樣本落在，，，的頻率分別為，，0.2，0.4，0.3，由，解得.則樣本落在，，，頻率分別為0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，該蘋果日銷售量的平均值為：.（2）為了能地滿足顧客的需要，即估計該店蘋果日銷售量的分位數(shù).依題意，日銷售量不超過90kg的頻率為，則該店蘋果日銷售量的分位數(shù)在，所以日銷售量的分位數(shù)為.所以，每天應該進95kg蘋果.（3）由日銷售量為，的頻率分別為0.2，0.4知，抽取的蘋果來自日銷售量中的有2個，不妨記為，，來自日銷售量為的蘋果有4個，不妨記為，，，，任意抽取2個蘋果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15個基本事件，其中2個蘋果都來自日銷售中的有6個基本事件，由古典概型可得.19.（本題17分）【解析】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則以