專題05平行四邊形的四種幾何綜合問題(原卷版+解析)

專題05平行四邊形的四種幾何綜合問題類型一、折疊問題例．如圖，在平行四邊形中，．點M是邊的中點，點N是邊上的一個動點．將沿所在的直線翻折到，連接．則線段長度的最小值為（

）A．5 B．7 C． D．例2．如圖，在中，，，點E、F分別在上，將四邊形沿折疊得四邊形，恰好垂直于，若，則的值為（

）A．3 B． C． D．【變式訓練1】如圖，平行四邊形中，＝，°，將沿邊折疊得到，交于，，則點到的距離為______．【變式訓練2】如圖，平行四邊形中，點E在上，以為折痕，把向上翻折，點A正好落在邊的點F處，若的周長為6，的周長為，那么的長為_________．【變式訓練3】如圖，在中，，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，連接、，則的最小值為

____________【變式訓練4】如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB、AD上，將△AEF沿EF折疊，點A恰好落在BC邊上的點G處．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．則AF長度為_____．類型二、平行四邊形中的最值問題例．（將軍飲馬模型）如圖，在中，，，，點E在上，，點P是邊上的一動點，連接，則的最小值是________．【變式訓練1】如圖，在中，，，D是BC邊上任意一點，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長的最小值為___________．【變式訓練2】如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動點，那么的最小值等于______．【變式訓練3】如圖，，，，，，射線交邊于點，點為射線上一點，以，為邊作平行四邊形，連接，則最小值為______．【變式訓練4】如圖，在中，，，，點為上任意一點，連接，以、為鄰邊作，連接，則的最小值為______．類型三、動點問題例．在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一點，且BM=4cm，點E從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運動，點F從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設運動時間為t，當t的值為_____時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．【變式訓練1】如圖，在四邊形中，，且，點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，點P以的速度由A向D運動，點Q以的速度由向C運動B，則_____秒后四邊形成為一個平行四邊形．【變式訓練2】如圖，在四邊形中，．點P從點A出發(fā)，以的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以的速度向點B運動，規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．從運動開始，使和，分別需經(jīng)過多少時間？為什么？類型四、旋轉問題例．如圖1，在中，，，點D，E分別在邊，上，，連接，，點M，P，N分別為，，的中點．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關系是___________，位置關系是___________；(2)探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：若，，繞點A在平面內旋轉過程中，請求出的面積取得最大值時的長．【變式訓練1】在中，，．在中，，．連接，M為線段的中點，連接．繞點A旋轉，若，，的最大值為（

）A．5 B． C．7 D．【變式訓練2】如圖，是等腰直角三角形，，，線段可繞點在平面內旋轉，．(1)若，在線段旋轉過程中，當點，，三點在同一直線上時，直接寫出的長．(2)如圖，若將線段繞點按順時針方向旋轉，得到線段，連接，．①當點的位置由外的點轉到其內的點處，且，時，求的長；②如圖，若，連接，將繞點在平面內旋轉，分別取，，的中點，，，連接，，，請直接寫出面積的取值范圍．【變式訓練3】在中，點P為邊中點，直線a繞頂點A旋轉，于點M．于點N，連接．(1)如圖1，若點B，P在直線a的異側，延長交于點E．求證：；(2)若直線a繞點A旋轉到圖2的位置時，點在直線a的同側，其它條件不變，此時，，求MN的長度．(3)若過P點作于點G，試探究線段和的數(shù)量關系．專題05平行四邊形的四種幾何綜合問題類型一、折疊問題例．如圖，在平行四邊形中，．點M是邊的中點，點N是邊上的一個動點．將沿所在的直線翻折到，連接．則線段長度的最小值為（

）A．5 B．7 C． D．【答案】A【詳解】解：如圖：連接，作，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴且，∴，∴；∵M是中點，∴，∴，∴；∵折疊，∴，∴當三點共線時，的長度最小，∴此時，故選：A．例2．如圖，在中，，，點E、F分別在上，將四邊形沿折疊得四邊形，恰好垂直于，若，則的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【詳解】解：延長交于點H，∵恰好垂直于，且四邊形是平行四邊形，∴也垂直于，由折疊的性質得，，，，∴，∴，，在中，，，∴，，∴，由折疊的性質得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故選：C．【變式訓練1】如圖，平行四邊形中，＝，°，將沿邊折疊得到，交于，，則點到的距離為______．【答案】【詳解】解：由折疊知：，，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴∠，∴，∴，過點作，垂足為F，∴，∵，∴，∴，中，，∴，∵，∴，∴，∴，∵,∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓練2】如圖，平行四邊形中，點E在上，以為折痕，把向上翻折，點A正好落在邊的點F處，若的周長為6，的周長為，那么的長為_________．【答案】7【詳解】∵向上翻折，點A正好落在邊上，∴，，∵的周長為6，的周長為20，∴，，∴，∴∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴．故答案為：7．【變式訓練3】如圖，在中，，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，連接、，則的最小值為

____________【答案】45【詳解】解：如圖，連接、，作點D關于直線的對成點T，連接、、．∵，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，∴，，，∵，∴，∵D、T關于對稱，∴，，∴，∵，∴B、A、T共線，∴，∵，，∴四邊形EGCD是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，則的最小值為45．故答案為：45．【變式訓練4】如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB、AD上，將△AEF沿EF折疊，點A恰好落在BC邊上的點G處．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．則AF長度為_____．【答案】【詳解】解：如圖，過點B作BM⊥AD于點M，過點F作FH⊥BC于點H，過點E作EN⊥CB延長線于點N，得矩形BHFM，∴∠MBC=90°，MB=FH，F(xiàn)M=BH，∵AB=6，5BE=AE，∴AE=5，BE=，由折疊的性質可知：GE=AE=5，GF=AF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，∴FH=BM=6，在Rt△GEN中，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得GN=±7（負值舍去），∴GN=7，設MF=BH=x,則GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，在Rt△GFH中，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得x=，∴AF=AM+FM=6+=．∴AF長度為．故答案為：．類型二、平行四邊形中的最值問題例．（將軍飲馬模型）如圖，在中，，，，點E在上，，點P是邊上的一動點，連接，則的最小值是________．【答案】【詳解】解：過點A作直線的對稱點F，連接，連接交于點P，此時有最小值，最小值為的長，∵點A與點F關于直線對稱，∴，，則，∴是等邊三角形，∵在中，，∴，過點E作直線的垂線，垂足為點G，∵，∴，∴，，∴，∴，∴的最小值是．故答案為：．【變式訓練1】如圖，在中，，，D是BC邊上任意一點，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長的最小值為___________．【答案】9.6【詳解】設交于點，過點作于點，如圖所示，在四邊形中，，，∵，∴，∵，∴,在中，，∵，∴，當點與點，重合時，最小，∴的最小值為．故答案為：．【變式訓練2】如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動點，那么的最小值等于______．【答案】3【詳解】解：如圖，過作交的延長線于點，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴當三點共線時，線段的和最小，∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案為：3．【變式訓練3】如圖，，，，，，射線交邊于點，點為射線上一點，以，為邊作平行四邊形，連接，則最小值為______．【答案】【詳解】解：如圖，延長到，使得，連接，過點作于點．四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，點在射線上運動，當點與重合時，的值最小，在中，，，，，．的最小值為．故答案為：．【變式訓練4】如圖，在中，，，，點為上任意一點，連接，以、為鄰邊作，連接，則的最小值為______．【答案】【詳解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO=QO，CO=AO=，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線OP′，當P與P'重合時，OP的值才是最小，∴則PQ的最小值為2OP′=2×OC=，故答案為：．類型三、動點問題例．在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一點，且BM=4cm，點E從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運動，點F從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設運動時間為t，當t的值為_____時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．【答案】4s或s【詳解】解：①當點F在線段BM上，即0≤t＜2，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝4﹣2t，解得t＝，②當F在線段CM上，即2≤t≤5，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝2t﹣4，解得t＝4，綜上所述，t＝4或，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，故答案為：4s或s．【變式訓練1】如圖，在四邊形中，，且，點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，點P以的速度由A向D運動，點Q以的速度由向C運動B，則_____秒后四邊形成為一個平行四邊形．【答案】2【詳解】解：如圖，設t秒后，四邊形APQB為平行四邊形，則AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，∵AD∥BC，∴AP∥BQ，當AP=BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形，∴t=6-2t，∴t=2，當t=2時，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．綜上所述，2秒后四邊形ABQP是平行四邊形．故答案為：2．【變式訓練2】如圖，在四邊形中，．點P從點A出發(fā)，以的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以的速度向點B運動，規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．從運動開始，使和，分別需經(jīng)過多少時間？為什么？【答案】分別需經(jīng)過；或．理由見解析．【詳解】解：①設經(jīng)過，，此時四邊形成為平行四邊形，∵，∴，解得，∴當s時，且PQ=CD②設經(jīng)過，，如圖所示，分別過點P，D作BC邊的垂線PE，DF，垂足分別為E，F(xiàn)，當CF=EQ時，四邊形PQCD為梯形（腰相等）或平行四邊形，∵，∴四邊形ABFD是矩形，∴AD=BF，∵AD=24cm，BC=26cm，∴（cm），當四邊形PQCD為梯形（腰相等）時，，∴，解得，∴當s時，PQ=CD，當四邊形為平行四邊形或梯形（腰相等），為平行四邊形時有s，PQ=CD，綜上所述，當s時，；當s或s時，PQ=CD．類型四、旋轉問題例．如圖1，在中，，，點D，E分別在邊，上，，連接，，點M，P，N分別為，，的中點．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關系是___________，位置關系是___________；(2)探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：若，，繞點A在平面內旋轉過程中，請求出的面積取得最大值時的長．【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形，理由見解析(3)【詳解】（1）點N，分別是，的中點，，，點，是，的中點，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形．理由如下：由旋轉知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）由（2）知是等腰直角三角形，∴．∴當最大時，最大．∵，∴最大時最大．∴當點D在的延長線上時最大，如圖，此時中，，，．∴．【變式訓練1】在中，，．在中，，．連接，M為線段的中點，連接．繞點A旋轉，若，，的最大值為（

）A．5 B． C．7 D．【答案】B【詳解】解：如圖，取的中點，連接，，，，點是的中點，，，，，點是的中點，點是的中點，，在中，，當點在的延長線上時，有最大值為，故選：B．【變式訓練2】如圖，是等腰直角三角形，，，線段可繞點在平面內旋轉，．(1)若，在線段旋轉過程中，當點，，三點在同一直線上時，直接寫出的長．(2)如圖，若將線段繞點按順時針方向旋轉，得到線段，連接，．①當點的位置由外的點轉到其內的點處，且，時，求的長；②如圖，若，連接，將繞點在平面內旋轉，分別取，，的中點，，，連接，，，請直接寫出面積的取值范圍．【答案】(1)或(2)①；②【詳解】（1）當點在的延長線上時，，當點在線段上時，，故CD的長為或12．（2）①如圖2中，連接，．，，，，，，，，，，，，．②如圖3中，連接，延長交于，交于．，，，，，，，，，，，，，，，，同法可得，，，，，，是等腰直角三角形，，．【變式訓練3】在中，點P為邊中點，直線a繞頂點A旋轉，于點M．于點N，連接．(1)如圖1，若點B，P在直線a的異側，延長